232，河南省洛阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份232，河南省洛阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共21页。

2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的制定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别，根据定义“一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，“如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形”逐项判断即可．
【详解】解：A，即轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
B，是轴对称图形,不是中心对称图形，不合题意；
C，是轴对称图形,不是中心对称图形，不合题意；
D，不是轴对称图形,是中心对称图形，不合题意；
故选A．
2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可．
【详解】解：∵，
∴，
即：，
故选：C．
3. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，利用旋转的性质得到，根据全等三角形的性质可知，进而得到，再利用三角形内角和定理即可解答，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
【详解】∵将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即旋转角的度数是，
故选：．
4. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质求出，，再根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：四边形内接于，
，
，
，
故选C．
5. 如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，关键在于找出等量关系列出函数解析式．设矩形的宽为，根据矩形的面积公式即可求出函数关系式，再利用配方法求出函数最值．
【详解】解：设矩形的宽为，面积为，
根据题意得：，
∴时，菜园面积最大，最大面积是．
故选：A．
6. 近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从年底至年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约万人增加到约万人．若设年底至年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为，则可列出关于的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为，根据题意列出方程即可，根据题意正确列出方程是解题的关键．
【详解】设全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为，
由题意得：，
故选：．
7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. D. 当时，随的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一判断即可，熟练掌握知识点及运用数形结合的思想是解题的关键．
【详解】、∵抛物线开口方向向上，
∴，此选项不符合题意；
、∵抛物线与轴交于正半轴，
∴，此选项不符合题意；
、当时，根据图象可知，，此选项不符合题意；
、当时，根据图象可知，随的增大而减小或随的增大而增大，此选项符合题意；；
故选：．
8. 平行四边形的边在轴上，顶点在反比例函数的图象上，与轴相交于点，且为的中点，若平行四边形的面积为8，则的值为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解答本题的关键．利用平行四边形的性质得到三角形的面积，根据中线平分面积，可得三角形的面积，利用反比例函数中k值的几何意义可得k值．
【详解】解：如图，连接，
∵平行四边形的面积为8，
∴，
∵D为的中点，
∴
∵，图象在第二象限，
∴．
故选：C．
9. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．
其中合理的是（ ）
A. ①B. ②C. ①②D. ①③
【答案】B
【解析】
【详解】①当频数增大时，频率逐渐稳定的值即为概率，500次的实验次数偏低，而频率稳定在了0.618，错误；②由图可知频数稳定在了0.618，所以估计频率为0.618，正确；③.这个实验是一个随机试验，当投掷次数为1000时，钉尖向上”的概率不一定是0.620.错误,
故选B.
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，能正确理解相关概念是解题的关键.
10. 如图，平面直角坐标系中，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化——旋转，等腰三角形的性质，作轴于点H，根据等腰三角形三线合一的性质求出点的坐标，再结合旋转的性质找出变化规律，利用规律求解即可．
【详解】解：如图，作轴于点H，
，，
，
是等腰直角三角形且，
，
点的坐标为，
把绕点顺时针旋转得到，，
点C的坐标为，点的坐标为，即，
同理可得点D的坐标为，点的坐标为，即，
以此类推，当n为奇数时，点的坐标为，当n为偶数时，点的坐标为，
的坐标为，即．
故选B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式： ______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据开口向下和过点（0，2），可知二次项系数小于0，与y轴交于（0，2），即可写出解析式；
【详解】根据函数开口向下且过点（0，2）可得：；
故答案是；
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式求解，准确判断是解题的关键．
12. 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是______．
【答案】3
【解析】
【详解】试题分析：设方程的另一个解是a，则1×a=3，
解得：a=3．
故答案是：3．
考点：根与系数的关系．
13. 如图，平面直角坐标系中有一段弧经过格点（正方形网格交点）A、B、C，其中，则圆弧所在圆的圆心坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可知弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是．
故答案是：
【点睛】本题考查的是坐标图形性质、垂径定理，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键．
14. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用3，4，5这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解．
【详解】解：依题意，用3，4，5这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，
可能结果有345，354，435，453，534，543，共六种可能，
只有345，543是“平稳数”，
∴恰好是“平稳数”的概率为．
故答案为：．
15. 如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转得到，取的中点的中点，则在旋转过程中，线段的最小值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后，对应边线段及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．连接，根据将绕顶点顺时针旋转得到，可得，，由E为的中点，知，求出，即可得当不能构成三角形，且D在上时，取最小值，此时．
【详解】解：连接，如图：
∵将绕顶点顺时针旋转得到，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∵为中点，
∴，
中，，
∴当不能构成三角形，且D在上时，取最小值，此时，
如图：
∴的最小值为
故答案为：2．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程：
（1）先移项，再利用直接开平方法求解；
（2）利用公式法求解．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
解得，；
【小问2详解】
解：中，，，，
，
则，
解得，．
17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点顺时针旋转得到，点旋转后的对应点为．
（1）画出旋转后的图形，并写出点的坐标；
（2）求点经过的路径的长（结果保留π）．
【答案】（1）见解析，点的坐标为；
（2）
【解析】
【分析】（1）将点分别绕点顺时针旋转得到其对应点，再与点首尾顺次连接即可；
（2）根据弧长公式即可求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
点的坐标为；
【小问2详解】
解：由题意得，，
，
所以点经过的路径的长为．
【点睛】本题主要考查作图——旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质及弧长公式．
18. 中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．
根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有_____人，条形统计图中的值为______；
（2）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识宣讲，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）80，20
（2）
【解析】
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他了解的人数，即可求出非常了解的人数；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【小问1详解】
解：接受问卷调查的学生共有（人），
非常了解的人数有：
故答案为：80，20；
【小问2详解】
由题意画树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
19. 已知二次函数．
（1）当时，二次函数的图象与轴有两个交点，求的取值范围；
（2）若二次函数的部分图象如图所示，
求二次函数图象的对称轴；
求关于的一元二次方程的解．
【答案】19.
