12，山东省威海荣成市实验教学联盟（五四制）2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题

这是一份12，山东省威海荣成市实验教学联盟（五四制）2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题，共24页。试卷主要包含了本试卷共7页，共120分等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷共7页，共120分．考试时间120分钟．
2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
3．非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔作答．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
4．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效．
一、精心选一选（每小题3分，共30分）
1. 小明和同学到相距10千米的风景区去春游，他的速度与时间之间的关系是（ ）
A. 正比例函数B. 反比例函数C. 一次函数D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的定义．熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据等量关系“速度=路程时间”可写出函数表达式，然后再根据函数的定义进行判断即可得出答案．
【详解】解：根据题意得，
，
所以速度v与时间t之间的函数关系是反比例函数．
故选：B．
2. 在中， ， ，则的值是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同角三角函数的关系，先根据题意画出直角三角形，设，求出及，然后可得出的值．
【详解】解：如图：
∵，
∴可以假设，，
∴
∴，
故选：B．
3. 下列二次函数中最大值为1的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，当时，有最大值，为，据此即可作答．
【详解】解：A、，，开口方向向上，有最小值，且为1，不符合题意；
B、，，开口方向向下，有最大值，且为1，符合题意；
C、，，开口方向向下，有最大值，且为，不符合题意；
D、，，开口方向向上，有最小值，且为，不符合题意；
故选：B
4. 反比例函数的图像经过点，则a与b的关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将反比例函数变形，将点代入即可的到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵经过点，
∴，，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题关键是将反比例函数变形，点代入列等式．
5. 如图，一个圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的侧面展开图的面积是，则该等边三角形的边长为（ ）
A. 3B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，圆锥的侧面积．熟练掌握等边三角形的性质，圆锥的侧面积，其中是圆锥的底面周长，是圆锥的母线长，是解题的关键．
设等边三角形的边长为，则圆锥的母线长为，底面直径为，底面周长为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设等边三角形的边长为，则圆锥的母线长为，底面直径为，底面周长为，
依题意得，，
解得，或（舍去），
故选：A．
6. 已知抛物线经过点，则该抛物线必然还经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线的对称性求解．
【详解】解：∵
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线经过点，
∴点关于直线对称的点为，
∴该抛物线必然还经过点，
故选：D．
7. 如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离米，水平赛道米，赛道的坡角均为，则点的高为(
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】延长AB交ED于F，得到平行四边形BCDF和直角△AEF，通过解直角三角形得出结果．
【详解】解：延长AB交ED于F，
∵BC∥DE，
∴∠AFE=，
∴∠CDF=∠BFE=，
∴BF∥CD，
∴四边形BCDF是平行四边形，
∴DF=BC=b，
∴EF=DE-DF=a-b，
在直角△AEF中，
∵tan∠AFE=，
∴AE=，
故选择A．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解决问题的关键是把实际问题转化为数学问题，即构造直角三角形．
8. 如图，是的弦，把的劣弧沿着对折，A是对折后劣弧上的一点，若，则的度数是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠，圆内接四边形．熟练掌握折叠的性质，圆内接四边形的性质，是解决问题的关键，
将沿翻折，点A落在处，得到，点在上，根据，得到，根据，得到．
【详解】如图，沿翻折，点A落在处，
则，
由对折知，，
∴点在上，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
故选：C．
9. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列对方程的两根与的解释正确的是（ ）
A. 小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B. 小球飞行时飞行高度为15m，并将继续上升
C. 小球从飞出到落地要用4s
D. 小球的飞行高度可以达到25m
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，利用以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：的两根与，即时所用的时间，
∴小球的飞行高度是时，小球的飞行时间是或，故A错误；
，
∴对称轴直线为：，最大值为20，故D错误；
∴时，，此时小球继续下降，故B错误；
∵当时，即，解得，，
∴，
∴小球从飞出到落地要用，故C正确．
故选：C．
10. 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点是直线与的交点；当点A运动到时，点到达；当点A运动到时，点到达．若，则下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. 当与相切时，D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质定理和勾股定理，由题意可得从而可判断A、B选项，如图：当AB与⊙O相切时，求解，可得，可判断C；当时，如图，可得，，，可判断D；从而可得答案．理解题意并熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
【详解】解：如图，由题意可得：

