河北省邢台市五岳联盟2023_2024学年高二数学上学期第一次月考试题含解析

这是一份河北省邢台市五岳联盟2023_2024学年高二数学上学期第一次月考试题含解析，共25页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.3.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线经过两点，则的斜率为（）
A. B. C. D.
2. 已知向量，且，则（）
AB. 3C. D. 16
3. 在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点B，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5. 在空间直角坐标系中，是直线的方向向量，是平面的一个法向量，若，则（）
A. B. C. D.
6. 直线过点，且方向向量为，则（）
A. 直线的点斜式方程为B. 直线的斜截式方程为
C. 直线的截距式方程为D. 直线的一般式方程为
7. 如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中，记为点间的距离，当变化时，的最小值为（）
A2B. 3C. D. 4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（）
A. B.
C. D.
10. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（）
A. B.
C. D.
11. 已知点，直线，则下列说法中正确的有（）
A. 直线恒过点
B. 若直线与线段有交点，则
C. 点到直线的距离的最大值为
D. 若为直线上一点，则的最小值为
12. 在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，则下列选项正确的是（）
A. 的轨迹长度相等B. 的最小值为
C. 存在，使得D. 与所成角余弦值的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 平行线与间的距离为________．
14. 在空间直角坐标系中，，则点到直线的距离为______.
15. 如图，在棱长为2的正四面体中，平面，垂足为，为校的中点，则________．
16. 设，则直线与围成的三角形的面积的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知直线．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
18. 如图，在所有棱长都为2的正三棱柱中，为的中点．
（1）用以为空间的一组基底表示向量．
（2）线段上是否存在一点，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由．
19. 在四棱锥中，底面为菱形，和为正三角形，为的中点．
（1）证明：平面．
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
20. 如图，在正方体中，分别是的中点．
（1）求异面直线与所成角余弦值；
（2）求点到平面的距离．
21. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
（1）求顶点的坐标；
（2）求的面积．
22. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E为BC中点．
（1）证明：．
（2）若二面角的平面角为，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值．
2023~2024学年高二（上）第一次月考
数学
注意事项
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.3.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线经过两点，则的斜率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接应用斜率公式进行求解即可.
【详解】由，得的斜率为．
故选：A
2. 已知向量，且，则（）
A. B. 3C. D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】由向量垂直与平行坐标表示求得，然后由模的坐标表示计算出模．
【详解】因为向量，且，
所以解得，
则，
所以，
所以．
故选：B．
3. 在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点B，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出点坐标，然后计算．
【详解】点在平面内的正投影为点，则．
故选：B.
【点睛】本题考查空间点在坐标平面上的投影，考查空间两点间距离．属于基础题．
4. 若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设直线的倾斜角为，根据题意得到，结合正切函数的图象与性质，即可求解.
【详解】设直线的倾斜角为，其中，可得，
因为，即，
结合正切函数的图象与性质，可得直线的倾斜角．
故选：B.
5. 在空间直角坐标系中，是直线的方向向量，是平面的一个法向量，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，得到，结合空间向量共线的坐标运算，即可求解.
【详解】由题意，是直线的方向向量，是平面的一个法向量，
因为，可得，则存在唯一实数，使得，即，
所以，消去得：．
故选：C.
6. 直线过点，且方向向量为，则（）
A. 直线的点斜式方程为B. 直线的斜截式方程为
C. 直线的截距式方程为D. 直线的一般式方程为
【答案】D
【解析】
【分析】利用方向向量求得斜率，从而求得直线的点斜式，斜截式，截距式，一般式方程
【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为2．
因为直线过点，
所以直线的点斜式方程为，
其一般式为．故A错误，D正确；
化为斜截式：，故B错误；
化为截距式：，故C错误.
故选：D
7. 如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】因为菱形纸片沿对角线折成直二面角，
所以平面平面，
因为是菱形，是的中点，
所以，，
而平面平面，平面，
所以平面，而平面，
所以，
以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，
为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，．
设平面的法向量为，
则得取，则，
得平面的一个法向量为，
易得平面的一个法向量为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
故选：A
8. 在平面直角坐标系中，记为点间的距离，当变化时，的最小值为（）
A. 2B. 3C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】消元法求得点轨迹方程，轨迹是直线，点轨迹是圆,由圆心到直线的距离减去半径可得所求最小值．
【详解】设相加可得，
即动点的轨迹是直线，
由可得点轨迹是圆,圆心是,半径为，
圆心到直线的距离为，所求最小值为．
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据不共面的三个向量可构成空间的一个基底，结合共面向量定理对选项一一判断即可得出答案.
【详解】不存在，使得，所以不共面，
是空间的另一个基底，A正确．
因为，所以共面，
不是空间的另一个基底，B错误．
不存在，使得，所以不共面，
是空间的另一个基底，C正确．
因为，所以共面，
不是空间的另一个基底，D错误．
故选：AC.
10. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，分直线的截距为0和直线的截距不为0，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解.
【详解】当直线的截距为0时，此时直线的方程为，即．
当直线的截距不为0时，设直线的方程为，
则，解得或，
当时，可得直线的方程为，即；
若时，可得则直线的方程为，即．
故选：BCD.
11. 已知点，直线，则下列说法中正确的有（）
A直线恒过点
B. 若直线与线段有交点，则
C. 点到直线的距离的最大值为
D. 若为直线上一点，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，把直线的方程整理为，得出所过定点；对于B，先求出，结合图象得出结果；对于C，当直线时，点到直线的距离最大；对于D，求出关于直线的对称点的坐标，.
