天津市经济技术开发区第一中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷

这是一份天津市经济技术开发区第一中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷，共15页。试卷主要包含了已知集合，则，是成立的，已知，则a，b，c的大小关系是等内容，欢迎下载使用。

A．B．C．D．
2．是成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．如图，已知函数的图象关于坐标原点对称，则函数的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
4．党的二十大报告提出，要加快发展数字经济，促进数字经济与实体经济的深度融合，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中．则下列结论不正确的是（ ）
A．B．满意度计分的众数为80分
C．满意度计分的分位数是85分D．满意度计分的平均分是76.5
5．已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．将函数的图象向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数的图象，且的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，对于函数有以下几个结论：
（1）（2）它的图象关于直线对称；
（3）它的图象关于点对称；（4）若，则；
则上述结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．抛物线的焦点为，其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点，若的周长为，则（ ）
A．2B．C．8D．4
8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍［chúméng］”的五面体（如图），四边形ABCD为矩形，棱．若此几何体中，，和都是边长为4的等边三角形，则此几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数若关于的方程有6个根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为______．
11．若的展开式中二项式系数之和为256，则展开式中常数项是______．
12．已知直线经过点，且被圆截得的弦长为6，则直线的方程是______．
13．某校高三某班第一小组有男生5人，女生3人，现需从中抽取2人参加校秋季运动会助理裁判工作，恰有一名女生参加校运会助理裁判的概率为______；在至少有一名女生参加校运会助理裁判的条件下，恰有一名女生参加校运会助理裁判的概率______．
14．已知，当______时，取得最小值，最小值是______．
15．在平面四边形ABCD中，，向量在向量上的投影向量为，则______；若，点为线段BD上的动点，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题14分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求；
（2）若，求的值；
（3）若的面积为，求的周长．
17．（本小题15分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，Q为棱PD的中点，．
（Ⅰ）求证：平面ABCD；
（Ⅱ）求平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值；
（Ⅲ）求直线PB到平面ACQ的距离．
18．（本小题15分）
已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于P，Q两点，当垂直于轴时，且的面积是．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左顶点为，当不与轴重合时，直线AP交直线于点，若直线上存在另一点，使，求证：A，Q，N三点共线．
19．（本小题15分）
若为等差数列，为等比数列，．
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数，设求数列的前2n项和．
（3）记的前项和为，且满足对于恒成立，求实数的取值范围．
20．（本小题16分）
已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，若在区间内存在极值点．
①求实数的取值范围；
②求证：在区间内存在唯一的，使，并比较与的大小，说明理由．
天津经济技术开发区第一中学2023－2024学年度第二学期
高三年级数学学科 开学作业检查答案
1．【答案】A
解：∵全集，集合，．
又故选A．
2．【答案】B
解：由，得：，解得：或，故是成立的必要不充分条件，
故选：B．
3．【答案】C
解：由图像知函数是上的奇函数，排除A，B；当时，恒大于0，与图像不符，排除D，故选C．
4．【答案】B
解：由频率分布直方图可知，即，又，所以，所以选项A正确；满意度计分的众数为75分，所以选项B不正确；
前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，则分位数，且，满意度计分的分位数为85，所以选项C正确；
满意度计分的平均分为：分，所以选项D正确．
故选B．
5．【答案】C
解：由题意得：，，且，故，故选C．
6．【答案】C
解：由题意得：，向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变得到函数：，