20. 直线；，
【解析】
【分析】（）将代入二次函数中，然后根据当时，二次函数
的图象与轴有两个交点，可知 ，然后即可求得的取值范围；
（）将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴；
根据图象与轴的一个交点和二次函数的性质，可以写出该函数图象与轴的另一个交点，然后即可写出关于的一元二次方程的解；
本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合熟练掌握以上知识的应用．
【小问1详解】
当 时，，
∵当时，二次函数的图象与轴有两个交点，
∴，
解得；
【小问2详解】
∵，
∴二次函数的图象的对称轴是直线；
由图象可知：二次函数的图象与轴交于点(1,0),
由知，该函数的对称轴为直线，
∴该函数与轴的另一个交点为，
∴关于的一元二次方程的解是，．
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）已知点的横坐标为，请结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）反比例函数解析式，一次函数解析式为
（2）或
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合：
（1）利用待定系数法求解；
（2）利用数形结合思想求解．
【小问1详解】
解：将代入，得，
解得，
反比例函数解析式为；
将代入，得，
解得，
一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：点的横坐标为，点的横坐标为3，
结合图形可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数的上方，
因此不等式的解集为或．
21. 如图，在中，以为直径的与交于点，且．
（1）求证：；
（2）若与相切于点，求的度数；
（3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）作图见解析．
【解析】
【分析】本题考查作图一复杂作图、圆周角定理、切线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（）连接，根据圆周角定理可得，则可得为线段的垂直平分线，即可得；
（）由切线的性质可得结合可得 ；
（）作线段的垂直平分线，与劣弧的交点即为点．
【小问1详解】
证明：连接，
∵为的直径，
∴ ，
∵，
∴为线段的垂直平分线，
∴；
【小问2详解】
∵与相切于点，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
如图，分别以、为圆心，大于长度为半径，画弧，连接两弧交点，交劣弧于点，
则点即为所求．
22. 在一次学校组织的社会实践活动中，小洛看到农田里安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线（如图1），他发现这种喷枪射程是可调节的，且在一定的调节范围内喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一组相关数据，通过研究发现，以地面为轴，以喷枪所在直线为轴，建立平面直角坐标系（如图2所示），设水流的最高点到地面的距离为，水流的最高点与喷枪的水平距离为，且满足．
请解答下列问题：
（1）该喷枪的出水口到地面的距离为______m；
（2）当水流最高点与喷枪的水平距离为时，求水流的最高点到地面的距离；
（3）在（2）的条件下，请计算水流的射程约为多少米（精确到，参考数据）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用：
（1）将代入即可求解；
（2）将代入即可求解；
（3）根据（2）中结论设出抛物线的顶点式为，将代入求出a的值，再令，求出对应的x的值即可．
【小问1详解】
解：将代入，得，
即该喷枪的出水口到地面的距离为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：将代入，得，
即水流的最高点到地面的距离为；
【小问3详解】
解：由（2）知，水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为，
此时抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
解得，
，
当时，，
解得，（负值舍去），
水流的射程约为．
23. 在学习《圆》这章时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：
已知：如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，并延长交直线于点．请解答下列问题：
（1）当点在如图所示的位置时，
①找出图中与全等的三角形，并说明理由；
②求度数；
③利用题干中的结论，证明：四点共圆；
（2）连接，点在内部运动的过程中，若，直接写出线段的长．
【答案】（1）①，理由见解析；②；③见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①由证明；②由可得，通过导角可得，即可求出的度数；③由对角互补的四边形的四个顶点共圆，可证四点共圆；
（2）由勾股定理可求的长，由圆周角定理可得，由等腰直角三角形的性质可求的长，的长，即可求解．
【小问1详解】
解：①，理由如下：
是等腰直角三角形，，
，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
在和中，
，
；
②，
，
，
，
；
③证明：，
，
，
四点共圆；
【小问2详解】
解：如图，连接，过点D作于点H，
，
，
，，
，，
四点共圆，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
【点睛】本题考查四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．