初中数学苏科版八年级下册12.1 二次根式习题

这是一份初中数学苏科版八年级下册12.1 二次根式习题，共14页。试卷主要包含了5二次根式的求值大题专练等内容，欢迎下载使用。

姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
一、解答题（共24小题）
1．已知：a=5+2，b=5-2，求（a+b）（a2+b2﹣ab）的值．
2．已知x=3+2，y=3-2，求：xy+yx的值．
3．（1）先化简，再求值：(x+2x2-2x-x-1x2-4x+4)÷x-4x，其中x=2+2；
（2）当a=12+3时，求a2-2a+1a2-a的值．
4．已知m＝1+2，n＝1-2，求代数式m2+n2-3mn．
5．已知x=3-22，y=1+22，求下列各式的值．
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣2xy+y2．
6．在解决问题“已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值时，小明是这样分析与解答的：
∵a=12+3=2-(2+3)(2-3)=2-3，
∴a﹣2=-3，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解答下列问题：
（1）化简：23-1；
（2）化简：13+1+15+3+17+5+⋯+12021+2019；
（3）若a=12-1，求：
①12a2﹣a﹣1的值；
②2a2﹣5a2+1的值．
7．计算：
（1）（26+23）×3-32．
（2）已知x=3+1，求代数式x2﹣2x的值．
8．先化简，再求值：（a+2）2+（3-a）（3+a）﹣7，其中a=12．
9．已知x=12-3，求x2-4x+102-x的值．
10．（1）计算：27×50÷6；
（2）已知x=3-2，y=3+2，求x2﹣y2的值．
11．计算：
（1）（2+2）2-8（2﹣32）；
（2）化简求值：已知a=5-1，求a2-aa2-2a+1-a2+8a+16a+4的值．
12．学习了二次根式的乘除后，李老师给同学们出了这样一道题：已知a=2-1，求a2-2a+1a2-1的值．小明想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程：
解：原式=(a-1)2(a+1)(a-1)=a-1(a+1)(a-1)=1a+1．
当a=2-1时，原式=12-1+1=22．
李老师看了之后说：小明错误地运用了二次根式的性质，请你指出小明错误地运用了二次根式的哪条性质，并写出正确的解题过程．
13．（1）已知ab=94，求aba+bab的值；
（2）已知x=5+2，y=5-2，求x2+y2+2xy．
14．已知a=2-b+b-2+3，求a-ba+b-a-ba-b的值．
15．已知x=3+1，y=3-1，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2，
（2）yx-xy
16．已知a=5+1，b=5-1，试求a2+2ab+b2的值．
17．（1）已知x=7+2，y=7-2，求下列各式的值：
①1x+1y；
②x2﹣xy+y2；
（2）若39-a2+5+a2=8，则39-a2-5+a2= ．
18．已知x=3+2，y=3-2，求：
（1）2xy；
（2）x3y﹣xy3的值．
19．（1）计算：24÷23-|5﹣42|+412；
（2）已知实数a、b、c满足|a+3|+c-2=b-5+5-b，求（b+a-c-2）2的值．
20．当a=32时，化简求a2-2a+1a2-a+1+aa的值．
21．已知a＝2+5，b＝2-5，求下列式子的值：
（1）a2b+ab2；
（2）a2﹣3ab+b2．
22．已知：a-2+|b-3|=0
（1）求14a+6b的值；
（2）设x=b-a，y=b+a，求1x+1y的值．
23．已知x＝32，y＝23，求下列各式的值：
（1）x2-y2
（2）xy+yx
24．求值：
（1）已知a＝3+22，b＝3﹣22，求a2+ab+b2的值；
（2）已知：y＞3x-2+2-3x+2，求y2-4y+42-y+5﹣3x的值．
参考答案
一、解答题（共24小题）
1．
【分析】首先把原式化为（a+b）[（a﹣b）2+ab]，把a=5+2，b=5-2代入原式计算即可．
【解答】解：原式＝（a+b）[（a﹣b）2+ab]，
当a=5+2，b=5-2时，
原式＝25×（16+1）
＝345．
2．
