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浙江省绍兴市嵊州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份浙江省绍兴市嵊州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版），文件包含精品解析浙江省绍兴市嵊州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题原卷版docx、精品解析浙江省绍兴市嵊州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效．
3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器．
参考公式：地物线的顶点坐标是
卷Ⅰ（选择题）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1. 下列图形中，不能由一个图形通过旋转而成的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转对称图形，根据旋转对称图形的定义逐一判断即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：不能由一个图形通过旋转而成的为是：
，
故选C．
2. 下列各组数中，不成比例的是（ ）
A. B. 1，2，3，4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 （即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，由此逐项判断即可．
【详解】解：A.，成比例，故不符合题意；
B.，不成比例，故符合题意；
C.，成比例，故不符合题意；
D.，成比例，故不符合题意．
故选：B．
3. 如图，在中，点是优弧上一点，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
4. 元旦游园晚会上有一个闯关活动：将15个大小、质量完全相同的球放入一个袋中，其中8个白色，4个黄色，3个红色．任意摸出一个球，如果是红色就可以过关，那么一次过关的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，直接由概率公式求解即可，熟记概率公式是解题的关键．
【详解】解：由题意得：一次过关的概率为．
故选：D．
5. 如图，分别是的角平分线，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的对角线之比等于相似比，列式计算即可．
【详解】解：，分别是的角平分线，，
，
故选：C．
6. 关于二次函数的最大值或最小值，下列叙述正确的是（ ）
A. 当时，有最大值2B. 当时，有最小值2
C. 当时，有最大值2D. 当时，有最小值2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：，
当时，的最小值为．
故选：D．
7. 如图，在中，是角平分线，是上的点，满足，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查相似的判定与性质，角平分线的定义，证明是解题的关键．
【详解】解：是角平分线，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：A．
8. 如图，过以为直径的半圆上一点，作于点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形的应用，根据圆周角定理和同角的余角相等得出，再由余弦的定义计算即可，能够正确解直角三角形是解此题的关键．
【详解】解：为直径，
，
，
，
，，
，
在直角中，，
．
故选：A．
9. 如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，线段是由线段以点为位似中心放大3倍得到的，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，根据位似图形的性质可得，据此可得，即点的坐标是．
【详解】解：∵线段是由线段以点为位似中心放大3倍得到的，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标是，
故选A．
10. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，下列结论：
①点的坐标分别是和
②点为，当时，．
③抛物线上存在点（除外），使得的面积与面积相等的点有3个．
④点是抛物线对称轴上一点，当是直角三角形时，点的纵坐标分别是．
A. ①②B. ①③C. ①③④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质、解一元二次方程和勾股定理得应用，①由题意得，即可求得点的坐标；②由题意求得、和，设时，求得，结合，可得或；③由点，可知点E的纵坐标为，解方程即可求得；④根据题意得对称轴为，设点，则、和，分、和，求解即可．
【详解】解：①由抛物线与轴交于点，则，解得，，则点的坐标分别是和，故①正确；
②由点，和，则，，，
当时，，则，解得，
∵，
∴或，故②错误；
③由抛物线与轴交于点，则，
∴，
使得的面积与面积相等，则点E的纵坐标为，
当，解得，，
当，解得，，
则除外，还有3个点使得的面积与面积相等；故③正确；
④由于抛物线的对称轴为，
设点，则，，，
当，则，解得；
当，则，解得；
当，则，解得；
故④正确；
故选：C．
卷Ⅱ（非选择）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 若，则的值为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题的关键．
【详解】解：，
．
故答案为：．
12. 如图，中，，，若的面积为9，则的面积为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，根据相似三角形的判定及性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
的面积为9，
，
即：，
解得：，
故答案为：4．
13. 如图，是的外接圆，于点于点，连结，若，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查垂径定理，三角形中位线定理，解题的关键是利用垂径定理得到中点与．
