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苏科版八年级上册6.2 一次函数同步达标检测题
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这是一份苏科版八年级上册6.2 一次函数同步达标检测题，共36页。
1、变量与常量：
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量．
2、函数的有关概念：
（1）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
（2）用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
（3）自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
（4）函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
（5）函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．
（6）函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
3、一次函数与正比例函数
（1）一次函数的定义：
一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．
一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
（2）正比例函数的定义：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
4、一次函数的图象与性质：
（1）正比例函数图象的性质
正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx．
当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
（2）一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
（3）一次函数的图象：
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
一次函数的应用：
（1）、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
（2）、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
（3）、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
【典例剖析】
【考点1】函数的概念
【例1】（2020春•崇川区校级期中）在下列各图象中，y是x的函数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1.1】（（2020春•荥阳市期中）如图是1月15号至2月2号，全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线，则下列说法错误的是（ ）
A．1月23号，新增确诊人数约为150人
B．1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同
C．1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势
D．自变量为时间，因变量为确诊总人数
【变式1.2】（2020•雨花区校级一模）下列图象中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1.3】（2018春•如皋市期末）下列的曲线中，表示y是x的函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点2】函数的自变量
【例2】（2020春•海安市期末）函数y中，自变量x的取值范围是（ ）
A．xB．xC．xD．x
【变式2.1】（2020•无锡）函数y＝2中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．xC．xD．x
【变式2.2】（2020秋•北碚区校级月考）函数y自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≤5C．x≤5且x≠3D．x＜5且x≠3
【考点3】函数的表示方法
【例3】（2020春•定兴县期末）如表是变量x与y之间关系的一组数据，则y与x之间的表达式可以写成（ ）
A．y＝x+1B．y＝2x+1C．y＝2x﹣1D．y＝x2+1
【变式3.1】（2019春•沙河市期末）在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表
则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（ ）
A．v＝2mB．v＝m2+1C．v＝3m﹣1D．v＝3m+1
【变式3.2】（2016春•乐亭县期末）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．yx+12B．y＝﹣2x+24C．y＝2x﹣24D．yx﹣12
【考点4】函数值
【例4】（2020秋•巴南区期中）根据如图所示的计算程序，若输入x＝﹣2，则输出结果y的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣7D．7
【变式4.1】（2019•邗江区校级一模）有下列四个函数：①y＝x；②y＝﹣x﹣5；③y；④y＝x2+4x﹣1．当自变量满足﹣4≤x≤﹣1时，函数值满足﹣4≤y≤﹣1的函数有（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
【变式4.2】（2019•广饶县一模）根据图所示的程序计算变量y的值，若输入自变量x的值为，则输出的结果是（ ）
A．B．C．D．
【考点5】一次函数的定义
【例5】（2020秋•高新区校级月考）函数①y＝πx；②y＝2x﹣1；③y，④y＝x2﹣1中，y是x的一次函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式5.1】（2020秋•沙坪坝区校级月考）若函数y＝﹣2x+m﹣3是y关于x的正比例函数，则m的值为（ ）
A．﹣3B．1C．2D．3
【变式5.2】（2020•阳谷县校级模拟）若y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．±2
【变式5.3】．（2019秋•武进区校级月考）下列函数：（1）﹣y＝x；（2）y＝2x+1；（3）y；（4）y；（5）s＝12t；（6）y＝30﹣4x中，是一次函数的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点6】一次函数的性质
【例6】（2020春•洪山区月考）在平面直角坐标系中，函数y＝|x﹣a|（其中a为常量），当自变量﹣3≤x≤1时，它的最小值为a+4，则满足条件的a的值为（ ）
A．B．C．D．或
【变式6.1】（2020•姜堰区二模）已知一次函数y＝kx+b，当x的值每减小0.5时，y的值就增加2，则k的值是（ ）
A．﹣8B．﹣4C．﹣2D．﹣1
【变式6.2】（2020春•崇川区校级期末）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y＝5x﹣3图象上的两点，则下列判断正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2
C．当x1＜x2时，y1＞y2D．当x1＜x2时，y1＜y2
【变式6.3】（2019秋•裕安区期末）若一次函数y＝（k﹣3）x﹣1的图象不经过第一象限，则（ ）
A．k＜3B．k＞3C．k＞0D．k＜0
【考点7】一次函数的图象
【例7】（2020•南京一模）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝﹣2kx﹣b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7.1】（2020秋•荥阳市期中）在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣bx+k（b≠0）的大致图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7.2】（2019秋•金湖县期末）已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【考点8】一次函数与二元一次方程
【例8】（2020春•复兴区期末）已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，两函数y＝x+5与yx﹣1的图象的交点坐标为（ ）
A．（﹣4，1）B．（1，﹣4）C．（4，﹣1）D．（﹣1，4）
【变式8.1】（2019秋•鼓楼区期末）如图，直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组（ ）的解．
A．B．
C．D．
【变式8.2】（2019•衢州一模）已知一次函数y1＝2x+m与y2＝2x+n（m≠n）的图象如图所示，则关于x与y的二元一次方程组的解的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【变式8.3】（2018秋•达川区期末）在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点．设k为整数，当直线y＝x﹣2与y＝kx+k的交点为整点时，k的值可以取（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【考点9】一次函数与不等式
【例9】（2020春•海淀区校级期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（4，﹣3），则关于x的不等式kx+b＜﹣3的解集为（ ）
A．x＜3B．x＞3C．x＜4D．x＞4
【变式9.1】（2020•如皋市二模）如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（ ）
A．x＞0B．x＜0C．x＞1D．x＜1
【变式9.2】（2020•梁溪区校级二模）若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣1）﹣b＞0的解集为 ．
【变式9.3】（2020•南京二模）已知一次函数y1＝x+2与y2＝﹣x+b（b为常数），当x＜1时，y1＜y2．则b的取值范围是 ．
【考点10】一次函数的应用：图象问题
【例10】（2020春•海安市月考）一辆货车从A地去B地，一辆轿车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离为y（km）与货车行驶的时间为x（h）之间的函数关系如图所示．
（1）两车行驶多长时间后相遇？
（2）轿车和货车的速度分别为 ， ；
（3）谁先到达目的地，早到了多长时间？
（4）求两车相距160km时货车行驶的时间．
