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数学12.1 二次根式课时训练
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这是一份数学12.1 二次根式课时训练，共15页。试卷主要包含了6二次根式的应用大题专练，1m）？，2＞60，等内容，欢迎下载使用。
姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
一、解答题（共24小题）
1．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用符号表示为（其中a，b，c为三角形的三边长，S为三角形的面积）．请利用这个公式求出当a＝，b＝3，c＝2时的三角形的面积．
2．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越广．电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：k）之间存在近似关系r＝，其中R是地球半径．如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之比是多少？（化为最简二次根式）
3．如图，每个小正方形的边长都为1，AB的位置如图所示．
（1）在图中确定点C，请你连接CA，CB，使CB⊥BA，AC＝5；
（2）在完成（1）后，在图中确定点D，请你连接DA，DC，DB，使CD＝，AD＝，直接写出BD的长．
4．平面几何图形的许多问题，如长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决．古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积．具体如下：
设一个三角形的三边长分别为a、b、c，P＝（a+b+c），则有下列面积公式：
S＝（海伦公式）；
S＝（秦九韶公式）．
（1）一个三角形边长依次为5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积是 ．
（2）学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
①作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝ ；
②请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；
③利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
5．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式：d＝7×（t≥12）．其中d代表苔藓的直径，单位是cm；t代表冰川消失后经过的时间，单位是年．
（1）计算冰川消失16年后苔藓的直径；
（2）若测得一些苔藓的直径是35cm，则冰川约是在多少年前消失的？
6．如图，人站在高度为hm的地方，对地平面上物体的可视距离为dm，d与h的关系可以用d＝8近似地表示，当某人从50m高的地方登上250m高的山顶时，他对地平面上物体的可视距离增加了多少米（精确到0.1m）？
7．设三角形一边长为a，这边上的高为h，面积为S．如果，另有一个边长为的正方形面积也等于S，求a的长．
8．小明家装修，电视背景墙长BC为m，宽AB为m，中间要镶一个长为2m，宽为m的大理石图案（图中阴影部分）．除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积．（结果化为最简二次根式）
9．如图，在△ABC中，CD、CE分别是AB上的高和中线，S△ABC＝12cm2，AE＝2cm，求CD的长．
10．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得d＝20m，f＝1.2，该路段限速60km/h，该汽车超速了吗？请说明理由（已知：≈1.4，≈1.7）．
11．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝不考虑风速的影响）．
（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少？从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少？
（2）t2是t1的多少倍？
12．某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为+1米，宽为﹣1米．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
13．设．
（1）当x取什么实数时，a，b，c都有意义；
（2）若a，b，c为Rt△ABC三边长，求x的值．
14．有一块矩形木块，木工采用如图方式，求木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板，求剩余木料的面积．
