河南省郑州市第二高级中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列各数：，，0，，，，﹣3.14，0.101001000…（每相两个1之间的0的个数依次增加1），无理数有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．
【详解】解：，＝1，
故无理数有，，0.101001000…（每相两个1之间的0的个数依次增加1），共3个．
故选：B．
2. 下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，直角三角形的定义和三角形内角和，根据勾股定理的逆定理和三角形内角和，可以判断各个选项中的条件，能否使得是直角三角形，本题得以解决．
【详解】解：，，
，
是直角三角形，故选项A不符合题意；
，，
最大的，
不是直角三角形，故选项B符合题意；
，
，
是直角三角形，故选项C不符合题意；
，
化简，得：，
是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质及二次根式的加减运算法则，根据二次根式的加减运算法则进行计算即可．熟练掌握相关法则是解题的关键．
【详解】解：A.，故A选项不符合题意；
B.不能合并同类项，故B选项不符合题意；
C，故C选项符合题意；
D.，故D选项不符合题意．
故选：C．
4. 在平面直角坐标系中，轴，，若点，则点B的坐标是（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系，与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等，当时，点B可能在点A的左侧，也可能在点A的右侧，由此求解即可，注意分情况讨论是解题的关键．
【详解】解：轴，点，
点B的纵坐标是，
，
当点B在点A的左侧时，点B的横坐标是，
当点B在点A的右侧时，点B的横坐标是，
点B坐标是或．
故选D．
5. 有下列四个命题：①的平方根是；②同位角相等；③的算术平方根是；④三角形的一个外角等于两个内角之和．其中真命题的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的知识点是平方根的定义、平行线性质、算术平方根、三角形外角性质、判断命题真假，解题关键是熟练掌握相关定义．
根据平方根的定义、平行线性质、算术平方根、三角形外角性质对四个命题进行逐一判断即可得解．
【详解】解：①，的平方根是，即①不是真命题，不符合题意；
②只有当两直线平行时，同位角才相等，②不是真命题，不符合题意；
③的算术平方根是，正确，③是真命题，符合题意；
④三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，④不是真命题，不符合题意．
四个命题中真命题的个数是．
故选：．
6. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．
【详解】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意可得：
，
故选：D．
7. 体育委员小聪要帮体育老师分析本班的跳远成绩，将各统计量计算好后却发现由于场地布置失误，导致每位同学的成绩都少记录了，则实际成绩与记录成绩相比（ ）
A. 众数改变，方差改变B. 众数不变，平均数改变
C. 中位数改变，方差不变D. 中位数不变，平均数不变
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中位数，平均数，众数，方差．根据中位数，平均数，众数，方差的意义，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵每位同学的成绩都少记录了，
∴实际成绩与记录成绩相比，众数增加，方差不变，平均数增加，中位数增加，
故选：C．
8. 如图，直线与在第二象限交于点，直线分别交轴、轴于，两点．，则方程组的解为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），解答本题的关键要明确方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【详解】解：作轴于，如图，
当时，，则，
，
，
∥，
，
，
当时，，
解得，
，
方程组解为．
故选：C．
9. 固定在地面上的一个正方体木块如图①所示，其棱长为4，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点爬行到点的最短路程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用．根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，正方体上表面的对角线为，将图②展开，连接交于点，线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，
由题意可知：为等边三角形，为等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
正方体的棱长为4，
，，
在中，，
在中，，
．
故选：A．
10. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线上．直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先待定系数法求出直线的解析式，过作于点，过作于点，易证，根据全等三角形的性质可得和的长，再证，易得点坐标，再根据平移可得平移后的点坐标，代入直线解析式即可求出的值．
【详解】解：点在直线上，
，
，
直线解析式为，
过作于点，过作于点，如图所示：
则，，
，
在正方形中，，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
同理可证，
，，
，
，
正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上，
设平移后点的坐标为，
，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平移的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 定理“三角形的任意两边之和大于第三边”可以由你学过的哪一条基本事实推理证明得到？_____________．
【答案】两点之间线段最短
【解析】
【分析】本题考查了三角形的三边关系及线段的性质，熟记线段性质是解题的关键；
根据三角形的三边关系解答即可．
【详解】如图：
以第三边为例
由图可知，三角形的两边之和为：，
相当于从A点到C点经过的距离为：，
两点之间，线段最短，
从A点到C点最短的距离应为，
其余边同理可得：，，
定理“三角形的任意两边之和大于第三边”可以由基本事实：两点之间线段最短加以解释．
故答案为：两点之间线段最短．
12. 如图，半径为的圆周上有一点A落在数轴上－2点处，现将圆在数轴上向右滚动一周后点A所处的位置在连续整数a、b之间，则a＋b＝______．
【答案】3
【解析】
【分析】先求出圆的周长，再估算出周长的值即可得出结论．
【详解】解：∵圆的半径为，
∴圆的周长=π，
∵3＜π＜4，
∴-2+3＜-2+π＜-2+4，即1＜π-2＜2，
∴向右滚动一周后点A所处的位置在1与2之间，即a=1，b=2，
∴a+b=1+2=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
13. 已知方程是关于x，y的二元一次方程，则_____．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的概念：含有两个未知数，且含未知数的项的次数是1次的整式方程；根据二元一次方程的概念求解即可，注意未知数x的系数非零．
