2023-2024学年上海市浦东新区洋泾中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区洋泾中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a，b，c∈R，则“a>b”是“ac2>bc2”的条件．( )
A. 充要B. 充分非必要C. 必要非充分D. 既非充分也非必要
2.若θ∈(π2,π)，则 1−sin2θcsθ的值是( )
A. ±1B. 0C. 1D. −1
3.若2 ​x−2 ​y<3− ​x−3− ​y，则
( )
A. ln(y−x+1)>0B. ln(y−x+1)<0
C. ln|x−y|>0D. ln|x−y|<0
4.已知函数f(x)=x2,(x为无理数)x,(x为有理数)，则以下4个命题：
①f(x)是偶函数；
②f(x)在0,+∞上是增函数；
③f(x)的值域为R；
④对于任意的正有理数a，g(x)=f(x)−a存在奇数个零点．
其中正确命题的个数为
( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共10小题，共34分。
5.若集合{1,2,3}={a,b,c}，则a+b+c= ______．
6.已知幂函数y=f(x)的图像过点(2, 2)，则f(3)=______．
7.当a<0时，求|a|+6a6+23a3的值______．
8.已知某扇形的弧长为4 3厘米，半径为4厘米，则圆心角的弧度数为______．
9.函数y=lnx−12−x的定义域为 ．
10.已知点P(−2,y)在角α的终边上，且sinα=23，则y= ______．
11.方程1+lg2x=lg2(x2−3)的解为______．
12.若关于x的不等式(a2−1)x2−(a−1)x−1<0的解集为R，则实数a的取值范围是______．
13.已知函数f(x)=2x+1,x≤02,x>0，若f(a2−2a)≤f(a−1)，则实数a的取值范围是______．
14.设函数f(x)=|x−a|−2x+a，若关于x的方程f(x)=1有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值构成的集合为______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
设不等式|2x−1|≤3的解集为P，不等式2≤2x≤8的解集为Q．
(1)求集合P、Q；
(2)已知全集U=R，求P∩Q−．
16.(本小题8分)
已知函数f(x)=12x+1．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)求证：函数y=f(x)在R上是严格减函数．
17.(本小题10分)
浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡(观光或消费)，某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业一个月内(以30天计)，每天打卡人数P(x)与第x天近似地满足函数P(x)=8+kx(万人)，k为正常数，且第8天的打卡人数为9万人．
(1)经调查，打卡市民(含观光)的人均消费C(x)(元)与第x天近似地满足下表：
现给出以下三种函数模型：①C(x)=ax+b，②C(x)=a|x−22|+b，③C(x)=ax+b.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民(含观光)的人均消费C(x)(元)与第x天的关系，并求出该函数的解析式；
(2)确定k的值，并在问题(1)的基础上，求出该购物中心日营业收入f(x)(1≤x≤30,x为正整数)的最小值(单位：万元)．
(注：日营业收入=日打卡人数P(x)×人均消费C(x))．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x−4．
(1)求方程f(x)=3的解；
(2)若关于x的方程f(x)=lg12x+λ在x∈[2,4]上有实数解，求实数λ的取值范围；
(3)若xi(i=0,1,2,⋯,2021)将区间[1,3]划分成2021个小区间，且满足1=x019.(本小题14分)
对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，若Pf(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b])．
(1)已知f(x)=(12)x，g(x)=x12，x∈[0,1]试写出Pf(x)、Pg(x)的表达式；