【变式10.1】（2020春•海安市月考）一辆货车从A地去B地，一辆轿车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离为y（km）与货车行驶的时间为x（h）之间的函数关系如图所示．
（1）两车行驶多长时间后相遇？
（2）轿车和货车的速度分别为 100km/h ， 80km/h ；
（3）谁先到达目的地，早到了多长时间？
（4）求两车相距160km时货车行驶的时间．
【变式10.2】（2020•南京二模）某观光湖风景区，一观光轮与一巡逻艇同时从甲码头出发驶往乙码头，巡逻艇匀速往返于甲、乙两个码头之间，当观光轮到达乙码头时，巡逻艇也同时到达乙码头．设出发xh后，观光轮、巡逻艇离甲码头的距离分别为y1km、y2km．图中的线段OG、折线OABCDEFG分别表示y1、y2与x之间的函数关系．
（1）观光轮的速度是 km/h，巡逻艇的速度是 km/h；
（2）求整个过程中观光轮与巡逻艇的最大距离；
（3）求整个过程中观光轮与巡逻艇相遇的最短时间间隔．
【变式10.3】（2020•铜山区二模）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车之间的距离y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）乙车的速度为 千米/时；
（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式；
（3）当甲车到达距B地90千米处时，求甲、乙两车之间的路程．
【考点11】一次函数的应用：销售问题
【例11】（2020春•建邺区期末）某经销商经销的冰箱二月份每台的售价比一月份每台的售价少500元，已知一月份卖出20台冰箱，二月份卖出25台冰箱，二月份的销售额比一月份多1万元．
（1）一、二月份冰箱每台售价各为多少元？
（2）为了提高利润，该经销商计划三月份再购进洗衣机进行销售，已知洗衣机每台进价为4000元，冰箱每台进价为3500元，预计不多于7.6万元的资金购进这两种家电共20台，设冰箱为y台（y≤12），请问有几种进货方案？
（3）三月份为了促销，该经销商决定在二月份售价的基础上，每售出一台冰箱再返还顾客现金a元，而洗衣机按每台4400元销售，在这种情况下，若（2）中各方案获得的利润相同，则a＝ 100 ．（直接写出结果）
【变式11.1】（2020•滨湖区模拟）由于新冠疫情，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的医用口罩20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：
（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？
（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售收入﹣投入总成本）
【变式11.2】（2020•苏州）某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．
【变式11.3】（2020•鼓楼区一模）某工厂生产A、B、C三种产品，这三种产品的生产数量均为x件．它们的单件成本和固定成本如表：
（注：总成本＝单件成本×生产数量+固定成本）
（1）若产品A的总成本为yA，则yA关于x的函数表达式为 ．
（2）当x＝1000时，产品A、B的总成本相同．
①求a；
②当x≤2000时，产品C的总成本最低，求b的取值范围．
【考点12】一次函数的综合问题
【例12】（2020春•龙岗区校级期末）如图，已知点A（﹣3，2），过点A作AD⊥x轴于点D，点B是x轴正半轴上的一个动点，连接AB，以AB为斜边在AB的上方构造等腰Rt△ABC，连接DC．
（1）当B的坐标为（4，0）时，点C的坐标是 ；
（2）当点B在x轴正半轴上运动的时候，点C是否在一直线上运动，如果是，请求出点C所在直线的解析式；如果不是，请说明理由；
（3）在B点的运动过程中，猜想DC与DB有怎样的数量关系，并证明你的结论．
【变式12.1】（2020春•兴化市期中）如图1，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（6，8）．D是AB边上一点（不与点A、B重合），将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点E处．
（1）求直线AC所表示的函数的表达式；
（2）如图2，当点E恰好落在矩形的对角线AC上时，求点D的坐标；
（3）如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△OEA的面积．
【变式12.2】（2020春•姜堰区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴，y轴于A、B两点，点A关于原点O的对称点为点D，点C在第一象限，且四边形ABCD为平行四边形．
（1）在图①中，画出平行四边形ABCD，并直接写出C、D两点的坐标；
（2）动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位的速度向终点B运动；同时，动点Q从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位的速度向终点D运动，设点P运动的时间为t秒．
①若△POQ的面积为3，求t的值；
②点O关于B点的对称点为M，点C关于x轴的对称点为N，过点P作PH⊥x轴，问MP+PH+NH是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．
【变式12.3】（2019秋•邗江区期末）如图所示，已知点M（1，4），N（5，2），P（0，3），Q（3，0），过P，Q两点的直线的函数表达式为y＝﹣x+3，动点P从现在的位置出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，设移动时间为ts．
（1）若直线PQ随点P向上平移，则：
①当t＝3时，求直线PQ的函数表达式．
②当点M，N位于直线PQ的异侧时，确定t的取值范围．
（2）当点P移动到某一位置时，△PMN的周长最小，试确定t的值．
（3）若点P向上移动，点Q不动．若过点P，Q的直线经过点A（x0，y0），则x0，y0需满足什么条件？请直接写出结论．
x
1
2
3
4
…
y
2
5
10
17
…
m
1
2
3
4
v
2.01
4.9
10.03
17.1
型号
价格（元/只）
种类
甲
乙
原料成本
12
8
销售单价
18
12
生产提成
1
0.8
日期
销售记录
6月1日
库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg（除了促销降价，其他时间售价保持不变）．
6月9日
从6月1日至今，一共售出200kg．
6月10、11日
这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg．
6月12日
补充进货200kg，成本价8.5元/kg．
6月30日
800kg水果全部售完，一共获利1200元．
产品
单件成本（元/件）
固定成本（元）
A
0.1
1100
B
0.8
a
C
b（b＞0）
200
参考答案
【考点1】函数的概念
【例1】
【分析】利用函数定义进行解答即可．
【解析】第一个、第二个、第三个图象y都是x的函数，第四个不是，共3个，
故选：C．
【变式1.1】
【分析】依据全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线中的数据，即可得出结论．
【解析】A.1月23号，新增确诊人数约为150人，故本选项正确；
B.1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同，故本选项正确；
C.1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，故本选项正确；
D．自变量为时间，因变量为新增确诊人数，故本选项错误；
故选：D．
【变式1.2】
【分析】函数的定义：在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则x叫自变量，y是x的函数．根据定义再结合图象观察就可以得出结论．
【解析】根据函数定义，如果在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应．而B中的y的值不具有唯一性，所以不是函数图象．
故选：B．
【变式1.3】
【分析】根据函数的意义即可求出答案．
【解析】根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，
所以表示y是x的函数的是第1、2、4这3个，
故选：C．
【考点2】函数的自变量
【例2】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知：2﹣3x＞0，解得x的范围．
【解析】根据题意得：2﹣3x＞0，
解得：x．
故选：A．
【变式2.1】
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【解析】由题意得，3x﹣1≥0，
解得，x．
故选：B．
【变式2.2】
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解析】由题意得，5﹣x≥0，x﹣3≠0，
解得，x≤5且x≠3，
故选：C．
【考点3】函数的表示方法
【例3】
【分析】根据图表，观察发现y与x之间的表达式是二次函数关系式，根据待定系数法可求y与x之间的表达式．
【解析】设y与x之间的表达式为y＝ax2+bx+c，依题意有
，
解得．
故y与x之间的表达式可以写成y＝x2+1．
故选：D．
【变式3.1】
【分析】观察这几组数据，找到其中的规律，然后再答案中找出与之相近的关系式．
【解析】有四组数据可找出规律，2.01﹣1＝1.01，接近12；
4.9﹣1＝3.9，接近22；
10.03﹣1＝9.03，接近32；
17.1﹣1＝16.1，接近42；
故m与v之间的关系最接近于v＝m2+1．
故选：B．
【变式3.2】
【分析】根据题意可得2y+x＝24，继而可得出y与x之间的函数关系式．
【解析】由题意得：2y+x＝24，
故可得：yx+12（0＜x＜24）．
故选：A．
【考点4】函数值
【例4】
【分析】把x＝﹣2时，代入y＝2x2﹣1＝7，即可判断．
【解析】x＝﹣2时，y＝2x2﹣1＝7，
故选：D．
【变式4.1】
【分析】根据一次函数的增减性，反比例函数的增减性以及二次函数的增减性分别作出判断即可得解．
【解析】①y＝x，x＝﹣4时y取最小值﹣4，x＝﹣1时，y取最大值﹣1，符合，
②y＝﹣x﹣5，x＝﹣4时y取最大值﹣1，x＝﹣1时y取最小值﹣4，符合，
③y，x＝﹣4时y取最大值﹣1，x＝﹣1时y取最小值﹣4，符合，
④y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，对称轴是x＝﹣2，x＝﹣4时，y取最大值﹣1，x＝﹣2时y取最小值﹣5，x＝﹣1时y＝﹣4，不是最小值，不符合．
综上所述，符合条件的函数有①②③共3个．
故选：B．
【变式4.2】
【分析】根据输入的数所处的范围，应将x代入y＝﹣x+2，即可求得y的值．
【解析】∵x
∴1＜x≤2
