吉林省长春市绿园区新解放学校2023-2024学年七年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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满分：120分 时间：120分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义，从而完成求解．二元一次方程必须满足以下三个条件：①方程中只含有2个未知数；②含未知数的项的最高次数为一次；③方程是整式方程，根据依次判断即可．
【详解】是二元一次方程，故选项A正确；
，含未知数的项的次数是2，故选项B错误；
含未知数的项的次数是2，故选项C错误；
，只有一个未知数，故选项D错误；
故选：A．
2. 下列不等式的变形正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，且，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，进行分析即可．
【详解】解：A、若，则，故原变形错误，故此选项不符合题意；
B、若，且，则，故原变形错误，故此选项不符合题意；
C、若，当时，则，故原变形错误，故此选项不符合题意；
D、若，由题分析得，不等式两边同时除以正数，则，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：D．
3. 下面的图形是用数学家的名字命名的，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. 科克曲线B. 费马螺线
C. 笛卡尔心形线D. 斐波那契螺旋线
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断即可求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形即在平面内，沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形即把一个图形绕某一点旋转180°后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形，熟练准确掌握两种图形的定义是解题的关键．
4. 已知三条线段长分别为2cm、4cm、acm，若这三条线段首尾顺次相接能围成一个三角形，那么a的取值可以是( )
A. 7B. 4C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再一一比较即可．
【详解】解：根据题意得：
∵只有选项B在这范围内，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟悉掌握三角形的定义是解题的关键．
5. 不等式和的解集在数轴上表示都正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【详解】解：由，得，
由，得，
∴不等式组的解集是，
在数轴上表示如下：
故选：D．
6. 用同一种正多边形能进行平面图形铺设的条件是（ ）
A. 内角都是整十数度数B. 边数都是3的整数倍
C. 内角能被整除D. 内角能被整除
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是掌握用同一种正多边形能进行平面图形铺设的条件是内角能被整除．据此即可解答．
【详解】解：用同一种正多边形能进行平面图形铺设的条件是内角能被整除，
故选：C．
7. 如图，是由绕着点A逆时针旋转一定的角度得到的，点D刚好落在BC上，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查旋转图形的性质、三角形内角和定理和对顶角相等．
根据旋转性质得出，，，，，，继而得根据三角形内角和定理和对顶角相等即可求得，即可得出答案．
【详解】解：∵是由绕着点A逆时针旋转一定的角度得到的，
∴，，，，，，
故A、C、D选项不一定成立，
如图，
∵，，，
∴，
故B选项一定成立，
故选：B．
8. 把一盒苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个，若每人分6个，则最后一个学生能得到的苹果不超过2个，则学生人数是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【详解】解：设学生有个，由题意得
，解得，
∵x是整数，∴，∴学生人数是4．
故选B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 正十二边形的内角和等于______度．
【答案】##1800度
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟悉相关性质是解题的关键．根据多边形的内角和公式进行计算即可．
【详解】解：，
∴正十二边形的内角和等于．
故答案为：．
10. 如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为______．
【答案】40
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质；
根据平移的性质得出阴影部分是长为，宽为的长方形，然后计算即可．
【详解】解：如图，
由平移得：，，，
∴，，
即阴影部分是长为，宽为的长方形，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：40．
11. 如图，用个全等的正五边形进行拼接，使相邻的两个正五边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，则的值为___________．

【答案】10
【解析】
【分析】正五边形的一个内角为，其中，正多边形的外角和÷一个外角的度数外角的个数，即多边形的边数．
【详解】解∶正五边形的一个内角为
∴正边形的一个内角为，
∴正边形的一个外角为，
∴÷，
∴的值为，
故答案为∶10．
【点睛】本题侧重考查多边形的外角和为360度、多边形内角和公式，掌握其公式是解决此题的关键．
12. 新解放学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号为______．
【答案】20231425
【解析】
【分析】本题考查了镜面对称的性质；
根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，可得答案．
【详解】解：他的学号为20231425，
故答案为：20231425．
13. 在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的方格内填入了一些表示数的数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则__________.