15．（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空．
+ 2；6+3 2；1+ 2；7+7 2．
（2）由（1）中各式猜想a+b与2（a≥0，b≥0）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某同学在做一个面积为1800cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？
16．如图，有一张边长为6cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm．求：
（1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；
（2）长方体盒子的体积．
17．数学阅读：
古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S＝，其中p＝（a+b+c），这个公式称为“海伦公式”．
数学应用：
如图，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；
（2）设AC边上的高为h1，BC边上的高h2，求h1+h2的值．
18．已知线段a，b，c，且线段a，b满足|a﹣|+（b﹣）2＝0．
（1）求a，b的值；
（2）若a，b，c是某直角三角形的三条边的长度，求c的值．
19．已知长方形的长a＝，宽b＝．
（1）求长方形的周长；
（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．
20．著名数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列的一列数称为数列），这个数列的第n个数为[（）n﹣（）n]（n为正整数），例如这个数列的第8个数可以表示为[（）8﹣（）8]．根据以上材料，写出并计算：
（1）这个数列的第1个数；
（2）这个数列的第2个数．
21．阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦﹣﹣﹣九韶公式”完成下列问题：
如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．
22．已知一个三角形的三边长分别为、6、2x．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
23．某区组织环卫工作人员开展草坪种植，若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为m、宽为m．
（1）求该长方形土地的周长；
（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米160元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：结果保留整数，≈1.41）．
24．我国宋代的数学家秦九韶发现：若一个三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积为s＝，其中p＝（a+b+c）．
如图1，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图2，AD，BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为点I，求I到边BC的距离．
参考答案
一、解答题（共24小题）
1．
【分析】根据二次根式的混合计算解答即可．
【解答】解：∵，
∴a2＝5，b2＝9，c2＝20，
∴三角形的面积＝＝＝3．
2．
【分析】将h1，h2代入即可求得半径之比，注意要利用分母有理化化为最简二次根式．
【解答】解：半径之比是．
3．
【分析】（1）先证明∠ABE＝∠BCF，∠DBF＝∠BAE，则可得到∠CBF+∠BCF＝90°，从而确定C点位置；
（2）由勾股定理在Rt△DBG中，可求BD的长．
【解答】解：（1）如图，
在Rt△AEB中，tan∠ABE＝，
在Rt△BCF中，tan∠BCF＝，
∴∠ABE＝∠BCF，
∴∠CBF＝∠BAE，
∴∠CBF+∠ABE＝∠CBF+∠BCF＝90°，
∴BC⊥AB，
在Rt△ACB中，AC＝5；
（2）∵CD＝，AD＝，可确定D点位置如图，
∴在Rt△DBG中，BD＝．
4．
【分析】（1）利用两个公式分别代入即可；
（2）①根据CD＝BC﹣BD可得答案；
②在两个直角三角形中分别应用勾股定理可得方程，解方程可得x的值；
③根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）P＝（a+b+c）＝（5+6+7）＝9，
由海伦公式可得S＝＝＝6；
由秦九昭公式可得S＝＝＝6．
故答案为：6；
（2）①∵BC＝14，BD＝x，
∴DC＝14﹣x，
故答案为：14﹣x；
②∵AD⊥BC，
∴AD2＝AC2﹣CD2，AD2＝AB2﹣BD2，
∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，