则将x，代入y＝﹣x+2
得：y2．
故选：C．
【考点5】一次函数的定义
【例5】
【分析】利用一次函数定义进行解答即可．
【解析】①y＝πx；②y＝2x﹣1是一次函数；
③y是反比例函数，不是一次函数；
④y＝x2﹣1是二次函数，不是一次函数，
因此一次函数共2个，
故选：B．
【变式5.1】【分析】根据正比例函数定义可得m﹣3＝0，再解即可．
【解析】由题意得：m﹣3＝0，
解得：m＝3，
故选：D．
【变式5.2】
【分析】由一次函数的定义得关于m的方程，解出方程即可．
【解析】∵函数y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，
∴2﹣|m|＝1，m﹣1≠0．
解得：m＝﹣1．
故选：B．
【变式5.3】
【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
【解析】由题可得，是一次函数的有：（1）﹣y＝x；（2）y＝2x+1；（4）y；（5）s＝12t；（6）y＝30﹣4x，共5个，
故选：D．
【考点6】一次函数的性质
【例6】
【分析】根据题意和一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得a的值．
【解析】∵函数y＝|x﹣a|（其中a为常量），当自变量﹣3≤x≤1时，它的最小值为a+4，
∴当a＞1时，x＝1取得最小值，此时a﹣1＝a+4，化简得﹣1＝4不成立；
当﹣3≤a≤1时，x＝a时取得最小值0，0＝a+4，解得a＝﹣4，此种情况不成立；
当a＜﹣3时，x＝﹣3时取得 最小值，此﹣3﹣a＝a+4，解得a，
故选：C．
【变式6.1】
【分析】根据一次函数y＝kx+b，当x的值每减小0.5时，y的值就增加2，可以计算出k的值，从而可以解答本题．
【解析】设x＝a时，y＝ak+b，
则当x＝a﹣0.5时，y+2＝（a﹣0.5）k+b，
故2＝﹣0.5k，
解得，k＝﹣4，
故选：B．
【变式6.2】
【分析】由k＝5＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，进而可得出当x1＜x2时y1＜y2．
【解析】∵k＝5＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x1＜x2时，y1＜y2．
故选：D．
【变式6.3】
【分析】根据一次函数的性质得k﹣3＜0，然后解不等式即可．
【解析】∵一次函数y＝（k﹣3）x﹣1的图象不经过第一象限，
∴k﹣3＜0，解得k＜3．
故选：A．
【考点7】一次函数的图象
【例7】
【分析】根据一次函数图象可以确定k、b的符号，根据k、b的符号来判定函数y＝﹣2kx﹣b的图象所在的象限．
【解析】∵一次函数y＝kx+b的图象经过二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
∴函数y＝﹣2k﹣b的图象经过第一、二、三象限．
∵因为|k|＜|﹣2k|，
所以一次函数y＝kx+b的图象比y＝﹣2kx﹣b的图象的倾斜度小，
综上所述，符合条件的图象是C选项．
故选：C．
【变式7.1】
【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的图象，可以判断哪个选项中的图象符合题意，从而可以解答本题．
【解析】当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第一、二、三象限，y＝﹣bx+k（b≠0）的图象经过第一、二、四象限，故选项B、D不符合题意；
当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第一、三、四象限，y＝﹣bx+k（b≠0）的图象经过第一、二、三象限，故选项A不符合题意；
当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，y＝﹣bx+k（b≠0）的图象经过第一、三、四象限，故选项C符合题意；
故选：C．
【变式7.2】
【分析】根据一次函数的性质得到k＜0，而kb＜0，则b＞0，所以一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴上方．
【解析】∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限；
∵kb＜0，
∴b＞0，
∴图象与y轴的交点在x轴上方，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限．
故选：A．
【考点8】一次函数与二元一次方程
【例8】
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可．
【解析】∵二元一次方程组的解为，
∴在同一平面直角坐标系中，两函数y＝x+5与yx﹣1的图象的交点坐标为（﹣4，1），
故选：A．
【变式8.1】
【分析】首先利用待定系数法求出l1、l2的解析式，然后可得方程组．
【解析】设l1的解析式为y＝kx+b，
∵图象经过的点（1，0），（0，﹣2），
∴，
解得：，
∴l1的解析式为y＝2x﹣2，
可变形为2x﹣y＝2，
设l2的解析式为y＝mx+n，
∵图象经过的点（﹣2，0），（0，1），
∴，
解得：，
∴l2的解析式为yx+1，
可变形为x﹣2y＝﹣2，
∴直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组的解．
故选：A．
【变式8.2】
【分析】由图象可知，一次函数y1＝2x+m与y2＝2x+n（m≠n）是两条互相平行的直线，所以关于x与y的二元一次方程组无解．
【解析】∵一次函数y1＝2x+m与y2＝2x+n（m≠n）是两条互相平行的直线，
∴关于x与y的二元一次方程组无解．
故选：A．
【变式8.3】
【分析】让这两条直线的解析式组成方程组，求得整数解即可．
【解析】①当k＝0时，y＝kx+k＝0，即为x轴，则直线y＝x﹣2和x轴的交点为（2，0）满足题意，
∴k＝0
②当k≠0时，
，
∴x﹣2＝kx+k，
∴（k﹣1）x＝﹣（k+2），
∵k，x都是整数，k≠1，k≠0，
∴x1是整数，
∴k﹣1＝±1或±3，
∴k＝2或k＝4或k＝﹣2；
综上，k＝0或k＝2或k＝4或k＝﹣2．
故k共有四种取值．
故选：A．
【考点9】一次函数与不等式
【例9】【分析】由一次函数y＝kx+b的图象经过（4，﹣3），以及y随x的增大而减小，可得关于x的不等式kx+b＜﹣3的解集．
【解析】∵一次函数y＝kx+b的图象经过（4，﹣3），
∴x＝4时，kx+b＝﹣3，
又y随x的增大而减小，
∴关于x的不等式kx+b＜﹣3的解集是x＞4．
故选：D．
【变式9.1】
【分析】利用图象得出答案即可．
【解析】如图所示：不等式kx+b＞1的解集为：x＞1．
故选：C．
【变式9.2】
【分析】先把（3，0）代入y＝kx﹣b得b＝3k，则不等式化为k（x﹣1）﹣3k＞0，然后在k＜0的情况下解不等式即可．
【解析】把（3，0）代入y＝kx+b得3k﹣b＝0，则b＝3k，
所以k（x﹣1）﹣b＞0化为k（x﹣1）﹣3k＞0，
即kx﹣4k＞0，
因为k＜0，
所以x＜4，
故答案为：x＜4．
【变式9.3】
【分析】先解方程组得两函数图象的交点坐标为（，），结合函数图象得到1，然后解关于b的不等式．
【解析】解方程组得，
∴两函数图象的交点坐标为（，），
∵当x＜1时，y1＜y2，
∴1，
∴b≥4．
故答案为b≥4．
【考点10】一次函数的应用：图象问题
【例10】
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出两车行驶多长时间后相遇；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出轿车和货车的速度；
（3）根据函数图象和题意，可以得到谁先到达目的地，早到了多长时间；
（4）根据函数图象中的数据和（2）中的结果，可以计算出两车相距160km时货车行驶的时间．
【解析】（1）由图象可得，
两车行驶1小时后相遇；
（2）由图象可得，
轿车的速度为：180÷1.8＝100（km/h），
货车的速度为：180÷1﹣100＝80（km/h），
故答案为：100km/h，80km/h；
（3）由题意可得，
轿车先到达目的地，
180÷80﹣1.8＝2.25﹣1.8＝0.45（小时），
即轿车先到达目的地，早到了0.45小时；
（4）设两车相距160km时货车行驶的时间为a小时，
相遇前：180﹣160＝（100+80）a，
解得a，
相遇后，80a＝160，
解得a＝2，
由上可得，两车相距160km时货车行驶的时间是小时或2小时．
【变式10.1】
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出两车行驶多长时间后相遇；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出轿车和货车的速度；
（3）根据函数图象和题意，可以得到谁先到达目的地，早到了多长时间；
（4）根据函数图象中的数据和（2）中的结果，可以计算出两车相距160km时货车行驶的时间．
【解析】（1）由图象可得，
两车行驶1小时后相遇；
（2）由图象可得，
轿车的速度为：180÷1.8＝100（km/h），
货车的速度为：180÷1﹣100＝80（km/h），
故答案为：100km/h，80km/h；
（3）由题意可得，
轿车先到达目的地，
180÷80﹣1.8＝2.25﹣1.8＝0.45（小时），
即轿车先到达目的地，早到了0.45小时；
（4）设两车相距160km时货车行驶的时间为a小时，
相遇前：180﹣160＝（100+80）a，
解得a，
相遇后，80a＝160，
解得a＝2，
由上可得，两车相距160km时货车行驶的时间是小时或2小时．
【变式10.2】
【分析】（1）根据图象可知从甲码头到乙码头的距离为32千米，观光轮行驶2小时路程为32千米，据此即可求出其速度；根据巡逻艇往返次数即可求出巡逻艇的速度；
（2）根据（1）的结论列式计算即可求解；
（3）由图象可知，当y1＝yBC时，观光轮与巡逻艇相遇的间隔时间最短，利用待定系数法求出线段BC的解析式，再结合y1的解析式列方程解答即可．
【解析】（1）观光轮的速度为：32÷2＝16 （km/h），巡逻艇的速度为：（32×7）÷2＝112（ km/h）；
故答案为：16；112；
（2）整个过程中观光轮与巡逻艇的最大距离：32﹣16（km）；
（3）由题意可得：16x+112x＝32×2，解得x；
，，即点B的坐标为（，0），点C的坐标为（，32），
设线段BC所表示的函数表达式为yBC＝kx+b，则，解得，
∴yBC＝112x﹣64，
易知y1＝16x，
当y1＝yBC时，112x﹣64＝16x，解得x，．
答：最短时间间隔为 h．
【变式10.3】
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以求得乙车的速度；
（2）根据图象中的数据，可以计算出a、b的值和当x＝a对应的y的值，然后即可求得甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式；
（3）根据题意和（2）中的函数解析式，可以得到当甲车到达距B地90千米处时，甲、乙两车之间的路程．
【解析】（1）由图可得，
乙车的速度为：270÷2﹣60＝75（千米/时），
故答案为：75；
（2）a＝270÷75＝3.6，
