158，广东省珠海市第一中学2024届高三下学期迎3.13省一模新改革数学模拟训练一试题

这是一份158，广东省珠海市第一中学2024届高三下学期迎3.13省一模新改革数学模拟训练一试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题5分）已知A9,m为抛物线C：y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，则p=（ ）
A．2B．3C．6D．9
2．（本题5分）已知一组数据3，7，4，11，15，6，8，13，去掉一个最大值和一个最小值后所得数据的上四分位数为（ ）
A．4B．6C．11D．13
3．（本题5分）已知α,β,γ是空间中三个不同的平面，且直线l1,l2,l3分别在平面α,β,γ上．设甲：α,β,γ两两平行；乙：l1,l2,l3两两平行，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（本题5分）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanAtanBtanA+tanB=12,c=3,C=π3，则ab的值为（ ）
A．34B．32C．3D．3
5．（本题5分）已知等差数列an中，a9=7π12，设函数f(x)=cs4x−sin4x−23sinxcsx−1，记yn=fan，则数列yn的前17项和为（ ）
A．−51B．−48C．−17D．0
6．（本题5分）已知(ax2+3bx)(x+1x2)7的展开式中含x3的项的系数是63，则a+b=（ ）
A．3B．4
C．1D．2
7．（本题5分）己知正实数a,b,c满足a2−b=2lnab>0，7b−2b=a+4c，则（ ）
A．0C．0A．−514B．−494C．−916D．−2516
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（本题6分）若复数z满足zi=1−i，则下列命题正确的有（ ）
A．z的虚部是－1B．z=2
C．z2=2D．z是方程x2+2x+2=0的一个根
10．（本题6分）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，若OC=78，tan∠NCM=2，则（ ）

A．fx=sinπx+π8
B．fx的单调递增区间为−58+k,38+kk∈Z
C．fx的图象关于点58,0对称
D．fx的图象关于直线x=−58对称
11．（本题6分）己知椭圆C:x24+y2b2=1(0A．若椭圆C和圆M没有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是32,1
B．若b=1，则|PQ|的最大值为4
C．若存在点P使得PF1=3PF2，则0D．若存在点Q使得QF1=3QF2，则b=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（本题5分）已知集合A=x∈Z−2x2+7x−3≥0，集合B=xlg2x>1，则A∩B= ．
13．（本题5分）在边长为2的等边三角形ABC中，点D（与A,B不重合）在边AB上，DE⊥AC于点E，将△ADE沿DE折起，连接AB，AC，得到四棱锥A−BCED，则四棱锥A−BCED的体积的最大值为 ．
14．（本题5分）已知函数f(x)=mx2−xlnx存在极小值点x0，且f(x0)<−e3，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）设函数fx=lnx+ax+b，曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y=6x−3.
(1)求a,b；
(2)证明：fx>−35x.
16．（本题15分）已知：斜三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥AC，AA1与面ABC所成角正切值为2，AA1=5，AB=BC=22AC=22，点E为棱A1C1的中点，且点E向平面ABC所作投影在△ABC内．
(1)求证：AC⊥EB；
(2)F为棱AA1上一点，且二面角A−BC−F为30∘，求AFAA1的值．
17．（本题15分）“红五月”将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛，挑战赛分为个人晋级赛和决赛两个阶段.个人晋级赛的试题有2道“是非判断”题和4道“信息连线”题，其中4道“信息连线”题是由电脑随机给出错乱排列的四句古诗词和四条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，每位参赛选手只有一次挑战机会.比赛规则为：电脑随机同时给出2道“是非判断”和4道“信息连线”题，要求参赛者全都作答，若有四道或四道以上答对，则该选手晋级成功.
(1)设甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的2道“是非判断”题和4道“信息连线”题都有且只有一道题能够答对，其余的4题只能随机作答，求甲同学晋级成功的概率；
(2)已知该校高三（1）班共有47位同学，每位同学都参加个人晋级赛，且彼此相互独立.若将（1）中甲同学晋级的概率当作该班级每位同学晋级的概率，设该班晋级的学生人数为X.
①问该班级成功晋级的学生人数最有可能是多少？说明理由；
②求随机变量X的方差.