【详解】解：是的外接圆，，，
，，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，
．
故答案为：．
14. 已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则这个等腰三角形底角的正弦值为_______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．本题易错，容易丢掉腰为底为的情况．
【详解】解：如图：当腰为，底为时，
过点作，垂足为．
，，
，．
在直角中，
．
．
如图：当腰为，底为时，
过点作，垂足为．
，，
，．
在直角中，
．
．
故答案为：或．
15. 二次函数的图象都在轴的上方，则的值应满足的条件是_______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先求出二次函数与x轴的交点坐标为，再由二次函数开口向上得到当或时，，即此时二次函数图象都在轴的上方，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴当时，或，
∴二次函数与x轴的交点坐标为
∵，，
∴二次函数开口向上，
∴当或时，，即此时二次函数图象都在轴的上方，
∴或，即，
综上所述，或，
故答案为：或．
16. 如图，已知为等腰三角形的外接圆，为劣弧上一点，连接交于点，若，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键证明．先由勾股定理求得，进而求，再由勾股定理求得，再求，再由勾股定理求，，进而求解．
【详解】解：过点分别作，，垂足分别，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，
中，，
由勾股定理得，，
即，
，
，
，
由勾股定理得，，
设，则，
在和中，
，
解得，即，
，
，
，
即，
，
，
设，则，
在和中，
，
即，
解得，即，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
故答案：．
三、解答题（本大题有8小题，第17～19小题每小题6分，第20、21小题每小题8分，第22、23小题每小题10分，第24小题12分，共66分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. （1）计算：
（2）已知．且，求的值．
【答案】（1）；（2），，
【解析】
【分析】本题主要考查比例的性质、特殊锐角的三角函数值的能力，熟练掌握设法求解是解题的关键．
（1）先代入特殊锐角的三角函数值，再计算乘方及乘法，最后计算减法即可；
（2）设，，，再根据得到关于的方程，求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
设、、，
，
，
解得，
，，
18. 如图，两个可自由转动的转盘A，B分别被分成4等份，3等份，A转盘上的数字分别是1，2，3，4，B转盘上的数字分别是3，4，5．小红与小美用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：
①同时用力转动A，B两个转盘．
②两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相乘（如果指针恰好落在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）．
③如果积为3的倍数，则小红获胜：否则，小美获胜．
（1）用列表法（或画树状图）求小红获胜的概率．
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）公平，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了列表法（或画树状图）求概率：
（1）利用列表法可得所有可能情况有12种，小红获胜的可能情况有6种，再利用概率公式即可求解；
（2）由（1）可得小美获胜的概率为，再将二者的概率进行比较即可求解；
熟练掌握列表法求概率的方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：用列表法表示所有可能情况如图所示：
则所有等可能情况有12种，小红获胜的可能情况有6种，
小红获胜的概率．
【小问2详解】
公平，理由如下：
由（1）可得：小美获胜的概率为，
，
这个游戏对双方是公平的．
19. 嵊州市某小区门口安装了曲臂遥控连杆道闸，如图1，连杆主要由主动杆和辅助杆两部分组成．图2是遥控连杆在某次升起时的示意图，为主动杆，为辅助杆，是指连杆处在水平静止状态时，此时在同一直线上，（表示地平线），现测得整个连杆的长度，桩的高度．连结点是的三等分点，在升起过程中，辅助杆始终平行于地平线，连杆在完全升起后的倾角．
（1）求的长度．
（2）求连杆在完全升起后辅助杆距离地面的高度．（参考数据：）
【答案】（1）3
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用：
（1）根据连结点是的三等分点即可求解；
（2）过点作于，在中，解直角三角形得，进而可求解；
熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【小问1详解】
解：，且点是的三等分点，，
（）．
【小问2详解】
过点作于，如图：
依题意得：，
在中，，，
，即：，
解得：（），
连杆在完全升起后辅助杆距离地面的高度为：（）．
20. 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧的中点，交弦于点，若，求：
（1）的长．
（2）阴影部分的面积．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理及扇形面积计算，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
（1）由E是弧的中点，可得．根据垂径定理得：，在中，运用勾股定理可将的长求出，由即可求解；
（2）利用阴影部分面积等于扇形面积减去面积即可求出．
【小问1详解】
解：∵E是弧的中点，，
∴，
∴，
∵为半圆O的直径，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴的长为1；
【小问2详解】
解：连接，
在中，，
，
，
，
，
．
21. 某商场经销一种商品，每件成本为50元，经试销发现，该种商品每天销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：
