210，河南省南阳市2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份210，河南省南阳市2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A. 且B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x+2≥0且x-1≠0，
解得：x≥-2且x≠1．
故选A．
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义：①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x-1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
2. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得到答案.
【详解】∵，
∴，
则，
即，
故选：A.
【点睛】此题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的计算方法是解题的关键.
3. 若，且为锐角，则的值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的相关计算，先求解，可得，再结合特殊角的三角函数值可得答案．
【详解】解：∵，且为锐角，
∴，
∴，
∴，
故选C
4. 下列函数：①; ②; ③; ④,是二次函数的有:
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的定义，对每个函数进行判断，即可得到答案.
【详解】解：①是二次函数，正确；
②不是二次函数，错误；
③整理得，是二次函数，正确；
④整理得，是二次函数，正确；
∴一共有3个二次函数；
故选择：C.
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义.
5. 函数y＝－x2＋4x－3图象顶点坐标是（ ）
A. （2，－1）B. （2，1）C. （－2，－1）D. （－2， 1）
【答案】B
【解析】
【详解】y＝－x2＋4x－3=，所以函数y＝－x2＋4x－3图象顶点坐标是（2，1），故选B.
6. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查抛物线图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．熟记相关结论即可．
【详解】解：平移后抛物线的解析式为：，
故选：D．
7. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．据此求解即可．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
与对称轴距离越近的点的纵坐标越小，距离越远的点的纵坐标越大，
，
，
故选B．
8. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝﹣bx+a的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．
【详解】A、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，对称轴x＝−＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确．
B、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，对称轴＝−＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误，
D、对于直线y＝−bx＋a来说，由图象可以判断，a＞0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2＋bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
故选：A．
【点睛】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．
9. 二次函数 y=-x2+2x+4，当x时，则y的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】因为=，对称轴x=1，函数开口向下，分别求出x=-1和x=1时的函数值即可；
【详解】∵=，
∴当x=1时，y有最大值5；
当x=-1时，y==1；
当x=2时，y==4；
∴当时，；
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
10. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；
②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①抛物线开口向下，则，
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a，b异号，即，
抛物线与y轴交于正半轴，则，所以，
故①错误；
②∵抛物线对称轴为直线，
∴，即，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线，
∴函数的最大值为：，
∴，即，
故③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点在的右侧，
∴当时，，
∴，
故④错误；
⑤∵，
∴，
∴，
∴，
而，
∴，即，
∵，
∴，
故⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：C．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11. 已如一个二次函数的顶点为，且有最大值，请写出满足条件的一个二次函数的关系式______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据已知条件，二次函数有最大值，则二次项系数，然后根据顶点式写出满足条件的二次函数即可．
【详解】解：二次函数有最大值，
二次项系数，取，
二次函数图像的顶点为，
二次函数的关系式为：；
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查二次函数的关系式与二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解答此题的关键．
12. 在一个不透明的口袋中，装有3个球，它们分别写有数字1，2，3，这些球除上面数字外，其余都相同．先将这些球摇匀后，随机摸出一球，记下数字后，放回：再摇匀，再摸出一球．则摸出的两球的数字之和是4的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用列表表或画树状图求概率即可．
【详解】解：列表如下：
由表知，所有等可能的结果数有9种，其中和为4的结果数有3种，则摸出的两球的数字之和是4的概率是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了用列表法或画树状图求较复杂事件的概率，正确列表或画出树状图是关键．
13. 已知抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，则m的值为_____．
【答案】±6．
【解析】
【分析】根据函数图像与x轴的交点个数可得到b2﹣4ac=0，即可得到答案．
【详解】∵抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，
∴b2﹣4ac＝0，
即m2﹣36＝0，
解得m＝±6．
故答案为：±6．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与一元二次方程的关系，关键是要根据顶点在x轴上得出b2﹣4ac=0．
