数学人教A版 (2019)6.1 平面向量的概念优秀一课一练

这是一份数学人教A版 (2019)6.1 平面向量的概念优秀一课一练，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设a，b是非零向量，“a|a|=b|b|”是“a=b”的
( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
2.有关向量a和向量b，下列四个说法中：
①若|a|=0，则a=0；
②若|a|=|b|，则a=b或a=−b；
③若a/​/b，则|a|=|b|；
④若a=0，则−a=0．
其中的正确有
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.设a，b为非零向量，则“a//b”是“a，b方向相同”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.下列命题中正确的个数是
( )
(1)零向量没有大小，没有方向；
(2)零向量是唯一一个没有方向的向量；
(3)零向量的长度为0；
(4)任意两个单位向量的方向相同．
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|=|b|，则a=b；
③在四边形ABCD中，若AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形；
④平行四边形ABCD中，一定有AB=DC；
⑤若m=n，n=k，则m=k；
⑥若a//b，b//c，则a//c．
其中不正确的命题的个数为
( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
6.平面向量a，b共线的充要条件是
( )
A. a，b方向相同
B. a，b两向量中至少有一个为零向量
C. ∃λ∈R，b=λa
D. 存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a+λ2b=0
7.下列说法正确的是
( )
A. 长度相等的向量叫做相等向量
B. 共线向量是在同一直线上的向量
C. 零向量的长度等于0
D. AB/​/CD，就是AB所在的直线平行于CD所在的直线
8.如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF/​/AB，则下列等式中成立的是
( )
A. AD=BCB. AC=BDC. PE=PFD. EP=PF
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设a0为单位向量，下列命题是假命题的为
( )
A. 若a为平面内的某个向量，则a=aa0
B. 若a与a0平行，则a=aa0
C. 若a与a0平行且a=1，则a=a0
D. 若a为单位向量，则a=a0
10.给出下列四个条件中能使a//b成立的条件是
( )
A. a=bB. |a|=|b|
C. a与b方向相反D. |a|=0或|b|=0
11.下列叙述中错误的是
( )
A. 若a=b，则3a>2b
B. 已知非零向量a与b且a/​/b，则a与b的方向相同或相反
C. 若a/​/b，b//c，则a//c
D. 对任一非零向量a，a|a|是一个单位向量
12.下面的命题正确的有
( )
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 单位向量都相等
C. 若，满足|a|>|b|且a与同向，则a>b
D. “若A、B、C、D是不共线的四点，且AB=DC”“四边形ABCD是平行四边形”
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.下列命题中：
①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同；
②若|a|=|b|，则a=b；
③若非零向量a,b共线，则a=b；
④向量a=b，则向量a,b共线；
⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；
其中正确命题的序号为 ．
14.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字.如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量AA1，AA2表示马走了“一步”.若马在B处或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有 个.
15.模为0的向量叫做零向量，记作： ．
16.如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，若|AC|=2，|BC|=3，|AD|=1，则|DB|= ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|AC|= 5．
(1)画出所有的向量AC；
(2)求|BC|的最大值与最小值．
18.(本小题12分)
如图所示，已知在矩形ABCD中，AD=4 3，设AB=a,BC=b,BD=c.试求|a+b+c| .
19.(本小题12分)
如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，AB=a，BC=b，AC=c，求：
(1)a+b+c；
(2)|a−b+c|．
20.(本小题12分)
将向量用具有同一起点O的有向线段表示．
(1)当OM与ON是相等向量时，判断终点M与N的位置关系；
(2)当OM与ON是平行向量，且|OM|=2|ON|=1时，求向量MN的长度，并判断MN的方向与ON的方向之间的关系．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的判定，向量的概念，属于基础题．
根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案．
【解答】
