湖北省荆门市2023-2024学年高一上学期1月期末学业水平检测数学试题（原卷版+解析版）

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高一年级学业水平检测
数学
本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别讨论集合中的和两种情况,即可求得和之间的关系.
【详解】
①当集合中的时,
即
故此时
②当集合中的时,
即
此时
综上所述,.
故选:A.
【点睛】本题考查了求角的集合之间的关系,解题关键是掌握角集合的表示方法和集合间的关系,考查了分析能力,属于基础题.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式求解可得函数的定义域.
【详解】由.
所以函数的定义域为：
故选：B
3. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用零点存在性定理求解即可
【详解】函数在 上单调递增，且在上连续.
因为，，
所以，
所以函数的零点所在的区间是.
故选：B
4. “”是“且”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】通过特例说明充分性不成立，根据不等式的性质说明必要性是成立的.
【详解】可令，，，则满足，但“且”不成立，所以“”不是“且”的充分条件；
根据不等式的性质：由且，可得：.所以“”是“且”的必要条件.
故选：A
5. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长与弧长之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设扇形的弧长为，半径为，求出弦长，应用弧长公式即可求解
【详解】设扇形的弧长为，半径为，如图，取的中点
圆心角为，则
所以弦
又弧长
所以弦长与弧长之比为
故选：C
6. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求函数在时函数的值域，再根据函数的值域为，确定时函数的单调性和端点值的范围，求实数的取值范围.
【详解】当时，在上单调递增，且，所以函数在的值域是.
因为函数的值域是.
所以当时的函数值域应该包含.
即.
故选：B
7. 古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A. 大于B. 小于C. 大于等于D. 小于等于
【答案】A
【解析】
【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.
【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），
先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.
由杠杆的平衡原理：，．解得，，
则.
下面比较与10的大小：（作差比较法）
因为，
因为，所以，即.
所以这样可知称出的黄金质量大于.
故选：A
8. 已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则方程在内的所有根之和为（ ）
A 12B. 6C. 4D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件推出是以4为周期的周期函数，根据函数的奇偶性、对称性及周期性作出函数图像，问题可转化为函数与函数的图像在上所有交点的横坐标之和，数形结合求解即可.
【详解】定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，
，
，函数的周期为4，
又当时，，作出函数在上的图像如图所示：
方程在内的所有根之和即为函数与函数的图像在上所有交点的横坐标之和，
如图所示，两函数图像在上有四个交点，令横坐标分别为，
且，，
所以函数与函数的图像在上所有交点的横坐标之和为12.
故选：A
【点睛】根据所给条件推出函数的周期性进而根据函数的性质作出图像是解题的关键，利用数形结合的方法求解.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列计算结果为有理数的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】逐一计算结果进行判断即可.
【详解】因为：为有理数；
为有理数；
为有理数；
为无理数.
故选：ABC
10. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据条件，逐一求出各选项的值，再进行判断.
【详解】由.故A正确；
，故C正确；
，故D错误；
因为，所以为第一或第三象限角.
若为第一象限角，则，所以；
若为第三象限角，则，所以.
所以B错误.
故选：AC
11. 关于函数，下列结论正确的有（ ）
A. 是偶函数B. 在区间单调递减
C. 的最大值为2D. 的周期为
【答案】AC
【解析】
【分析】分析函数的性质得到有关结论.
【详解】因为函数的定义域是，且，所以为偶函数，故A对；
当时，，，所以；
当时，，所以，
所以函数的图象如下：
所以函数在上单调递增，故B错；
的最大值为，故C对；
由图象可知，函数不是周期函数，故D错.
故选：AC
12. 生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“榶水不等式”判断下列命题一定正确的是（ ）
A. 若，，则
B.
C. 若，，为三条边长，则
D. 若，，为三条边长，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据糖水不等式逐项判断即可.
【详解】A.由糖水不等式得：，时，，故A错误.
B.，故B正确.
C.，故C正确.
D.，，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知幂函数是偶函数，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数是幂函数，且为偶函数可求得实数的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值.
【详解】因为函数为幂函数，所以，解得或.
当时，，函数为奇函数，不合题意；
当时，，函数为偶函数，所以.
故答案为：.
14. 若，，且，则的最小值是____________．
【答案】
【解析】
分析】利用基本不等式得，再解不等式可得结果.
