123，山东省泰安市宁阳县第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题

这是一份123，山东省泰安市宁阳县第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题，共14页。试卷主要包含了 下列说法正确的个数是， 下列命题中错误的有等内容，欢迎下载使用。

1. 下列说法正确的个数是（ ）
（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
（2）零向量没有方向；
（3）向量的模一定是正数；
（4）非零向量的单位向量是唯一的．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据零向量与单位向量，向量的定义对各个项逐个判断即可求解．
【详解】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误，
对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误，
对于（3），零向量的模可能为0，不一点是正数，故（3）错误，
对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误，
故选：A．
2. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数乘向量的运算律化简求解即可.
【详解】根据向量运算公式可知，．
故选：B.
3. 如图，在中，，点是的中点．设，，则（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 免费下载
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的线性运算即可求得答案.
【详解】由题意在中，，点是的中点，
故
，
故选：A
4. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数量积的运算律及向量夹角的运算公式求解.
【详解】解：因为，
所以，
设与的夹角为，
所以，
所以.
故选：D
5. 已知在四边形ABCD中，则四边形ABCD一定是（ ）
A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量减法法则判断即可.
【详解】由，可得，
所以四边形一定是平行四边形.
故选：A
6. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量与向量共线，由求解.
【详解】因为，是两个不共线的向量，且向量与向量共线，
所以，即，
所以，解得，
故选：D
7. 在△ABC中，∠C=90°，，则与的夹角是 ( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】
【详解】如图，
作向量，则是 与 的夹角，
在△ABC中，因为， ，
所以，
所以．选C．
8. 若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量运算化简已知条件，由此确定正确选项.
【详解】依题意，
,
，
所以，所以三角形是等腰三角形.
故选：A
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9. 下列命题中错误的有（ ）
A. 起点相同的单位向量，终点必相同；
B. 已知向量，则四边形ABCD为平行四边形；
C. 若，则；
D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】由单位向量的定义、向量共线和相等的条件，判断各选项的结论.
【详解】单位向量的方向不确定，所以起点相同的，终点不一定相同，A选项错误；
四边形ABCD中，，则且，四边形ABCD为平行四边形，B选项正确；
当时，满足，但不能得到，C选项错误；
由向量相等的条件可知，若，则，D选项正确.
故选：AC
10. 下列各组向量中，一定能推出的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据共线向量定理，即可判断选项.
【详解】A.，即，故A正确；
B. ，即，故B正确；
C. ，，则，故C正确；
D. ，，只有当或，此时，否则，所以向量不平行，故D错误.
故选：ABC
11. 下列说法正确是（ ）
A. 向量在向量上的投影向量可表示为
B. 若，则与的夹角的范围是
C. 若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为
D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据向量数量积的定义，投影向量的定义，以及向量夹角的定义，即可判断选项.
【详解】A.根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量可表示为，故A正确；
B.根据，可知，，所以与的夹角的范围是，故B正确；
C.由向量夹角的定义可知，，的夹角为，故C错误；
D. 若，则或或，其中零向量与其它向量不一定垂直，故D错误.
故选：AB
12. 已知向量，满足，且，则（ ）
A B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由，得，又且，得，，可得，，有，，可判断各选项.
【详解】因为，所以，即，整理可得，
再由，且，可得，所以，，A选项正确，D选项错误；
，即向量，的夹角，故向量，共线且方向相反，所以，B选项正确；
，C选项正确.
故选：ABC
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13. 设，为单位向量，则的最大值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据数量积的公式求模，再根据夹角的范围，求模的最大值.
【详解】，
当向量同向时，的最大值为3.
故答案为：3
14. 已知，且，则向量在向量方向上的投影向量为________．
【答案】
【解析】
【分析】求出和即得解.
【详解】解：∵又，
∴，又，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：
15. 已知在中，为的中点，是线段上的动点，若，则的最小值为___________.
【答案】8
【解析】
【分析】根据三点共线可得，利用“1”的技巧及均值不等式求解.
【详解】如图，

因为，为的中点，
所以，
因为三点共线，所以，
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为8.
故答案为：8
16. 已知在中，，，，为线段上任意一点，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】设，，得到，求出取值范围.
【详解】设，，则，
故
，
因为，所以，
故，.
故答案：
四．解答题（共6小题，满分70分）
17. 如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
（1）与相等的向量有哪些？
（2）的相反向量有哪些？
（3）与的模相等的向量有哪些？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】根据相等向量、相反向量、向量模长的概念，结合图形进行分析求解即可.
【小问1详解】
由相等向量定义知：与相等的向量有.
【小问2详解】
由相反向量定义知：的相反向量有.
【小问3详解】
由向量模长定义知：与的模相等的向量有.
18. 设向量，满足，且.
（1）求与的夹角；
（2）求的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）平方计算得到，得到答案.
（2）确定，计算得到答案.
小问1详解】
设与的夹角为，
，则，
将代入得，，故；
【小问2详解】
将代入得，故.
19. 设是不共线的两个向量.
（1）若，，，求证：A，B，C三点共线；
（2）若与共线，求实数k的值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）±4.
【解析】
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【小问1详解】
由，，，
得，
，
因此，且有公共点B，
所以A，B，C三点共线.
【小问2详解】
由于与共线，则存在实数，使得，
即，而是不共线，
因此，解得或，
所以实数k的值是.
20. 已知，是夹角为的两个单位向量．若，，其中，若，的夹角为锐角，求的取值范围．
【答案】．
【解析】
【分析】由数量积的定义，转化为，且，不共线，再结合数量积的定义以及共线向量的定理，即可列式求解.
【详解】因为，的夹角为锐角，
所以，且，不共线，
当时，，
得，
当，共线时，存在唯一的实数，使，即
，所以，解得，
所以当时，，不共线，
综上，的取值范围为且，即．
21. 已知空间三个向量､､的模均为1，它们相互之间的夹角均为.
（1）求证：向量垂直于向量；
（2）已知，求k的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）证明，由垂直关系的向量表示即可得证；
（2）利用数量积的运算律，结合，即可得到关于k的不等式，求解即可
【小问1详解】
证明： 因为，且､､之间的夹角均为，
所以，
所以向量垂直于向量；
【小问2详解】
，
所以.
因为，
所以，解得或.
22. 如图所示，在中，，，与交于点M．过M点的直线l与、分别交于点E，F．
（1）试用，表示向量；
（2）设，，求证：是定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）由向量共线定理即可求出；
（2）由E，M，F三点共线，可设（），由，，可得，最后结合（1）的结论可得，问题得以证明．
【详解】（1）由A，M，D三点共线可得存在实数m（）使得：，
又，故，
由C，M，B三点共线可得存在实数n（）使得：，
又，故，
由题意，，不共线，则：
，解得，
故；
（2）由E，M，F三点共线，可设（），
由，，则：，
由（1）知，，则：，即，
所以，
所以定值．
【点睛】关键点睛：本题考查平面向量综合，解题关键是理解并能由点共线转化为向量共线，再根据向量共线的条件得出等式，从而证明结论.