(2)设a>0且a≠1，函数f(x)=a2x+(3−a)⋅ax−1，x∈[12,1]，如果Pf(x)与f(x)恰好为同一函数，求a的取值范围；
(3)若Qf(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b])，存在最小正整数k，使得Pf(x)−Qf(x)≤k(x−a)对任意的x∈[a,b]成立，则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”，已知函数f(x)=x2，x∈[−1,4]，试判断f(x)是否为[−1,4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：若a>b，当c=0时，ac2>bc2不成立，即充分性不成立，
当ac2>bc2成立时，c2>0，则a>b一定成立，
所以“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．
故选：C．
结合不等式的性质检验充分必要性即可判断．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为θ∈(π2,π)，所以csθ<0，
所以 1−sin2θcsθ= cs2θcsθ=−csθcsθ=−1．
故答案为：D．
由同角三角函数的基本关系计算即可．
本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的单调性在比较变量大小中的应用，属于中档题．
由2x−2y<3−x−3−y，可得2x−3−x<2y−3−y，令f(x)=2x−3−x，则f(x)在R上单调递增，且f(x)【解答】
解：由2x−2y<3−x−3−y，可得2x−3−x<2y−3−y，
令f(x)=2x−3−x，则f(x)在R上单调递增，且f(x)所以x0，
由于y−x+1>1，故ln(y−x+1)>ln1=0，
因为不确定|x−y|与1的大小，故CD错误，
故选：A．
4.【答案】B
【解析】解：①因为f(x)=x2,(x为无理数)x,(x为有理数)，所以f(1)=1，f(−1)=−1，
所以f(x)不是偶函数，故错误；
②因为f(3)=3③因为f(x)=x2,(x为无理数)x,(x为有理数)，显然F(x)的值域中不含负无理数，
故f(x)的值域不为R，故错误；
④g(x)=f(x)−a的零点即x=a，x为有理数或x2=a，x为无理数，
对于x=a，x为有理数，必有解x=a，
对于x2=a，x为无理数，必有解x=± a或无解，
故g(x)=f(x)−a有三个零点或一个，故正确；
故选：B．
①由偶函数的定义，举例即可判断；②举例即可判断；③F(x)的值域中不含负无理数，故可判断；④根据函数零点即是方程的解，观察解的个数即可判断．
本题主要考查了特殊函数的性质的理解和运用，函数的奇偶性和周期性，属于中档题．
5.【答案】6
【解析】解：∵{1,2,3}={a,b,c}，
∴a+b+c=1+2+3=6．
故答案为：6．
利用集合相等的定义求解．
本题考查代数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意集合相等的性质的合理运用．
6.【答案】 3
【解析】解：设幂函数f(x)=xα，
∵幂函数y=f(x)=xα的图像过点(2, 2)，
∴f(2)=2α= 2，解得α=12，
∴f(x)= x，
则f(3)= 3，
故答案为： 3．
幂函数y=f(x)=xα的图像过点(2, 2)，列方程求出α=12，从而f(x)= x，由此能求出f(3)．
本题考查函数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】0
【解析】解：a<0时，|a|+6a6+23a3
=−a+|a|+2a=−a−a+2a=0，
故答案为：0．
根据根式的运算性质以及a的符号求出代数式的值即可．
本题考查了根式的运算性质，考查转化思想，是基础题．
8.【答案】 3
【解析】解：某扇形的弧长为4 3厘米，半径为4厘米，
则圆心角的弧度数为4 34= 3．
故答案为： 3．
根据已知条件，结合弧长公式，即可求解．
本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题．
9.【答案】(1,2)
【解析】解：要使原函数有意义，则x−12−x>0，
∴x−1x−2<0，解得1∴函数y=lnx−12−x的定义域为(1,2)．
故答案为：(1,2)．
由对数函数的真数大于0，求解分式不等式得答案．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
10.【答案】4 55
