江苏省宿迁市2024届高三下学期调研测试数学试题

这是一份江苏省宿迁市2024届高三下学期调研测试数学试题，共16页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，人工智能领域让贝叶斯公式等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．设是等比数列的前项和，若成等差数列，，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
6．已知，向量在上的投影向量为，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．或
7．已知椭圆的左焦点为，过原点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设随机变量，其中，下列说法正确的是（ ）
A．变量的方差为1，均值为0B．
C．函数在上是单调增函数D．
10．在平面直角坐标系中，已知抛物线为抛物线上两点下列说法正确的是（ ）
A．若直线过点，则面积的最小值为2
B．若直线过点，则点在以线段为直径的圆外
C．若直线过点，则以线段为直径的圆与直线相切
D．过两点分别作抛物线的切线，若两切线的交点在直线上，则直线过点
11．已知正方体的棱长为分别为棱的点，且，若点为正方体内部（含边界）点，满足：为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．点的轨迹为菱形及其内部
B．当时，点的轨迹长度为
C．最小值为
D．当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知的展开式中二项式系数和为32，则展开式中的常数项为_________．
13．已知定义在区间上的函数的值域为，则的取值范围为_________．
14．在一个轴截面为正三角形的圆锥内放入一个与侧面及底面都相切的实心球后，再在该圆锥内的空隙处放入个小球，这些小球与实心球、圆锥的侧面以及底面都相切，则的最大值为_________（取）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知为公差不为0的等差数列的前项和，且．
（1）求的值；
（2）若，求证：．
16．（15分）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，其中，，平面平面．
（1）证明：；
（2）若，且与平面所成角的正切值为2，求平面与平面所成二面角的正弦值．
17．（15分）某班欲从6人中选派3人参加学校篮球投篮比赛，现将6人均分成甲、乙两队进行选拔比赛．经分析甲队每名队员投篮命中概率均为，乙队三名队员投篮命中的概率分别为，．现要求所有队员各投篮一次（队员投篮是否投中互不影响）．
（1）若，求甲、乙两队共投中5次的概率；
（2）以甲、乙两队投中次数的期望为依据，若甲队获胜，求的取值范围．
18．（17分）已知函数．
（1）若，求的极小值；
（2）若过原点可以作两条直线与曲线相切，求的取值范围．
19．（17分）已知双曲线的右顶点为，过点且与轴垂直的直线交一条渐近线于．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点作直线与双曲线相交于两点，直线分别交直线于两点，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【解析】，选C．
2．【答案】D
【解析】，选D．
3．【答案】A
【解析】解法一：两角和与差余弦公式+同角平方关系
，选A．
解法二：平方法+诱导公式
，选A．
4．【答案】A
【解析】解法一：，选A．
解法二：特值当时，，排除B，D，当时，，排除C，选A．
5．【答案】B
【解析】解法一：性质+特值
，排除C，D；当时，排除A，选B．
解法二：基本量运算
由解法一知，则
，选B．
解法三：二级结论
，由，
则，又，
则
或（舍去），选B．
6．【答案】A
【解析】向量在上的投影向量为，则，又，则，选A．
另解：向量在上的投影向量为，排除C，D，观察选项“颜值”，选A．
7．【答案】B
【解析】解法一：极化恒等式+解三角形+通径
，又
，
又，则，选B．
解法二：向量坐标运算+坐标翻译垂直
不妨设，则，下同解法一（略），选B．
解法三：对称性+焦点三角形
设右焦点，
又，则，又，则，选B．
解法四：余弦定理的向量形式+极化恒等式
，
，
，
则，又，则，选B．
解法五：直线方向向量+解三角形+通径
，由，则，下同解法一（略），选B．
另解：减少字母个数利于求值，还可取特值．