18．（本题17分）如图，已知椭圆E1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆E2:x212+y24=1有相同的离心率，点P3,1在椭圆E1上．过点P的两条不重合直线l1,l2与椭圆E1相交于Q,H两点，与椭圆E2相交于A,B和C,D四点．

(1)求椭圆E1的标准方程；
(2)求证：S△APD=S△BQD；
(3)若BQDH=DPBP，设直线l1,l2的倾斜角分别为α,β，求证：α+β为定值．
19．（本题17分）对于给定的正整数n，记集合Rn=αα=x1,x2,x3,⋅⋅⋅,xn,xj∈R,j=1,2,3,⋅⋅⋅,n，其中元素α称为一个n维向量．特别地，0=0,0,⋅⋅⋅,0称为零向量．设k∈R，α=a1,a2,⋅⋅⋅,an，β=b1,b2,⋅⋅⋅,bn∈Rn，定义加法和数乘：α+β=a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,an+bn，kα=ka1,ka2,⋅⋅⋅,kan．对一组向量α1，α2，…，αs（s∈N+，s≥2），若存在一组不全为零的实数k1，k2，…，ks，使得k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+ksαs=0，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
(1)对n=3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①α=1,1,1，β=2,2,2；②α=1,1,1，β=2,2,2，γ=5,1,4；③α=1,1,0，β=1,0,1，γ=0,1,1，δ=1,1,1．
(2)已知向量α，β，γ线性无关，判断向量α+β，β+γ，α+γ是线性相关还是线性无关，并说明理由．
(3)已知mm≥2个向量α1，α2，…，αm线性相关，但其中任意m−1个都线性无关，证明下列结论：
①如果存在等式k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+kmαm=0（ki∈R，i=1,2,3,⋅⋅⋅,m），则这些系数k1，k2，…，km或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+kmαm=0，l1α1+l2α2+⋅⋅⋅+lmαm=0（ki∈R，l1∈R，i=1,2,3,⋅⋅⋅,m）同时成立，其中l1≠0，则k1l1=k2l2=⋅⋅⋅=kmlm．
参考答案：
1．C
【详解】根据抛物线的定义可知，9+p2=12,p=6.
2．C
【详解】依题意，所得新数据按由小到大排列为：4，6，7，8，11，13，
由6×75%=4.5，得所得数据的上四分位数为11.
故选：C
3．D
【详解】如图所示；
α,β,γ两两平行，但l1,l2,l3两两平行不一定成立，故不充分；
如图所示：

l1,l2,l3两两平行，α,β,γ两两平行，不一定成立，故不必要；
故选：D．
4．C
【详解】因为a,b,c,tanAtanBtanA+tanB=sinAsinBcsAcsBsinAcsA+sinBcsB=sinAsinBsinAcsB+csAsinB=sinAsinBsinC=12，c=3,C=π3，
所以sinAsinB=12sinC=12×32=34，2R=csinC=332=2，R为△ABC外接圆的半径，
所以ab=2R2sinAsinB=22×34=3.
故选：C.
5．C
【详解】由题意知f(x)=cs4x−sin4x−23sinxcsx−1
=cs2x+sin2xcs2x−sin2x−3sin2x−1=cs2x−3sin2x−1=2cs2x+π3−1，
当x=7π12时，2cs2×7π12+π3=0，即f(x)关于点(7π12,−1)成中心对称，
由于等差数列an中，a9=7π12，故a1+a17=a2+a16=⋯=2a9=2×7π12，
故f(a1)+f(a17)=f(a2)+f(a16)=⋯=f(a8)+f(a10)=2×(−1)=−2，
f(a9)=2cs2×7π12+π3−1=−1，
故数列yn的前17项和为f(a1)+f(a2)+⋯+f(a17)
=f(a1)+f(a17)+f(a2)+f(a16)+⋯+f(a8)+f(a10)+f(a9)=8×(−2)−1=−17，
故选：C
6．A
【详解】由题意，得(ax2+3bx)(x+1x2)7= ax2(x+1x2)7+3bx(x+1x2)7，
(x+1x2)7的展开式的通项为Tr+1= C7rx7−r(1x2)r=C7rx7−3r，
令7−3r=1，得r=2，则T3=C72x；
令7−3r=4，得r=1，则T2=C71x4，
所以展开式中含x3的项的系数为aC72+3bC71=63，
即21a+21b=63，所以a+b=3．
故选：A．
7．A
【详解】因a>0,b>0，由lnab>0可得：ab>1，则a>b．
由a2−b=2lnab化简得：a2−2lna=b−2lnb，分别设函数fx=x2−2lnx，gx=x−2lnx．
由f′(x)=2x2−1x，(x>0)，则当01时，f′(x)>0，
则f(x)在(0,1)上递减,在1,+∞上递增，故fxmin=f1=1.