14. 地物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据二次函数的对称性即可得出二次函数与x轴的另一个交点为（3，0），当时，图像位于x轴的上方，故可以得出x的取值范围．
【详解】解：由图像可得：对称轴为x=1，二次函数与x轴的一个交点为（-1，0）
则根据对称性可得另一个交点（3，0）
∴当或时，
故答案为：或
【点睛】本题主要考查的是二次函数的对称性，二次函数的图像是关于对称轴对称的，掌握这个知识点是解题的关键．
15. 矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______．
【答案】2或
【解析】
【分析】分两种情况：当时和当时，分别进行讨论求解即可．
【详解】解：当时，

∵四边形矩形，
∴，则，
由平行线分线段成比例可得：，
又∵M为对角线的中点，
∴，
∴，
即：，
∴，
当时，

∵M为对角线的中点，
∴为的垂直平分线，
∴，
∵四边形矩形，
∴，则，
∴
∴，
综上，的长为2或，
故答案为：2或．
【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 计算：
（1）．
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，含特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂的运算法则是解本题的关键；
（1）先计算绝对值，零次幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，再合并即可；
（2）先计算乘方，绝对值，零次幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，再合并即可；
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
；
17. 嘉嘉与淇淇两位同学解方程的过程如下．
（1）嘉嘉的解法______，淇淇的解法______．（填“正确”或“不正确”）
（2）请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项．
【答案】（1）不正确，不正确
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据等式的性质即可得出答案；
（2）利用因式分解法解答即可．
【小问1详解】
解：嘉嘉的解法中，因为可能为0，
所以不能两边同时除以；
淇淇的解法中提取公因式后有一项忘记变号；
所以嘉嘉的解法不正确，淇淇的解法不正确，
故答案为：不正确，不正确；
【小问2详解】
解：正确的解法是：，
移项，得，
提取公因式，得，
则或，
解得，
注意事项：在利用因式分解法解一元二次方程时，注意把方程一边的多项式正确因式分解．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
18. 一个不透明口袋里装有分别标有汉字“大”、“美”、“南”、“阳”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅匀再摸球．
（1）小北从中任取一个球，球上的汉字刚好是“阳”的概率为____________；
（2）小东从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用列表或画树状图的方法，求小东取出的两个球上的汉字（不论顺序）恰好能组成“大美”或“南阳”的概率；
（3）小明从中任取一球，记下汉字后放回，然后再从中任取一球，记小明取出的两个球上的汉字（不论顺序）恰好能组成“大美”或“南阳”的概率为，则与的大小关系是________________________．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小东取出的两个球上的汉字恰好能组成“大美”或“南阳”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小明取出的两个球上的汉字恰好能组成“大美”或“南阳”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵不透明的口袋里装有分别标有汉字“好”、“心”、“茂”、“名”的四个小球，
∴从中任取−一个球，球上的汉字刚好是“茂”的概率为．
故答案为：．
【小问2详解】
解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两个球上的汉字恰能组成“大美”或“南阳”的有4种情况，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示：
共有16种等可能的结果，两个球上的汉字恰能组成“大美”或“南阳”的有4种情况，
，则小明取出的两个球上的汉字恰好能组成“大美”或“南阳”的概率为：，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，掌握利用列表法或树状图法求概率是解题的关键．
19. 为了维护南海的主权， 我国对相关区域进行海空常态化立体巡航．如图， 在一次巡航中，预警机沿 方向飞行， 驱护舰沿 方向航行， 且航向相 同 ． 当预警机飞行到 处时，测得航行到 处的驱护舰的俯角为 ，此时 距离相关岛屿 恰为 60 千米； 当预警机飞行到 处 时 ， 驱护舰恰好航行到预警机正下方 处，此时 千米，当预警机继续飞行到 处时，驱护舰到达相关岛屿且测得处的预警机的仰角为求预警机的飞行距离．（结果保留整数）（参考数据： ．）
【答案】预警机的飞行距离为95千米
【解析】
【分析】过B作BH⊥AE于H，过E作EF⊥BP交延长线于F，利用锐角三角函数解直角三角形求得AH、PF即可．
【详解】解：过B作BH⊥AE于H，过E作EF⊥BP交延长线于F，则∠AHB=∠EFP=90°，
由题意，∠A=45°，∠EPF=22°，BH=CD=EF=10千米，EH=BF，BP=60千米，
在Rt△AHB中，∠A=45°，BH= 10千米，
∴AH=BH=10千米，
在Rt△EFP中，∠EPF=22°，EF=10千米，
∴，
∴AE=AH+HE=10+60+25=95（千米），
答：预警机的飞行距离为95千米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握利用锐角三角函数解直角三角形，作垂线构造直角三角形是解答的关键．
20. 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且．

（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）12
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据题意得到，根据相似三角形的判定定理证明；
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
【小问1详解】
解：证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
；
【小问2详解】
四边形是平行四边形，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21. 为创建省级文明城市，改善人居环境，我市某社区投资1万元修建一个矩形植物园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为，垂直于墙的一边长为．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若植物园面积为384m2，求x的值；
（3）求植物园最大面积．
【答案】（1）
（2）18 （3）416m2
【解析】
【分析】(1) 根据“垂直于墙的长度 ”可得函数解析式；
（2）根据矩形的面积公式列方程求解可得；
(3) 根据矩形的面积公式列出总面积关于 的函数解析式, 配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得.
