2023-2024学年河南省鹤壁市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省鹤壁市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.9的平方根是( )
A. 3B. −3C. ±3D. 没有平方根
2.计算a6÷a2的结果是( )
A. a3B. a4C. a8D. a12
3.数字“20240122”中，数字“2”出现的频数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.下列命题中，是假命题的是( )
A. 两点之间，线段最短B. 同旁内角互补
C. 等角的补角相等D. 垂线段最短
5.打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是( )
A. 带①②去
B. 带②③去
C. 带③④去
D. 带②④去
6.若a，b为等腰△ABC的两边，且 a−6+|b−3|=0，则△ABC的周长为( )
A. 15B. 12C. 12或15D. 15或18
7.如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形①的面积是( )
A. 16cm2B. 25cm2C. 30cm2D. 169cm2
8.如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为( )
A. 3− 5B. 5−2C. 5−1D. 3− 10
9.在△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC，∠B≠30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD=BD，下列作法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b)，把剩下的部分拼成一个长方形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式，此等式是( )
A. a2−b2=(a+b)(a−b)B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a−b)2=a2−2ab+b2D. (a+2b)(a−b)=a2+ab+b2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：ab2−4ab+4a= ．
12.用反证法证明命题：“已知△ABC，AB=AC，求证：∠B<90°.”第一步应先假设 ．
13.若x2−kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为______．
14.如图，直线l1//l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB=AC，∠1=20°，∠ABC=54°，则∠2的度数为______．
15.如图，等边△ABC中，点Q是边AC的点，∠ACB的平分线交边AB于点D，AD=2，点P是线段CD上的任意一点，连接AP、PQ，则AP+PQ的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1)− 25+| 2−2|+38；
(2)(x−2)2−x(x+4)．
17.(本小题8分)
已知5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，c是 13的整数部分，求3a−b+c的平方根．
18.(本小题9分)
先化简，再求值：[(x−2y)2+(x+2y)(x−2y)]÷2x，其中x=3，y=−5．
19.(本小题9分)
已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB/​/ED，AB=CE，BC=ED.求证：AC=CD．
20.(本小题9分)
如图，小华爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积以便估算产量.小明测得AB=8m，AD=6m，CD=24m，BC=26m，又已知∠A=90°，求这块土地的面积．
21.(本小题9分)
如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．
(1)在图①中画出一个以AB为腰的等腰直角三角形ABC；
(2)在图②中画出一个以AB为底的等腰三角形ABC，其面积为______．
22.(本小题10分)
2022年3月，三位中国宇航员在空间站进行第二次太空授课，其中演示以下四个实验：A.太空“冰雪”实验；B.“液桥”演示实验；C.水油分离实验；D.太空抛物实验.为了解学生最感兴趣的是哪一个实验，某校八年级数学兴趣小组随机抽取本年级部分学生进行调查，并绘制如下两幅统计图：

(1)本次参与调查的同学共有______人；
(2)计算C组和D组人数，并补全条形统计图；
(3)若该校八年级共有700名学生，请估计全年级对太空“冰雪”实验最感兴趣的学生有多少人？
23.(本小题11分)
【问题探究】
(1)如图1所示，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，在AD上取点E，连接BE，使BE=AC，求证：DE=CD；
【问题拓展】
(2)如图2所示，在问题探究的条件下，F为BC的中点，连接EF并延长至点M，使FM=EF，连接CM，判断线段AC与CM的数量关系，并说明理由；
【问题延伸】
(3)在上述问题探究和问题拓展条件及结论下，在图2中，若连接AM，则△ACM为怎样的三角形？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：9的平方根是±3，
故选：C．
根据平方根的定义即可求得答案．
本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：a6÷a2=a6−2=a4．