又g′x=x−2x,(x>0)，则当02时，g′(x)>0，
则g(x)在(0,2)上递减；在2,+∞上递增， 故gxmin=g2=2−2ln2．
由fx−gx=x2−x=xx−1，则01时，fx>gx．函数fx与gx的图象如图．
令fa=fb=k．由于a>b，则0由于a>1，7b−2b=a+4c>5c，则7b−2b5b>5c−b．
令ℎx=75x−25x，其在R上单调递增．由于0则有5c−b<1，即c−b<0得c综上，0故选：A．
8．B
【详解】设AD=4AC，故AB=AD=8，若λAB+4−4λAC=λAB+1−λAD=AG，
由λ+1−λ=1，则B，G，D共线，故AGmin=43，
由图得，当AG⊥BD时AG有最小值，又AB=AD=4AC=8，
∴sin∠ABD=sin∠ADB=438=32，即∠ABD=∠ADB=π3,∠BAD=π3，即△ABD为等边三角形．
由余弦定理，BC2=AB2+AC2−2ABACcs∠BAC=82+22−2×8×2×12=52，
设M为BC中点，PB⋅PC=PM−12BC⋅PM+12BC=PM2−14BC2，
∴当PM取最小值时，PB⋅PC有最小值，
∵P为边AB上任意一点，
∴当PM⊥AB时，PM有最小值，
设PM⊥AB，过点C作CE⊥AB于点E，则CE=ACsin∠BAC=3，
又PM//EC，PM为△BCE的中位线，
∴PM=12CE=32，即PMmin=32，
∴PB⋅PCmin=34−14×52=−494．
故选：B.
9．ABD
【详解】zi=1−i⇒z=1−ii=−1−i，则z=2，故A，B正确；
z2=(−1−i)2=2i，故C错误；
而(−1−i)2+2(−1−i)+2=0成立，故D正确.
故选：ABD.
10．AD
【详解】根据图象可得A=1，因为MN=1,tan∠NCM=2，所以NC=12×1=12，则T4=2π4ω=12，得ω=π.将C78,0代入fx=sinπx+φ中，得sin7π8+φ=0，则7π8+φ=kπk∈Z，
解得φ=−7π8+kπk∈Z，因为φ<π2，所以φ=π8，所以fx=sinπx+π8，A正确.
令−π2+2kπ≤πx+π8≤π2+2kπk∈Z，得−58+2k≤x≤38+2kk∈Z，B错误.
f58=sin5π8+π8≠0，所以fx的图象不关于点58,0对称，C错误.
f−58=sin−5π8+π8=−1，所以fx的图象关于直线x=−58对称，D正确.
故选：AD
11．ACD
【详解】由椭圆C中a=2，圆M中圆心M(0,2)，半径为1，如下图示，
A：由于0此时离心率e=1−(ba)2=1−b24∈32,1，对；
B：当b=1时，令P(x,y)，则|MP|=x2+(y−2)2，而x2=4(1−y2)，
所以|MP|=−3(y+23)2+283，又−1≤y≤1，故|MP|max=283，
所以|PQ|的最大值为283+1，错；
C：由PF1+PF2=2a=4，若PF1=3PF2，则PF1=3,PF2=1，
由F1(−4−b2,0),F2(4−b2,0)，令P(x,y)，且y2=b2(1−x24)，
则(x+4−b2)2+y2=9(x−4−b2)2+y2=1，即(4−b2)x2+84−b2x−20=0(4−b2)x2−84−b2x+12=0，
所以x=24−b2∈(0,2]，则b2≤3，且0D：令Q(x,y)，若QF1=3QF2，所以(x+4−b2)2+y2=3[(x−4−b2)2+y2]，
则x2−44−b2x+(4−b2)+y2=0，所以(x−24−b2)2+y2=3(4−b2)，
Q轨迹是圆心为(24−b2,0)，半径为3(4−b2)的圆，
而M(0,2)与(24−b2,0)的距离为25−b2，要使点Q存在，
则|3(4−b2)−1|≤25−b2≤3(4−b2)+1，可得(b2−1)2≤0，且0故选：ACD
12．3
【详解】由−2x2+7x−3=−2x−1x−3≥0，解得12≤x≤3，
又x∈Z，故A=1,2,3，
由lg2x>1，则x>2，故A∩B=3.
