33，江苏省宿迁市宿豫区宿豫区豫新初级中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份33，江苏省宿迁市宿豫区宿豫区豫新初级中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
1. 下列各式中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解．
【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意；
B、不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、，等号右边是分式，不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：C．
2. 如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是( )
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据题意可由点的坐标得到其到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，因此可根据正切的意义，可得tanα=.
故选B
3. 在对某样本进行方差计算时，所用公式为：，则该样本容量为（ ）
A. 7B. 14C. 10D. 17
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差公式即可求解．
【详解】解：∵，
∴该样本容量为，
故选：A．
【点睛】本题考查了方差公式，样本的容量，理解方差公式是解题的关键．
4. 已知点，，在抛物线上，则下列结论正确的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据抛物线解析式得到抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越小，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵点，，在抛物线上，且，
∴，
故选：A．
5. 如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
根据题意可得，
在中，，
，
在中，，
，
．
故则这栋楼的高度为．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．
6. 如图，在外任取一点，连接、、，并取它们的中点、、，连接、、得到，则下列说法错误的是（ ）
A. 与是位似图形B. 与是相似图形
C. 与的周长比是D. 与的面积比是
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的判定、三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，，，，，，进而证明，根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可．
【详解】解：、、的中点分别为、、，
∴，，，，，，
∴，
与是位似图形，位似中心为点，A选项不符合题意；
与是相似图形，B选项不符合题意；
与的周长比是，C选项不符合题意；
与的面积比是，D选项符合题意；
故选：D．
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与一次函数图象综合判断，根据一次函数解析式可得一次函数与y轴交于，据此可判断C、D；根据A、B两个选项中一次函数图象经过第一、三、四象限，则，进而得到二次函数与y轴交于正半轴，据此可判断A、B．
【详解】解：由一次函数解析式为可知，一次函数与y轴交于，故C、D不符合题意；
在A、B两个选项中一次函数图象经过第一、三、四象限，则，则二次函数与y轴交于正半轴，故A不符合题意，B符合题意；
故选：B．
8. 如图，在中，，，，是上一点，于点，以为直径作，当与的交点落在上时，的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，圆周角定理的推论和勾股定理，当与的交点D落在上时，因为是直径，可以判定，证明推出，同理得到，进而证明垂直平分，求出的长度，进而求出的长度，最后证，即可求出的长度．
【详解】解：如图所示，当与的交点D落在上时，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，

∴，
同理可证，
∴，
∴垂直平分，
∴，
在中，由勾股定理得
∴，
∵，
∴，
∴ ，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，共30分）
9. 二次函数图像的对称轴是直线______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求抛物线的对称轴，掌握其方法是解答本题的关键．
根据对称轴方程求对称轴，得到答案．
【详解】解：根据题意，
二次函数图像的对称轴是直线，
故答案为：．
10. 甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人次射击成绩的平均值都是环，方差分别为，，则两人成绩比较稳定的是______ 填“甲”或“乙”．
【答案】甲
【解析】
【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，熟知方差越小，越稳定是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴两人成绩比较稳定的是甲，
故答案为：甲．
11. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为，
故答案为：．
12. 数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．
【答案】12
【解析】
【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答．
【详解】解：设旗杆为AB，如图所示：
根据题意得：，
∴
∵米，米，米，
∴
解得：AB=12米．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
13. 一个圆锥形零件，底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．根据圆锥的侧面积底面周长母线长计算即可．
【详解】解：底面半径为，母线长为，
侧面积
，
故答案为：．
14. 如图，在中，，则__________．
【答案】10
【解析】
【分析】根据正弦的定义用x表示出BC、AB，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：设BC=5x，
∵sinA=，
∴AB=13x，
由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即（13x）2=242+（5x）2，
解得，x=2，
则BC=5x=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理是应用，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．
15. 如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cs∠ACB的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】取AB中点D，由图可知，AB=6，AD=BD=3，OD=2，由垂径定理得OD⊥AB，则OB=，cs∠DOB=，再证∠ACB=∠DOB，即可解．
【详解】解：取AB中点D，如图，
由图可知，AB=6，AD=BD=3，OD=2，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB=90°，
∴OB=，cs∠DOB=，
∵OA=OB，
∴∠BOD=∠AOB，
∵∠ACB=∠AOB，
∴∠ACB=∠DOB，
∴cs∠ACB= cs∠DOB=，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，取AB中点D，得Rt△ODB是解题的关键．
16. 在中，，，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先解直角三角形得到，则设，利用勾股定理得到，则．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
设，
∴，
∴，
故答案为：
17. 如图，抛物线：与x轴只有一个公共点，与y轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移4个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据题意可推出，，，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：过抛物线的顶点D作轴，与y轴交于点C，如图所示，
因
则四边形是矩形，
∵抛物线：与x轴只有一个公共点，与y轴交于点，
∴，，
将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则，
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形的面积，
∴．
故答案为：8
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、矩形的性质与判定，二次函数的性质及二次函数图象与几何变换，解题的关键是根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形的面积．
18. 如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为__．
【答案】##
【解析】
【分析】作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，点在半径为1的上，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作，使得，，则，，，
，，
，
，
，
，
即（定长），
点是定点，是定长，
点在半径为1的上，
，
的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算：
【答案】5．
【解析】
【分析】本题涉及了二次根式的化简，负整数指数幂，特殊角三角函数值、以及零指数幂等5个知识点，对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可.
【详解】
=3+4﹣3+1
=5．
【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
20. 将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度．

