2024深圳高三下学期2月第一次调研考试（一模）数学含答案

这是一份2024深圳高三下学期2月第一次调研考试（一模）数学含答案，共13页。
数 学
2024.2
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知为虚数单位，若，则（ ）
A．B．2C．D．
3．已知函数是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，且对任意，均有成立，则下列函数中符合条件的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知是夹角为120°的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．B．2C．D．
5．由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，若，则（ ）
A．34B．33C．32D．30
6．已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列满足，若为数列的前项和，则（ ）
A．624B．625C．626D．650
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（ ）
A．众数为12B．平均数为14C．中位数为14.5D．第85百分位数为16
10．设，且，则下列关系式可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则（ ）
A．当为的中点时，开面直线与所成角为
B．当平面时，点的轨迹长度为
C．当时，点到的距离可能为
D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若函数的最小正周期为，其图像关于点中心对称，则______．
13．设点，若动点满足，且，则的最大值为______．
14．已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
设为数列的前项和，已知，且为等差数列．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）．
16．（15分）
如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
17．（15分）
在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节。每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次㑑黒的传输相互独立．
（1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值；
（2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望．
18．（17分）
已知函数．
（1）当时，求函数在区间上的最小值；
（2）讨论函数的极值点个数；
（3）当函数无极值点时，求证：．
19．（17分）
已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程，并说明轨迹的形状；
（2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．
（ⅰ）当时，求证：的值及的周长均为定值；
（ⅱ）当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．
2024年深圳市高三年级第一次调研考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：每小题5分，共40分。
二、选择题：每小题6分，共18分。
说明：第9、10题全部选对得6分，选对1个得3分，有选错得0分；第11题全部选对得6分，每选对1个得2分，有选错得0分．
三、填空题：每小题5分，共15分。
12． 13． 14．18
四、解答题：
15．（13分）
证明：（1）设等差数列的公差为，则，即，①
因为，所以由，得．②
由①、②解得，所以，即，
当时，，
当时，，上式也成立，所以，
因为当时，，所以数列是等差数列．
解：（2）由（1）可知，
当时，，
因为满足上式，所以．
，
因为当时，，所以．
16．（15分）
证明：（1）不妨设，
，
由余弦定理得，
在中，，
平面平面，平面平面平面，
平面．
平面，
四边形是菱形，，
又，且平面平面平面．
解：（2）在平面内，过点作的垂线，垂足为，
平面平面，平面平面，
平面，
又四边形是菱形，，
均为等边三角形，
以点为坐标原点，及过点平行于的直线分别为轴，建立空间直角坐标系（如图），
则，
由（1）平面，
为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则即．
令，可得，
，
平面与平面的夹角的余弦值为．
17．（15分）
解：（1）由题可知，
因为，所以当时，的最小值为．
（2）由题设知，的可能取值为1，2，3，4．
①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．因此，
，
②当时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．因此，
，
③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．因此，，
④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．因此，
．
所以的分布列为
因此，的数学期望．
18．（17分）
解：（1）当时，，
则，
令，则，
因为，所以．则在上单调递减，
又因为，
所以使得在上单调递增，在上单调递减．
因此，在上的最小值是与两者中的最小者．
因为，
所以函数在上的最小值为．
（2），
由，解得，
易知函数在上单调递增，且值域为，
令，由，解得，
设，则，
因为当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减．
根据时，，
得的大致图像如图所示．
因此有：
（ⅰ）当时，方程无解，即无零点，没有极值点；
（ⅱ）当时，，
利用，得，此时没有极值点；
（ⅲ）当时，方程有两个解，即有两个零点，有两个极值点；
（ⅳ）当时，方程有一个解，即有一个零点，有一个极值点．
综上，当时，有一个极值点；当时，有两个极值点；当时，没有极值点．
（3）先证明当时，．
设，则，
记，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递减，，
即当时，不等式成立．
由（2）知，当函数无极值点时，，则，
在不等式中，取，则有，
即不等式成立．
19．（17分）
解：（1）设点，由题意可知，
即，
经化简，得的方程为，
当时，曲线是焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线是焦点在轴上的双曲线．
（2）设点，其中且，
（ⅰ）由（1）可知的方程为，
因为，所以，
因此，三点共线，且，
（法一）设直线的方程为，联立的方程，得，
则，
由（1）可知，
所以
（定值）．
（法二）设，则有，解得，
同理由，解得，
所以（定值）．
由椭圆定义，得，
，
解得，
同理可得，
所以
．
因为，所以的周长为（定值）．
（ⅱ）当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，
根据（ⅰ）的证明，同理可得三点共线，且，
（法一）设直线的方程为，联立的方程，
得，
，（*）
因为，
所以
，
将（*）代入上式，化简得，
（法二）设，依条件有，解得，
同理由，解得，
所以．
由双曲线的定义，得，
根据，解得，
同理根据，解得，
所以
，
由内切圆性质可知，，
当时，（常数）．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
A
B
C
C
D
题号
9
10
11
答案
BC
AC
ACD
1
2
3
4