∴，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
如图，当AB与⊙O相切时，

∴，
∴，
∴，故C符合题意；
如图：当时，

∴
∴，，
∴，故D不符合题意；
故选：C．
二、耐心填一填（每小题3分，共18分）
11. 在中，若，，则的形状为______．
【答案】直角三角形
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的相关计算，先求解，，再利用三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴的形状为直角三角形，
故答案为：直角三角形
12. 如图，已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流Ⅰ（単位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器可变电阻的变化范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，令，求出的阻值，再根据增减性，求出可变电阻的变化范围即可．
【详解】解：设，
由图象可知，当时，，
∴，
∴，
当时，，
∴由图象可知：时，；
故答案为：．
13. 如图，无人机在塔、树上方处悬停，测得塔顶的俯角为，树顶的俯角为，树高为12米，无人机竖直高度为60米，、在一条直线上，且点到塔底的距离比到树底的距离多8米，则塔高的值为______米．（结果带根号．参考数据：，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题．延长交于点，延长交于点，由题意得：，，米，，，从而可得（米），在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，用锐角三角函数的定义求出的长即可求解，解题的关键是根据题意添加适当的辅助线．
【详解】解：如图：延长交于点，延长交于点，
由题意得：，，米，，，
∵米，
∴（米），
在中，，
∴（米），
∵，
∴，
∴米，
在中，，
∴米，
∴米，
故答案为：．
14. 如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线及一点，的坐标（2，4）．若将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为，则此时的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握点的坐标平移规律为“左减右加，上加下减”是解题的关键．
根据顶点坐标得到平移规律即可求解．
【详解】解：∵原抛物线的顶点坐标为，新抛物线的顶点坐标为，
∴新抛物线是由原抛物线向右移动了7个单位，向上移动了2个单位得到的．
的坐标右移动了7个单位，向上移动了2个单位坐标为，即．
故答案为：．
15. 如图，已知点A在反比例函数 （x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E．若△BCE的面积为8，则k=________．
【答案】16
【解析】
【分析】根据△BCE的面积为8，得到BC•OE=16，证明△ABC∽△EOB，根据相似比得到AB•OB•=BC•OE，从而得到k值．
【详解】∵△BCE的面积为8，
∴BC•OE＝8，
∴BC•OE=16，
∵点D为斜边AC的中点，
∴BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB=∠EBO，
又∠EOB=∠ABC，
∴△EOB∽△ABC，
∴，
∴AB•OB•=BC•OE
∴k=AB•BO=BC•OE=16．
故答案为16．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，解决本题的关键是证明△EOB∽△ABC，得到AB•OB=BC•OE．
16. 如图，的内切圆分别与三边相切于点，点和点，若，，则的面积为______．
【答案】20
【解析】
【分析】直接利用切线长定理得出，，，设，再结合勾股定理得出的长，进而得出答案．
本题考查了切线长定理和勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握切线长定理的相关内容，找到线段之间的关系．
【详解】的内切圆分别与斜边、直角边、切于点D、E、F，，，
，，，
设，
则
整理得，，
解得：，（不合题意舍去），
则， ，
，
故的面积为20，
故答案为20．
三、解答题：（满分72分）
17. 计算
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，化简绝对值，特殊角的三角函数值的混合运算，熟记三角函数值是解本题的关键，先计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，再合并即可．
【详解】解：原式
．
18. 光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图①所示：折射率（α代表入射角，β代表折射角）．小明为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，测得，，，求光线从空气射入水中的折射率n．
【答案】
【解析】
【分析】过D作于G，过P作于H，利用勾股定理求得对应线段的长度，即可求解．
【详解】解：过D作于G，过P作于H，则四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴.
∴，，
∴折射．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，构造出直角三角形．
19. 如图，已知点A在反比例函数的图象上，点A的横坐标为，过点A作轴，垂足为B，且．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若点在x轴正半轴上，将线段绕着点P顺时针旋转90°，点A的对应点C恰好落在反比例函数在第一象限的图象上，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）点A的横坐标为， 轴，且，可得，由此得出点A的坐标，进而求出k的值，从而可求出反比例函数的解析式；
（2）证明，确定点C的坐标为，由反比例函数解析式得到方程，求解方程再进行判断即可．
【小问1详解】
∵轴，且点A的横坐标为，
∴
∵，
∴，
∵点在第三象限，
∴
把代入反比例函数得，，
∴反比例函数的解析式为：；
【小问2详解】
过点C作轴于点D，如图，
∴，
∴
∴，
在和中，
∴
∴
∴
∴点C的坐标为，
∴
整理得，
解得，，，
∵，
∴
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合运用，涉及到全等三角形的判定与性质，一元二次方程的运用等知识，解题的关键是求出点A的坐标．
20. 某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线所示（不包括端点A）．
（1）当时，直接写y与x之间的函数关系式．
（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）150，450
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，由题意确定出函数解析式是关键．
（1）利用待定系数法求出当时，y与x之间的函数关系式即可；
（2）根据当时，当时，分别求出获利W与x的函数关系式，进而求出最值即可．
【小问1详解】
解：设当时，y与x之间的函数关系式为：，
则，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：；
【小问2详解】
解：当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，
当时，，
当时，W有最大值400元，
当时，
，
∵当时，W有最大值为450元，
综上所述，一次性采购量为150千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为450元.
21. 如图为某游乐场摩天轮简化示意图，摩天轮最低端与地面的距离忽略不计，即可看作摩天轮与地面相切，摩天轮最外端圆的直径约为120米．夜晚，小明坐在透明座舱旋转到点B时用激光笔照射在摩天轮的点C和最低点A处，激光线交地面于点F，当激光线经过圆心点O时，交圆于点D，交水平地面于点E且于点G．