【分析】由x与y的值，求出x+y与xy的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则及完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x=3+2，y=3-2，
∴x+y＝（3+2）+（3-2）＝23，xy＝（3+2）×（3-2）＝3﹣2＝1，
则原式=x2+y2xy=(x+y)2-2xyxy=(23)2-2×11=10．
3．
【分析】（1）先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后代入求值；
（2）利用平方差公式对a的值进行分母有理化计算，然后结合二次根式的性质和分式的基本性质对原式进行化简，最后代入求值．
【解答】解：（1）原式＝[x+2x(x-2)-x-1(x-2)2]⋅xx-4
＝[(x+2)(x-2)x(x-2)2-x(x-1)x(x-2)2]⋅xx-4
=x2-4-x2+xx(x-2)2⋅xx-4
=1(x-2)2，
当x＝2+2时，
原式=1(2+2-2)2=12；
（2）∵a=12+3，
∴a=2-3(2+3)(2-3)=2-3＜1，
原式=(a-1)2a(a-1)
=1-aa(a-1)
=-1a
＝﹣（2+3）
＝﹣2-3．
4．
【分析】先计算出m+n＝2，mn＝﹣1，再利用完全平方公式把原式变形得到m2+n2-3mn=(m+n)2-5mn，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m＝1+2，n＝1-2，
∴m+n＝2，mn＝﹣1，
∴m2+n2-3mn=(m+n)2-5mn=22-5×(-1)=3．
5．
【分析】（1）将x、y的值代入到原式＝（x+y）（x﹣y）计算即可；
（2）将x、y的值代入到原式＝（x﹣y）2计算即可．
【解答】解：（1）当x=3-22，y=1+22时，
原式＝（x+y）（x﹣y）
＝（3-22+1+22）×（3-22-1+22）
＝2×（1-2）
＝2﹣22；
（2）当x=3-22，y=1+22时，
原式＝（x﹣y）2
＝（3-22-1+22）2
＝（1-2）2
＝1﹣22+2
＝3﹣22．
6．
【分析】（1）（2）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解；
（3）将a分母有理化得a=2+1，移项并平方得到a2﹣2a＝1，变形后代入求值．
【解答】解：（1）23-1=2(3+1)(3+1)(3-1)=3+1；
（2）原式=12（3-1+5-3+7-5+⋯+2021-2019）
=12（2021-1），
=2021-12；
（3）∵a=12-1=2+1(2-1)(2+1)=2+1，
∴a﹣1=2，
∴a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
①12a2-a-1
=12（a2﹣2a）﹣1
=12×1-1
=-12；
②2a2﹣5a2+1
＝﹣3a2+1
＝﹣3(2+1)2+1
＝﹣3（2+22+1）+1
＝﹣9﹣62+1
＝﹣8-62．
7．
【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；
（2）先把代数式x2﹣2x变形为原式＝（x﹣1）2﹣1，然后把x的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝26×3+23×3-42
＝62+2-42
＝32；
（2）原式＝（x﹣1）2﹣1
＝（3+1﹣1）2﹣1
＝3﹣1
＝2．
8．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式把原式化简，把a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝a+4a+4+3﹣a﹣7
＝4a，
当a=12时，原式＝4×12=22．
9．
【分析】把已知条件和要求的分式分别化简，代入计算即可得出结果．
【解答】解：∵x=12-3
=2+3(2-3)(2+3)
＝2+3，
∴x2-4x+102-x
=(2-x)2+62-x
＝2﹣x+62-x
＝2﹣（2+3）+62-(2+3)
=-3-23
＝﹣33．
10．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后根据二次根式的乘除法则运算；