解得x＝9；
③由（2）得：AD＝＝＝12，
∴S△ABC＝BC•AD＝14×12＝84．
5．
【分析】（1）直接把t的值代入公式计算得出答案；
（2）将d＝35代入计算进而得出答案．
【解答】解：（1）当t＝16时，d＝7×＝7×2＝14（cm），
答：冰川消失16年后苔藓的直径为14 cm；
（2）当d＝35时，＝5，即t﹣12＝25，
解得：t＝37，
答：若测得一些苔藓的直径是35 cm，则冰川约是在37年前消失的．
6．
【分析】由题意知d和h的关系式，则某人从50m高的地方登上250m高的山顶，那么可求他对地平面上物体的可视距离增加了多少米．
【解答】解：登山者看到的原水平线的距离为d1＝8×＝8（米），
现在的水平线的距离为d2＝8×＝40（米），
40﹣8≈31.3（米）．
故他对地平面上物体的可视距离大约增加了31.3米．
7．
【分析】由于三角形和正方形的面积相同，可根据三角形和正方形的面积公式建立等量关系，即可求出a的值．
【解答】解：由另一个边长为的正方形面积也等于S，可得，
所以＝cm．
8．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：
×﹣2×
＝3×2﹣2×
＝6﹣2
＝4（m2），
答：壁布的面积为4m2．
9．
【分析】根据△ABC的面积和中线的定义可得△AEC的面积，再根据三角形面积公式可求CD的长．
【解答】解：在△ABC中，CE是AB上的中线，S△ABC＝12cm2，
∴S△AEC＝S△ABC＝6cm2，
∵AE＝2cm，
∴AE•CD＝6，即×2•CD＝6，
∴CD＝6．
10．
【分析】直接利用已知运算公式代入数据，进而化简得出答案．
【解答】解：该汽车超速了．
理由：∵v＝16，d＝20m，f＝1.2，
∴v＝16×
＝16×2
＝32×
≈32×1.4×1.7
≈76.2＞60，
故该汽车超速了．
11．
【分析】（1）将h＝50代入t1＝进行计算即可；将h＝100代入t2＝进行计算即可；
（2）计算t2与t1的比值即可得出结论．
【解答】解：（1）当h＝50时，t1＝（秒）；
当h＝100时，t2＝（秒）；
答：从50m高空抛物到落地所需时间t1是秒，从100m高空抛物到落地所需时间t2是2秒；
（2）∵，
∴t2是t1的倍．
12．
【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（）＝2（8+7）＝16+14（米），
答：长方形ABCD的周长是16+14（米），
（2）通道的面积＝
＝56﹣（13﹣1）
＝56（平方米），
购买地砖需要花费＝6×（56）＝336﹣72（元）．
答：购买地砖需要花费336﹣72元；
13．
【分析】（1）根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式组求解；
（2）根据a、b、c分别作直角三角形的斜边，由勾股定理分别求解．
【解答】解：（1）由二次根式的性质，得，
解得﹣≤x≤8；
（2）当c为斜边时，由a2+b2＝c2，
即8﹣x+3x+4＝x+2，
解得x＝﹣10，
当b为斜边时，a2+c2＝b2，
即8﹣x+x+2＝3x+4，
解得x＝2，
当a为斜边时，b2+c2＝a2，
即3x+4+x+2＝8﹣x，
解得x＝，
∵﹣≤x≤8，
∴x＝或2．
14．
【分析】根据两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2，分别求得18和32的算术平方根，则可得两个正方形的边长，然后用小正方形的边长乘以两个正方形的边长之差即可得出答案．
【解答】解：∵两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2，
∴这两个正方形的边长分别为：＝3（dm），＝4（dm），
∴剩余木料的面积为：（4﹣3）×3＝×3＝6（dm2）．
15．
【分析】（1）根据完全平方公式的非负性进行变形可得结论；
（2）直接利用完全平方公式的非负数的性质解答即可；
（3）根据对角线互相垂直的四边形面积＝相互垂直的对角线乘积的一半，并综合利用（2）的结论得出答案即可．
【解答】解：（1）∵＞0，
∴+＞0，
∴+＞2，
同理得：6+3＞2；1+＞2；7+7＝2．
故答案为：＞，＞，＞，＝；
（2）猜想：a+b≥2（a≥0，b≥0），
理由是：∵a≥0，b≥0，
∴a+b﹣2＝（）2≥0，
∴a+b≥2；
（3）设AC＝a，BD＝b，
由题意得：＝1800，
∴ab＝3600，
∵a+b≥2，
∴a+b≥2，
∴a+b≥120，
∴用来做对角线的竹条至少要120厘米．
16．
【分析】（1）直接利用总面积减去周围正方形面积进而得出答案；
（2）直接利用长方体的体积公式得出答案．
【解答】解：（1）制作长方体盒子的纸板的面积为：（6）2﹣4×（）2
＝108﹣12
＝96（cm2）；
（2）长方体盒子的体积：（6﹣2）（6﹣2）×
＝4×4×
＝48（cm3）．
17．
【分析】（1）根据海伦公式，代入解答即可；
（2）根据三角形面积公式解答即可．
【解答】解：（1）AB＝c＝9，AC＝b＝8，BC＝a＝7，p＝，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴．