解：由 aa=bb 表示单位向量相等，
则 a,b 同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出 a=b ，
由 a=b 表示 a,b 同向且模相等，则 aa=bb ，
所以“ aa=bb ”是“ a=b ”的必要而不充分条件．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量的概念，向量相等的概念，属于基础题．
根据向量的概念对各选项逐项进行分析、判断即可．
【解答】解：①若|a|=0，则a=0，故①正确；
②若|a|=|b|，则a=b或a=−b是错误的，因为向量方向可任意，故②错误；
③若a/​/b，向量的长度不一定相等，故③错误；
④若a=0，则−a=0，故④正确．
故正确的有①④，共2个．
故选B ．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查充分条件、必要条件的判定方法，考查向量共线的概念，属于基础题．
由充分条件、必要条件的判定方法及向量共线的概念分析得答案．
【解答】
解：对于非零向量a，b，由a//b可得：a与b方向相同或相反，
反之，a与b方向相同⇒a//b，
则“a/​/b”是“a与b方向相同”的必要而不充分条件．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量的概念问题，属于基础题．
【解答】
解：零向量有大小和方向，故(1)、(2)错；(3)正确；任意两个单位向量的大小相同方向不一定相同，(4)错误，
故选A．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了向量相等的意义、共线向量，属于基础题．
①利用向量相等即可判断出；
②若|a|=|b|，则a=b不一定成立；
③利用向量相等与平行四边形的定义即可得出；
④利用平行四边形的性质与向量相等即可得出；
⑤利用向量相等的定义即可判断出；
⑥a//b，b//c ，则a//c，取b=0时，a与c不一定共线．
【解答】
解：①两个向量相等，则它们的起点和终点不一定相同，故错误；
②若|a|=|b|，方向不同，则a=b 不一定成立；
③在四边形ABCD中，若AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形，正确；
④平行四边形ABCD中，一定有AB=DC，正确；
⑤若m=n，n=k，则m=k，正确；
⑥a//b，b//c ，则a//c，取b=0时，a与c不一定共线，错误．
其中不正确的命题的个数为3．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了对共线向量的理解及平面向量共线定理，属于基础题．
根据 a ， b 共线，根据向量共线的概念以及零向量的特殊性得到向量 a， b 共线的充要条件．
【解答】
解：若 a ， b 均为零向量，则此时 a 与 b 共线，且存在不全为零的实数 λ1,λ2 ，使得 λ1a+λ2b=0 ；
若 a≠0 ，则由a ，b共线知，存在 λ使得 b=λa ，即 λa−b=0 ，即存在不全为零的实数 λ1,λ2 ，使得 λ1a+λ2b=0 ，反之，由存在不全为零的实数λ1,λ2使得λ1a+λ2b=0 成立，可知a ，b共线；
因此，平面向量a，b共线的充要条件是“存在不全为零的实数λ1 ，λ2 ，λ1a+λ2b=0”，
故选：D．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查相等向量、共线向量、零向量和平行向量的概念，属于基础题．
根据相等向量、共线向量、零向量以及平行向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．
【解答】
解：A.向量包括长度和方向，长度相等的向量不一定是相等向量，∴该选项错误；
B.方向相同或相反的向量叫共线向量，不一定在一条直线上，∴该说法错误；
C.根据零向量的定义知该说法正确；
D.AB/​/CD时，AB所在的直线与CD所在的直线可能重合，∴该说法错误．
故选C．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了向量相等的概念，是一个基础题．
根据相等向量的定义：大小相等，方向相同的向量为相等向量，逐项进行分析，即可得到答案．
【解答】
解：根据相等向量的定义，
A中，AD与BC的方向不同，故A错误；
B中，AC与BD的方向不同，故B错误；
C中，PE与PF的方向相反，故C错误；
D中，EP与PF的方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故D正确．
故选D．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查向量的概念，属于中档题．
向量既有大小又有方向，a与aa0的模相同，但方向不一定相同，可判断A；若a与a0平行，且a=1，则a与a0的方向同向或反向，可判断B，C；利用单位向量定义可判断D．
【解答】
解：对于A，向量既有大小又有方向，a与aa0的模相同，
但方向不一定相同，故A是假命题；
对于B，C，若a与a0平行，且a=1，
则a与a0的方向同向或反向，同向时a=aa0，此时a=a0；
反向时a=−aa0，此时a=−a0，故B，C是假命题；
对于D，a0为单位向量，a为单位向量，
则a=a0=1，故D是真命题．
故选：ABC．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了单位、零、共线、相反、相等向量的概念，向量的模．
根据共线向量的概念一一判断即可．
【解答】
解：因为a与b为相等向量，所以a//b，即A能够使a//b成立；
由于|a|=|b|并没有确定a与b的方向，即B不能够使a//b成立；
因为a与b方向相反时，a//b，即C能够使a//b成立；
因为零向量与任意向量共线，所以|a|=0或|b|=0时，a//b能够成立;
故使a//b成立的条件是ACD．
故选ACD．