（1）写出平移后的二次函数表达式；
（2）在平面直角坐标系中画出平移后的二次函数的图像；
（3）观察（2）中所画图像，当时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了画二次函数图像，二次函数图像与不等式之间的关系，二次函数图像的平移问题：
（1）根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可；
（2）根据（1）所求，先列表，再描点，最后连线画出对应的函数图像即可；
（3）根据（2）所画函数图像进行求解即可．
【小问1详解】
解：将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得的抛物线解析式为；
【小问2详解】
解；列表如下：
函数图像如下所示：
【小问3详解】
解：由函数图像可知，当时，x的取值范围为或．
21. 已知抛物线
（1）将抛物线的解析式化成的形式为：______________
（2）直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标，当取何值时，随的增大而减小；
【答案】（1）
（2）抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而减小．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质：
（1）利用配方法把解析式化为顶点式即可；
（2）根据（1）所求求出对称轴和顶点坐标，再根据开口向上即可得到增减性．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，随的增大而减小．
22. 某校计划举行校园歌手大赛．九（1）班准备从A、B、C三名男生和D、E两名女生中随机选出参赛选手．
（1）若只选1名选手参加比赛，则女生D入选的概率是________；
（2）若选2名选手参加比赛，求恰有1名男生和1名女生的概率（用画树状图或列表法求解）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有等可能的结果数，找出选中1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：只选1名选手参加比赛，女生D入选的概率
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图为如下：
共有20种等可能结果数，其中选中1名男生和1名女生的有12种，，，，，，，，，，，，
所以恰好选中1名男生和1名女生的概率．
【点睛】本题考查了利用概率公式求概率，列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有可能的结果数，再从中选出符合事件的结果数，然后根据概率公式计算事件的概率．
23. 如图，在中，过点B作于E，F为上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】(1)由平行四边形的性质结合条件可得到，，据此即可证得结论；
(2)由平行线的性质可知，在中，由含30度角直角三角形的性质及勾股定理可求得，再根据相似三角形的性质即可解答．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
；
【小问2详解】
解：，，
，
，，
，
在中，，
得，
解得(负值舍去)，
，
，
得，
解得，
故的长为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
24. 如图，直线交于A、B两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为D．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定，直径所对圆周角为直角，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
（1）连接，由等边对等角及角平分线定义可证得与平行，进而可证明；
（2）由直径所对圆周角为直角，结合，结合证明，解直角三角形求出即可．
【小问1详解】
证明：连接．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴为的切线；
【小问2详解】
解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
25. 如图，吕梁阁为徐州园博园的地标性建筑．一架无人机飞到与吕梁阁顶端B等高的点P处，测得吕梁阁底部A的俯角为，当其飞至点Q时，测得点A的俯角为．若点Q在线段BP上，，求吕梁阁的高度．
参考数据：，
【答案】吕梁阁的高度为
【解析】
【分析】由题意可知，，进而可得，，再结合即可求得吕梁阁的高度．
【详解】解：由题意可知，，
在中，，则，
中，，则，
则，
∴，
即：吕梁阁的高度为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义及锐角三角函数的定义．
26. 一块直角三角形木板，它的一条直角边长，面积为，甲、乙两位木匠分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面．请说明哪个正方形面积较大加工损耗不计．
【答案】图②中的正方形面积较大
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，先利用三角形面积公式求出，进而利用勾股定理求出，设图①中正方形边长为，图②中正方形边长为，在图①中，先证明得到，进而证明得到，则，解得；图②中证明，得到，解得，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵直角边长，
∴，
∴，
设图①中正方形边长为，图②中正方形边长为，
如图①所示，∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，即
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
解得，
∴图①中正方形的边长为；
如图②所示，
同理可证明，
∴，即，
解得，
∴图②中正方形的边长为，
∵，
∴图②的正方形边长大于图①的正方形边长，
∴图②中的正方形面积较大．
27. 【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？
【初步尝试】如图1，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；
【问题联想】如图2，已知线段，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以为斜边的等腰直角三角形；
【问题再解】如图3，已知扇形，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．
（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线所在直线即为所求；
【问题联想】如图2，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；
【问题再解】如图3先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧即为所求．
【详解】【初步尝试】如图所示，作∠AOB的角平分线所在直线OP即为所求；
【问题联想】如图，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；
【问题再解】如图，先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形所交的圆弧CD即为所求．
【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法．
28. 如图1，是的直径，点A在上，AD⊥BC，垂足为D，，分别交、于点F、G．

（1）求证：；
（2）如图2，若点E与点A在直径的两侧，、的延长线交于点G，的延长线交于点F．
①问（1）中结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
②若，求．
【答案】（1）见解析 （2）①（1）中的结论成立，理由见解答过程；②
【解析】
【分析】（1）首先根据圆周角定理及垂直定义得到，，然后利用等弧对等角等知识得到，从而证得，根据等腰三角形的判定及性质即可得证；
（2）①（1）中的结论成立，证明方法同（1）；②过点G作交的延长线于点M，根据直角三角形的性质推出，根据相似三角形的性质得到，根据直角三角形的性质、圆周角定理推出，则，进而得出点F为的中点，根据锐角三角函数定义求出，根据题意推出，则，设，则，，根据平行线的性质推出点D为的中点，结合线段的和差求出，，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数定义即可得解．
【小问1详解】
证明：为直径，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
；
【小问2详解】
解：①（1）中的结论成立，理由如下：
为直径，
，
即：，
，
，
，
，
∵，
，
，
；
②如图2，过点G作交的延长线于点M，

，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
点F为的中点，
，
，
，
∴，
设，则，
∴
解得：，
，，
，
∴点D为的中点，
，
，
，
∵，
，
，
．
．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角形函数，能根据题意作出恰当的辅助线，并判断出是等腰三角形是解本题的关键．x
…
0
1
…
y
…
0
0
…