18．
【分析】（1）根据非负数性质可得a、b的值；
（2）根据勾股定理逆定理可解答．
【解答】解：（1）因为线段a，b满足|a﹣|+（b﹣）2＝0．
所以a＝4，b＝；
（2）因为a，b，c是某直角三角形的三条边的长度，
所以c＝或．
19．
【分析】首先化简a＝＝2，b＝＝．
（1）代入周长计算公式解决问题；
（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可．
【解答】解：a＝＝2，b＝＝．
（1）长方形的周长＝（2+）×2＝6；
（2）正方形的周长＝4＝8，
∵6＝.8＝，
∵＞
∴6＞8．
20．
【分析】（1）把n＝1代入式子化简求得答案即可．
（2）把n＝2代入式子化简求得答案即可．
【解答】解：（1）第1个数，当n＝1时，
（﹣）＝×＝1；
（2）第2个数，当n＝2时，
[（）2﹣（）2]
＝（+）（﹣）
＝×1×＝1．
21．
【分析】（1）根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可；
（2）按照三角形的面积等于×底×高分别计算出h1和h2的值，再求和即可．
【解答】解．（1）根据题意知p＝＝9
所以S＝＝＝6
∴△ABC的面积为6；
（2）∵S＝ch1＝bh2＝6
∴×6h1＝×5h2＝6
∴h1＝2，h2＝
∴h1+h2＝．
22．
【分析】（1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
（2）该题答案不唯一，只要使它的周长为整数即可．
【解答】解：（1）周长＝+6+2x＝2+3+2＝7．
（2）当x＝4时，周长＝7×＝14．（答案不唯一）．
23．
【分析】（1）根据长方形周长公式进行计算，并化简即可．
（2）根据长方形的面积公式先算出面积，而后乘以每平方米的价钱即可．
【解答】解：（1）2（）＝2（7+4）＝（14+8）m．
（2）＝7×4＝196≈276.36m2，
160×276.36＝44217.6元．
24．
【分析】（1）根据题干公式将p计算出来，再代入面积计算公式即可；
（2）过点I依次作出三角形三边的高，利用角平分线的性质定理可知三边的高相等，再表示出三角形的面积结合（1）问即可求出I到BC的距离．
【解答】解：（1）由题意得：p＝＝＝12，
∴S△ABC＝＝＝12；
（2）连接IC，过点I分别作AB、BC、AC边的垂线交AB、BC、AC于点M、Q、N，
由角平分线的性质定理可知：IM＝IQ＝IN，
观察图形易知：S△ABC＝S△ABI+S△BCI+S△ACI＝＝＝12，
∴＝12，
解得：IQ＝，
故I到边BC的距离为：．
姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
一、解答题（共24小题）
1．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用符号表示为（其中a，b，c为三角形的三边长，S为三角形的面积）．请利用这个公式求出当a＝，b＝3，c＝2时的三角形的面积．
2．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越广．电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：k）之间存在近似关系r＝，其中R是地球半径．如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之比是多少？（化为最简二次根式）
3．如图，每个小正方形的边长都为1，AB的位置如图所示．
（1）在图中确定点C，请你连接CA，CB，使CB⊥BA，AC＝5；
（2）在完成（1）后，在图中确定点D，请你连接DA，DC，DB，使CD＝，AD＝，直接写出BD的长．
4．平面几何图形的许多问题，如长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决．古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积．具体如下：
设一个三角形的三边长分别为a、b、c，P＝（a+b+c），则有下列面积公式：
S＝（海伦公式）；
S＝（秦九韶公式）．
（1）一个三角形边长依次为5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积是 ．
（2）学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
①作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝ ；
②请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；
③利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
5．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式：d＝7×（t≥12）．其中d代表苔藓的直径，单位是cm；t代表冰川消失后经过的时间，单位是年．