故当a＝3.6时，两车之间的距离为：60×3.6＝216（千米），
b＝270÷60＝4.5，
当2＜x≤3.6时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，，
即当2＜x≤3.6时，y与x之间的函数关系式为y＝135x﹣270；
当3.6＜x≤4.5时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，
，
解得，，
即当3.6＜x≤4.5时，y与x之间的函数关系式为y＝60x；
由上可得，甲、乙两车相遇后，y与x之间的函数关系式为y；
（3）∵甲车到达距B地90千米处时，x3，
∴将x＝3代入y＝135x﹣270，得
y＝135×3﹣270＝135，
即当甲车到达距B地90千米处时，甲、乙两车之间的路程是135千米．
【考点11】一次函数的应用：销售问题
【例11】
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得一、二月份冰箱每台售价各为多少元；
（2）根据题意，可以得到相应的不等式，从而可以得到y的取值范围，进而得到相应的进货方案；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以得到利润与y的函数关系，再根据（2）中各方案获得的利润相同，从而可以得到a的值．
【解析】（1）设一月份冰箱每台售价x元，则二月份冰箱每台售价（x﹣500）元，
25（x﹣500）﹣20x＝10000，
解得，x＝4500，
∴x﹣500＝4000，
答：一月份冰箱每台售价4500元，则二月份冰箱每台售价4000元；
（2）由题意可得，
3500y+4000（20﹣y）≤76000，
解得，y≥8，
∵y≤12且为整数，
∴y＝8，9，10，11，12，
∴共有五种进货方案；
（3）设总获利w元，
w＝（4000﹣3500﹣a）y+（4400﹣4000）（20﹣y）＝（100﹣a）y+8000，
∵（2）中各方案获得的利润相同，
∴100﹣a＝0，
解得，a＝100，
故答案为：100．
【变式11.1】
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以得到甲、乙两种型号的产品分别是多少万只；
（2）根据题意，可以得到利润和生产甲种产品数量的函数关系式，再根据公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，可以得到生产甲种产品数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大，并求出最大利润．
【解析】（1）设甲、乙两种型号的产品分别是a万只，b万只，
，解得，
答：甲、乙两种型号的产品分别是10万只、10万只；
（2）设利润为w元，生产甲种产品x万只，则生产乙种产品（20﹣x）万只，
w＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.8）×（20﹣x）＝1.8x+64，
∵公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，
∴（12+1）x+（8+0.8）×（20﹣x）≤239，
解得，x≤15，
∵k＝1.8，
∴w随着x的增大而增大，
∴当x＝15时，w取得最大值，此时w＝91，20﹣x＝15，
答：当安排生产甲种产品15万只、乙种产品5万只时，可使该月公司所获利润最大，最大利润是91万元．
【变式11.2】
【分析】（1）由表格信息可知，从6月1日到6月9日，成本价8元/kg，售价10元/kg，一共售出200kg，根据利润＝每千克的利润×销售量列式计算即可；
（2）设B点坐标为（a，400），根据题意列方程求出点B的坐标，设线段BC所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，利用待定系数法解答即可．
【解析】（1）200×（10﹣8）＝400（元）
答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元；
（2）设点B坐标为（a，400），根据题意得：
（10﹣8）×（600﹣a）+（10﹣8.5）×200＝1200﹣400，
解这个方程，得a＝350，
∴点B坐标为（350，400），
设线段BC所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，则：
，解得，
∴线段BC所在直线对应的函数表达式为．
【变式11.3】
【分析】（1）根据“总成本＝单件成本×生产数量+固定成本”即可得出产品A的总成本为yA，则yA关于x的函数表达式；
（2）①根据题意列方程解答即可；
②取x＝2000时，即可得出b的取值范围．
【解析】（1）根据题意得：y＝0.1x+1100；
故答案为：y＝0.1x+1100．
（2）①由题意得0.8×1000+a＝0.1×1000+1100，
解得a＝400；
②当x＝2000时，yC≤yA且yC≤yB，
即2000b+200≤2000×0.8+400；2000b+200≤2000×0.1+1100，
解得：0＜b≤0.55．
【考点12】一次函数的综合问题
【例12】
【分析】（1）证明△CMA≌△BCN（AAS），则AM＝CN，MC＝NB，可得点B的坐标为（2x+1，0），进而求解；
（2）由（1）知，y＝x+3，即可求解；
（3）由（1）、（2）知，点C、D、B的坐标分别为（x，x+3）、（﹣3，0）、（2x+1，0），则CD（x+3），而BD＝2x+1﹣x﹣3＝x﹣2，即可求解．
【解析】（1）设点C（x，y），点B（m，0），
过点C作x轴的平行线交过点B于y轴的平行线于点N，交DA的延长线于点M，
∵∠MCA+∠BCN＝90°，∠BCN+∠CBN＝90°，
∴∠MCA＝∠CBN，
∵∠CMA＝∠BNC＝90°，AC＝BC，
∴△CMA≌△BCN（AAS），
∴AM＝CN，MC＝NB，
即y﹣2＝m﹣x，x+3＝y，
即y＝x+3且m＝x+y﹣2＝2x+1，即点B的坐标为（2x+1，0），
当点B（4，0）时，即m＝4，
则4＝2x+1，解得x＝1.5，y＝x+3＝4.5，
故答案为（1.5，4.5）；
（2）点C在一直线上运动，理由：
由（1）知，y＝x+3，
即点C所在直线的解析式为y＝x+3；
（3）由（1）、（2）知，点C、D、B的坐标分别为（x，x+3）、（﹣3，0）、（2x+1，0），
则CD（x+3），
而BD＝2x+1+3＝2x+4，
故2CD（BD+2），
即DC与DB的数量关系是：CD（BD+2），
【变式12.1】
【分析】（1）利用矩形的性质，求出点A、C的坐标，再用待定系数法即可求解；
（2）Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，即可求解；
（3）①当EC＝EO时，ONOC＝4＝EM，则△OEA的面积OA×EM；②当OE＝OC时，利用勾股定理得：NE2＝EC2﹣CN2＝EO2﹣ON2，求出ON，进而求解．
【解析】（1）∵点B的坐标为（6，8）且四边形OABC是矩形，
∴点A、C的坐标分别为（6，0）、（0，8），
设AC的表达式为y＝kx+b，
把A、C两点的坐标分别代入上式得，解得，
∴直线AC所表示的函数的表达式是；
（2）∵点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，8），
∴OA＝6，OC＝8．
∴Rt△AOC中，AC，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，
∵沿CD折叠，
∴∠CED＝90°，BD＝DE，CE＝6，AE＝4，
∴∠AED＝90°，
设BD＝DE＝a，则AD＝8﹣a，
∵Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
∴42+a2＝（8﹣a）2，解得a＝3，
∴点D的坐标为（6，5）；
（3）过点E分别作x、y轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵EN⊥OC，EM⊥OA，OC⊥OA，
∴∠ENO＝∠NOM＝∠OME＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴EM＝ON．
①当EC＝EO时，
∵EC＝EO，NE⊥OC，
∴ONOC＝4＝EM，
△OEA的面积OA×EM6×4＝12；
②当OE＝OC时，
∵EN⊥OC，
∴∠ENC＝∠ENO＝90°，
设ON＝b，则CN＝8﹣b，
在Rt△NEC中，NE2＝EC2﹣CN2，
在Rt△ENO中，NE2＝EO2﹣ON2，
即62﹣（8﹣b）2＝82﹣b2，
解得：b，
则EM＝ON，
△OEA的面积OA×EM6；
故△OEA的面积为12或．
【变式12.2】
【分析】（1）直线分别交x轴，y轴于A、B两点，则点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，3），由平行四边形的性质即可求解；
（2）①△POQ的面积SOQ×|yP||xQ|×3＝3，即可求解；②当B、H、N三点共线时，MP+PH+NH＝PH+BH+HN＝3+BH+HN最小，即可求解．
【解析】（1）直线分别交x轴，y轴于A、B两点，则点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，3），
则点D（4，0），则AD＝8＝BC，故点C（8，3），
故点C、D的坐标分别为（8，3）、（4，0），画出的平行四边形ABCD如下图．
（2）①t秒钟时，点P的坐标为（8﹣t，3），
△POQ的面积SOQ×|yP||xQ|×3＝3，解得：xQ＝±2，
故t＝2或6；
②MP+PH+NH有最小值，理由：
∵MB∥PH且BM＝PH＝3，
∴四边形BMPH为平行四边形，故PM＝BH，
∴MP+PH+NH＝PH+BH+HN＝3+BH+HN，
∴当B、H、N三点共线时，MP+PH+NH＝PH+BH+HN＝3+BH+HN最小，
∵点C关于x轴的对称点为N，故点N（8，﹣3），而点B（0，3），
设直线BN的表达式为：y＝kx+b，则，解得，
故直线BN的表达式为：yx+3，
∵点P的坐标为（8﹣t，3），故点H（8﹣t，0），
将点H的坐标代入BN的表达式得：0（8﹣t）+3，解得：t＝4，
故点P（4，3）．
【变式12.3】
【分析】（1）①设平移后的函数表达式为：y＝﹣x+b，其中b＝3+t，即可求解；
②当直线PQ过点M时，将点M的坐标代入y＝﹣x+3+t得：4＝﹣1+3+t，解得：t＝2；同理当直线PQ过点N时，t＝4，即可求解；
（2）作点N关于y轴的对称轴N′（﹣5，2），连接MN′交y轴于点P，则点P为所求点，即可求解；
（3）由题意得：x0＜3时，y0＞﹣x+3，当x0＞3时，y0＜﹣x0+3．
【解析】（1）①设平移后的函数表达式为：y＝﹣x+b，其中b＝3+t，
故y＝﹣x+3+t，
当t＝3时，PQ的表达式为：y＝﹣x+6；
②当直线PQ过点M时，将点M的坐标代入y＝﹣x+3+t得：4＝﹣1+3+t，解得：t＝2；
同理当直线PQ过点N时，t＝4，
故t的取值范围为：2＜t＜4；
（2）作点N关于y轴的对称轴N′（﹣5，2），连接MN′交y轴于点P，则点P为所求点，
则PN＝PN′，
△PMN的周长＝MN+PM+PN＝MN+PM+PN′＝MN+MN′为最小，
设直线MN′的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，