对于（1），由的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，最小正周期，即，，解得，故，故（1）错误；
对于（2），当时，代入，可知，故图象的一条对称轴是，故（2）正确：
对于（3），当时，代入可知，故图象的一个对称点是，故（3）正确；
对于（4），若，则，在上的取值范围是，故（4）正确．
由上可知（2）（3）（4）正确，正确有个数为3个．
故选：C．
7．【答案】A
解：双曲线渐近线方程为，抛物线的准线方程为，
由题意得：，．
又的周长为，．解得：．
故选：A．
8．【答案】C
解：过作平面ABCD，垂足为，取BC的中点，连结OP，PF，过作BC的平行线QH，交AB于，交CD于，
和都是边长为4的等边三角形，
，，
采用分割的方法，把该几何体分割成三部分，如图，包含一个三棱柱，两个全等的四棱锥：，这个几何体的体积．故选：C．
9．【答案】B
解：作出函数的图象如图所示．
令，则可化为，
要使关于的方程有6个根，
数形结合知需方程在上有2个不相等的实根，
不妨设，
则，解得，
故的取值范围为，故选B．
10．【答案】－2
【解析】【分析】由模长公式及复数的四则运算得出复数，进而即得．
【详解】因为，所以，
则，所以复数的虚部为－2．
故答案为：－2．
11．【答案】28
解：因为的展开式中二项式系数之和为256，所以：，得．
故该二项式为，通项为：，
令，得．常数项为：．故答案为28．
12．【答案】或
解：圆的圆心为，半径，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线被圆截得的弦长为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由直线被圆截得的弦长为6，可得圆心到直线的距离为，
解得，直线的方程为，
即，故答案为：或．
13．【答案】；
解：男生5人，女生3人，从中抽取2人参加校秋季运动会助理裁判工作，共种情况，其中恰有一名女生参加校秋季运会助理裁判的情况有种，
故恰有一名女生参加校秋季运会助理裁判的概率为；
至少有一名女生参加校运会助理裁判包括两种情况，
一，一名女生和一名男生参加校运会助理裁判工作，有种情况，
二，两名女生参加校秋季运会助理裁判工作，此时有种情况，
故至少有一名女生参加校秋季运会助理裁判包括种情况，
则在至少有一名女生参加校秋季运会助理裁判的条件下，
恰有一名女生参加校秋季运会助理裁判的概率为，
故答案为：
14．【答案】；
解：，，，
当且仅当时“＝”成立，
又，可得，
，，即当时，取得最小值．
故答案为．
15．【答案】；
【详解】过点作BM垂直AD于点，则向量为向量在向量上的投影向量，
由题意知点为线段AD的中点，所以，
所以，又为锐角，故．
以点为坐标原点，为轴建系如图，则．
因为，所以．
因为点为线段BD上的动点，所以设
故点．
当时，取到最小值－6．
故答案为：；．
16．【答案】解：
（1）．由正弦定理可得：，可得：，
为三角形内角，，解得，．
（2）由已知，得，，，，
（3），，
由余弦定理得，，即，解得，的周长为．
17．【答案】（Ⅰ）证明：因为平面平面ABCD，平面平面，又因为平面PAD，所以平面ABCD．
（Ⅱ）解：因为底面ABCD为正方形，所以，由（Ⅰ）知平面ABCD，所以AB、AD、AP两两垂直，建系如图，
，，
设平面ACQ的一个法向量为
则，
令，则，所以，
又因为是平面ABCD的一个法向量，所以平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值为．
（Ⅲ）解：，由（Ⅱ）知是平面ACQ的法向量，
因为，又平面ACQ，所以平面ACQ，
所以直线PB到平面ACQ的距离等于点到平面QAC的距离，
因为，所以直线PB到平面ACQ的距离为．
18．【详解】（1）依题意知，，所以．
因为的面积是，即，解得，所以，
从而，解得，所以，椭圆的标准方程为．
（2）由（1）知，．
依题意，设直线方程为，
由消去得，则，
直线AP的斜率，直线AP的方程：，而直线，所以．
直线的斜率，而，
即，所以直线的斜率．
因此直线的方程：，则点，
所以直线AN的斜率．
又直线AQ的斜率，
则，
而，即，
所以A，Q，N三点共线．
19．【答案】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，
，
，解得，；
（2）由（1）得，任意的正整数，设，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
对于任意的正整数，①，
由得②，
由①－②得，
则，数列的前2n项和；
（3）由（1）得，则，
满足对于恒成立，则，
，对于恒成立，转化为恒成立，
令，则，
当时，，当时，，，
数列的最大值为，，故实数的取值范围为．
20．【答案】解：（1）当时，若，则，
所以，函数的增区间为，无减区间．
（2）①因为，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，作出函数与的图象如图所示：
由图可知，当时，对任意的，
则函数在上为增函数，不合乎题意；
当时，由图可知，直线与函数的图象有且只有一个交点，设交点的横坐标为，
当时，，当时，，
此时函数在只有一个极值点，且为极小值点，
综上所述，实数的取值范围是；
②证明：要证明存在唯一的，使得，
令，只需证明存在唯一的，使得，
因为，
由①可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
又当时，，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，且，
又因为，所以，函数在内无零点，在内存在唯一零点，
即存在唯一的使得，即，
由①可知，，所以，，
令，其中，
则，
令，其中，
则，
所以，函数在上为增函数，故当时，，
故当时，，所以，函数在上为增函数，
因为，所以，，
因为在上为增函数，且，所以．