【详解】解：由题意得：
且，
解得：．
故答案为：0．
14. 如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中，若三角板不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板．当_____________时，．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，角的和差等，分两种情况进行讨论，画出图形，根据两直线平行，内错角相等及角的和差进行计算即可，熟练掌握知识点，运用分类讨论的思想是解题的关键．
【详解】分两种情况，讨论如下：
①如图1所示，
当时，，
∴；
②如图2所示，

当时，，
∴；
故答案为：或．
15. 一条公路旁依次有三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①两村相距；②出发后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行；④相遇后，乙又骑行了或时两人相距．其中正确的是 _________．（填序号）
【答案】①②③④
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，正确理解图中信息，熟练运用待定系数法求一次函数的解析式是解题关键．根据图象与纵轴的交点可得出两地的距离，当时，即为甲、乙相遇的时候，结合一次函数的图象与性质逐一判断即可得答案．
【详解】解：由图象可知A村、B村相离，故①正确；
当时，甲、乙相距为，故在此时相遇，故②正确；
当时，设一次函数的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
故甲的速度比乙的速度快，即甲每小时比乙多骑行，故③正确；
当时，函数图象经过点，，
设一次函数的解析式为，代入得：
，
解得：，
，
当时，得，
解得，
；
当时，函数图象经过点，，设一次函数的解析式为，代入得：
，
解得：，
，
当时，得，
解得，
，
综上所述，相遇后，乙又骑行了或时两人相距；
故④正确．
故答案为：①②③④．
三、解答题（共75分）
16. （1）计算；
（2）解方程组：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算和解二元一次方程组，
（1）先化简二次根式和求立方根，化简绝对值，再算加减即可；
（2）先将原方程组进行整理，再利用加减消元法求求解即可；
熟练掌握各个运算法则和步骤是解题的关键．
【详解】解：（1）原式
；
（2）方程组整理得：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
则方程组的解为．
17. 如图，在的正方形网格中，网格线的交点叫做格点，点，，都在格点上．请按要求解答下列问题：平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，．
（1）①请在图中画出平面直角坐标系；
②点的坐标是 ，点关于轴的对称点的坐标是 ．
（2）设是过点且平行于轴的直线．
①点关于直线的对称点的坐标是 ；
②在直线上找一点，使最小，则的最小值是 ；此时点的坐标为 ．
【答案】（1）①详见解析
②，，
（2）①，
②；．
【解析】
【分析】①根据点、的坐标，可确定坐标系的原点位置，及坐标轴方向，依此画出坐标系即可，
②利用轴对称的性质，即可得出的坐标，
①根据轴对称的性质即可得出的坐标，
②连接,的长度即是的最小值，与直线的交点即为点，
本题考查了作图，轴对称的性质，解题的关键是：熟练掌握求已知点关于直线的对称点．
【小问1详解】
解：①建立的直角坐标系如图1所示；
②由图1可知，，，
故答案为：，，
【小问2详解】
解：①如图2，，
故答案为：，
②如图3，
点即为所求；
的最小值即为的长度，，点的坐标为，
故答案为：，．
18. 某校准备组织师生共300人参加一项公益活动，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位．
（1）求A，B两种车型各有多少个座位．
（2）若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？
【答案】（1）每个A型车有45个座位，B型车有60个座位
（2）需租用A型车4辆，B型车2辆
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系．
（1）设该公司，两种车型各、个座位，根据题意得：，即可求解；
（2）设需租A型车m辆，B型车n辆，可得，再利用正整数解的含义可得答案．
【小问1详解】
解：设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位，
依题意，得：，
解得：．
答：每个A型车有45个座位，B型车有60个座位．
【小问2详解】
设需租A型车m辆，B型车n辆，
依题意，得：，
∴．
∵m，n均正整数，
∴．
答：需租用A型车4辆，B型车2辆．
19. 某校举办了一次“成语知识竞赛”，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组各10名学生成绩的折线统计图和成绩统计分析表如图所示．
（1）小军同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上!”观察表格，试分析判断小军是哪个组的学生；
（2）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组，但乙组同学不同意这个说法，认为乙组的成绩好于甲组．请你写出两条支持乙组同学观点的理由．
【答案】（1）小军属于甲组学生
（2）①乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高；②乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定
【解析】
【分析】本题考查了中位数、方差等知识，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据表中的中位数分析即可；
（2）根据平均数和方差的特点进行分析即可．
【小问1详解】
由表得，甲组的中位数为6，乙组的中位数为7.5，而小军的成绩属中游略偏上，
∴小军的成绩应大于中位数，
∴小军属于甲组的学生；
【小问2详解】
①乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高；
②乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．
20. 拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
【答案】（1）会受噪声影响，理由见解析；（2）有2分钟；
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出学校C是否会受噪声影响；
（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．
【详解】解：（1）学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
∴CD＝＝120（m），
∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED＝=50（m），
∴EF＝50×2=100（m），
∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答.