（1）计算冰川消失16年后苔藓的直径；
（2）若测得一些苔藓的直径是35cm，则冰川约是在多少年前消失的？
6．如图，人站在高度为hm的地方，对地平面上物体的可视距离为dm，d与h的关系可以用d＝8近似地表示，当某人从50m高的地方登上250m高的山顶时，他对地平面上物体的可视距离增加了多少米（精确到0.1m）？
7．设三角形一边长为a，这边上的高为h，面积为S．如果，另有一个边长为的正方形面积也等于S，求a的长．
8．小明家装修，电视背景墙长BC为m，宽AB为m，中间要镶一个长为2m，宽为m的大理石图案（图中阴影部分）．除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积．（结果化为最简二次根式）
9．如图，在△ABC中，CD、CE分别是AB上的高和中线，S△ABC＝12cm2，AE＝2cm，求CD的长．
10．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得d＝20m，f＝1.2，该路段限速60km/h，该汽车超速了吗？请说明理由（已知：≈1.4，≈1.7）．
11．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝不考虑风速的影响）．
（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少？从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少？
（2）t2是t1的多少倍？
12．某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为+1米，宽为﹣1米．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
13．设．
（1）当x取什么实数时，a，b，c都有意义；
（2）若a，b，c为Rt△ABC三边长，求x的值．
14．有一块矩形木块，木工采用如图方式，求木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板，求剩余木料的面积．
15．（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空．
+ 2；6+3 2；1+ 2；7+7 2．
（2）由（1）中各式猜想a+b与2（a≥0，b≥0）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某同学在做一个面积为1800cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？
16．如图，有一张边长为6cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm．求：
（1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；
（2）长方体盒子的体积．
17．数学阅读：
古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S＝，其中p＝（a+b+c），这个公式称为“海伦公式”．
数学应用：
如图，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；
（2）设AC边上的高为h1，BC边上的高h2，求h1+h2的值．
18．已知线段a，b，c，且线段a，b满足|a﹣|+（b﹣）2＝0．
（1）求a，b的值；
（2）若a，b，c是某直角三角形的三条边的长度，求c的值．
19．已知长方形的长a＝，宽b＝．
（1）求长方形的周长；
（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．
20．著名数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列的一列数称为数列），这个数列的第n个数为[（）n﹣（）n]（n为正整数），例如这个数列的第8个数可以表示为[（）8﹣（）8]．根据以上材料，写出并计算：
（1）这个数列的第1个数；
（2）这个数列的第2个数．
21．阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦﹣﹣﹣九韶公式”完成下列问题：
如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．
22．已知一个三角形的三边长分别为、6、2x．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
23．某区组织环卫工作人员开展草坪种植，若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为m、宽为m．
（1）求该长方形土地的周长；