故直线MN′的表达式为：yx，
当x＝0时，y，故点P（0，），
∴t3；
（3）点A（x0，y0），点Q（3，0），点P（0，t+3）
由题意得：x0＜3时，y0＞﹣x+3，当x0＞3时，y0＜﹣x0+3．
1、变量与常量：
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量．
2、函数的有关概念：
（1）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
（2）用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
（3）自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
（4）函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
（5）函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．
（6）函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
3、一次函数与正比例函数
（1）一次函数的定义：
一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．
一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
（2）正比例函数的定义：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
4、一次函数的图象与性质：
（1）正比例函数图象的性质
正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx．
当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
（2）一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
（3）一次函数的图象：
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
一次函数的应用：
（1）、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
（2）、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
（3）、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
【典例剖析】
【考点1】函数的概念
【例1】（2020春•崇川区校级期中）在下列各图象中，y是x的函数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1.1】（（2020春•荥阳市期中）如图是1月15号至2月2号，全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线，则下列说法错误的是（ ）
A．1月23号，新增确诊人数约为150人
B．1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同
C．1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势
D．自变量为时间，因变量为确诊总人数
【变式1.2】（2020•雨花区校级一模）下列图象中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1.3】（2018春•如皋市期末）下列的曲线中，表示y是x的函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点2】函数的自变量
【例2】（2020春•海安市期末）函数y中，自变量x的取值范围是（ ）
A．xB．xC．xD．x
【变式2.1】（2020•无锡）函数y＝2中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．xC．xD．x
【变式2.2】（2020秋•北碚区校级月考）函数y自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≤5C．x≤5且x≠3D．x＜5且x≠3
【考点3】函数的表示方法
【例3】（2020春•定兴县期末）如表是变量x与y之间关系的一组数据，则y与x之间的表达式可以写成（ ）
A．y＝x+1B．y＝2x+1C．y＝2x﹣1D．y＝x2+1
【变式3.1】（2019春•沙河市期末）在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表
则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的（ ）
A．v＝2mB．v＝m2+1C．v＝3m﹣1D．v＝3m+1
【变式3.2】（2016春•乐亭县期末）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A．yx+12B．y＝﹣2x+24C．y＝2x﹣24D．yx﹣12
【考点4】函数值
【例4】（2020秋•巴南区期中）根据如图所示的计算程序，若输入x＝﹣2，则输出结果y的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣7D．7
【变式4.1】（2019•邗江区校级一模）有下列四个函数：①y＝x；②y＝﹣x﹣5；③y；④y＝x2+4x﹣1．当自变量满足﹣4≤x≤﹣1时，函数值满足﹣4≤y≤﹣1的函数有（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
【变式4.2】（2019•广饶县一模）根据图所示的程序计算变量y的值，若输入自变量x的值为，则输出的结果是（ ）
A．B．C．D．
【考点5】一次函数的定义
【例5】（2020秋•高新区校级月考）函数①y＝πx；②y＝2x﹣1；③y，④y＝x2﹣1中，y是x的一次函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式5.1】（2020秋•沙坪坝区校级月考）若函数y＝﹣2x+m﹣3是y关于x的正比例函数，则m的值为（ ）
A．﹣3B．1C．2D．3
【变式5.2】（2020•阳谷县校级模拟）若y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．±2
【变式5.3】．（2019秋•武进区校级月考）下列函数：（1）﹣y＝x；（2）y＝2x+1；（3）y；（4）y；（5）s＝12t；（6）y＝30﹣4x中，是一次函数的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点6】一次函数的性质
【例6】（2020春•洪山区月考）在平面直角坐标系中，函数y＝|x﹣a|（其中a为常量），当自变量﹣3≤x≤1时，它的最小值为a+4，则满足条件的a的值为（ ）
A．B．C．D．或
【变式6.1】（2020•姜堰区二模）已知一次函数y＝kx+b，当x的值每减小0.5时，y的值就增加2，则k的值是（ ）
A．﹣8B．﹣4C．﹣2D．﹣1
【变式6.2】（2020春•崇川区校级期末）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y＝5x﹣3图象上的两点，则下列判断正确的是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2
C．当x1＜x2时，y1＞y2D．当x1＜x2时，y1＜y2
【变式6.3】（2019秋•裕安区期末）若一次函数y＝（k﹣3）x﹣1的图象不经过第一象限，则（ ）
A．k＜3B．k＞3C．k＞0D．k＜0
【考点7】一次函数的图象
【例7】（2020•南京一模）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则y＝﹣2kx﹣b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7.1】（2020秋•荥阳市期中）在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与y＝﹣bx+k（b≠0）的大致图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7.2】（2019秋•金湖县期末）已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【考点8】一次函数与二元一次方程
【例8】（2020春•复兴区期末）已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，两函数y＝x+5与yx﹣1的图象的交点坐标为（ ）
A．（﹣4，1）B．（1，﹣4）C．（4，﹣1）D．（﹣1，4）
【变式8.1】（2019秋•鼓楼区期末）如图，直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组（ ）的解．
A．B．
C．D．
【变式8.2】（2019•衢州一模）已知一次函数y1＝2x+m与y2＝2x+n（m≠n）的图象如图所示，则关于x与y的二元一次方程组的解的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
【变式8.3】（2018秋•达川区期末）在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点．设k为整数，当直线y＝x﹣2与y＝kx+k的交点为整点时，k的值可以取（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【考点9】一次函数与不等式
【例9】（2020春•海淀区校级期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（4，﹣3），则关于x的不等式kx+b＜﹣3的解集为（ ）
A．x＜3B．x＞3C．x＜4D．x＞4
【变式9.1】（2020•如皋市二模）如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（ ）
A．x＞0B．x＜0C．x＞1D．x＜1
【变式9.2】（2020•梁溪区校级二模）若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣1）﹣b＞0的解集为 ．
【变式9.3】（2020•南京二模）已知一次函数y1＝x+2与y2＝﹣x+b（b为常数），当x＜1时，y1＜y2．则b的取值范围是 ．
【考点10】一次函数的应用：图象问题
【例10】（2020春•海安市月考）一辆货车从A地去B地，一辆轿车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离为y（km）与货车行驶的时间为x（h）之间的函数关系如图所示．
（1）两车行驶多长时间后相遇？
（2）轿车和货车的速度分别为 ， ；
（3）谁先到达目的地，早到了多长时间？
（4）求两车相距160km时货车行驶的时间．