【小问1详解】
依题意得，．
∴．
【小问2详解】
依题意得，，
解得，
∵，
∴，即x的值是18．
【小问3详解】
设菜园的面积是S，
则
∴当时，S随x的增大而增大，
∵，
∴当时，S取得最大值，最大值为416，
答：菜园的最大面积为．
【点睛】本题主要考查二次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是将实际问题转化为一元二次方程和二次函数的问题．
22. 2022年，在全球疫情蔓延的情况下，北京成功举办冬奥会，为世界人民交上了一份满意的答卷．其中，滑雪运动备受人们青睐．下面是某滑雪训练场滑雪运动中的一张截图，某滑雪人员在空中留下了一道完美的曲线，经研究该曲线呈抛物线形状．某数学兴趣小组对此做出了如下研究：滑雪人员在距滑雪台（与水平地面平行）高的P处腾空滑出，在距P点水平距离为的地方到达最高处，此时距滑雪台的高度为．以滑雪台所在直线为x轴，过点P作x轴的垂线为y轴建立平面直角坐标系．完成以下问题：
（1）求该抛物线解析式．
（2）当滑雪人员距滑雪台高度为，则他继续滑行的水平距离为多少米时，可以使他距滑雪台的高度为．
【答案】（1）抛物线的解析式为
（2）他继续滑行的水平距离为时，可以使他距滑雪台的高度为
【解析】
【分析】（1）设出抛物线解析式的顶点式，再把的坐标代入解析式求出即可；
（2）分别把和代入（1）解析式求出对应的，再作差即可．
【小问1详解】
解：抛物线的解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线，
当时，；
令，则，
解得或（舍去），
，
他继续滑行的水平距离为时，可以使他距滑雪台的高度为．
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
23. 综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
【答案】（1）四边形AMDN为矩形；理由见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线定理得到，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论；
（2）证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解；
（3）延长ND，使DH=DN，证明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明∠MBH=90°，设AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）四边形AMDN为矩形．
理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，
∴，
∴∠AMD+∠A=180°，
∵∠A=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，
四边形AMDN为矩形；
（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴∠B+∠C=90°，．
∵点D是BC的中点，
∴CD=BC=5．
∵∠EDF=90°，
∴∠MDB+∠1=90°．
∵∠B=∠MDB，
∴∠1=∠C．
∴ND=NC．
过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．
∴CG=CD=．
∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，
∴△CGN∽△CAB．
∴，即，
∴；
（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，
∵MD⊥HN，∴MN=MH，
∵D是BC中点，
∴BD=DC，
又∵∠BDH=∠CDN，
∴△BDH≌△CDN，
∴BH=CN，∠DBH=∠C，
∵∠BAC=90°，
∵∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠MBH=90°，
设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x，
在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，
∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2，
解得x=，
∴线段AN的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题．1
2
3
1
1，1
1，2
1，3
2
2，1
2，2
2，3
3
3，1
3，2
3，3
嘉嘉：两边同时除以，得，
解得．
淇淇：移项，得，
提取公因式，得．
则或．
解得．