（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米160元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：结果保留整数，≈1.41）．
24．我国宋代的数学家秦九韶发现：若一个三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积为s＝，其中p＝（a+b+c）．
如图1，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图2，AD，BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为点I，求I到边BC的距离．
参考答案
一、解答题（共24小题）
1．
【分析】根据二次根式的混合计算解答即可．
【解答】解：∵，
∴a2＝5，b2＝9，c2＝20，
∴三角形的面积＝＝＝3．
2．
【分析】将h1，h2代入即可求得半径之比，注意要利用分母有理化化为最简二次根式．
【解答】解：半径之比是．
3．
【分析】（1）先证明∠ABE＝∠BCF，∠DBF＝∠BAE，则可得到∠CBF+∠BCF＝90°，从而确定C点位置；
（2）由勾股定理在Rt△DBG中，可求BD的长．
【解答】解：（1）如图，
在Rt△AEB中，tan∠ABE＝，
在Rt△BCF中，tan∠BCF＝，
∴∠ABE＝∠BCF，
∴∠CBF＝∠BAE，
∴∠CBF+∠ABE＝∠CBF+∠BCF＝90°，
∴BC⊥AB，
在Rt△ACB中，AC＝5；
（2）∵CD＝，AD＝，可确定D点位置如图，
∴在Rt△DBG中，BD＝．
4．
【分析】（1）利用两个公式分别代入即可；
（2）①根据CD＝BC﹣BD可得答案；
②在两个直角三角形中分别应用勾股定理可得方程，解方程可得x的值；
③根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）P＝（a+b+c）＝（5+6+7）＝9，
由海伦公式可得S＝＝＝6；
由秦九昭公式可得S＝＝＝6．
故答案为：6；
（2）①∵BC＝14，BD＝x，
∴DC＝14﹣x，
故答案为：14﹣x；
②∵AD⊥BC，
∴AD2＝AC2﹣CD2，AD2＝AB2﹣BD2，
∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，
解得x＝9；
③由（2）得：AD＝＝＝12，
∴S△ABC＝BC•AD＝14×12＝84．
5．
【分析】（1）直接把t的值代入公式计算得出答案；
（2）将d＝35代入计算进而得出答案．
【解答】解：（1）当t＝16时，d＝7×＝7×2＝14（cm），
答：冰川消失16年后苔藓的直径为14 cm；
（2）当d＝35时，＝5，即t﹣12＝25，
解得：t＝37，
答：若测得一些苔藓的直径是35 cm，则冰川约是在37年前消失的．
6．
【分析】由题意知d和h的关系式，则某人从50m高的地方登上250m高的山顶，那么可求他对地平面上物体的可视距离增加了多少米．
【解答】解：登山者看到的原水平线的距离为d1＝8×＝8（米），
现在的水平线的距离为d2＝8×＝40（米），
40﹣8≈31.3（米）．
故他对地平面上物体的可视距离大约增加了31.3米．
7．
【分析】由于三角形和正方形的面积相同，可根据三角形和正方形的面积公式建立等量关系，即可求出a的值．
【解答】解：由另一个边长为的正方形面积也等于S，可得，
所以＝cm．
8．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：
×﹣2×
＝3×2﹣2×
＝6﹣2
＝4（m2），
答：壁布的面积为4m2．
9．
【分析】根据△ABC的面积和中线的定义可得△AEC的面积，再根据三角形面积公式可求CD的长．
【解答】解：在△ABC中，CE是AB上的中线，S△ABC＝12cm2，
∴S△AEC＝S△ABC＝6cm2，
∵AE＝2cm，
∴AE•CD＝6，即×2•CD＝6，
∴CD＝6．
10．
【分析】直接利用已知运算公式代入数据，进而化简得出答案．
【解答】解：该汽车超速了．
理由：∵v＝16，d＝20m，f＝1.2，
∴v＝16×
＝16×2
＝32×
≈32×1.4×1.7
≈76.2＞60，
故该汽车超速了．
11．
【分析】（1）将h＝50代入t1＝进行计算即可；将h＝100代入t2＝进行计算即可；
（2）计算t2与t1的比值即可得出结论．
【解答】解：（1）当h＝50时，t1＝（秒）；
当h＝100时，t2＝（秒）；
答：从50m高空抛物到落地所需时间t1是秒，从100m高空抛物到落地所需时间t2是2秒；
（2）∵，
∴t2是t1的倍．
12．
【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（）＝2（8+7）＝16+14（米），
答：长方形ABCD的周长是16+14（米），
（2）通道的面积＝
＝56﹣（13﹣1）
＝56（平方米），
购买地砖需要花费＝6×（56）＝336﹣72（元）．
答：购买地砖需要花费336﹣72元；
13．
【分析】（1）根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式组求解；