（1）求y（件）与x（元/件）之间的函数表达式：
（2）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当销售单价定为利润是70元时，利润最大，最大利润为800元
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）设当天的销售利润为w元，利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数表达式为，将表中数据代入得：，
解得：．
∴y与x之间的函数表达式为；
【小问2详解】
解：设当天的销售利润为w元，则：，
即，
∵，
∴当时，w最大，最大利润是800元．
答：当销售单价定为利润是70元时，利润最大，最大利润为800元．
22. 如图，是等腰三角形，，点是底边上一点，交于点交于点，点是上一点，使，连结与的延长线交于点．
（1）求证：．
（2）若，点恰好是的中点，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得，结合等腰三角形的性质和平行线的性质得和，即可判定，则有；
（2）取中点O，连接可得，连接，建立直角坐标系，由已知得四边形为平行四边形，则有和，且点为中点，点G在上，设，，，则可求得直线的解析式为，直线的解析式为，可得点和点，结合点在直线上，求得，则，根据平行线分线段成比例定理和，解得，利用线段和差关系即可求得．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴，
∴，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，取中点O，连接，
∴
连接，建立以为x轴，为y轴的直角坐标系，如图，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵点恰好是的中点，
∴点在上，且为中点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴点G在上，
设，，，则点，，，
设直线的解析式为将点G和点C代入得，
同理可求得直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∵直线过点G，则
∴直线的解析式为，
∴点，
∵点为中点，
∴，
∵点在直线上，
∴，化简得，
∴，
∵，
∴，
则，
又∵，
∴，
∴，解得，
则．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、待定系数法求解析式以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是建立直角坐标系并找到对应线段成比例．
23. 已知抛物线与轴的交点为（点在点的右边），与轴的交点为，顶点为．
（1）当时，判断的形状，并说明理由．
（2）当点在轴的负半轴上，点在轴正半轴上时，是否存在某个值，使得是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）当点在轴的正半轴上时，连结，若射线中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分，求出此时的值．
【答案】（1）是等腰直角三角形，理由见详解．
（2）故存在一个m值使是等腰三角形，此时
（3）
【解析】
【分析】（1）将将代入中，得，求出A、B、D三点的坐标，易得是等腰直角三角形；
（2）先求出A、B、C三点的坐标分别为，，．根据题意得，，由此得，．当是等腰三角形
时，，则可得，求出m值即可．
（3）分两种情况讨论：①当A、B都在x轴正半轴上时，平分，过D点作轴于E点，由，可得，由此得，因此，进而可得，则，求出m的值即可．②若A点在x轴负半轴上，B点在x轴正半轴上，若平分，则，此种情况不存在．
【小问1详解】
将代入中，得，
由得，
，，
，，
当时，，
，
，
，，
，，
∴是等腰直角三角形．
【小问2详解】
由得，
解得，，
∵点在点的右边，
，，
∵点在轴的负半轴上，
，
，
当时，，
，
∵点在轴正半轴上，
，
，
当是等腰三角形时，，
，
整理得，
解得，，
由得，
，
故存在一个m值使是等腰三角形，此时．
【小问3详解】
①当A、B都在x轴正半轴上时，平分，
由（2）知，，，，
过D点作轴于E点，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
整理得，
解得，，
因为A、B都在x轴正半轴，
，
，
．
②若A点在x轴负半轴上，B点在x轴正半轴上，
由①知，
若平分，
则，
此种情况不存，
综上，．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式，二次函数与坐标轴交点坐标的求法，等腰直角三角形的判定与性质，难度中等．熟练掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
24. 如图，是直角三角形，，点是边上的动点，是过三点的圆，是的直径，与相交于点．设．
（1）求证：．
（2）令的面积为，求关于的函数关系式，并求当为何值时，的值最小．
（3）当时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）；当时，S有最大值为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理可得，即可求证；
（2）连接，根据圆内接四边形的性质可得，可证明，从而得到，，在中，根据勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理可得，从而得到，，再根据三角形的面积公式可得到S关于x的函数关系式，即可求解；
（3）过点P作于点H，于点K，则，证明，可得，再证，可得，，然后根据，可得，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为；
【小问3详解】
解：如图，过点P作于点H，于点K，则，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，即，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题．涉及了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的应用．熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质是解题的关键．A转盘