故答案为：3.
13．229
【详解】如图所示：设AE=x，x∈0,1，则AD=2x，DE=3x，
则S△ADE=32x2，SBCED=3−32x2，
对于确定的E点，当AE⊥平面BCED时，四棱锥A−BCED的体积最大，
V=13×3−32x2⋅x=33x−36x3，V′=33−32x2，
当x∈0,63时，V′>0，函数单调递增，当x∈63,1时，V′<0，函数单调递减，
当x=63时，Vmax=33×63−36⋅633=229.
故答案为：229.
14．(0,2e3).
【详解】函数f(x)=mx2−xlnx的定义域为(0,+∞)，求导得f′(x)=2mx−1−lnx，
当m≤0时，函数f′(x)在(0,+∞)上单调递减，f′(1)=2m−1<0，
f′(e2m−1)=2me2m−1−1−(2m−1)=2m(e2m−1−1)>0，则存在x1∈(0,1)，使得f′(x1)=0，
当x∈(0,x1)时，f′(x)>0，f(x)递增，当x∈(x1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)递减，
函数f(x)在x=x1取得极大值，无极小值，不符合题意；
当m>0时，令g(x)=f′(x)=2mx−1−lnx，求导得g′(x)=2m−1x，显然g′(x)在(0,+∞)上单调递增，
当x∈(0,12m)时，g′(x)<0，函数f′(x)递减，当x∈(12m,+∞)时，g′(x)>0，函数f′(x)递增，于是f′(x)min=f′(12m)=ln2m，
当2m≥1，即m≥12时，f′(x)≥0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，函数f(x)无极值，
当00，
存在x2∈(0,12m)，使得f′(x2)=0，当x∈(0,x2)时，f′(x)>0，函数f(x)递增，
当x∈(x2,12m)时，f′(x)<0，函数f(x)递减，函数f(x)在x=x2取得极大值，
又f′(1m2)=2m−1+2lnm，令ℎ(x)=2x−1+2lnx,0函数ℎ(x)在(0,12)上单调递减，ℎ(x)>ℎ(12)=3−2ln2>0，则f′(1m2)>0，
存在x3∈(12m,+∞)，使得f′(x3)=0，当x∈(12m,x3)时，f′(x)<0，函数f(x)递减，
当x∈(x3,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)递增，函数f(x)在x=x3取得极小值，因此x3=x0，
由f′(x0)=0，得mx0=1+lnx02，f(x0)=mx02−x0lnx0=x0−x0lnx02<−e3，
即有x0−x0lnx0+2e−3<0，令φ(x)=x−xlnx+2e3,x>1，求导得φ′(x)=−lnx<0，
函数φ(x)在(1,+∞)上单调递减，而φ(e3)=0，即有φ(x0)<φ(e3)，于是x0>e3，
显然m=1+lnx02x0，令u(x)=1+lnx2x,x>e3，求导得u′(x)=−lnx2x2<0，即函数u(x)在(e3,+∞)上单调递减因此u(x)所以实数m的取值范围为(0,2e3).
15．(1)a=5,b=−2
(2)证明见解析
【详解】（1）函数fx的定义域为0,+∞,f′x=1x+a.
将x=1代入y=6x−3，解得y=3，即f1=3，
由切线方程y=6x−3，则切线斜率f′1=6.
故a+b=3,1+a=6，解得a=5,b=−2.
（2）证明：由（1）知fx=lnx+5x−2，
从而fx>−35x等价于xlnx>−5x2+2x−35.
设函数gx=xlnx，则g′x=1+lnx.
所以当x∈0,1e时，g′x<0，当x∈1e,+∞时，g′x>0.
故gx在0,1e上单调递减，在1e,+∞上单调递增，
从而gx在0,+∞上的最小值为g1e=−1e.