（2）先计算出x+y＝23，x﹣y＝﹣22，再利用平方差公式得到x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）原式＝33×52÷6
＝153×2×16
＝15；
（2）∵x=3-2，y=3+2，
∴x+y＝23，x﹣y＝﹣22，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝23×（﹣22）＝﹣46．
11．
【分析】（1）利用完全平方公式和二次根式的乘法法则运算；
（2）先利用完全平方公式和二次根式的性质化简得到原式=a(a-1)|a-1|-（a+4），再利用a的值去绝对值，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝4+42+2﹣42+12
＝18；
（2）原式=a(a-1)(a-1)2-(a+4)2a+4
=a(a-1)|a-1|-（a+4），
∵a=5-1，
∴a﹣1=5-2＞0，
∴原式=a(a-1)(a-1)-a﹣4
＝a﹣a﹣4
＝﹣4．
12．
【分析】小明错误运用了a2=|a|这条性质；利用a=2-1得到a﹣1＜0，则原式=-(a-1)(a+1)(a-1)，约分得到原式=-1a+1，然后把a的值代入计算即可．
【解答】解：小明错误运用了a2=|a|这条性质；
正确解法为：原式=(a-1)2(a+1)(a-1)=|a-1|(a+1)(a-1)，
∵a=2-1，
∴a﹣1＜0，
∴原式=-(a-1)(a+1)(a-1)
=-1a+1
=-12-1+1
=-22．
13．
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简得到原式＝a•ab|a|+b•ab|b|，再进行讨论：当a、b都为正数时，原式＝2ab；当a、b都为负数时，原式＝﹣2ab，然后把ab=94分别代入计算即可；
（2）先计算出x+y＝25，再利用完全平方公式得到x2+y2+2xy＝（x+y）2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）aba+bab=a•aba2+b•abb2
＝a•ab|a|+b•ab|b|，
∵ab=94，
∴当a、b都为正数时，原式=ab+ab=2ab=2×94=2×32=3；
当a、b都为负数时，原式=-ab+-ab=-2ab=-2×94=-2×32=-3；
（2）∵x=5+2，y=5-2，
∴x+y＝25，
∴x2+y2+2xy＝（x+y）2＝（25）2＝20．
14．
【分析】先由已知式子有意义求出a、b的值，再将所求式子化简，代入计算即可得答案．
【解答】解：∵a=2-b+b-2+3，
∴2-b≥0b-2≥0，
∴b＝2，a＝3，
当a＝3，b＝2时，
a-ba+b-a-ba-b
=(a+b)(a-b)a+b-(a+b)(a-b)a-b
=a-b-（a+b）
=a-b-a-b
＝﹣2b
＝﹣22．
15．
【分析】（1）将所求式子因式分解得到x2+2xy+y2＝（x+y）2，再将已知代入即可；
（2）化简所求式子得到yx-xy=(y+x)(y-x)xy，再将已知代入．
【解答】解：（1）∵x=3+1，y=3-1，
∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（3+1+3-1）2＝（23）2＝12；
（2）yx-xy=y2-x2xy=(y+x)(y-x)xy=(3-1+3+1)(3-1-3-1)(3+1)(3-1)=-432=-23．
16．
【分析】直接利用乘法公式将原式变形，再利用二次根式的性质计算得出答案．
【解答】解：∵a=5+1，b=5-1，
∴a2+2ab+b2
＝（a+b）2
＝（5+1+5-1）2
＝（25）2
＝20．
17．
【分析】（1）①根据x=7+2，y=7-2，可以得到xy、x+y的值，然后即可求得所求式子的值；
②将所求式子变形，然后根据x=7+2，y=7-2，可以得到xy、x+y的值，从而可以求得所求式子的值；
（2）根据完全平方公式和换元法可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）①1x+1y=y+xxy，
∵x=7+2，y=7-2，
∴x+y＝27，xy＝3，
当x+y＝27，xy＝3时，原式=273；
②x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy，
∵x=7+2，y=7-2，
∴x+y＝27，xy＝3，