【变式10.1】（2020春•海安市月考）一辆货车从A地去B地，一辆轿车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离为y（km）与货车行驶的时间为x（h）之间的函数关系如图所示．
（1）两车行驶多长时间后相遇？
（2）轿车和货车的速度分别为 100km/h ， 80km/h ；
（3）谁先到达目的地，早到了多长时间？
（4）求两车相距160km时货车行驶的时间．
【变式10.2】（2020•南京二模）某观光湖风景区，一观光轮与一巡逻艇同时从甲码头出发驶往乙码头，巡逻艇匀速往返于甲、乙两个码头之间，当观光轮到达乙码头时，巡逻艇也同时到达乙码头．设出发xh后，观光轮、巡逻艇离甲码头的距离分别为y1km、y2km．图中的线段OG、折线OABCDEFG分别表示y1、y2与x之间的函数关系．
（1）观光轮的速度是 km/h，巡逻艇的速度是 km/h；
（2）求整个过程中观光轮与巡逻艇的最大距离；
（3）求整个过程中观光轮与巡逻艇相遇的最短时间间隔．
【变式10.3】（2020•铜山区二模）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车之间的距离y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）乙车的速度为 千米/时；
（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式；
（3）当甲车到达距B地90千米处时，求甲、乙两车之间的路程．
【考点11】一次函数的应用：销售问题
【例11】（2020春•建邺区期末）某经销商经销的冰箱二月份每台的售价比一月份每台的售价少500元，已知一月份卖出20台冰箱，二月份卖出25台冰箱，二月份的销售额比一月份多1万元．
（1）一、二月份冰箱每台售价各为多少元？
（2）为了提高利润，该经销商计划三月份再购进洗衣机进行销售，已知洗衣机每台进价为4000元，冰箱每台进价为3500元，预计不多于7.6万元的资金购进这两种家电共20台，设冰箱为y台（y≤12），请问有几种进货方案？
（3）三月份为了促销，该经销商决定在二月份售价的基础上，每售出一台冰箱再返还顾客现金a元，而洗衣机按每台4400元销售，在这种情况下，若（2）中各方案获得的利润相同，则a＝ 100 ．（直接写出结果）
【变式11.1】（2020•滨湖区模拟）由于新冠疫情，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的医用口罩20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：
（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？
（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售收入﹣投入总成本）
【变式11.2】（2020•苏州）某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．
【变式11.3】（2020•鼓楼区一模）某工厂生产A、B、C三种产品，这三种产品的生产数量均为x件．它们的单件成本和固定成本如表：
（注：总成本＝单件成本×生产数量+固定成本）
（1）若产品A的总成本为yA，则yA关于x的函数表达式为 ．
（2）当x＝1000时，产品A、B的总成本相同．
①求a；
②当x≤2000时，产品C的总成本最低，求b的取值范围．
【考点12】一次函数的综合问题
【例12】（2020春•龙岗区校级期末）如图，已知点A（﹣3，2），过点A作AD⊥x轴于点D，点B是x轴正半轴上的一个动点，连接AB，以AB为斜边在AB的上方构造等腰Rt△ABC，连接DC．
（1）当B的坐标为（4，0）时，点C的坐标是 ；
（2）当点B在x轴正半轴上运动的时候，点C是否在一直线上运动，如果是，请求出点C所在直线的解析式；如果不是，请说明理由；
（3）在B点的运动过程中，猜想DC与DB有怎样的数量关系，并证明你的结论．
【变式12.1】（2020春•兴化市期中）如图1，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（6，8）．D是AB边上一点（不与点A、B重合），将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点E处．
（1）求直线AC所表示的函数的表达式；
（2）如图2，当点E恰好落在矩形的对角线AC上时，求点D的坐标；
（3）如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△OEA的面积．
【变式12.2】（2020春•姜堰区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别交x轴，y轴于A、B两点，点A关于原点O的对称点为点D，点C在第一象限，且四边形ABCD为平行四边形．
（1）在图①中，画出平行四边形ABCD，并直接写出C、D两点的坐标；
（2）动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位的速度向终点B运动；同时，动点Q从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位的速度向终点D运动，设点P运动的时间为t秒．
①若△POQ的面积为3，求t的值；
②点O关于B点的对称点为M，点C关于x轴的对称点为N，过点P作PH⊥x轴，问MP+PH+NH是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．
【变式12.3】（2019秋•邗江区期末）如图所示，已知点M（1，4），N（5，2），P（0，3），Q（3，0），过P，Q两点的直线的函数表达式为y＝﹣x+3，动点P从现在的位置出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，设移动时间为ts．
（1）若直线PQ随点P向上平移，则：
①当t＝3时，求直线PQ的函数表达式．
②当点M，N位于直线PQ的异侧时，确定t的取值范围．
（2）当点P移动到某一位置时，△PMN的周长最小，试确定t的值．
（3）若点P向上移动，点Q不动．若过点P，Q的直线经过点A（x0，y0），则x0，y0需满足什么条件？请直接写出结论．
x
1
2
3
4
…
y
2
5
10
17
…
m
1
2
3
4
v
2.01
4.9
10.03
17.1
型号
价格（元/只）
种类
甲
乙
原料成本
12
8
销售单价
18
12
生产提成
1
0.8
日期
销售记录
6月1日
库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg（除了促销降价，其他时间售价保持不变）．
6月9日
从6月1日至今，一共售出200kg．
6月10、11日
这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg．
6月12日
补充进货200kg，成本价8.5元/kg．
6月30日
800kg水果全部售完，一共获利1200元．
产品
单件成本（元/件）
固定成本（元）
A
0.1
1100
B
0.8
a
C
b（b＞0）
200
参考答案
【考点1】函数的概念
【例1】
【分析】利用函数定义进行解答即可．
【解析】第一个、第二个、第三个图象y都是x的函数，第四个不是，共3个，
故选：C．
【变式1.1】
【分析】依据全国（除湖北省）新冠肺炎新增确诊人数的变化曲线中的数据，即可得出结论．
【解析】A.1月23号，新增确诊人数约为150人，故本选项正确；
B.1月25号和1月26号，新增确诊人数基本相同，故本选项正确；
C.1月30号之后，预测新增确诊人数呈下降趋势，故本选项正确；
D．自变量为时间，因变量为新增确诊人数，故本选项错误；
故选：D．
【变式1.2】
【分析】函数的定义：在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则x叫自变量，y是x的函数．根据定义再结合图象观察就可以得出结论．
【解析】根据函数定义，如果在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应．而B中的y的值不具有唯一性，所以不是函数图象．
故选：B．
【变式1.3】
【分析】根据函数的意义即可求出答案．
【解析】根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，
所以表示y是x的函数的是第1、2、4这3个，
故选：C．
【考点2】函数的自变量
【例2】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可知：2﹣3x＞0，解得x的范围．
【解析】根据题意得：2﹣3x＞0，
解得：x．
故选：A．
【变式2.1】
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【解析】由题意得，3x﹣1≥0，
解得，x．
故选：B．
【变式2.2】
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解析】由题意得，5﹣x≥0，x﹣3≠0，
解得，x≤5且x≠3，
故选：C．
【考点3】函数的表示方法
【例3】
【分析】根据图表，观察发现y与x之间的表达式是二次函数关系式，根据待定系数法可求y与x之间的表达式．
【解析】设y与x之间的表达式为y＝ax2+bx+c，依题意有
，
解得．
故y与x之间的表达式可以写成y＝x2+1．
故选：D．
【变式3.1】
【分析】观察这几组数据，找到其中的规律，然后再答案中找出与之相近的关系式．
【解析】有四组数据可找出规律，2.01﹣1＝1.01，接近12；
4.9﹣1＝3.9，接近22；
10.03﹣1＝9.03，接近32；
17.1﹣1＝16.1，接近42；
故m与v之间的关系最接近于v＝m2+1．
故选：B．
【变式3.2】
【分析】根据题意可得2y+x＝24，继而可得出y与x之间的函数关系式．
【解析】由题意得：2y+x＝24，
故可得：yx+12（0＜x＜24）．
故选：A．
【考点4】函数值
【例4】
【分析】把x＝﹣2时，代入y＝2x2﹣1＝7，即可判断．
【解析】x＝﹣2时，y＝2x2﹣1＝7，
故选：D．
【变式4.1】
【分析】根据一次函数的增减性，反比例函数的增减性以及二次函数的增减性分别作出判断即可得解．
【解析】①y＝x，x＝﹣4时y取最小值﹣4，x＝﹣1时，y取最大值﹣1，符合，
②y＝﹣x﹣5，x＝﹣4时y取最大值﹣1，x＝﹣1时y取最小值﹣4，符合，
③y，x＝﹣4时y取最大值﹣1，x＝﹣1时y取最小值﹣4，符合，
④y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，对称轴是x＝﹣2，x＝﹣4时，y取最大值﹣1，x＝﹣2时y取最小值﹣5，x＝﹣1时y＝﹣4，不是最小值，不符合．
综上所述，符合条件的函数有①②③共3个．
故选：B．
【变式4.2】
【分析】根据输入的数所处的范围，应将x代入y＝﹣x+2，即可求得y的值．
【解析】∵x
∴1＜x≤2
则将x，代入y＝﹣x+2
得：y2．
故选：C．
【考点5】一次函数的定义
【例5】
【分析】利用一次函数定义进行解答即可．
【解析】①y＝πx；②y＝2x﹣1是一次函数；
③y是反比例函数，不是一次函数；
④y＝x2﹣1是二次函数，不是一次函数，
