2023-2024学年湖北省荆州中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省荆州中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线 3x−y−1=0的倾斜角为( )
A. π4B. π3C. π6D. π2
2.已知平面α的法向量为a=(1,2,−2)，平面β的法向量为b=(−2,−4,k)，若α⊥β，则k=( )
A. 4B. −4C. 5D. −5
3.双曲线C：x2a2−y2b2=1过点( 2, 3)，离心率为2，则双曲线的解析式为．( )
A. x23−y2=1B. x2−y23=1C. x22−y23=1D. x23−y22=1
4.已知公差小于0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=a1+a10，则当Sn最大时的n值为( )
A. 6或7B. 7或8C. 6或8D. 8或9
5.如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，F是棱PD的中点，且BE=2EC，则EF=( )
A. 12AP−AB−16AD
B. −12AP+AB+16AD
C. 12AP−AB+16AD
D. −12AP+AB−16AD
6.已知两等差数列{an}，{bn}，前n项和分别是An，Bn，且满足AnBn=2n+13n+2，则a6b5=( )
A. 1516B. 1317C. 2329D. 253180
7.在圆x2+y2=5x内，过点(52,32)有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为an，若公差d∈[16,13]，那么n的取值集合为( )
A. {4,5,6,7}B. {4,5,6}C. {3,4,5,6}D. {3,4,5}
8.若数列{an}对任意连续三项ai，ai+1，ai+2，均有(ai−ai+2)(ai+2−ai+1)>0，则称该数列为“跳跃数列”，下列说法中正确的是( )
A. 存在等差数列{an}是“跳跃数列”
B. 存在公比大于零的等比数列{an}是“跳跃数列”
C. 若等比数列{an}是“跳跃数列”，则公比q∈(−1,0)
D. 若数列{an}满足an+1=2an+1，则{an}为“跳跃数列”
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若有空间非零向量a,b，a//b，则存在唯一的实数λ，使得b=λa
B. A，B，C三点不共线，空间中任意点O，若OP=34OA+18OB+18OC，则P，A，B，C四点共面
C. a=(x,2,1)，b=(4,−2+x,x)，若a//b，则x=−2
D. 若{OA,OB,OC}是空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面，但不共线
10.已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2−2x+y2−2y+1=0，则( )
A. 圆C1与圆C2相切
B. 圆C1与圆C2公切线的长度为 2
C. 圆C1与圆C2公共弦所在直线的方程为x+y=1
D. 圆C1与圆C2公共部分的面积为π2−1
11.已知五个数1，p，m，q，16成等比数列，则曲线x2p+y2m=1的离心率可以是
( )
A. 22B. 32C. 62D. 3
12.对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目.函数φ(n)以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为φ函数，例如φ(10)=4，(10与1，3，7，9均互质)则( )
A. φ(12)+φ(29)=32B. 数列{φ(n)}单调递增
C. 若p为质数，则数列{φ(pn)}为等比数列D. 数列{nϕ(3n)}的前4项和等于5827
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线l的斜率为−1，且过点(2,−5)，则直线l在y轴上的截距是______．
14.若双曲线x2−y2m2=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2−4y+3=0相切，则m= ．
15.在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+3n+1，则a9= ______．
16.已知三棱锥P−ABC满足PA⊥平面ABC，且PA=3，底面△ABC为边长为2的正三角形，则该三棱锥的外接球半径R与内切球半径r的比值为Rr为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知直线2x−y+m=0和圆O：x2+y2=5．
(1)m为何值时，截得的弦长为2；
(2)若直线和圆交于A，B两点，此时OA⊥OB，求m的值．
18.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{an}落入区间(10,2024)的所有项的和．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，AB=AC= 22AD．
(1)证明：平面PAC⊥平面PAB；
(2)已知PA= 3AB，在线段PB上是否存在一点Q，使得二面角Q−AC−B的平面角为π3？若存在，求出PQQB的值，若不存在，请说明理由．
20.(本小题12分)
已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点(4,m)到焦点的距离为6．
(1)求此抛物线的方程；
(2)若此抛物线方程与直线y=kx−2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
21.(本小题12分)
