广东省深圳市2024届高三第一次调研考试数学试卷及答案

这是一份广东省深圳市2024届高三第一次调研考试数学试卷及答案，共14页。试卷主要包含了 若角的终边过点，则， 已知为虚数单位，若，则等内容，欢迎下载使用。

数学
2024.2
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知为虚数单位，若，则（ ）
A. B. 2C. D.
3. 已知函数是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，且对任意，均有成立，则下列函数中符合条件的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. 2C. D.
5. 由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，若，则（ ）
A. 34B. 33C. 32D. 30
6. 已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知数列满足，，若为数列的前项和，则（ ）
A. 624B. 625C. 626D. 650
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（ ）
A. 众数为12B. 平均数为14C. 中位数为14.5D. 第85百分位数为16
10. 设，且，则下列关系式可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则（ ）
A. 当为中点时，异面直线与所成角为
B. 当∥平面时，点的轨迹长度为
C. 当时，点到的距离可能为
D. 存在一个体积为的圆柱体可整体放入内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数的最小正周期为，其图象关于点中心对称，则______．
13. 设点，若动点满足，且，则的最大值为______．
14. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设为数列的前项和，已知，且为等差数列．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）．
16. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
17. 在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立．
（1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值；
（2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望．
18. 已知函数．
（1）当时，求函数在区间上的最小值；
（2）讨论函数的极值点个数；
（3）当函数无极值点时，求证：．
19. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程，并说明轨迹的形状；
（2）设点，若曲线上两动点均轴上方，，且与相交于点．
①当时，求证：值及的周长均为定值；
②当时，记面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．
答 案
1——8. ABDAB CCD
9. BC
10. AC
11. ACD
12.
13.
14. 18
15. （1）
设等差数列的公差为d，则，即，①
因为，所以由，得．②
由①、②解得，所以，即，
当时，，
当时，，上式也成立，所以，
所以数列是等差数列．
（2）
由（1）可知，
当时，，
因为满足上式，所以．
，
因为当时，，所以．
16. （1）
不妨设，
，
由余弦定理得，
在中，，
平面平面，平面平面平面，
平面．
平面，
四边形是菱形，，
又，且平面平面平面．
（2）
在平面内，过点作的垂线，垂足为，
平面平面，平面平面，
平面，
又四边形是菱形，，
均为等边三角形，
以点A为坐标原点，及过点A平行于的直线分别为轴，
建立空间直角坐标系（如图），
则，
由（1）平面，
为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则即．
令，可得，，
平面与平面的夹角的余弦值为．
17. （1）
由题可知，
因为，所以当时，的最小值为．
（2）
由题设知，的可能取值为1，2，3，4．
①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．
因此，，
②当时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．
因此，，
③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．
因此，，
④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．
因此，．
所以的分布列为
因此，的数学期望．
18. （1）
当时，，
则，
令，则，
因为，所以．则在上单调递减，
又因为，
所以使得在上单调递增，在上单调递减．
因此，在上的最小值是与两者中的最小者．
因为，
所以函数在上的最小值为．
（2）
，
由，解得，
易知函数在上单调递增，且值域为，
令，由，解得，
设，则，
因为当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减．
根据时，，
得的大致图像如图所示．
因此有：
（ⅰ）当时，方程无解，即无零点，没有极值点；
（ⅱ）当时，，
设，则，令，
则在上时单调递增函数，即，
得，此时没有极值点；
（ⅲ）当时，方程有两个解，即有两个零点，有两个极值点；
（ⅳ）当时，方程有一个解，即有一个零点，有一个极值点．
综上，当时，有一个极值点；当时，有两个极值点；当时，没有极值点．
（3）
先证明当时，．
设，则，
记，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递减，，
即当时，不等式成立．
由（2）知，当函数无极值点时，，则，
在不等式中，取，则有，
即不等式成立．
19. （1）
设点，由题意可知，
即，
经化简，得的方程为，
当时，曲线是焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线是焦点在轴上的双曲线．
（2）
设点，其中且，
（ⅰ）由（1）可知的方程为，
因为，所以，
因此，三点共线，且，
（法一）设直线的方程为，联立的方程，得，
则，
由（1）可知，
所以
，
所以为定值1；
（法二）设，则有，解得，
同理由，解得，
所以，
所以为定值1；
由椭圆定义，得，
，
解得，同理可得，
所以
．
因为，所以的周长为定值．
（ⅱ）当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，
根据（ⅰ）的证明，同理可得三点共线，且，
（法一）设直线的方程为，联立的方程，
得，
，（*）
因为，
所以
，
将（*）代入上式，化简得，
（法二）设，依条件有，解得，
同理由，解得，
所以．
由双曲线的定义，得，
根据，解得，
同理根据，解得，
所以
，
由内切圆性质可知，，
当时，（常数）．
因此，存在常数使得恒成立，且．
1
2
3
4