转盘
1
2
3
4
3
3
6
9
12
4
4
8
12
16
5
5
10
15
20
销售单价x（元/件）
55
60
65
70
销售量y（件）
70
60
50
40
1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效．
3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器．
参考公式：地物线的顶点坐标是
卷Ⅰ（选择题）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1. 下列图形中，不能由一个图形通过旋转而成的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转对称图形，根据旋转对称图形的定义逐一判断即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：不能由一个图形通过旋转而成的为是：
，
故选C．
2. 下列各组数中，不成比例的是（ ）
A. B. 1，2，3，4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 （即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，由此逐项判断即可．
【详解】解：A.，成比例，故不符合题意；
B.，不成比例，故符合题意；
C.，成比例，故不符合题意；
D.，成比例，故不符合题意．
故选：B．
3. 如图，在中，点是优弧上一点，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
4. 元旦游园晚会上有一个闯关活动：将15个大小、质量完全相同的球放入一个袋中，其中8个白色，4个黄色，3个红色．任意摸出一个球，如果是红色就可以过关，那么一次过关的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，直接由概率公式求解即可，熟记概率公式是解题的关键．
【详解】解：由题意得：一次过关的概率为．
故选：D．
5. 如图，分别是的角平分线，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的对角线之比等于相似比，列式计算即可．
【详解】解：，分别是的角平分线，，
，
故选：C．
6. 关于二次函数的最大值或最小值，下列叙述正确的是（ ）
A. 当时，有最大值2B. 当时，有最小值2
C. 当时，有最大值2D. 当时，有最小值2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：，
当时，的最小值为．
故选：D．
7. 如图，在中，是角平分线，是上的点，满足，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查相似的判定与性质，角平分线的定义，证明是解题的关键．
【详解】解：是角平分线，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：A．
8. 如图，过以为直径的半圆上一点，作于点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形的应用，根据圆周角定理和同角的余角相等得出，再由余弦的定义计算即可，能够正确解直角三角形是解此题的关键．
【详解】解：为直径，
，
，
，
，，
，
在直角中，，
．
故选：A．
9. 如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，线段是由线段以点为位似中心放大3倍得到的，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，根据位似图形的性质可得，据此可得，即点的坐标是．
【详解】解：∵线段是由线段以点为位似中心放大3倍得到的，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标是，
故选A．
10. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，下列结论：
①点的坐标分别是和
②点为，当时，．
③抛物线上存在点（除外），使得的面积与面积相等的点有3个．
④点是抛物线对称轴上一点，当是直角三角形时，点的纵坐标分别是．
A. ①②B. ①③C. ①③④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质、解一元二次方程和勾股定理得应用，①由题意得，即可求得点的坐标；②由题意求得、和，设时，求得，结合，可得或；③由点，可知点E的纵坐标为，解方程即可求得；④根据题意得对称轴为，设点，则、和，分、和，求解即可．
【详解】解：①由抛物线与轴交于点，则，解得，，则点的坐标分别是和，故①正确；
②由点，和，则，，，
当时，，则，解得，
∵，
∴或，故②错误；
③由抛物线与轴交于点，则，
∴，
使得的面积与面积相等，则点E的纵坐标为，
当，解得，，
当，解得，，
则除外，还有3个点使得的面积与面积相等；故③正确；
④由于抛物线的对称轴为，
设点，则，，，
当，则，解得；
当，则，解得；
当，则，解得；
故④正确；
故选：C．
卷Ⅱ（非选择）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 若，则的值为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题的关键．
【详解】解：，
．
故答案为：．
12. 如图，中，，，若的面积为9，则的面积为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，根据相似三角形的判定及性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
的面积为9，
，
即：，
解得：，
故答案为：4．
13. 如图，是的外接圆，于点于点，连结，若，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查垂径定理，三角形中位线定理，解题的关键是利用垂径定理得到中点与．
【详解】解：是的外接圆，，，
，，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，
．
故答案为：．