【解析】解：因为点P(−2,y)在角α的终边上，且sinα=23= y (−2)2+y2>0，可得y>0，
解得y2=165，
解得y=4 55．
故答案为：4 55．
由题意利用任意角的三角函数的定义，计算求得结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
11.【答案】x=3
【解析】解：方程1+lg2x=lg2(x2−3)可化为lg2(2x)=lg2(x2−3)，
又因为函数y=lg2x在(0,+∞)上单调递增，
所以2x=x2−3，且x>0x2−3>0，
解得x=3，
即方程1+lg2x=lg2(x2−3)的解为x=3．
故答案为：x=3．
由题意可得lg2(2x)=lg2(x2−3)，结合函数y=lg2x在(0,+∞)上单调递增，可得2x=x2−3，且x>0x2−3>0，从而求出x的值．
本题主要考查了对数的运算性质，考查了对数函数的性质，属于基础题．
12.【答案】(−35,1]
【解析】解：设g(x)=(a2−1)x2−(a−1)x−1，
当a=1时，g(x)=−1<0，符合题意，
当a=−1时，−2x−1<0，解得x>−12，不符合题意，
当a≠1且a≠−1时，
a2−1<0Δ=b2−4ac=(a−1)2+4(a2−1)<0，解得−35综上所述，实数a的取值范围为(−35,1]．
故答案为：(−35,1]．
根据已知条件，结合二次函数的判别式，并分类讨论，即可求解．
本题主要考查一元二次不等式及其应用，属于基础题．
13.【答案】[3− 52,+∞)
【解析】解：函数f(x)=2x+1,x≤02,x>0的图象如图，
若f(a2−2a)≤f(a−1)，
则a2−2a≤0a−1≤0a2−2a≤a−1或a2−2a≤0a−1≥0或a2−2a>0a−1>0，
解得3− 52≤a≤1或1≤a≤2或a>2．
综上所述，实数a的取值范围是[3− 52,+∞)．
画出分段函数的图象，由f(a2−2a)≤f(a−1)，分类得到关于a的不等式组求解．
本题考查分段函数的应用，考查数形结合、分类讨论思想，考查运算求解能力，是中档题．
14.【答案】{1−2 22,1+2 22,2}
【解析】解：由方程f(x)=1，得|x−a|+a=2x+1有两个不同的解，
令h(x)=|x−a|+a,g(x)=2x+1，
则h(x)=|x−a|+a的顶点(a,a)在y=x上，
而y=x与g(x)=2x+1的交点坐标为(2,2)，(−1,−1)，
联立y=−x+2ay=2x+1得x2+(1−2a)x+2=0，
由△=(1−2a)2−8=0，解得a=1−2 22或1+2 22，
作出图象，数形结合，要使得|x−a|+a=2x+1有两个不同的解，
则实数a的取值范围是a=1−2 22或1+2 22或2．
故答案为{1−2 22,1+2 22,2}．
由题意，转化为两个函数问题，即设h(x)=|x−a|+a,g(x)=2x+1，作出图，即可求解实数a的取值构成的集合．
本题考查了方程有实根问题转化为有交点问题，数形结合思想，和作图的能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)∵不等式|2x−1|≤3的解集为P，不等式2≤2x≤8的解集为Q，
∴P=[−1,2]，Q=[1,3]．
(2)∵全集U=R，∴P∩Q=[1,2]，
P∩Q−=(−∞,1)∪(2,+∞)．
【解析】(1)解含绝对值不等式，求出集合P，解指数不等式，求出集合Q；
(2)先求出P，Q的交集，再计算P∩Q−即可．
本题考查集合的运算，考查交集、补集的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：(1)由题 2x∈(0,+∞)，则2x+1∈(1,+∞)，
所以函数f(x)的值域为(0,1)；
(2)设x1，x2是R上任意给定的两个实数，且x1则f(x1)−f(x2)=12x1+1−12x2+1=2x2−2x1(2x1+1)⋅(2x2+1)，
∵x12x1，∴f(x1)>f(x2)，
∴函数y=f(x)在R上是严格减函数．
【解析】(1)先求出2x的范围，接着得到2x+1的范围，从而可以求解；(2)根据单调性的定义即可证明．
本题考查了函数的单调性，涉及到单调性的定义，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由表中数据可得，函数图象关于x=22对称，
故函数模型②满足要求，
代入点(10,131)，(14,135)，
则131=12a+b135=8a+b，解得a=−1，b=143，
∴C(x)=−|x−22|+143；
(2)由第8天的打卡人数为9万人，
则P(8)=8+k8=9，解得k=8．