8．【答案】C
【解析】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B，
则，由贝叶斯公式得：
，选C．
9．【答案】ACD
【解析】随机变量，则A正确；
，则B错误；
随机变量，结合正态曲线易得函数在上是单调增函数，则C正确；
正态分布的曲线关于对称，，则D正确，
选ACD．
10．【答案】AC
【解析】抛物线的焦点弦端点与顶点构成三角形，A正确；抛物线，轴点弦的端点与顶点连线互相垂直（充要条件成立），则点在以线段为直径的圆上，B错误；
抛物线的焦点弦为直径的圆与准线相切，C正确；
抛物线的阿基米德三角形性质：过准线上一点作抛物线两切线，切点恒过焦点（充要条件成立），则直线过点，D错误．故选AC．
11．【答案】ABD
【解析】在菱形内，A正确；
当时，在线段上，的轨迹长度为线段的长，即为，B正确；
当时，在面内，在上时，有最小值为，C错误；
当时，在面内，在上时，与面所成角的正弦值最大，即为，D正确．故选ABD．另：几何法和建系也可．
12．【答案】10
【解析】令，则当时，常数项为．
13．【答案】
【解析】解法一：换元法
令．
解法二：目标函数+伸缩变换令
．
14．【答案】10
【解析】1．“三切”：小球与实心球，圆锥底面，圆锥侧面皆相切小球摆放态，
2．“轨迹”：离散型分布，小球与底面切点在圆锥底面的同心圆上“圆环手串”模型小球球心在同心圆上，此种转化便于解决问题，
3．“误区”：两相切小球的球心与切点三点共线吗？答案为共线，两小球切点在圆环上吗？答案为否！实物模型手串理解，放大手串的珠子更直观，还可作正多边形，让正多边形的顶点为圆心，直径为正多边形的边长更好理解！
4．“计算”：设实心球半径为，小球半径为，则，“手环穿”半径为．
5．“几何”：令，关键条件的使用．
15．【解析】（1）解法一：设的公差为，
由①，得②，
则②-①得，
即，又，则．
解法二：设的公差为
因为
所以对恒成立
即对恒成立
所以
又，则．
解法三：利用必要性解题
取求出结果，将代回验证
（2）由得，即，
所以，
又即，则，
因此
则
．
16．【解析】
（1）因为，所以为等边三角形，
所以，
又四边形为梯形，，则，
在中，由余弦定理可知，
，
根据勾股定理可知，，即．
因为平面平面，平面平面
平面，
所以平面，又因为平面
所以．
（2）法一：由（1）可知，
又因为，所以平面，
所以就是与平面所成角，所以，
所以；
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则有取，
由题意得为平面的法向量，
所以，
即平面与平面所成二面角的正弦值．
法二：在平面内，延长与相交于点，
连接，则为平面与平面的交线
在平面内，过点作，垂足为，连接
由（1）得，
因为且均在面内
所以面
因为面，所以
又因为且均在面内
所以面，即面
因为面，所以
因为且均在面内
所以面，由面所以
所以
在直角三角形中
在直角三角形中
所以平面与平面所成二面角的正弦值．
所以就是二面角的平面角
又因为平面，
所以就是与平面所成角，
所以，所以
因为，所以．
17．【解析】
（1）记“甲，乙两队共投中5次”为事件，
则可以是甲队投中3次，乙队投中2次或者甲队投中2次，乙队投中3次．
则，
答：甲、乙两队共投中5次的概率为．
（2）记甲、乙两队投中次数分别为，
则，所以；
的取值为0，1，2，3，则，
，
，
，
所以，的分布列为
另解：
18．【解析】
（1），
令得，则在上单调递减，
令得，则在上单调递增，
则的极小值为（列表也可）
（2），
设切点分别为，
则在处的切线方程为，
又切点过原点，所以，
即，同理，
所以为方程两个不同的根，
设，则，
若，则在单调递减，不符合题意；
若，令得，在单调递减，
令得在单调递增，
所以，
若，即，
此时方程没有两个不同的根，不符合题意；
若，即，
因为，所以，所以，
令，则，
所以在上单调递增，，
即，
又的图像是不间断的曲线，
所以存在满足使得，
所以的取值范围是．
19．【解析】
（1）因为双曲线的渐近线方程为，
所以解得，
所以双曲线的方程为．
（2）解法一：由题知，直线的
设方程为，斜率存在，
联立得，
则且，所以且
因为的方程为，由题意得，则，
所以
令得，同理
所以，
所以
当时，都在点右侧，则
当时，在点两侧，此时与异号，
则
又
所以
综上，的取值范围为．
解法二：齐次化处理
（2）由题知，直线必经过点，故可设方程为，
设
因为直线过点，所以
设
由得
即
所以是上述关于方程的两个不等根
所以
又直线不平行与渐近线，所以
所以
直线与联立得点，同理
所以
所以
①当时，，所以
②当时
所以
综上，的取值范围为．0
1
2
3