【答案】4；
【解析】
【分析】首先根据各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，可得：2y＋y＋0＝y＋6＋（−2），2y＋y＋0＝x＋（−2）＋0，据此求出x、y的值各是多少；然后应用代入法，求出x−2y的值是多少即可．
【详解】∵各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，
∴2y＋y＋0＝y＋6＋（−2），2y＋y＋0＝x＋（−2）＋0，
∴3y＝y＋4，3y＝x−2，
解得y＝2，x＝8，
∴x−2y
＝8−2×2
＝8−4
＝4
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是求出x、y的值各是多少．
14. 如图，在长方形中，，点E、F分别在、上，将长方形沿折叠，使点A、D分别落在长方形外部的点，，则整个阴影部分图形的周长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换的性质；
由折叠的性质得出整个阴影部分图形的周长为长方形的周长，然后计算即可．
【详解】解：由折叠得：，，，
∴整个阴影部分图形的周长为长方形的周长，即，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10道题，共78分）
15. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的解法的一般步骤是关键．
（1）去括号，移项，合并同类项，最后系数化1即可；
（2）先去分母，再去括号，再移项合并同类项，最后系数化1即可．
【小问1详解】
解：，
去括号得：
移项得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
【小问2详解】
解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
16. 马小虎在解不等式的过程中出现了错误，解答过程如下：
（1）马小虎的解答过程是从第______步开始出现错误的．
（2）请写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）三，（2）
【解析】
【分析】（1）第三步的移项出现错误；
（2）根据一元一次不等式的解题步骤求解．
【详解】解：（1）第三步中，移项应该变号，
故答案为：三；
（2）正确的解答过程为：
去分母得5（1＋x）＞3（2x−1），
去括号得5＋5x＞6x−3，
移项得5x−6x＞−3−5，
合并得−x＞−8，
系数化为1得x＜8．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
17. 如图，在中，，是角平分线，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角的性质；
根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，再根据三角形外角的性质可得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
18. 用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，
如：．
（1）求的值；
（2）若，求a的值．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，以及有理数的混合运算的方法，要熟练掌握．
（1）根据，求出的值是多少即可．
（2）根据题中新定义得到方程，解之即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴=；
【小问2详解】
∵，
∴，
化简得：，
解得：．
19. 如图1是工人师傅常用工具“角尺”．如图2，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，两点重合，这时过角尺的顶点作射线，则为的平分线，说明理由．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据SSS直接证明即可求解．得到即平分．
【详解】解：由题意可知：，
∵，，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等），
∴平分．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，理解题意是解题的关键．
20. 图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，点B在格线上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图1中，作出点A关于点O的对称点C，连结．
（2）在图2中，作出线段关于点O的成中心对称线段．
（3）在图3中，已知点F是线段上的任意一点，作出一条线段，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图−对称变换，熟知图形对称的性质是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质即可解决问题．
（2）分别画出点A和点B关于点O的对称点即可解决问题．
（3）先画出关于点O的对称线段，再延长与之相交即可解决问题．
小问1详解】
解：连接并延长，与网格的交点即为点C，连接，
如图所示，点C即为所求作的点．
【小问2详解】
分别连接，并延长，与网格分别交于点D和点E，
如图所示，线段即为所求作的线段．
【小问3详解】
分别连接，并延长，与网格分别交于点D和点E，连接，连接并延长与交于点G，
如图所示，即为所求作的线段．