设函数ℎx=−5x2+2x−35=−5x−152−25，
从而ℎx在0,+∞上的最大值为ℎ15=−25<−1e.
故gx>ℎx，即fx>−35x.
16．(1)证明见解析
(2)AFAA1=86−423
【详解】（1）证明：取线段AC的中点M，连接EM、BM，
在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1//CC1且AA1=CC1，则四边形AA1C1C为平行四边形，
所以，AC//A1C1且AC=A1C1，
因为E、M分别为A1C1、AC的中点，所以，四边形AA1EM为平行四边形，
所以，EM//AA1，
又因为AA1//BB1，则EM//BB1，因为AC⊥BB1，则AC⊥EM，
因为AB=BC，M为AC的中点，则BM⊥AC，
因为EM∩BM=M，EM、BM⊂平面BEM，所以，AC⊥平面BEM，
因为EB⊂平面BEM，所以，EB⊥AC.
（2）解：由（1）可知，AC⊥平面EMBB1，
过点E在平面BB1EM内作EO⊥BM，垂足为点O，
因为AC⊥平面BB1EM，EO⊂平面BB1EM，则EO⊥AC，
又因为EO⊥BM，BM∩AC=M，BM、AC⊂平面ABC，则EO⊥平面ABC，
所以，直线AA1与平面ABC所成的角为∠EMO，
所以，tan∠EMO=EOOM=2，则EO=2OM，
因为EM=EO2+OM2=5OM=5，可得OM=1，EO=2，
因为AB=BC=22AC=22，则AB=BC=22，AC=4，
所以，AB2+BC2=AC2，则AB⊥BC，
因为M为AC的中点，所以，MB=12AC=2，
以点O为坐标原点，Ox、OB、OE的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A2,−1,0、B0,1,0、M0,−1,0、C−2,−1,0、E0,0,2，
ME=0,1,2，则OA1=OA+AA1=OA+ME=2,−1,0+0,1,2=2,0,2，
即点A12,0,2，同理可得点B10,2,2、C1−2,0,2，
设AF=λAA1=λ0,1,2=0,λ,2λ，其中0≤λ≤1，
则CF=CA+AF=4,0,0+0,λ,2λ=4,λ,2λ，且CB=2,2,0，
设平面BCF的法向量为m=x,y,z，
则m⋅CB=2x+2y=0m⋅CF=4x+λy+2λz=0，取x=2λ，则y=−2λ，z=λ−4，
所以，平面BCF的一个法向量为m=2λ,−2λ,λ−4，
易知平面ABC的一个法向量为，
因为二面角A−BC−F为30∘，
则csm,n=m⋅nm⋅n=λ−44λ2+4λ2+λ−42=32，整理可得23λ2+8λ−16=0，
因为0≤λ≤1，解得λ=86−423，即AFAA1=86−423.
17．(1)512
(2)①19或20，理由见解析；②1645144
【详解】（1）解：记事件A:甲同学晋级成功，则事件A包含以下几种情况：
①事件B=“共答对四道”，即答对余下的是非判断题，答错两道信息连线题，则
PB=12×C31×1A33=312.
②事件C=“共答对五道”，即答错余下的是非判断题，答对余下的三道信息连线题，则PC=12×1A33=112.
③事件D=“共答对六道”， 即答对余下的四道问题，PD=12×1A33=112，
所以PA=PB+PC+PD=512.
（2）解：①由题意可知X~B47,512，设PX=k=C47k⋅512k⋅71247−k最大，
则PX=k≥PX=k−1PX=k≥PX=k+1，即C47k⋅512k⋅71247−k≥C47k−1⋅512k−1⋅71248−kC47k⋅512k⋅71247−k≥C47k+1⋅512k+1⋅71246−k，
可得5k≥748−k747−k≥5k+1，解得19≤k≤20，即X最有可能取的值为19或20；
②由二项分布的方差公式可得DX=47×512×712=1645144.
18．(1)x26+y22=1
(2)证明见解析
(3)α+β=π，证明见解析
【详解】（1）由题意知，两椭圆有相同的离心率，则有b2a2=412，a2=3b2，
又点P3,1在椭圆E1上，有3a2+1b2=1，解得a2=6,b2=2，
所以椭圆E1的标准方程为x26+y22=1.