（1）求证：．
（2）若米，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）米
【解析】
【分析】（1）根据摩天轮与地面相切和，可得，即可证明；
（2）根据题意证明，可得的长，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵摩天轮与地面相切，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵摩天轮直径约为120米，米，
∴米，米，
∵，摩天轮与地面相切，
∴米，
∴，
∴，
∴米，
∴米，
∴米．
【点睛】本题考查了切线的性质和三角形全等，灵活运用所学知识是解题关键．
22. 如图，平行于轴的直尺（部分）与反比例函数的图象交于两点，与轴交于两点，连接，点对应直尺上的刻度分别为5、2，直尺的宽度，的面积为．
（1）请你求出反比例函数的表达式；
（2）若经过两点的直线的关系式为，请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是掌握反比例函数与方程的关系．
（1）由点对应直尺上的刻度分别为5、2，，，即可求得点的坐标为，点的坐标为，关键是根据面积列出关于的方程，求出即可得出答案；
（2）观察图像，根据点，点的横坐标求解．
【小问1详解】
解：∵直尺平行于轴，点对应直尺上的刻度分别为5、2，
∴，
∵，在函数上，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
∴则点坐标为，
∵，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
【小问2详解】
解：由（1）可知，点坐标为，
∴，
又∵
∴点横坐标为，
的解集是．
23. 某校为了丰富校园生活，提高学生身体素质特举行定点投篮比赛．某学生站在与篮框水平距离6米的A处进行定点站立投篮比赛，学校利用激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度．已知篮圈中心B到地面的距离为米，篮球每一次投出时离地面的距离都为米．图中所示抛物线的一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，当篮球与篮框水平距离为3米时离地面最高，最大高度为米．

（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）判断本次训练篮球能否直接投中篮圈中心B？若能，请说明理由；若不能，那么在保持投篮力度和方向（即篮球飞行的抛物线形状不变）的情况下，求该球员只要向前或向后移动多少米，就能使篮球直接投中篮圈中心B．
【答案】（1）
（2）不能，该球员只要向前移动米
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先根据对称轴求出原抛物线与y轴的交点，即可判断出本次训练不能投中篮圈中心；设移动后的抛物线的表达式为，把代入求出h的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得，抛物线的顶点坐标是，
设抛物线的表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：由（1）可知抛物线的对称轴为直线，
∵点在抛物线上，
∴抛物线与y轴的交点为，
∵篮圈中心B坐标为，
∴本次训练不能投中，
设移动后的抛物线的表达式为，
∵篮球要直接投中篮圈中心，
∴，
解得，（舍去），
∵．
∴，
∴该球员只要向前移动米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
24. 阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程：
已知：在四边形中，．
求证：过点可作一个圆．
证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆．如图1，若点在圆外，设与圆相交于点，连接，则______，而已知，所以，而是的外角，，出现矛盾，故假设不成立，因此点在过三点的圆上．
如图2，若点在圆内，（请同学们补充完成省略的部分证明过程）
因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．
学习任务：
（1）材料中划线部分的结论是______，依据是______；
（2）请将图2的证明过程补全；
（3）如图3，在四边形中，，，，则的大小为______
（4）如图4，已知正方形的边长为6，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线相交于点．当点从运动到时，点也随之运动，求经过的路径长．
【答案】（1），圆的内接四边形对角互补；
（2）见解析； （3）32；
（4）．
【解析】
【分析】本题考查圆综合题，推导了对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，解题的关键是利用结论解决问题．
（1）根据材料得出结论，依据圆的内接四边形对角互补；
（2）证明过程中分点在圆外或圆内两种情形讨论，主要体现了分类讨论的数学思想；
（3）利用题中结论，结合直径的性质及等腰三角形的性质即可求解；
（4）连接连接，由勾股定理求出，由圆周角定理得出，点在 AC 上，当 运动到点时， 为的中点，即可求解．
【小问1详解】
解：材料中划线部分的结论是：，
依据：圆的内接四边形对角互补，
故答案为：，圆的内接四边形对角互补．
【小问2详解】
证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆，如图2，
若点在圆内，设延长与圆相交于点，连接，则，
∵，
∴，
∴是的外角，
∴，出现矛盾，故假设不成立，
∴点在过三点的圆上．
【小问3详解】
解：∵，
∴过四边形的四个顶点能作一个圆，如图：
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：32．
【小问4详解】
解：连接如图：
∵四边形正方形，
∴，
∴，
∵四点共圆，
∴，
∴点在上，
当运动到点时，为的中点，
∴，
∴点经过的路径为．