（2）根据a、b、c分别作直角三角形的斜边，由勾股定理分别求解．
【解答】解：（1）由二次根式的性质，得，
解得﹣≤x≤8；
（2）当c为斜边时，由a2+b2＝c2，
即8﹣x+3x+4＝x+2，
解得x＝﹣10，
当b为斜边时，a2+c2＝b2，
即8﹣x+x+2＝3x+4，
解得x＝2，
当a为斜边时，b2+c2＝a2，
即3x+4+x+2＝8﹣x，
解得x＝，
∵﹣≤x≤8，
∴x＝或2．
14．
【分析】根据两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2，分别求得18和32的算术平方根，则可得两个正方形的边长，然后用小正方形的边长乘以两个正方形的边长之差即可得出答案．
【解答】解：∵两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2，
∴这两个正方形的边长分别为：＝3（dm），＝4（dm），
∴剩余木料的面积为：（4﹣3）×3＝×3＝6（dm2）．
15．
【分析】（1）根据完全平方公式的非负性进行变形可得结论；
（2）直接利用完全平方公式的非负数的性质解答即可；
（3）根据对角线互相垂直的四边形面积＝相互垂直的对角线乘积的一半，并综合利用（2）的结论得出答案即可．
【解答】解：（1）∵＞0，
∴+＞0，
∴+＞2，
同理得：6+3＞2；1+＞2；7+7＝2．
故答案为：＞，＞，＞，＝；
（2）猜想：a+b≥2（a≥0，b≥0），
理由是：∵a≥0，b≥0，
∴a+b﹣2＝（）2≥0，
∴a+b≥2；
（3）设AC＝a，BD＝b，
由题意得：＝1800，
∴ab＝3600，
∵a+b≥2，
∴a+b≥2，
∴a+b≥120，
∴用来做对角线的竹条至少要120厘米．
16．
【分析】（1）直接利用总面积减去周围正方形面积进而得出答案；
（2）直接利用长方体的体积公式得出答案．
【解答】解：（1）制作长方体盒子的纸板的面积为：（6）2﹣4×（）2
＝108﹣12
＝96（cm2）；
（2）长方体盒子的体积：（6﹣2）（6﹣2）×
＝4×4×
＝48（cm3）．
17．
【分析】（1）根据海伦公式，代入解答即可；
（2）根据三角形面积公式解答即可．
【解答】解：（1）AB＝c＝9，AC＝b＝8，BC＝a＝7，p＝，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴．
18．
【分析】（1）根据非负数性质可得a、b的值；
（2）根据勾股定理逆定理可解答．
【解答】解：（1）因为线段a，b满足|a﹣|+（b﹣）2＝0．
所以a＝4，b＝；
（2）因为a，b，c是某直角三角形的三条边的长度，
所以c＝或．
19．
【分析】首先化简a＝＝2，b＝＝．
（1）代入周长计算公式解决问题；
（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可．
【解答】解：a＝＝2，b＝＝．
（1）长方形的周长＝（2+）×2＝6；
（2）正方形的周长＝4＝8，
∵6＝.8＝，
∵＞
∴6＞8．
20．
【分析】（1）把n＝1代入式子化简求得答案即可．
（2）把n＝2代入式子化简求得答案即可．
【解答】解：（1）第1个数，当n＝1时，
（﹣）＝×＝1；
（2）第2个数，当n＝2时，
[（）2﹣（）2]
＝（+）（﹣）
＝×1×＝1．
21．
【分析】（1）根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可；
（2）按照三角形的面积等于×底×高分别计算出h1和h2的值，再求和即可．
【解答】解．（1）根据题意知p＝＝9
所以S＝＝＝6
∴△ABC的面积为6；
（2）∵S＝ch1＝bh2＝6
∴×6h1＝×5h2＝6
∴h1＝2，h2＝
∴h1+h2＝．
22．
【分析】（1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
（2）该题答案不唯一，只要使它的周长为整数即可．
【解答】解：（1）周长＝+6+2x＝2+3+2＝7．
（2）当x＝4时，周长＝7×＝14．（答案不唯一）．
23．
【分析】（1）根据长方形周长公式进行计算，并化简即可．
（2）根据长方形的面积公式先算出面积，而后乘以每平方米的价钱即可．
【解答】解：（1）2（）＝2（7+4）＝（14+8）m．
（2）＝7×4＝196≈276.36m2，
160×276.36＝44217.6元．
24．
【分析】（1）根据题干公式将p计算出来，再代入面积计算公式即可；
（2）过点I依次作出三角形三边的高，利用角平分线的性质定理可知三边的高相等，再表示出三角形的面积结合（1）问即可求出I到BC的距离．
【解答】解：（1）由题意得：p＝＝＝12，
∴S△ABC＝＝＝12；
（2）连接IC，过点I分别作AB、BC、AC边的垂线交AB、BC、AC于点M、Q、N，
由角平分线的性质定理可知：IM＝IQ＝IN，
观察图形易知：S△ABC＝S△ABI+S△BCI+S△ACI＝＝＝12，
∴＝12，
解得：IQ＝，
故I到边BC的距离为：．
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