【详解】对于A，因为直线的方程可化为，令且，所以直线过定点，故A错误．
对于B，如下图，因为直线过定点，且，所以，故B正确．
对于C，当直线时，点到直线的距离最大，且最大值为，故C正确．
对于D，如下图，当时，直线的方程为．
设关于直线的对称点为，则解得，
所以，所以，故D正确．
故选：BCD.
12. 在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，则下列选项正确的是（）
A. 的轨迹长度相等B. 的最小值为
C. 存在，使得D. 与所成角的余弦值的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据空间向量运算法则求得点和点的轨迹及长度判断A，建立空间直角坐标系，利用空间中两点距离公式及配方法求解最值判断B，利用向量垂直的坐标运算判断C，利用向量夹角的坐标公式求解余弦值的函数，然后利用二次函数求得最值判断D.
【详解】连接，因为，所以，所以点轨迹长度为2．
因为，所以，所以点的轨迹长度为，故A错误；
如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以，
当时，，所以B正确；
因为，
所以，
当时，，即，所以C正确；
因为，
所以，
因为，
因为，且，
所以当，即时，有最小值即有最大值，最大值为，
所以当时，的最大值为，故D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）的余弦值，即可求出结果.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 平行线与间的距离为________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用平行线间的距离公式计算可得答案.
【详解】将方程两边乘以2，得，
所以两平行线间的距离为．
故答案为：．
14. 在空间直角坐标系中，，则点到直线的距离为______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出直线的单位方向向量，然后利用点到直线距离的向量公式求解即可.
【详解】取，,则，,
所以点到直线的距离为.
故答案为：
15. 如图，在棱长为2正四面体中，平面，垂足为，为校的中点，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，根据向量的线性运算法则，得到，再结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解.
【详解】如图所示，连接，
因为，
所以
．
因为四面体为棱长为的正四面体，
可得，且，
所以．
故答案为：.
16. 设，则直线与围成的三角形的面积的最大值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】由直线方程确定直线，且直线过定点，直线过定点，定点都在直线上，这样设直线交于，得出三条直线围成直角，利用基本不等式可得的最大值，从而得三角形面积最大值．
【详解】由题知直线，且直线过定点，直线过定点，点在直线上．
设直线交于，则三条直线围成的三角形为，且，
所以．
因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，所以．
故答案为：2.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知直线．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由两直线平行的条件求解；
（2）由两直线垂直的条件求解．
【小问1详解】
因为，所以，
整理得，解得或．
当时，，符合题意，
当时，与重合，
故．
【小问2详解】
因为，所以，
整理得，
解得或．
18. 如图，在所有棱长都为2的正三棱柱中，为的中点．
（1）用以为空间的一组基底表示向量．
（2）线段上是否存在一点，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据空间向量基本定理，利用向量的加减法得出结果；
（2）用基底表示，根据空间向量垂直，数量积为零以及模长公式得出结果.
【小问1详解】
由已知得，．
【小问2详解】
设线段上存在一点，使得，且，
则
．
因为，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以，
所以，此时点与点重合，．
19. 在四棱锥中，底面为菱形，和为正三角形，为的中点．
（1）证明：平面．
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，交于点，连接．由线面平行的判定定理得出结果；
（2）根据空间向量法求平面与平面的法向量，由两个法向量所成角的余弦值的绝对值得出结果.
【小问1详解】
证明：连接，交于点，连接．
因为为菱形，所以为的中点．
因为为的中点，所以为的中位线，所以．
因为平面平面，所以平面．
【小问2详解】
在正中，连接，，则．
因为，
所以，所以．
因为，平面，所以平面．
所以平面，所以平面平面，平面平面，
过点作于点，平面，则平面.，所以，
又，，则，,.
如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则．
设平面的法向量为，因为，
所以令，得．
设平面的法向量为，
因为，
所以
令，得．
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
20. 如图，在正方体中，分别是的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（2）根据平面法向量的性质，结合空间点到面距离公式进行求解即可.
【小问1详解】
以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
所以直线与所成角的余弦值为；
【小问2详解】
设平面的法向量为，
则得取，则，
得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为．
21. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
（1）求顶点的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）的坐标为，的坐标为
（2）
【解析】
【分析】（1）设，，由题意列方程求解即可得出答案.
（2）先求出和直线所在的方程，再由点到直线的距离公式求出边上的高，即可求出的面积．
【小问1详解】
设，因为边上的中线所在直线方程为，
边上的高所在直线方程为，
所以，解得，即的坐标为．
设，因为边上的中线所在直线方程为，
边上的高所在直线方程为，
所以，解得，即的坐标为．
小问2详解】
因为，所以．
因为边所在直线的方程为，即，
所以点到边的距离为，即边上的高为，
故的面积为．
22. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E为BC的中点．
（1）证明：．
（2）若二面角的平面角为，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取AD的中点F，可证得，，从而平面PEF，根据线面垂直的性质可得结论；
（2）过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，可得平面，以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系．写出点的坐标，求出平面PAB的法向量，可得直线DG与平面PAB所成的角的正弦值的表达式，结合换元法及二次函数的性质得出答案.
【小问1详解】
如图，取AD的中点F，连接PF，EF．
∵底面ABCD是正方形，，∴，．
∵，平面PEF，∴平面PEF．
又∵平面PEF，∴．
【小问2详解】
由（1）可知，二面角的平面角为，且为，
过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，
∵平面PEF，平面PEF，∴，
∵平面，∴平面，
以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
易得，，，，
则，，，，，
，，，，
设平面PAB的法向量为，则
得取，则．
设，，则，
设直线DG与平面PAB所成的角为，
则，
令，则，．
当时，，；
当时，，
当，即，时，取得最大值，且最大值为，此时．
所以直线DG与平面PAB所成角的最大值为．