14. 已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则这个等腰三角形底角的正弦值为_______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．本题易错，容易丢掉腰为底为的情况．
【详解】解：如图：当腰为，底为时，
过点作，垂足为．
，，
，．
在直角中，
．
．
如图：当腰为，底为时，
过点作，垂足为．
，，
，．
在直角中，
．
．
故答案为：或．
15. 二次函数的图象都在轴的上方，则的值应满足的条件是_______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先求出二次函数与x轴的交点坐标为，再由二次函数开口向上得到当或时，，即此时二次函数图象都在轴的上方，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴当时，或，
∴二次函数与x轴的交点坐标为
∵，，
∴二次函数开口向上，
∴当或时，，即此时二次函数图象都在轴的上方，
∴或，即，
综上所述，或，
故答案为：或．
16. 如图，已知为等腰三角形的外接圆，为劣弧上一点，连接交于点，若，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键证明．先由勾股定理求得，进而求，再由勾股定理求得，再求，再由勾股定理求，，进而求解．
【详解】解：过点分别作，，垂足分别，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，
中，，
由勾股定理得，，
即，
，
，
，
由勾股定理得，，
设，则，
在和中，
，
解得，即，
，
，
，
即，
，
，
设，则，
在和中，
，
即，
解得，即，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
故答案：．
三、解答题（本大题有8小题，第17～19小题每小题6分，第20、21小题每小题8分，第22、23小题每小题10分，第24小题12分，共66分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. （1）计算：
（2）已知．且，求的值．
【答案】（1）；（2），，
【解析】
【分析】本题主要考查比例的性质、特殊锐角的三角函数值的能力，熟练掌握设法求解是解题的关键．
（1）先代入特殊锐角的三角函数值，再计算乘方及乘法，最后计算减法即可；
（2）设，，，再根据得到关于的方程，求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2），
设、、，
，
，
解得，
，，
18. 如图，两个可自由转动的转盘A，B分别被分成4等份，3等份，A转盘上的数字分别是1，2，3，4，B转盘上的数字分别是3，4，5．小红与小美用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：
①同时用力转动A，B两个转盘．
②两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相乘（如果指针恰好落在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）．
③如果积为3的倍数，则小红获胜：否则，小美获胜．
（1）用列表法（或画树状图）求小红获胜的概率．
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）公平，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了列表法（或画树状图）求概率：
（1）利用列表法可得所有可能情况有12种，小红获胜的可能情况有6种，再利用概率公式即可求解；
（2）由（1）可得小美获胜的概率为，再将二者的概率进行比较即可求解；
熟练掌握列表法求概率的方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：用列表法表示所有可能情况如图所示：
则所有等可能情况有12种，小红获胜的可能情况有6种，
小红获胜的概率．
【小问2详解】
公平，理由如下：
由（1）可得：小美获胜的概率为，
，
这个游戏对双方是公平的．
19. 嵊州市某小区门口安装了曲臂遥控连杆道闸，如图1，连杆主要由主动杆和辅助杆两部分组成．图2是遥控连杆在某次升起时的示意图，为主动杆，为辅助杆，是指连杆处在水平静止状态时，此时在同一直线上，（表示地平线），现测得整个连杆的长度，桩的高度．连结点是的三等分点，在升起过程中，辅助杆始终平行于地平线，连杆在完全升起后的倾角．
（1）求的长度．
（2）求连杆在完全升起后辅助杆距离地面的高度．（参考数据：）
【答案】（1）3
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用：
（1）根据连结点是的三等分点即可求解；
（2）过点作于，在中，解直角三角形得，进而可求解；
熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
【小问1详解】
解：，且点是的三等分点，，
（）．
【小问2详解】
过点作于，如图：
依题意得：，
在中，，，
，即：，
解得：（），
连杆在完全升起后辅助杆距离地面的高度为：（）．
20. 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧的中点，交弦于点，若，求：
（1）的长．
（2）阴影部分的面积．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理及扇形面积计算，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
（1）由E是弧的中点，可得．根据垂径定理得：，在中，运用勾股定理可将的长求出，由即可求解；
（2）利用阴影部分面积等于扇形面积减去面积即可求出．
【小问1详解】
解：∵E是弧的中点，，
∴，
∴，
∵为半圆O的直径，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴的长为1；
【小问2详解】
解：连接，
在中，，
，
，
，
，
．
21. 某商场经销一种商品，每件成本为50元，经试销发现，该种商品每天销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如下表所示：
（1）求y（件）与x（元/件）之间的函数表达式：
（2）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当销售单价定为利润是70元时，利润最大，最大利润为800元