当x+y＝27，xy＝3时，原式＝（27）2﹣3×3＝19；
（2）设39-a2=x，5+a2=y，则39﹣a2＝x2，5+a2＝y2，
∴x2+y2＝44，
∵39-a2+5+a2=8，
∴（x+y）2＝64，
∴x2+2xy+y2＝64，
∴2xy＝64﹣（x2+y2）＝64﹣44＝20，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝44﹣20＝24，
∴x﹣y＝±26，
∵39-a2-5+a2＜4＜26，
即39-a2-5+a2=-26，
故答案为：﹣26．
18．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和平方差公式求出xy的值，再求出2xy即可；
（2）根据二次根式的加法和减法法则求出x+y和x﹣y的值，再把x3y﹣xy3分解因式，再代入求出答案即可．
【解答】解：（1）∵x=3+2，y=3-2，
∴xy＝2×（3+2）×（3-2）
＝（3）2﹣（2）2
＝3﹣2
＝1，
∴2xy＝2×1＝2；
（2）∵x=3+2，y=3-2，
∴x+y＝（3+2）+（3-2）
=3+2+3-2
＝23，
x﹣y
＝（3+2）﹣（3-2）
=3+2-3+2
＝22，
又∵xy＝1，
∴x3y﹣xy3
＝xy（x2﹣y2）
＝xy（x+y）（x﹣y）
＝1×23×22
＝46．
19．
【分析】（1）先利用二次根式的除法法则运算，然后去绝对值后合并即可；
（2）先根据二次根式有意义的条件确定b的值，再根据非负数的和的意义确定a、c的值，然后计算代数式的值．
【解答】解：（1）原式=1224÷3+5﹣42+22
=2+5﹣42+22
＝5-2；
（2）∵b﹣5≥0且5﹣b≥0，
∴b＝5，
∴|a+3|+c-2=0，
∴a+3＝0，c﹣2＝0，解得a＝﹣3，c＝2，
∴（b+a-c-2）2＝（5﹣3+2-2）2＝4．
20．
【分析】根据二次根式的性质、分式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：∵a=32，
∴a﹣1＜0，
∴原式=(a-1)2a(a-1)+1+aa
=1-aa(a-1)+1+aa
=-1a+1+aa
＝1．
21．
【分析】（1）直接利用已知得出ab，a+b的值，再将已知变形得出答案；
（2）直接利用已知得出ab，a+b的值，再将已知变形得出答案．
【解答】解：∵a＝2+5，b＝2-5，
∴ab＝（2+5）（2-5）＝22﹣（5）2＝﹣1，
a+b＝2+5+2-5=4，
（1）a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝﹣1×4
＝﹣4；
（2）a2﹣3ab+b2
＝（a+b）2﹣5ab
＝42﹣5×（﹣1）
＝16+5
＝21．
22．
【分析】（1）先利用非负数的性质得到a＝2，b＝3，则14a+6b=14×2+63，然后利用分母有理化和二次根式的除法法则运算；
（2）由于x=3-2，y=3+2，则1x+1y=13-2+13+2，然后分母有理化后合并即可．
【解答】解：（1）∵a-2+|b-3|=0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝2，b＝3，
∴14a+6b=14×2+63=24+2=524；
（2）∵x=b-a=3-2，y=b+a=3+2，
∴1x+1y=13-2+13+2=3+2+3-2=23．
23．
【分析】（1）直接代入计算即可求解；
（2）先通分计算，再代入计算即可求解．
【解答】解（1）x2-y2
=(32)2-(23)2
=18-12
=6；
（2）xy+yx=x2+y2xy，
当x＝32，y＝23时，原式=(32)2+(23)232×23=566．
24．
【分析】（1）根据a＝3+22，b＝3﹣22，代入（a+b）2﹣ab进行计算即可；
（2）依据被开方数为非负数，即可得到x=23，进而得出y＞2，据此可得y2-4y+42-y+5﹣3x的值．
【解答】解：（1）∵a＝3+22，b＝3﹣22，
∴a2+ab+b2＝a2+2ab+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣ab
＝36﹣1
＝35；
（2）∵3x-2≥02-3x≥0，
∴x≥23x≤23，
∴x=23，
∴y＞2，
∴y2-4y+42-y+5﹣3x
=(y-2)22-y+5﹣3x
=|y-2|-(y-2)+5﹣3x
＝﹣1+5﹣3x
＝4﹣3x
＝4﹣3×23
＝2．