（2）要证S△APD=S△BQD，即证AP=BQ，
设AxA,yA,BxB,yB,PxP,yP,QxQ,yQ，
当直线l1斜率不存在时，由椭圆对称性可知AP=BQ成立，
当直线l1斜率存在时，设斜率为k1，则AB方程为y−1=k1x−3，
由y−1=k1x−3x26+y22=1得3k12+1x2+6k1−63k12x+31−3k12−6=0，
xp+xQ=63k12−6k13k12+1,xPxQ=31−3k12−63k12+1，
由y−1=k1x−3x212+y24=1得3k12+1x2+6k1−63k12x+31−3k12−12=0，
xA+xB=63k12−6k13k12+1,xAxB=31−3k12−123k12+1，
得xP+xQ=xA+xB，∴xP−xA=xB−xQ，
AP=1+k12⋅xP−xA，BQ=1+k12⋅xB−xQ，则有AP=BQ.
所以△APD与△BQD等底等高，有S△APD=S△BQD.
（3）由（2）可知AP=BQ，同理有CP=DH，
由|BQ||DH|=|DP||BP|，可得|AP||CP|=|DP||BP|，则有AP⋅BP=CP⋅DP，
设直线CD的斜率为k2，直线CD方程为y−1=k2x−3，设CxC,yC,DxD,yD，
由y−1=k2x−3x212+y24=1得3k22+1x2+6k2−63k22x+31−3k22−12=0，
xC+xD=63k22−6k23k22+1,xCxD=31−3k22−123k22+1，
CP⋅DP=1+k22⋅xC−xP⋅1+k22⋅xD−xP，
AP⋅BP=1+k12⋅xA−xP⋅1+k12⋅xB−xP，
所以1+k22⋅xC−xP⋅xD−xP=1+k12⋅xA−xP⋅xB−xP，
即1+k22⋅xCxD−xPxC+xD+xP2=1+k12⋅xAxB−xPxA+xB+xP2，
化简得1+k223k22+1=1+k123k12+1，即k22=k12，由题意k2≠k1，所以k1+k2=0，
所以α+β=π.
19．(1)①α,β线性相关，②α,β,γ线性相关，③α,β,γ,δ线性相关
(2)向量α+β，β+γ，α+γ线性无关，理由见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）对于①，设k1α+k2β=0，则可得k1+2k2=0，所以α,β线性相关；
对于②，设k1α+k2β+k3γ=0，则可得k1+2k2+5k3=0k1+2k2+k3=0k1+2k2+4k3=0，所以k1+2k2=0，k3=0
所以α,β,γ线性相关；
对于③，设k1α+k2β+k3γ+k4δ=0，则可得k1+k2+k4=0k1+k3+k4=0k2+k3+k4=0，
可取k1=k2=k3=1,k4=−2符合该方程，所以α,β,γ,δ线性相关；
（2）设k1α+β+k2β+γ+k3α+γ=0，则k1+k3α+k1+k2β+k2+k3γ=0
因为向量α，β，γ线性无关，所以k1+k3=0k1+k2=0k2+k3=0，解得k1=k2=k3=0
所以向量α+β，β+γ，α+γ线性无关
（3）证明：①k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+kmαm=0，如果某个ki=0，i=1,2,⋯,m
则k1α1+k2α2+⋯ki−1αi−1+ki+1αi+1+⋅⋅⋅+kmαm=0
因为任意m−1个都线性无关，所以k1,k2,⋯ki−1,ki+1,⋅⋅⋅,km都等于0
所以这些系数k1，k2，…，km或者全为零，或者全不为零
②因为l1≠0，所以l1,l2,⋅⋅⋅,lm全不为零
所以由l1α1+l2α2+⋅⋅⋅+lmαm=0可得α1=−l2l1α2−⋅⋅⋅−lml1αm
代入k1α1+k2α2+⋅⋅⋅+kmαm=0可得k1−l2l1α2−⋅⋅⋅−lml1αm+k2α2+⋅⋅⋅+kmαm=0
所以−l2l1k1+k2α2+⋅⋅⋅+−lml1k1+kmαm=0
所以−l2l1k1+k2=0，⋯，−lml1k1+km=0
所以k1l1=k2l2=⋅⋅⋅=kmlm