【详解】因为（当且仅当时，等号成立），
所以，
所以，所以，所以，
所以的最小值为.
故答案为：
15. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是__________
【答案】
【解析】
【分析】由题意分离常数可得，再由指数函数的性质可得的值域，即可得解.
【详解】依题意，
由可得，即的值域为，
所以函数的值域是.
故答案为：.
【点睛】本题考查了数学文化及分离常数法求函数值域的应用，考查了指数函数性质的应用、运算求解能力及转化化归思想，属于中档题.
16. 函数定义域为，满足，且当时，，若对任意的，都有，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，求出函数在各段上的解析式，数形结合，求的取值范围.
【详解】.由.
当时，；
设，则，所以；
设时，则，所以，
由，
即或.
由图象可得：，都有，故
故答案为：
【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数的定义域为集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据交集的运算求解；
（2）根据，在数轴上画出集合数形结合，求参数的取值范围.
【小问1详解】
依题意：整理得，，
当时，，∴
【小问2详解】
∵，∴根据题意得：，解得：，
则实数的取值范围是.
18. 已知
（1）化简；
（2）若为第三象限角，且，求，.
【答案】18.
19. ，.
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系，结合弦函数的值域化简；
（2）利用同角三角函数的基本关系求值计算，注意“符号优先”.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
∵为第三象限角，∴
又因为.
故，.
19. 已知函数
（1）求的定义域，并判断其奇偶性；
（2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明.
【答案】（1），奇函数；
（2）在单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）使函数解析式有意义可求函数的定义域，再利用函数奇偶性的概念判断函数的奇偶性.
（2）化简函数的解析式，判断函数的单调性，利用单调性的定义进行证明.
【小问1详解】
要使函数有意义，可得，解得且，
故函数的定义域为，
故
∴，又定义域关于原点对称.故为奇函数.
【小问2详解】
时，，判断：在单调递增，
下用定义法证之：任取，且，
由得，，，
故，即，故在单调递增.
20. 已知函数.
（1）求在上的值域；
（2），若对，，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）采用换元法，把问题转化成为二次函数在给定区间上的值域问题解决；
（2）先把问题转化成已知函数的值域，求参数的取值范围问题，再结合函数的单调性求参数的取值范围.
小问1详解】
，
令，设，.
函数在上单调递增，在上单调递减，
∵，∴的值域为.
【小问2详解】
设的值域为集合，的值域为集合，根据题意可得：，
由（1）有，又，所以在上单调递增，
∵，，∴
由得，解得：
∴的取值范围是.
21. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据：
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，.
（1）当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：（），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
【答案】（1）选择，
（2）当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从地到地的总耗电量最少，最少为.
【解析】
【分析】（1）根据表格提供数据选出符合的函数模型，并利用待定系数法求得函数的解析式.
（2）先求得耗电量的表达式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.
【小问1详解】
对于，当时，它无意义，所以不合题意；
对于，它显然是个减函数，这与矛盾；
故选择.
根据提供的数据，有，解得，
当时，.
【小问2详解】
国道路段长为，所用时间为，所耗电量为:
，
因为，当时，；
高速路段长为，所用时间为，
所耗电量为
，
当且仅当即时等号成立.
所以：
故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，
该车从地到地的总耗电量最少，最少为.
22. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）对于函数，若，，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）当时，不等式，不等式因式分解，利用单调性即可求解.
（2）先将函数整理并化简，根据函数是“可构造三角形函数”，
须由得出，且，即通过不等式求得.
【小问1详解】
当时，不等式，即为，
也就是，解得，所以不等式的解集为.
【小问2详解】
由于函数
所以是“可构造三角形函数”
首先，必有才能保证；且必有，
①当时，即时，是上的增函数，
则的值域为，由，解得；
②当时，即时，，符合题意；
③而当时，即时，是上的减函数，
则的值域为， 故，解得.
综上，实数的取值范围.
【点睛】本题第（1）问主要考查可化为一元二次不等式解法，结合指数函数的单调性；第（2）问通过新定义“可构造三角形函数”， 得出，且，考查了学生思维能力，运算能力，也进一步运用分类讨论思想，结合函数的单调性，本题综合性较强.
0
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40
60
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