因此一次函数共2个，
故选：B．
【变式5.1】【分析】根据正比例函数定义可得m﹣3＝0，再解即可．
【解析】由题意得：m﹣3＝0，
解得：m＝3，
故选：D．
【变式5.2】
【分析】由一次函数的定义得关于m的方程，解出方程即可．
【解析】∵函数y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，
∴2﹣|m|＝1，m﹣1≠0．
解得：m＝﹣1．
故选：B．
【变式5.3】
【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
【解析】由题可得，是一次函数的有：（1）﹣y＝x；（2）y＝2x+1；（4）y；（5）s＝12t；（6）y＝30﹣4x，共5个，
故选：D．
【考点6】一次函数的性质
【例6】
【分析】根据题意和一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得a的值．
【解析】∵函数y＝|x﹣a|（其中a为常量），当自变量﹣3≤x≤1时，它的最小值为a+4，
∴当a＞1时，x＝1取得最小值，此时a﹣1＝a+4，化简得﹣1＝4不成立；
当﹣3≤a≤1时，x＝a时取得最小值0，0＝a+4，解得a＝﹣4，此种情况不成立；
当a＜﹣3时，x＝﹣3时取得 最小值，此﹣3﹣a＝a+4，解得a，
故选：C．
【变式6.1】
【分析】根据一次函数y＝kx+b，当x的值每减小0.5时，y的值就增加2，可以计算出k的值，从而可以解答本题．
【解析】设x＝a时，y＝ak+b，
则当x＝a﹣0.5时，y+2＝（a﹣0.5）k+b，
故2＝﹣0.5k，
解得，k＝﹣4，
故选：B．
【变式6.2】
【分析】由k＝5＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，进而可得出当x1＜x2时y1＜y2．
【解析】∵k＝5＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x1＜x2时，y1＜y2．
故选：D．
【变式6.3】
【分析】根据一次函数的性质得k﹣3＜0，然后解不等式即可．
【解析】∵一次函数y＝（k﹣3）x﹣1的图象不经过第一象限，
∴k﹣3＜0，解得k＜3．
故选：A．
【考点7】一次函数的图象
【例7】
【分析】根据一次函数图象可以确定k、b的符号，根据k、b的符号来判定函数y＝﹣2kx﹣b的图象所在的象限．
【解析】∵一次函数y＝kx+b的图象经过二、三、四象限，
∴k＜0，b＜0．
∴函数y＝﹣2k﹣b的图象经过第一、二、三象限．
∵因为|k|＜|﹣2k|，
所以一次函数y＝kx+b的图象比y＝﹣2kx﹣b的图象的倾斜度小，
综上所述，符合条件的图象是C选项．
故选：C．
【变式7.1】
【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的图象，可以判断哪个选项中的图象符合题意，从而可以解答本题．
【解析】当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第一、二、三象限，y＝﹣bx+k（b≠0）的图象经过第一、二、四象限，故选项B、D不符合题意；
当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第一、三、四象限，y＝﹣bx+k（b≠0）的图象经过第一、二、三象限，故选项A不符合题意；
当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限，y＝﹣bx+k（b≠0）的图象经过第一、三、四象限，故选项C符合题意；
故选：C．
【变式7.2】
【分析】根据一次函数的性质得到k＜0，而kb＜0，则b＞0，所以一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴上方．
【解析】∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限；
∵kb＜0，
∴b＞0，
∴图象与y轴的交点在x轴上方，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限．
故选：A．
【考点8】一次函数与二元一次方程
【例8】
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可．
【解析】∵二元一次方程组的解为，
∴在同一平面直角坐标系中，两函数y＝x+5与yx﹣1的图象的交点坐标为（﹣4，1），
故选：A．
【变式8.1】
【分析】首先利用待定系数法求出l1、l2的解析式，然后可得方程组．
【解析】设l1的解析式为y＝kx+b，
∵图象经过的点（1，0），（0，﹣2），
∴，
解得：，
∴l1的解析式为y＝2x﹣2，
可变形为2x﹣y＝2，
设l2的解析式为y＝mx+n，
∵图象经过的点（﹣2，0），（0，1），
∴，
解得：，
∴l2的解析式为yx+1，
可变形为x﹣2y＝﹣2，
∴直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组的解．
故选：A．
【变式8.2】
【分析】由图象可知，一次函数y1＝2x+m与y2＝2x+n（m≠n）是两条互相平行的直线，所以关于x与y的二元一次方程组无解．
【解析】∵一次函数y1＝2x+m与y2＝2x+n（m≠n）是两条互相平行的直线，
∴关于x与y的二元一次方程组无解．
故选：A．
【变式8.3】
【分析】让这两条直线的解析式组成方程组，求得整数解即可．
【解析】①当k＝0时，y＝kx+k＝0，即为x轴，则直线y＝x﹣2和x轴的交点为（2，0）满足题意，
∴k＝0
②当k≠0时，
，
∴x﹣2＝kx+k，
∴（k﹣1）x＝﹣（k+2），
∵k，x都是整数，k≠1，k≠0，
∴x1是整数，
∴k﹣1＝±1或±3，
∴k＝2或k＝4或k＝﹣2；
综上，k＝0或k＝2或k＝4或k＝﹣2．
故k共有四种取值．
故选：A．
【考点9】一次函数与不等式
【例9】【分析】由一次函数y＝kx+b的图象经过（4，﹣3），以及y随x的增大而减小，可得关于x的不等式kx+b＜﹣3的解集．
【解析】∵一次函数y＝kx+b的图象经过（4，﹣3），
∴x＝4时，kx+b＝﹣3，
又y随x的增大而减小，
∴关于x的不等式kx+b＜﹣3的解集是x＞4．
故选：D．
【变式9.1】
【分析】利用图象得出答案即可．
【解析】如图所示：不等式kx+b＞1的解集为：x＞1．
故选：C．
【变式9.2】
【分析】先把（3，0）代入y＝kx﹣b得b＝3k，则不等式化为k（x﹣1）﹣3k＞0，然后在k＜0的情况下解不等式即可．
【解析】把（3，0）代入y＝kx+b得3k﹣b＝0，则b＝3k，
所以k（x﹣1）﹣b＞0化为k（x﹣1）﹣3k＞0，
即kx﹣4k＞0，
因为k＜0，
所以x＜4，
故答案为：x＜4．
【变式9.3】
【分析】先解方程组得两函数图象的交点坐标为（，），结合函数图象得到1，然后解关于b的不等式．
【解析】解方程组得，
∴两函数图象的交点坐标为（，），
∵当x＜1时，y1＜y2，
∴1，
∴b≥4．
故答案为b≥4．
【考点10】一次函数的应用：图象问题
【例10】
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出两车行驶多长时间后相遇；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出轿车和货车的速度；
（3）根据函数图象和题意，可以得到谁先到达目的地，早到了多长时间；
（4）根据函数图象中的数据和（2）中的结果，可以计算出两车相距160km时货车行驶的时间．
【解析】（1）由图象可得，
两车行驶1小时后相遇；
（2）由图象可得，
轿车的速度为：180÷1.8＝100（km/h），
货车的速度为：180÷1﹣100＝80（km/h），
故答案为：100km/h，80km/h；
（3）由题意可得，
轿车先到达目的地，
180÷80﹣1.8＝2.25﹣1.8＝0.45（小时），
即轿车先到达目的地，早到了0.45小时；
（4）设两车相距160km时货车行驶的时间为a小时，
相遇前：180﹣160＝（100+80）a，
解得a，
相遇后，80a＝160，
解得a＝2，
由上可得，两车相距160km时货车行驶的时间是小时或2小时．
【变式10.1】
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出两车行驶多长时间后相遇；
（2）根据函数图象中的数据，可以计算出轿车和货车的速度；
（3）根据函数图象和题意，可以得到谁先到达目的地，早到了多长时间；
（4）根据函数图象中的数据和（2）中的结果，可以计算出两车相距160km时货车行驶的时间．
【解析】（1）由图象可得，
两车行驶1小时后相遇；
（2）由图象可得，
轿车的速度为：180÷1.8＝100（km/h），
货车的速度为：180÷1﹣100＝80（km/h），
故答案为：100km/h，80km/h；
（3）由题意可得，
轿车先到达目的地，
180÷80﹣1.8＝2.25﹣1.8＝0.45（小时），
即轿车先到达目的地，早到了0.45小时；
（4）设两车相距160km时货车行驶的时间为a小时，
相遇前：180﹣160＝（100+80）a，
解得a，
相遇后，80a＝160，
解得a＝2，
由上可得，两车相距160km时货车行驶的时间是小时或2小时．
【变式10.2】
【分析】（1）根据图象可知从甲码头到乙码头的距离为32千米，观光轮行驶2小时路程为32千米，据此即可求出其速度；根据巡逻艇往返次数即可求出巡逻艇的速度；
（2）根据（1）的结论列式计算即可求解；
（3）由图象可知，当y1＝yBC时，观光轮与巡逻艇相遇的间隔时间最短，利用待定系数法求出线段BC的解析式，再结合y1的解析式列方程解答即可．
【解析】（1）观光轮的速度为：32÷2＝16 （km/h），巡逻艇的速度为：（32×7）÷2＝112（ km/h）；
故答案为：16；112；
（2）整个过程中观光轮与巡逻艇的最大距离：32﹣16（km）；
（3）由题意可得：16x+112x＝32×2，解得x；
，，即点B的坐标为（，0），点C的坐标为（，32），
设线段BC所表示的函数表达式为yBC＝kx+b，则，解得，
∴yBC＝112x﹣64，
易知y1＝16x，
当y1＝yBC时，112x﹣64＝16x，解得x，．
答：最短时间间隔为 h．
【变式10.3】
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以求得乙车的速度；
（2）根据图象中的数据，可以计算出a、b的值和当x＝a对应的y的值，然后即可求得甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式；
（3）根据题意和（2）中的函数解析式，可以得到当甲车到达距B地90千米处时，甲、乙两车之间的路程．
【解析】（1）由图可得，
乙车的速度为：270÷2﹣60＝75（千米/时），
故答案为：75；
（2）a＝270÷75＝3.6，
故当a＝3.6时，两车之间的距离为：60×3.6＝216（千米），
b＝270÷60＝4.5，
当2＜x≤3.6时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，，
即当2＜x≤3.6时，y与x之间的函数关系式为y＝135x﹣270；
当3.6＜x≤4.5时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，