故选：B．
根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵数字“20 240 122”中数字“2”出现的次数为4，
∴数字“2”出现的频数是4．
故选：D．
根据数字“20 240 122”中数字“2”出现的次数，即可得到数字“2”出现的频数．
本题考查频数的概念，正确记忆相关概念是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、两点之间，线段最短，是真命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
C、等角的补角相等，是真命题；
D、垂线段最短，是真命题；
故选：B．
根据线段、垂线段的公理、平行线的性质以及补角的性质判断即可．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
5.【答案】A
【解析】解：A、带①②去，符合ASA判定，选项符合题意；
B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
故选：A．
可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
6.【答案】A
【解析】解：∵ a−6+|b−3|=0，
又∵ a−6≥0，|b−3|≥0．
∴a−6=0，b−3=0，
∴a=6，b=3，
∵a，b为等腰△ABC的两边，
∴有以下两种情况：
①当a=6为等腰△ABC的底时，则腰为3，
∴△ABC的三边为：6，3，3，
由于3+3=6，不符合构成三角形的条件，此种情况不存在；
②当a=6为等腰△ABC的腰时，底为3，
∴△ABC的三边为：6，6，3，
由于6+3>6，符合构成三角形的条件，
∴该等腰△ABC的周长为：6+6+3=15．
故选：A．
先根据非负数的性质得a=6，b=3，再分两种情况进行讨论：当a=6为等腰△ABC的底时，则腰为3；②当a=6为等腰△ABC的腰时，底为3，根据每一种情况利用三角形三边之间的关系判定是否构成三角形，然后再求出周长即可．
此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，非负数的性质等，理解等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握非负数的性质是解决问题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方，
∴直角三角形①中较短的直角边长5cm，
∵直角三角形①中较长的直角边长12cm，
∴直角三角形①的面积=12×5×12=30(cm2)，
故选：C．
两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方．利用勾股定理即可求出．
考查了正方形的面积以及勾股定理的应用．推知“正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方”是解题的难点．
8.【答案】A
【解析】解：由题意可得∠BAC=90°，AB=1，AC=3−1=2，
则CB= 22+12= 5，
那么点P表示的实数为3− 5，
故选：A．
利用勾股定理即可求得CB的长度，然后根据实数与数轴的关系即可求得答案．
本题考查勾股定理及实数与数轴的关系，结合已知条件求得CB的长度是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：若要在BC边上找一点D，使AD=BD，
则点D应该是线段AB垂直平分线与BC的交点，
故选：D．
根据“要在BC边上找一点D，使AD=BD”知点D应该是线段AB垂直平分线与BC的交点，据此求解即可．
本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图和性质．
10.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2−b2，而新形成的长方形的长为a+b，宽为a−b，根据两者相等，即可验证平方差公式．
【解答】
解：由题意得：a2−b2=(a+b)(a−b)．
故选：A．
11.【答案】a(b−2)2
【解析】【分析】
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
【解答】
解：ab2−4ab+4a
=a(b2−4b+4)
=a(b−2)2，
故答案为：a(b−2)2．
12.【答案】∠B≥90°
【解析】【分析】
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
根据反证法的第一步是假设结论不成立，反面成立，即∠B<90°的反面是∠B≥90°解答．
【解答】
解：反证法证明命题：“已知△ABC，AB=AC，求证：∠B<90°.”第一步应先假设∠B≥90°．
13.【答案】±6
【解析】解：∵x2−kxy+9y2是一个完全平方式，
∴−kxy=±2x⋅3y=±6xy，
∴k=±6，
故答案为：±6．
根据完全平方公式可知，这个完全平方公式的首位和末位分别是x和3y的平方，中间项是加上或减去x和3y的乘积的2倍，从而求出答案即可．
本题主要考查了完全平方公式，解题关键是根据两个平方项确定这两个数．
14.【答案】52°
【解析】解：如图：
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=54°，
∴∠CAB=180°−∠C−∠ABC=72°，
∵∠1=20°，
∴∠3=∠CAB−∠1=52°，
∵l1/​/l2，
∴∠3=∠2=52°，
故答案为：52°．
先利用等腰三角形的性质可得∠C=∠ABC=54°，从而利用三角形内角和定理可得∠CAB=72°，进而可得∠3=52°，然后利用平行线的性质可得∠3=∠2=52°，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及平行线的性质是解题的关键．