∴f(x)=P(x)C(x)=(8+8x)(143−|x−22|)，
当x≥22且x为正整数时，f(x)=8(1+1x)(165−x)=8(164−x+165x)，
∵f(x)在x≥22且x为正整数时为严格减函数，
∴f(x)≥f(30)=1116，
当1≤x≤21且x为正整数时，f(x)=8(1+1x)(121+x)=8(122+x+121x)，
∴f(x)=8(122+x+121x)≥8(122+2 x⋅121x)=1152，且等号当且仅当x≥11时成立，
综上所述，该商场在第30天时日营业收入最小，为1116万元．
【解析】(1)由表中数据可得，函数图象关于x=22对称，故函数模型②满足要求，再将表格中的数据代入函数模型②，即可求解；
(2)根据已知条件，结合第8天的打卡人数为9万人，即可求出k的值，结合函数的单调性，以及基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由2x−4=3得2x=7，得x=lg27；
(2)∵λ=2x−lg12x−4在x∈[2,4]上是严格增函数，
又2x−lg12x−4∈[1,14]，∴λ∈[1,14]；
(3)由指数函数的单调性可得，f(x)在区间[1,3]上是严格增函数，
对任意划分1=x0|f(x1)−f(x0)|+|f(x2)−f(x1)|+|f(x2)−f(x1)|⋯+|f(x2021)−f(x2020)|
=f(x1)−f(x0)+f(x2)−f(x1)+f(x3)−f(x2)+⋯+f(x2021)−f(x2020)
=f(x2021)−f(x0)
=f(3)−f(1)=6，
∴M≥6，
∴实数M的最小值为6．
【解析】(1)解方程2x−4=3即可求解；
(2)将问题转化为λ=2x−lg12x−4在x∈[2,4]上有实数解，求函数yλ=2x−lg12x−4在x∈[2,4]上的值域即可；
(3)根据函数单调性分析最值即可得解．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查函数的性质，转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵函数f(t)=(12)t在[0,x]上单调递减，
∴Pf(x)=max{f(t)|0≤t≤x}=(12)0=1，
∵函数g(t)= t在[0,x]上单调递增，
∴Pg(x)=max{g(t)|0≤t≤x}= x．
(2)∵f(x)=a2x+(3−a)⋅ax−1，x∈[12,1]，Pf(x)与f(x)恰好为同一函数，
∴f(x)=a2x+(3−a)⋅ax−1在[12,1]上是单调递增，
当0由x∈[12,1]，则a≤t≤ a对称轴=−3−a2∈(−32,−1)，
根据复合函数的单调性，函数h(t)显然在[a, a]上单调递减，故0当a>1时，令t=ax，由x∈[12,1]，则 a≤t≤a，
只需t=−3−a2≤ a，化简得( a−3)( a+1)≤0，解得1∴综上所述，a的取值范围为(0,1)∪(1,9]．
(3)∵f(x)=x2，x∈[−1,4]，在[−1,0]上单调递减，在[0,4]上单调递增，
∴Qf(x)=x2,−1≤x<00,0≤x≤4，Pf(x)=1,−1≤x<1x2,1≤x≤4，
∴Pf(x)−Qf(x)=1−x2,−1≤x<01,0≤x<1x2,1≤x≤4，
当x∈[−1,0)时，1−x2≤k(x+1)⇒k≥1−x恒成立，则k≥2；
当x∈[0,1)时，1≤k(x+1)⇒k≥1x+1恒成立，则k≥10+1=1；
当x∈[1,4]时，x2≤k(x+1)⇒k≥x2x+1恒成立，
y=(x+1−1)2x+1=(x+1)2−2(x+1)+1x+1=x+1+1x+1−2在[1,4]上单调递增，
则k≥424+1=165．
∴综上所述，k≥165
故f(x)是[−1,4]上的“k阶收缩函数”，且最小正整数k=4．
【解析】(1)根据函数f(t)、g(t)在[0,x]上的单调性可得出Pf(x)、Pg(x)的表达式；
(2)若Pf(x)与f(x)恰好为同一函数，只须f(x)=a2x+(3−a)⋅ax−在x∈[12,1]上是单调递减，讨论a的取值由复合函数的单调性即可求解；
(3)根据函数f(x)=x2在x∈[−1,4]上的值域，写出Pf(x)、Q(x)的解析式，再由Pf(x)−Q(x)≤k(x−a)求出k的范围得到答案．
本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，根据题意将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解，属于难题．x(天)
10
14
18
22
26
30
C(x)(元)
131
135
139
143
139
135