，
解得，，
即当3.6＜x≤4.5时，y与x之间的函数关系式为y＝60x；
由上可得，甲、乙两车相遇后，y与x之间的函数关系式为y；
（3）∵甲车到达距B地90千米处时，x3，
∴将x＝3代入y＝135x﹣270，得
y＝135×3﹣270＝135，
即当甲车到达距B地90千米处时，甲、乙两车之间的路程是135千米．
【考点11】一次函数的应用：销售问题
【例11】
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得一、二月份冰箱每台售价各为多少元；
（2）根据题意，可以得到相应的不等式，从而可以得到y的取值范围，进而得到相应的进货方案；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以得到利润与y的函数关系，再根据（2）中各方案获得的利润相同，从而可以得到a的值．
【解析】（1）设一月份冰箱每台售价x元，则二月份冰箱每台售价（x﹣500）元，
25（x﹣500）﹣20x＝10000，
解得，x＝4500，
∴x﹣500＝4000，
答：一月份冰箱每台售价4500元，则二月份冰箱每台售价4000元；
（2）由题意可得，
3500y+4000（20﹣y）≤76000，
解得，y≥8，
∵y≤12且为整数，
∴y＝8，9，10，11，12，
∴共有五种进货方案；
（3）设总获利w元，
w＝（4000﹣3500﹣a）y+（4400﹣4000）（20﹣y）＝（100﹣a）y+8000，
∵（2）中各方案获得的利润相同，
∴100﹣a＝0，
解得，a＝100，
故答案为：100．
【变式11.1】
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以得到甲、乙两种型号的产品分别是多少万只；
（2）根据题意，可以得到利润和生产甲种产品数量的函数关系式，再根据公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，可以得到生产甲种产品数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大，并求出最大利润．
【解析】（1）设甲、乙两种型号的产品分别是a万只，b万只，
，解得，
答：甲、乙两种型号的产品分别是10万只、10万只；
（2）设利润为w元，生产甲种产品x万只，则生产乙种产品（20﹣x）万只，
w＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.8）×（20﹣x）＝1.8x+64，
∵公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，
∴（12+1）x+（8+0.8）×（20﹣x）≤239，
解得，x≤15，
∵k＝1.8，
∴w随着x的增大而增大，
∴当x＝15时，w取得最大值，此时w＝91，20﹣x＝15，
答：当安排生产甲种产品15万只、乙种产品5万只时，可使该月公司所获利润最大，最大利润是91万元．
【变式11.2】
【分析】（1）由表格信息可知，从6月1日到6月9日，成本价8元/kg，售价10元/kg，一共售出200kg，根据利润＝每千克的利润×销售量列式计算即可；
（2）设B点坐标为（a，400），根据题意列方程求出点B的坐标，设线段BC所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，利用待定系数法解答即可．
【解析】（1）200×（10﹣8）＝400（元）
答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元；
（2）设点B坐标为（a，400），根据题意得：
（10﹣8）×（600﹣a）+（10﹣8.5）×200＝1200﹣400，
解这个方程，得a＝350，
∴点B坐标为（350，400），
设线段BC所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，则：
，解得，
∴线段BC所在直线对应的函数表达式为．
【变式11.3】
【分析】（1）根据“总成本＝单件成本×生产数量+固定成本”即可得出产品A的总成本为yA，则yA关于x的函数表达式；
（2）①根据题意列方程解答即可；
②取x＝2000时，即可得出b的取值范围．
【解析】（1）根据题意得：y＝0.1x+1100；
故答案为：y＝0.1x+1100．
（2）①由题意得0.8×1000+a＝0.1×1000+1100，
解得a＝400；
②当x＝2000时，yC≤yA且yC≤yB，
即2000b+200≤2000×0.8+400；2000b+200≤2000×0.1+1100，
解得：0＜b≤0.55．
【考点12】一次函数的综合问题
【例12】
【分析】（1）证明△CMA≌△BCN（AAS），则AM＝CN，MC＝NB，可得点B的坐标为（2x+1，0），进而求解；
（2）由（1）知，y＝x+3，即可求解；
（3）由（1）、（2）知，点C、D、B的坐标分别为（x，x+3）、（﹣3，0）、（2x+1，0），则CD（x+3），而BD＝2x+1﹣x﹣3＝x﹣2，即可求解．
【解析】（1）设点C（x，y），点B（m，0），
过点C作x轴的平行线交过点B于y轴的平行线于点N，交DA的延长线于点M，
∵∠MCA+∠BCN＝90°，∠BCN+∠CBN＝90°，
∴∠MCA＝∠CBN，
∵∠CMA＝∠BNC＝90°，AC＝BC，
∴△CMA≌△BCN（AAS），
∴AM＝CN，MC＝NB，
即y﹣2＝m﹣x，x+3＝y，
即y＝x+3且m＝x+y﹣2＝2x+1，即点B的坐标为（2x+1，0），
当点B（4，0）时，即m＝4，
则4＝2x+1，解得x＝1.5，y＝x+3＝4.5，
故答案为（1.5，4.5）；
（2）点C在一直线上运动，理由：
由（1）知，y＝x+3，
即点C所在直线的解析式为y＝x+3；
（3）由（1）、（2）知，点C、D、B的坐标分别为（x，x+3）、（﹣3，0）、（2x+1，0），
则CD（x+3），
而BD＝2x+1+3＝2x+4，
故2CD（BD+2），
即DC与DB的数量关系是：CD（BD+2），
【变式12.1】
【分析】（1）利用矩形的性质，求出点A、C的坐标，再用待定系数法即可求解；
（2）Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，即可求解；
（3）①当EC＝EO时，ONOC＝4＝EM，则△OEA的面积OA×EM；②当OE＝OC时，利用勾股定理得：NE2＝EC2﹣CN2＝EO2﹣ON2，求出ON，进而求解．
【解析】（1）∵点B的坐标为（6，8）且四边形OABC是矩形，
∴点A、C的坐标分别为（6，0）、（0，8），
设AC的表达式为y＝kx+b，
把A、C两点的坐标分别代入上式得，解得，
∴直线AC所表示的函数的表达式是；
（2）∵点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，8），
∴OA＝6，OC＝8．
∴Rt△AOC中，AC，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠B＝90°，BC＝6，AB＝8，
∵沿CD折叠，
∴∠CED＝90°，BD＝DE，CE＝6，AE＝4，
∴∠AED＝90°，
设BD＝DE＝a，则AD＝8﹣a，
∵Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
∴42+a2＝（8﹣a）2，解得a＝3，
∴点D的坐标为（6，5）；
（3）过点E分别作x、y轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵EN⊥OC，EM⊥OA，OC⊥OA，
∴∠ENO＝∠NOM＝∠OME＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴EM＝ON．
①当EC＝EO时，
∵EC＝EO，NE⊥OC，
∴ONOC＝4＝EM，
△OEA的面积OA×EM6×4＝12；
②当OE＝OC时，
∵EN⊥OC，
∴∠ENC＝∠ENO＝90°，
设ON＝b，则CN＝8﹣b，
在Rt△NEC中，NE2＝EC2﹣CN2，
在Rt△ENO中，NE2＝EO2﹣ON2，
即62﹣（8﹣b）2＝82﹣b2，
解得：b，
则EM＝ON，
△OEA的面积OA×EM6；
故△OEA的面积为12或．
【变式12.2】
【分析】（1）直线分别交x轴，y轴于A、B两点，则点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，3），由平行四边形的性质即可求解；
（2）①△POQ的面积SOQ×|yP||xQ|×3＝3，即可求解；②当B、H、N三点共线时，MP+PH+NH＝PH+BH+HN＝3+BH+HN最小，即可求解．
【解析】（1）直线分别交x轴，y轴于A、B两点，则点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，3），
则点D（4，0），则AD＝8＝BC，故点C（8，3），
故点C、D的坐标分别为（8，3）、（4，0），画出的平行四边形ABCD如下图．
（2）①t秒钟时，点P的坐标为（8﹣t，3），
△POQ的面积SOQ×|yP||xQ|×3＝3，解得：xQ＝±2，
故t＝2或6；
②MP+PH+NH有最小值，理由：
∵MB∥PH且BM＝PH＝3，
∴四边形BMPH为平行四边形，故PM＝BH，
∴MP+PH+NH＝PH+BH+HN＝3+BH+HN，
∴当B、H、N三点共线时，MP+PH+NH＝PH+BH+HN＝3+BH+HN最小，
∵点C关于x轴的对称点为N，故点N（8，﹣3），而点B（0，3），
设直线BN的表达式为：y＝kx+b，则，解得，
故直线BN的表达式为：yx+3，
∵点P的坐标为（8﹣t，3），故点H（8﹣t，0），
将点H的坐标代入BN的表达式得：0（8﹣t）+3，解得：t＝4，
故点P（4，3）．
【变式12.3】
【分析】（1）①设平移后的函数表达式为：y＝﹣x+b，其中b＝3+t，即可求解；
②当直线PQ过点M时，将点M的坐标代入y＝﹣x+3+t得：4＝﹣1+3+t，解得：t＝2；同理当直线PQ过点N时，t＝4，即可求解；
（2）作点N关于y轴的对称轴N′（﹣5，2），连接MN′交y轴于点P，则点P为所求点，即可求解；
（3）由题意得：x0＜3时，y0＞﹣x+3，当x0＞3时，y0＜﹣x0+3．
【解析】（1）①设平移后的函数表达式为：y＝﹣x+b，其中b＝3+t，
故y＝﹣x+3+t，
当t＝3时，PQ的表达式为：y＝﹣x+6；
②当直线PQ过点M时，将点M的坐标代入y＝﹣x+3+t得：4＝﹣1+3+t，解得：t＝2；
同理当直线PQ过点N时，t＝4，
故t的取值范围为：2＜t＜4；
（2）作点N关于y轴的对称轴N′（﹣5，2），连接MN′交y轴于点P，则点P为所求点，
则PN＝PN′，
△PMN的周长＝MN+PM+PN＝MN+PM+PN′＝MN+MN′为最小，
设直线MN′的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，
故直线MN′的表达式为：yx，
当x＝0时，y，故点P（0，），
∴t3；
（3）点A（x0，y0），点Q（3，0），点P（0，t+3）
由题意得：x0＜3时，y0＞﹣x+3，当x0＞3时，y0＜﹣x0+3．
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