15.【答案】2 3
【解析】解：∵CD是等边△ABC的角平分线，
∴点A关于CD对称点是B点，过B作BQ⊥AC交CD于一点即为P点，此时AP+PQ的值最小等于BQ，∠ACD=30°，∠ADC=90°，
∵AD=2
∴AC=BC=AB=4，
∵BQ⊥AC，△ABC是等边三角形，
∴∠ABQ=30°，∠AQB=90°，
∴AQ=2，
∴BQ= 42−22=2 3，
故答案为：2 3．
根据等边三角形的三线合一得到A点对称点是B点，过B作BQ⊥AC即可得到最小距离和点，即可得到答案．
本题考查轴对称最短距离和问题及垂线段最短，解题的关键是根据轴对称找到最短距离点．
16.【答案】解：(1)原式=−5+2− 2+2=−1− 2．
(2)原式=x2−4x+4−x2−4x=−8x+4．
【解析】(1)利用二次根式的混合运算法则即可求解；
(2)利用完全平方公式即可求解．
本题考查了二次根式以及整式的混合运算，注意计算的准确性即可．
17.【答案】解：∵5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，
∴5a+2=27，3a+b−1=16，
∴a=5，b=2，
∵c是 13的整数部分，
∴c=3，
∴3a−b+c=16，
3a−b+c的平方根是±4．
【解析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
18.【答案】解：[(x−2y)2+(x+2y)(x−2y)]÷2x
=(x2−4xy+4y2+x2−4y2)÷2x
=(2x2−4xy)÷2x
=x−2y．
当x=3，y=−5时，
原式=3−2×(−5)=13．
【解析】先用完全平方公式和平方差公式对整式进行化简，再将数值代入，即可求出结果．
本题考查了整式的混合运算与化简求值，解题的关键是运用公式法和代入法来解答．
19.【答案】证明：∵AB/​/ED，
∴∠B=∠E．
在△ABC和△CED中，
AB=CE∠B=∠EBC=ED，
∴△ABC≌△CED．
∴AC=CD．
【解析】本题是一道很简单的全等证明，只需证一次全等，无需添加辅助线，且全等的条件都很明显．
根据AB/​/ED推出∠B=∠E，再利用SAS判定△ABC≌△CED，从而得出AC=CD．
20.【答案】解：连接BD，
∵∠A=90°，
∴BD2=AD2+AB2=100，
则BD2+CD2=100+576=676=262=BC2，
因此∠CDB=90°，
S四边形ABCD=S△ADB+S△CBD=12AD⋅AB+12BD⋅CD=12×6×8+12×24×10=144(平方米)，
答：这块土地的面积为144平方米．
【解析】先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，再用勾股定理解答．
此题考查勾股定理，解答此题的关键是解四边形的问题转化成解三角形的问题再解答．
21.【答案】
【解析】解：(1)如图①中，△ABC即为所求．
(2)如图②中，△ABC即为所求，S△ABC=× 5× 5=．
故答案为：．
(1)画出底为2，高为3的等腰三角形即可；
(2)画出以AB为底的等腰直角三角形即可，利用直角三角形的面积公式计算即可．
本题考查作图−应用与设计，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，学会利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
22.【答案】50
【解析】解：(1)15÷30%=50(人)，
即本次参与调查的同学共有50人．
故答案为：50；
(2)对“C.水油分离实验”感兴趣的学生有：50×10%=5(人)，
对“D.太空抛物实验”感兴趣的学生有：50−5−20−15=10(人)，
补全条形图如下：
(3)700×2050=280(人)，
答：估计全年级对太空“冰雪”实验最感兴趣的学生有280人．
(1)从两个统计图可知，“B”的频数是15人，占调查人数的30%，根据频率=频数总数进行计算即可求出调查人数；
(2)求出“C”、“D”的人数，即可补全条形统计图；
(3)样本估计总体，求出样本中“对A.太空冰雪实验最感兴趣”所占的百分比，估计总体中“对A.太空冰雪实验最感兴趣”的百分比，进而求出相应的人数即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频率=频数总数是正确计算的关键．
23.【答案】(1)证明：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴DA=DB，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
BD=ADBE=AC，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)，
∴DE=CD；
(2)解：AC=CM，
理由如下：在△BFE和△CFM中，
BF=CF∠BFE=∠CFMEF=FM，
∴△BFE≌△CFM(SAS)，
∴BE=CM，
∵BE=AC，
∴AC=CM；
(3)解：△ACM为等腰直角三角形，理由如下：连接AM，
由(1)可知：Rt△BDE≌Rt△ADC，
∴∠EBD=∠CAD，
由(2)可知：△BFE≌△CFM，
∴∠FCM=∠EBD，
∴∠FCM=∠CAD，
∵∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠ACD+∠FCM=90°，即∠ACM=90°，
∵AC=CM，
∴△ACM为等腰直角三角形．
【解析】(1)证明Rt△BDE≌Rt△ADC，根据全等三角形的性质得到DE=CD；
(2)证明△BFE≌△CFM，得到BE=CM，等量代换证明结论；
(3)根据(1)(2)的结论得到△ACM为等腰直角三角形，得到答案．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的概念，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．