广西壮族自治区百色市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

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（试卷满分：150分；考试时长：120分钟）
注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据题意求，再结合并集的概念求答案.
【详解】因为全集， 集合，
所以，
又因为集合，所以，
故选：D.
2. 已知命题，，则是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】命题的否定形式是，.
故选：B.
3. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得，即得.
【详解】∵，
∴，解得，且，
所以函数的定义域为.
故选：D.
4. 设扇形周长为，圆心角的弧度数是3，则扇形的面积为（ ）
A. 12B. 16C. 18D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】根据弧长公式以及周长得出半径，再由公式得出面积.
【详解】设扇形的半径为，则弧长为，
因为扇形的周长为，所以，解得，则，
故扇形的面积为.
故选：D.
5. “方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出的范围，再根据充分不必要条件的概念得答案即可.
【详解】由方程有两个不等实数根可得，
解得，
观察选项可得“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是，
故选：C.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】从整体角度出发，令，寻找与的关系，结合诱导公式化简即可.
【详解】令，则，则，
故.
故选：A
7. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小.
【详解】依题意，，又，，
所以a，b，c的大小关系是.
故选：D
8. 函数是定义域为的奇函数，在上单调递增，且.则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意画出函数的草图，再由奇函数化简不等式为，结合图象即可选出答案.
【详解】由于是定义域为的奇函数，所以，
又在上单调递增，且，
所以的大致图象如图所示．

由可得，，
由于在分母位置，所以，
当时，只需，由图象可知；
当时，只需，由图象可知；
综上，不等式的解集为．
故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，取即可举出反例，对于BCD，由作差法即可判断.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，若，则，即，故B正确；
对于C，若，则，所以，故C正确；
对于D，若，则，即，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知函数，给出下列四个结论，不正确的是（ ）
A. 函数是周期为的偶函数
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在区间上的最小值为
D. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与的图象重合
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定的函数，利用余弦函数的图象性质依次判断ABC；利用给定变换求出解析式判断D.
【详解】对于A，由于，，即，则不是偶函数，A错误；
对于B，当时，，而余弦函数在上单调递减，
因此函数在区间上单调递减，B正确；
对于C，当时，，，C错误；
对于D，将函数的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，
所以所得图象与的图象重合，D正确.
故选：AC
11. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学学习和研究中，常用两数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数（且）的图像的大致形状可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】按和分类，结合指数函数图象判断即得.
【详解】当时，函数在上单调递减，当时，在上递增，，
当时，在上递减，，A不满足，D符合题意；
当时，函数在上单调递增，当时，在上递减，，
当时，在上递增，，C不满足，B符合题意.
故选：BD
12. 已知函数且，则下列说法正确的有（ ）
A. 在区间和上单调递减
B. 直线与的图象总有3个不同的公共点
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】画出函数图象，数形结合判断A正确，B错误，且，，由基本不等式得到.
【详解】画出函数的大致图象，如图所示，

A选项，由图可知在区间和上单调递减，所以A正确；
B选项，由图可知，当时，直线与的图象有3个不同的公共点，
当时，直线与的图象有2个不同的公共点，所以B错误；
CD选项，令，
可得直线与的图象有4个不同的交点，且交点横坐标分别为，，，，
由图可知，，
由基本不等式得，，
所以，因为，所以，所以C，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知幂函数为奇函数.则____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用幂函数的定义及奇偶性求出m值.
【详解】依题意，，解得或，
当时，函数是偶函数，不符合题意，
当时，函数奇函数，符合题意，
所以.
故答案为：
14. 函数，则_________
【答案】1
【解析】
【分析】根据题意，由函数的解析式可得，进而计算可得答案．
【详解】根据题意，，
则
故答案为：1．
【点睛】本题考查分段函数解析式求值问题，属于基础题．
15. 若，则的最小值为___________.
【答案】9
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】由，得，于是，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9.
故答案：9
16. 设定义域为的函数则关于的函数的零点的个数为__.
【答案】7
【解析】
【分析】令解得或，作出的简图，由数形结合判断即可.
【详解】令，得或.
作出的简图，，由图象得当或时，分别有3个和4个交点，
故关于的函数的零点的个数为 7.
故答案为：7.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 全集，若集合，.
（1）求；；
（2）若集合，，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得集合，， 结合集合交集、并集的概念与运算，即可求解；
（2）根据题意，得到，结合集合间的包含关系，即可求解.
【小问1详解】
由集合，
，
所以，，
【小问2详解】
因为，可得，
又因为，且，所以，
所以实数的取值范围是.
18. 计算下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）15 （2）3
【解析】
【分析】（1）利用指数运算法则计算即得.
（2）利用对数性质及运算法则计算即得.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式.
19. 已知 ，且 为第三象限角.
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）先根据诱导公式得，再根据同角三角函数关系求（2）先根据诱导公式化简，再代入、、值，计算可得结果
试题解析：解：（1）已知得 ，且为第三象限角,所以
（2）
20. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式及对称中心坐标：
（2）先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由最大值和最小值求得，的值，由以及可得的值，再由最高点可求得的值，即可得的解析式，由正弦函数的对称中心可得对称中心；
（2）由图象平移变换求得的解析式，由正弦函数的性质可得的值域，令的取值为的值域，解不等式即可求解.
【小问1详解】
由题意可得：，可得，所以，
因为，所以，可得，
所以，
由可得，
因为，所以，，所以.
令可得，所以对称中心为.
【小问2详解】
由题意可得：，
当时，，，
若关于的方程有实数根，则有实根，
所以，可得：.
所以实数的取值范围为.
21. 受新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产厂为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n年的材料费、维修费、人工工资等共为万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n年的总盈利额为万元．
（1）写出关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理．
请问：使用哪种方案能在更短的时间内达到相应的最值目标？并比较分别使用两种方案处理设备后的总利润大小．
【答案】（1），从第3年开始盈利.
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意写出关于的函数式，由求得的范围，再由，即可得答案；
（2）利用配方法求最值得到方案一的总盈利额；利用基本不等式求最值求出的最大值，得到方案二的总利润，可得两种方案获利都是170万元，再结合获得最大利润的年限得结论．
【小问1详解】
由题意得：．
由，得，即，
解得．
由于，故设备企业从第3年开始盈利；
【小问2详解】
方案一：总盈利额，当时．
故方案一总利润，此时；
方案二：每年平均利润，当且仅当时等号成立．
故方案二总利润，此时．
比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适．
22. 已知是定义域为的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）1 （2）在R上单调递增，证明见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质即可得出的值；
（2）根据函数单调性的定义判断即可；
（3）结合（2）的结论和奇函数的性质，不等式可转化为，利用换元法和二次函数的知识求出右式的最大值即可．
【小问1详解】
是R上的奇函数，
，对任意，即，
即，对任意恒成立，
，即.
【小问2详解】
为R上的增函数，证明如下：
任取，，且，
，
，，
，即，
所以函数为R上的增函数.
【小问3详解】
不等式在R上恒成立，
，
又为R上的增函数，
在R上恒成立，
即，令，，
上式等价于对恒成立，
即，令，只需即可，
又，开口向下，对称轴为，，
，
.
所以实数的取值范围为.