湘教版数学九年级下册2.5.4三角形的内切圆 同步课件

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2.5.4 三角形的内切圆1.了解三角形的内心；2.能用尺规作图：作三角形的内切圆；3.三角形内切圆的有关概念及应用.如图, 已知△ABC, 请作出△ABC 的三条角平分线.所作的三条角平分线是否相交于一点, 这一点到三角形三边的距离是否相等, 为什么？三角形三条角平分线交点到三边距离相等.想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板，应当怎样剪？为了使圆形纸板的面积最大，这个圆应当与三角形的三条边都尽可能贴近.这使得我们猜测：这个圆应当与三角形的三条边都相切．∟∟∟O画一个圆关键是定圆心和半径，如何画一个圆与三角形的三条边都相切？如果这个圆与△ABC的三条边都相切，那么圆心 O 到三条边的距离都等于半径，从而这些距离相等.到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心 O 是∠A 的平分线与∠B的平分线的交点.已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.作法：1.分别作∠ABC 和∠ACB的平分线BM 和CN，两直线交点为O.2.过点O作OD⊥BC，垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.ABCO根据以上分析，我们可以按下面的画法画一个圆与三角形的三边都相切.1.与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.2.三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点 一个三角形的内切圆是唯一的 三角形内心的性质三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点；三角形的内心到三角形的三边距离相等. IA，IB，IC是△ABC的角平分线，IE=IF=IG.三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部．三角形三条角平分线的交点1.点O到三角形三边的距离相等；2.内心在三角形内部．例1 如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，∠A = 70°，求∠BOC的度数.解∵ ∠A = 70°，∴ ∠ABC +∠ACB = 180° -∠A = 110°.∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆，∴ BO，CO 分别是∠ABC与∠ACB 的平分线，即∠1 = ∠ABC， ∠2 = ∠ACB.∴ ∠BOC = 180°-（∠1 +∠2） = 180°- （∠ABC+∠ACB） = 180°- × 110°= 125°.例2 △ABC 的内切圆 ⊙O 与BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB = 13 cm，BC = 14 cm，CA = 9 cm，求 AF、BD、CE 的长.解:设 AF = x cm，则 AE = x cm.∴CE = CD = AC - AE = (9 - x) cm， BF = BD = AB - AF = (13 - x) cm.想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ACB由 BD+CD = BC，可得 (13 - x) + (9 - x) = 14，∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm.方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.解得 x = 4.ACB例3 如图，Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，BC ＝ a，AC ＝b， AB ＝ c，⊙O 为 Rt△ABC 的内切圆. 求：Rt△ABC 的内切圆的半径 r.∵ ⊙O 与Rt△ABC 的三边都相切∴AD ＝ AF，BE ＝ BF，CE ＝ CD解：设 Rt△ABC 的内切圆与三边相切于 D、E、F，连接 OD、OE、OF，则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB.B·ACEDFO设 AD = x ， BE = y ，CE ＝ r . B·ACEDFO设 Rt△ABC 的直角边为 a、b，斜边为 c，则 Rt△ABC的内切圆的半径 r＝ 或 r＝ ·BDEFOCA1. 如图，△ABC 的内切圆的半径为 r，△ABC 的周长为 l，求△ABC 的面积 S .解：设△ABC 的内切圆与三边相切于 D、E、F，连接 OA、OB、OC、OD、OE、OF，则 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC ＝ S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC＝ AB·OD ＋ BC·OE ＋ AC·OF＝ l·r知识拓展2. 如图，已知 E 是△ABC 的内心，∠A 的平分线交 BC于点 F，且与 △ABC 的外接圆相交于点 D.(1) 证明：∵E 是 △ABC 的内心，∴∠ABE ＝ ∠CBE，∠BAD ＝ ∠CAD.又∵∠CBD ＝ ∠CAD，∴∠BAD ＝ ∠CBD.∴∠CBE＋∠CBD ＝ ∠ABE＋∠BAD.即∠DBE ＝ ∠DEB，故 BD ＝ ED.(1) 求证：BD ＝ ED；(2) 若AD ＝ 8 cm，DF:FA ＝ 1:3.求 DE 的长．(2) 解：∵AD ＝ 8 cm，DF∶FA ＝ 1∶3，∴DF ＝ AD＝ ×8＝ 2 ( cm )．∵∠CBD ＝ ∠BAD，∠D ＝ ∠D，∴△BDF∽△ADB，∴ ， ∴BD2 ＝ AD·DF＝ 8×2 ＝ 16，∴BD ＝ 4 cm.又∵BD ＝ DE，∴DE ＝ 4 cm.3.直角三角形的两直角边分别是 3 cm ，4 cm，试问：(1) 它的外接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm.(2) 若移动点 O 的位置，使 ☉O 保持与△ABC 的边 AC、BC 都相切，求 ☉O的半径 r 的取值范围.1 解：设 BC = 3 cm，由题意可知与 BC、AC 相切的最大圆与 BC、AC 的切点分别为 B、D，连接 OB、OD，则四边形 BODC 为正方形.∴OB ＝ BC ＝ 3 cm，∴半径 r 的取值范围为 0＜ r ≤ 3 cm.4. △ABC 的内切圆 ☉O 与三边分别切于 D、E、F三点，如图，已知 AF = 3，BD + CE = 12，则 △ABC 的周长是 .305.如图，在△ABC中，I是内心，∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.证明：连接BI.∵I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI.∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD.∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD. ∴BD=ID．三角形内切圆运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.有关概念内切圆应用重要结论内心(三角形三条角平分线的交点)外切三角形1.教材P75第6、7题，P76第8题.2.完成同步练习册中本课时的练习.