河北省沧州市泊头市大数据联考2024届高三下学期2月月考数学试题（原卷版+解析版）

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数学
注意事项
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数z满足（i为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知为平面向量，其中，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
3. 德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A和B是全集U的子集，且无公共元素，则称集合互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．若全集，则集合A关于集合U的正交集合B的个数为（ ）
A. 8B. 16C. 32D. 64
4. 某小学为提高课后延时服务水平和家长满意度，对该校学生家长就服务质量、课程内容、学生感受、家长认可度等问题进行随机电话回访．某天共回访5位家长，通话时长和评分情况如下表：
根据散点图分析得知y与x具有线性相关关系且求得其回归方程为，则（ ）
A. 61B. 63C. 65D. 67
5. 已知函数满足对于任意都有.若函数在区间上有且仅有一个零点，则的最大值为（ ）
A. 3B. C. D. 5
6. 已知，均为正实数，且满足，则最小值为（ ）
A. 2B. C. D.
7. 陀螺是中国传统民俗体育游戏，流传甚广，打陀螺已被列入第五批国家级非物质文化遗产代表性项目名录．陀螺结构分为上下两部分：上部分为木质件，下部分为球形钢珠．其中木质件的形状为上部是底面半径为，高为的圆柱，下部为上底半径为，下底半径为，高为的圆台．若陀螺的木质件由一个球形原料经车床一次性车制而成，那么原料的半径最小为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知圆上有一动点P，圆上有一动点Q，直线上有一动点M，直线与圆相切，直线与圆相切，则的最小值为（ ）
A. 4B. 5C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 双曲抛物线又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名．其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用．在空间直角坐标系中，将一条平面内开口向上的抛物线沿着另一条平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为，则下列说法正确的是（）
A. 用平行于平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线
B. 用法向量为的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
C. 用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D. 用过原点且法向量为的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
11. 已知函数是定义在上连续可导函数，且满足①，②为奇函数，令，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于对称B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题第一空2分，第二空3分.
12. 已知，则__________．
13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点P为第一象限内椭圆上一点，的内心为，且，则椭圆的离心率为__________．
14. 已知数列满足，且，则__________；令，若前n项和为，则__________．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数m的取值范围．
16. 已知双曲线的右焦点F到一条渐近线的距离为1，且双曲线左支上任意一点M到F的距离的最小值为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线交C于A、B两点，O为坐标原点，若，求直线l的斜率k的值．
17. 已知在多面体中，平面平面，四边形为梯形，且，四边形为矩形，其中M和N分别为和的中点，．
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 现有红、绿、蓝三种颜色的箱子，其中红箱中有4个红球，2个绿球，2个蓝球；绿箱中有2个红球，4个绿球，2个蓝球；蓝箱中有2个红球，2个绿球，4个蓝球，所有球的大小、形状、质量完全相同．第一次从红箱中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；第二次要从与第一次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；以此类推，第次是从与第次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后放回去，记第n次取出的球是红球的概率为．
（1）求第3次取出的球是蓝球的概率；
（2）求的解析式．
19. 设a，b为非负整数，m为正整数，若a和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余，记为．
（1）求证：；
（2）若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则，这个定理称之为费马小定理．应用费马小定理解决下列问题：
①证明：对于任意整数x都有；
②求方程的正整数解的个数．时长x（分钟）
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