21. 今年元旦期间某物流公司计划用两种车型运输新年物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨：用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．
（1）求每辆A型车和每辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨．
（2）某物流公司现有31吨物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完且恰好每辆车都装满，若A型车每辆需租金每次300元，B型车租金每次200元，直接写出最少租车费是______元．
【答案】（1）每辆A型车一次可运3吨，每辆B型车一次可运4吨
（2）1700
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组，二元一次方程的应用；
（1）设每辆A型车一次可运吨，每辆B型车一次可运吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨：用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”列出二元一次方程组，解方程组可得答案；
（2）根据“共有31吨货物，一次运完且恰好每辆车都装满”列出二元一次方程，求出方程的正整数解，再分别计算出对应的租车费即可得出答案．
【小问1详解】
解：设每辆A型车一次可运吨，每辆B型车一次可运吨，
由题意得：，
解得：，
答：每辆A型车一次可运3吨，每辆B型车一次可运4吨；
【小问2详解】
由题意得：（，，且a，b是整数），
∴，
∴或或，
当时，租车费为：（元），
当时，租车费为：（元），
当时，租车费为：（元），
∴最少租车费是元，
故答案为：1700．
22. 如图，已知，点D在的延长线上，点E在上，连接并延长交于点F．
（1）求证：．
（2）若点F为线段的中点，的面积为10，的面积为6，则四边形的面积为______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形中线的性质；
（1）根据全等三角形的性质可得，等量代换求出，可得，问题得证；
（2）根据三角形中线性质求出，根据全等三角形的性质可得，进而求出四边形的面积．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，点D在BC的延长线上，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
【小问2详解】
∵点F为线段的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积，
故答案为：．
23. 【知识累计】解方程组
解：设，原方程组可变为
解得：．所以，解得．此种解方程组方法叫换元法．
【拓展提高】运用上述方法解下列方程组：
【能力运用】已知关于的方程组的解为，
直接写出关于的方程组的解为______．
【答案】拓展提高：；能力运用：
【解析】
【分析】本题考查了换元法解方程组，正确理解换元法的意义是解题的关键．
拓展提高：设，，原方程组可变为，求解即可．
能力运用：设，，原方程组可变为，求解即可．
【详解】拓展提高：设，，原方程组可变为，
解方程组，得，
∴，
解方程组，得．
能力运用：设，，原方程组可变为，
∵关于，的方程组的解为，
∴，
解得，
故答案为：．
24. 如图，在中，，将绕着的中点O旋转得到，点M为的中点，动点P从点A出发沿折线向终点D运动（点P不与点A重合），连结，设点P的运动路程为．
（1）________，________．
（2）若点P与点C不重合，设线段的长度为y，用含x的代数式表示y（写出x的取值范围）．
（3）在（2）条件下，当将四边形的周长分成两部分时，求此时x的值以及对应的y的值．
（4）作点A关于直线的对称点N，连结，当与四边形的某条边平行时，请直接写出的度数．
【答案】（1）6，120
（2）
（3）或
（4）的度数为或
【解析】
【分析】（1）求出和，然后利用旋转变换的性质即可求得答案；
（2）分两种情况：当点P在边上运动时，当点P在边上运动时，分别求得即可；
（3）先求出四边形的周长，再分两种情况：当时；当时；分别列式求出x的值，进而可求y的值；
（4）分两种情况：当时，证明点P与点C重合，四边形是菱形，是等边三角形即可；当时，可得点N与点B重合，则，即可求出的度数．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵将绕着的中点O旋转得到，
∴，，，
∴，
故答案为：6，120．
【小问2详解】
当点P在边上运动时，，，
则；
当点P在边上运动时，，，
则；
∴；
【小问3详解】
∵点M为的中点，
∴，
由题意得：四边形的周长，
当时，则，
解得：，
∴；
当时，则，
解得：，
∴，
综上，或；
【小问4详解】
当时，如图，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∵点A与点N关于直线对称，
∴点P与点C重合，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
当时，如图，则点N与点B重合，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了轴对称变换和旋转变换的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，动点问题等知识；本题综合性强，有一定难度，根据点的运动情况表示出各个线段的长是解题的关键．6
0
解不等式：．
解：去分母，得．（第一步）
去括号，得．（第二步）
移项，得．（第三步）
合并同类项，得．（第四步）
两边同时除以11，得．（第五步）