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查了向量的基本性质和共线向量，属于基础题．
根据向量的基本性质和共线向量进行判断即可
【解答】
解：A，向量无法比较大小，故A错误；
B，共线向量的方向相同或相反，故B正确；
C，若b是零向量，则不成立，故C错误；
D，对任一非零向量a，a|a|是一个与a方向相同且模长为1的单位向量，故D正确．
故选AC．
12.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查向量的基本概念以及向量的模，属于基础题．
根据相反向量，单位向量的概念可分析A，B选项，由向量的性质可分析C选项，运用平行四边形的性质可分析D选项．
【解答】
解：对于A，由相反向量的概念可知A正确；
对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且AB=DC，
可得AB//DC，且AB=DC，故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可知AB//DC，且AB=DC，
此时A、B、C、D是不共线的四点，且AB=DC，故D正确．
故选AD．
13.【答案】①④
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的概念与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题目．
根据平面向量的有关概念，对选项中的问题进行分析、判断是否为真命题即可．
【解答】
解：对于①，根据相等向量的定义知，两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，正确；
对于②，当|a|=|b|时，a与b不一定相等，命题②错误；
对于③，若非零向量a,b共线，则a=b不一定成立，命题③错误；
对于④，向量a=b时，向量a,b共线，命题正确；
对于⑤，零向量的方向是任意的，所以零向量与任何向量平行，命题⑤错误；
综上，正确的命题序号是①④．
故答案为①④．
14.【答案】11
【解析】【分析】
本题主要考查向量的概念及向量模的概念．
根据向量的模长等于 5，结合向量的方向即可作答．
【解答】
解：此题中，马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走．
如图，以B点为起点作向量，共3个;
以C点为起点作向量，共8个．
所以共有11个．
15.【答案】0
【解析】【分析】
本题主要考查了零向量的概念以及表示方法，属于基础题．
根据零向量中的定义及表示写出表示方式即可．
【解答】
解：由零向量的定义及表示可知：零向量记为0．
故答案为0．
16.【答案】32
【解析】【分析】
本题考查向量的模，属于基础题．
延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E，证明|AC|=|AE|和△ADE∽△BDC，即可得到结果．
【解答】
解：如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E．
因为∠ACD=∠BCD=∠AED，所以|AC|=|AE|.
因为△ADE∽△BDC，
所以|AD||DB|=|AE||BC|=|AC||BC|，所以|DB|=|AD||BC||AC|=1×32=32．
故答案为：32．
17.【答案】解：(1)画出所有的向量AC，如图所示．
(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1和C2时，|BC|取得最小值 12+22= 5；
②当点C位于点C5和C6时，|BC|取得最大值 42+52= 41．
∴|BC|的最大值为 41，最小值为 5．
【解析】本题考查向量的概念，向量模的求法，属中档题．
(1)画出满足|AC|= 5的所有向量即可．
(2)当点C位于点C1和C2时|BC|取得最小值，当点C位于点C5和C6时|BC|取得最大值，求解即可．
18.【答案】解：∵|a+b+c|=|AB+BC+BD|=|AC+BD|.
延长BC至E，使CE=BC，连DE，
由于CE=BC=AD，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE，
∴AC+BD=DE+BD=BE，
∴|a+b+c|=|BE|=2⋅|BC|=2⋅|AD|=8 3．
【解析】本题主要考查向量在几何中的应用以及向量的加法的应用，是对基础知识的考查，属于基础题．先利用向量的加法把|a+b+c|转化为|AB+BC+BD|=|AC+BD|，再延长BC至E，使CE=BC，构造一个新的平行四边形，再把|AC+BD|转化为2|AD|即可求解．
19.【答案】解：(1)由已知得 a+b=AB+BC=AC ，
∵ AC=c ，∴延长AC到E，使 CE=AC ，如图所示，
则 a+b+c=AE ，且 AE=2 2 .∴ a+b+c=2 2 ．
(2)如图，作 BF=AC ，连接CF，BD，则 DB+BF=DF ，
而 DB=AB−AD=AB−BC=a−b ，
∴ a−b+c=DB+BF=DF，又 DF=2 ，
∴ a−b+c=2 ．

【解析】本题考查向量的加减运算和向量的模长，属于基础题．
(1)延长AC到E，使 CE=AC，结合图形及向量相加的三角形法则，可知 a+b+c=AE ，即可得到答案；
(2)作BF=AC ，连接CF，BD，由图形及向量相减的三角形法则可得答案．
20.【答案】解：(1)当OM与ON是相等向量时，它们的起点相同，
则终点一定也相同，所以终点M与N重合；
(2)当OM与ON是平行向量，
①若OM与ON方向相同，且|OM|=2|ON|=1，如图，
则向量MN的长度为12，且MN的方向与ON的方向相反;
②若OM与ON方向相反，且|OM|=2|ON|=1，如图，
则向量MN的长度为1+12=32，且MN的方向与ON的方向相同．
【解析】此题重点考查了相等向量和向量平行的定义，属于中档题．
(1)直接利用向量相等的定义即可求解；
(2)根据OM与ON是平行向量，分OM与ON方向相同和相反两种情况即可求解．