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）设当天的销售利润为w元，利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数表达式为，将表中数据代入得：，
解得：．
∴y与x之间的函数表达式为；
【小问2详解】
解：设当天的销售利润为w元，则：，
即，
∵，
∴当时，w最大，最大利润是800元．
答：当销售单价定为利润是70元时，利润最大，最大利润为800元．
22. 如图，是等腰三角形，，点是底边上一点，交于点交于点，点是上一点，使，连结与的延长线交于点．
（1）求证：．
（2）若，点恰好是的中点，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得，结合等腰三角形的性质和平行线的性质得和，即可判定，则有；
（2）取中点O，连接可得，连接，建立直角坐标系，由已知得四边形为平行四边形，则有和，且点为中点，点G在上，设，，，则可求得直线的解析式为，直线的解析式为，可得点和点，结合点在直线上，求得，则，根据平行线分线段成比例定理和，解得，利用线段和差关系即可求得．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴，
∴，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，取中点O，连接，
∴
连接，建立以为x轴，为y轴的直角坐标系，如图，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵点恰好是的中点，
∴点在上，且为中点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴点G在上，
设，，，则点，，，
设直线的解析式为将点G和点C代入得，
同理可求得直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∵直线过点G，则
∴直线的解析式为，
∴点，
∵点为中点，
∴，
∵点在直线上，
∴，化简得，
∴，
∵，
∴，
则，
又∵，
∴，
∴，解得，
则．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、待定系数法求解析式以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是建立直角坐标系并找到对应线段成比例．
23. 已知抛物线与轴的交点为（点在点的右边），与轴的交点为，顶点为．
（1）当时，判断的形状，并说明理由．
（2）当点在轴的负半轴上，点在轴正半轴上时，是否存在某个值，使得是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）当点在轴的正半轴上时，连结，若射线中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分，求出此时的值．
【答案】（1）是等腰直角三角形，理由见详解．
（2）故存在一个m值使是等腰三角形，此时
（3）
【解析】
【分析】（1）将将代入中，得，求出A、B、D三点的坐标，易得是等腰直角三角形；
（2）先求出A、B、C三点的坐标分别为，，．根据题意得，，由此得，．当是等腰三角形
时，，则可得，求出m值即可．
（3）分两种情况讨论：①当A、B都在x轴正半轴上时，平分，过D点作轴于E点，由，可得，由此得，因此，进而可得，则，求出m的值即可．②若A点在x轴负半轴上，B点在x轴正半轴上，若平分，则，此种情况不存在．
【小问1详解】
将代入中，得，
由得，
，，
，，
当时，，
，
，
，，
，，
∴是等腰直角三角形．
【小问2详解】
由得，
解得，，
∵点在点的右边，
，，
∵点在轴的负半轴上，
，
，
当时，，
，
∵点在轴正半轴上，
，
，
当是等腰三角形时，，
，
整理得，
解得，，
由得，
，
故存在一个m值使是等腰三角形，此时．
【小问3详解】
①当A、B都在x轴正半轴上时，平分，
由（2）知，，，，
过D点作轴于E点，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
整理得，
解得，，
因为A、B都在x轴正半轴，
，
，
．
②若A点在x轴负半轴上，B点在x轴正半轴上，
由①知，
若平分，
则，
此种情况不存，
综上，．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式，二次函数与坐标轴交点坐标的求法，等腰直角三角形的判定与性质，难度中等．熟练掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
24. 如图，是直角三角形，，点是边上的动点，是过三点的圆，是的直径，与相交于点．设．
（1）求证：．
（2）令的面积为，求关于的函数关系式，并求当为何值时，的值最小．
（3）当时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）；当时，S有最大值为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理可得，即可求证；
（2）连接，根据圆内接四边形的性质可得，可证明，从而得到，，在中，根据勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理可得，从而得到，，再根据三角形的面积公式可得到S关于x的函数关系式，即可求解；
（3）过点P作于点H，于点K，则，证明，可得，再证，可得，，然后根据，可得，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为；
【小问3详解】
解：如图，过点P作于点H，于点K，则，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，即，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题．涉及了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的应用．熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质是解题的关键．A转盘
转盘
1
2
3
4
3
3
6
9
12
4
4
8
12
16
5
5
10
15
20
销售单价x（元/件）
55
60
65
70
销售量y（件）
70
60
50
40
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