已知Sn为数列{an}的前n项和，且an+2Sn=1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=2lg3an⋅lg3an+2，求数列{bn}的前n项和Mn．
(3)设Tn=a1+3a2+5a3+⋅⋅⋅+(2n−1)an，若不等式(−1)nλ0时，(ai−ai+2)(ai+2−ai+1)=−ai2q(1−q)2(1+q)≤0，所以B错误；
由(ai−ai+2)(ai+2−ai+1)=−ai2q(1−q)2(1+q)>0，得q∈(−1,0)，所以C正确；
因为an+1=2an+1，所以an+2=2an+1+1=4an+3，
所以(ai−ai+2)(ai+2−ai+1)=(ai−4ai−3)(4ai+3−2ai−1)=(−3ai−3)(2ai+2)=−6(ai+1)2≤0，故D错误．
故选：C．
由(ai−ai+2)(ai+2−ai+1)=−2d2≤0可判断A；由(ai−ai+2)(ai+2−ai+1)=−ai2q(1−q)2(1+q)可判断B；解不等式(ai−ai+2)(ai+2−ai+1)=−ai2q(1−q)2(1+q)>0可判断C；由an+1=2an+1得an+2=4an+3，计算(ai−ai+2)(ai+2−ai+1)可判断D．
本题考查关于数列的新定义的应用，化归转化思想，属中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于A：有空间非零向量a,b，a//b，则存在唯一的实数λ，使得b=λa，故A正确；
对于B：A，B，C三点不共线，空间中任意点O，若OP=34OA+18OB+18OC，由于：34+18+18=1，则P，A，B，C四点共面，故B正确；
对于C：对于a=(x,2,1)，b=(4,−2+x,x)，由于a//b，故x4=2−2+x=1x，解得x=−2，故C正确；
对于D：若{OA,OB,OC}是空间的一个基底，则O，A，B，C四点不共面，且不共线，故D错误．
故选：ABC．
直接利用共线向量，向量的基底判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：共线向量，向量的基底，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：因为圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2+y2−2x−2y+1=0，
所以圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1=1，圆C2的圆心为C2(1,1)，半径r2=1，
所以|r1−r2|0)，
解得m= 3，
故答案为： 3．
根据双曲线的几何性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，方程思想，即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，方程思想，属基础题．
15.【答案】2017
【解析】解：在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+3n+1，
则an+1+3(n+1)+4=2(an+3n+4)，
又a1+3×1+4=8，
则数列{an+3n+4}是以8为首项，2为公比的等比数列，
即a9+31=8×28=211，
即a9=2017．
故答案为：2017．
由已知条件可得数列{an+3n+4}是以8为首项，2为公比的等比数列，然后求解．
本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了数列的递推式，属中档题．
16.【答案】2 43+ 1296
【解析】解：如图，
设底面三角形ABC的外心为E，则底面外接圆的半径AE=23× 22−12=2 33，
设三棱锥P−ABC的外接球的球心为O，连接OE，则OE⊥平面ABC，且OE=12PA=32，
∴三棱锥P−ABC的外接球的半径为R= (2 33)2+(32)2= 1296；
三棱锥P−ABC内切球的半径为r，由等体积法可得：
13×12×2×2× 32×3=13×(2×12×2×3+12×2×2× 32+12×2× 22+32−12)×r，
得r=2 3−3．
∴该三棱锥的外接球半径R与内切球半径r的比值为Rr为 12962 3−3=2 43+ 1296．
故答案为：2 43+ 1296．
由题意画出图形，求出底面三角形外接圆的半径，再由勾股定理求三棱锥外接球的半径；利用等体积法求三棱锥内切球的半径，作比得答案．
本题考查多面体外接球与内切球半径的求法，训练了利用等体积法求多面体内切球的半径，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)由已知，圆心为O(0,0)，半径r= 5，圆心到直线2x−y+m=0的距离d=|m| 4+1=|m| 5，
由平面几何垂径定理知r2−d2=12，即5−m25=1．
得m=±2 5，
∴当m=±2 5时，直线被圆截得的弦长为2．
(2)由于交点处两条半径互相垂直，
∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，
∴d= 22r，即|m| 5= 22× 5，
解得m=±5 22，
故当m=±5 22时，OA⊥OB．
【解析】(1)求得圆心到直线2x−y+m=0的距离，由平面几何垂径定理知r2−d2=12，即可得出结论；
(2)由于交点处两条半径互相垂直，弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，即可得出结论．
本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，
则an+1+1=2(an+1)，
又a1+1=2，
则数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
则an+1=2n，
即an=2n−1；
(2)令10