21. 八年级数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：在自变量x的取值范围内，x与y的几组值如表：
（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象，并回答以下问题：
①当时，随x的增大而 ；
②当时，的最大值与最小值的差是 ；
（2）已知函数的图象与函数的图象关于y轴对称，在图中画出函数的图象，并回答以下问题：
①若直线与，的图象有三个交点，则 ；
②若直线与函数，的图象有唯一交点，则b的取值范围是 ．
【答案】21. ①减小；②4．
22. ①2；②或
【解析】
【分析】本题考查的是画一次函数的图象，一次函数的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；
（1）根据表格信息描点，再画图即可；①根据图象可得答案，②根据函数图象先求解函数最小值与最大值，可得答案；
（2）根据对称性先画图，①结合图象可得的值，②直线与直线平行，结合函数图象求解过临界点的的值，从而可得答案．
【小问1详解】
解：（1）描点画图如下：
①由图象可得，当时，随x的增大而减小，
故答案为：减小；
②当时，
当时，函数最小值为：，
当时．函数最大值为：
∴的最大值与最小值的差是4
【小问2详解】
∵函数的图象与函数的图象关于y轴对称，如图如下，
①观察图象，若直线与，的图象有三个交点，则；
②如图，函数的图象关于y轴翻折后，
∵直线与直线平行，
当直线经过时，，
解得，
当直线经过时，，
∵直线与函数，的图象有唯一交点，
∴．
当直线经过时，，
解得，
∴时直线与函数，的图象有唯一交点．
22. 【探究发现】在学习完八年级上册数学之后，小明对几何推理证明问题兴趣浓厚，他从中华人民共和国国旗中的五角星开始了探究，已知国旗中五角星的五个角均相等，他画出了图①所示的五角星，并利用所学的知识很快得出五个角的度数，此度数为 ；
【拓展延伸】如图②，小明改变了这五个角的度数，使它们均不相等，小明发现的和是一个定值并进行了证明，请你猜想出结果并加以证明；
【类比迁移】如图③，小明将点A落在上，点C落在上，那么存在怎样的数量关系？请直接写出结果．
【答案】探究发现：；拓展延伸：，证明见解析；类比迁移：
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系．
探究发现：如图①，根据外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，再根据三角形内角和是，再根据五角星的五个角均相等，求出答案即可；
拓展延伸：如图②，根据外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，再根据三角形内角和是求出答案即可；
类比迁移：如图③，根据平角定义可得，，根据三角形外角性质得，然后等量代换即可．
【详解】解：探究发现：
如图①所示：
，
，
故答案为：；
拓展延伸：
如图②所示：
∵，
∴；
类比迁移：
如图③所示：
∵，，
∴，
即．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合．
（1）求直线对应的函数表达式；
（2）P为直线上一点，，求点P的坐标；
（3）若点Q在x轴上，且为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）点Q的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据勾股定理求出，根据折叠得出，，设，则，根据勾股定理得出，求出，设，根据，求出或，即可得出答案；
（3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可．
【小问1详解】
解：设直线对应的函数表达式为：，
∵直线交坐标轴于点，，
∴，
解得：，
∴直线对应的函数表达式为：；
【小问2详解】
解：由题意可知：，，
在中，，
由折叠性质可知：，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
解得，，
∴，
∵P在直线上，
∴设，
∵，
∴，
解得，或，
①当时，，
②当时，，
∴或；
【小问3详解】
解：设，
∵点，，
∴，， ，
①当时，
则，
解得（舍去）或，
∴点Q的坐标为；
②当时，
则，即或18，
∴点Q的坐标为或；
③当时，
则，
解得：，
∴点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，求一次函数解析式，等腰三角形的定义，折叠的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．组别
平均数
中位数
方差
合格率
优秀率
甲组
6.8
6
3.76
90%
30%
乙组
7.2
7.5
1.96
80%
20%
x
0
1
2
3
4
…
y1
2
1
0
1
2
…