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四川省成都市第七中学2024届高三下学期二诊模拟考试文科数学试卷
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这是一份四川省成都市第七中学2024届高三下学期二诊模拟考试文科数学试卷，共10页。试卷主要包含了已知集合，则等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.空间中有平面和直线，若，则下列说法中一定错误的是（ ）
A.直线平行于平面 B.直线在平面内
C.直线和共面 D.直线与平面交于一点
3.已知是虚数单位，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过”，下列假设中正确的是（ ）
A.假设有两个内角超过 B.假设四个内角均超过
C.假设至多有两个内角超过 D.假设有三个内角超过
5.2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继2001北京大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩.为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了100名学生的成绩（满分100分）进行统计，成绩均在内，将其分成5组：，并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间内的人数为（ ）
A.10 B.20 C.30 D.40
6.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华一王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇.他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，则下列结论中错误的是（ ）
A.的标准方程为
B.的离心率等于
C.与双曲线的渐近线不相同
D.直线与有且仅有一个公共点
8.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9.已知的内角所对的边分别为，面积为，若，则的形状是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
10.若函数的最小值为，则函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
11.在四棱锥中，平面，且.若点均在球的表面上，则球的体积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数没有极值点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知实数，若，则的最小值为__________.
14.已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为__________.
15.已知直线经过点，且被两条平行直线和截得的线段长为，则直线的方程为__________.
16.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，若和为椭圆上在轴上方的两点，且，则直线的斜率为__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
17.（本小题满分12分）已知等差数列的首项，公差为为的前项和，为等差数列.
（1）求与的关系；
（2）若为数列的前项和，求使得成立的的最大值.
18.（本小题满分12分）在四棱锥中，已知，是线段上的点.
（1）求证：底面；
（2）是否存在点使得三棱锥的体积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分12分）2022年二十国集团领导人第十七次峰会11月16日在印度尼西亚巴厘岛闭幕，峰会通过《二十国集团领导人巴厘岛峰会宣言》.宣言说，值此全球经济关键时刻，二十国集团采取切实､精准､迅速和必要的行动至关重要，基于主席国印尼提出的“共同复苏､强劲复苏”主题，各国将采取协调行动，推进强劲､包容､韧性的全球复苏以及创造就业和增长的可持续发展､中国采取负责任的态度，积极推动产业的可持续发展，并对友好国家进行技术援助.非洲某芯片企业生产芯片I有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.
（1）在中国企业援助前，该芯片企业生产芯片I的前三道工序的次品率分别为.求生产该芯片的前三道工序的次品率；
（2）该芯片企业在中国企业援助下，改进生产工艺并生产了芯片II.某手机生产厂商获得芯片I与芯片II，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的100名
用户中，安装芯片I的有40部，其中对开机速度满意的占；安装芯片II的有60部，其中对开机速度满意的占.现采用分层抽样的方法从开机速度满意的人群中抽取6人，再从这6人中选取2人进行座谈，求抽到2人中对安装芯片II的手机开机速度满意的人数为1的概率.
20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为，过点斜率存在且不为0的直线与椭圆有两个不同的交点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆左右顶点为，设中点为，直线交直线于点是否为定值？若是请求出定值，若不是请说明理由.
21.（本小题满分12分）已知函数，其中.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中选一题作答.如果多选，则按所做的第一题记分.
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），把绕坐标原点逆时针旋转得到，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.
（1）写出的极坐标方程；
（2）若曲线的极坐标方程为，且与交于点与交于点（与点不重合），求面积的最大值.
23.【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数的最小值为.
（1）求实数的值；
（2）若实数满足，证明：.
2023—2024学年度下期高2024届二诊模拟考试
文科数学试卷参考答案：
一､选择题：
1-5ADABC 6-10ACDBA 11-12CB
二､填空题：
13. 14.
15.或 16.
三､解答题：
17.【详解】（1）因为为等差数列，所以，即从而得到，化简得所以
（2）当时，，
所以，解得，又因为，
所以的最大值7.
18.【详解】（1）证明：在中，，所以.
在中，，由余弦定理有：
，所以，，所以，
所以，又因为平面，所以，平面，
因为平面，所以，，在中：，则，
所以，，因为平面，所以面.
（2）解：，设，
因此，存在点使得三棱锥的体积为，且.
19.【详解】（1）.
（2）对安装芯片I的手机开机速度满意的人数为，对安装芯片II的手机开机速度满意的人数为，所以采用分层抽样的方法的抽样比为，故所抽取的6人中，手机安装芯片I的有2人，手机安装芯片II的有4人，所以抽到2人中对安装芯片II的手机开机速度满意的人数为1的概率为.
20.【详解】（1）由题意：，解得
故所求椭圆的标准方程为：.
（2）如图：因为直线斜率不为0，设其方程为：，代入椭圆方程：，得：
，整理得：.设，则：，
，则直线方程为，令，得，则则
，又代入得.
所以为定值.
21.【详解】（1）函数的定义域为，
，
当时，，解不等式，有或，令得，
故函数的增区间为，减区间为；
（2）若，函数的减区间为，增区间为，且，
当时，由，有恒成立，
所以，必有.又由，可得.
又由，不等式可化为，设，
有，
当且时，，可得，
当且时，，可得，当时，函数单调递增，
故存在正数使得.若，有，有，与矛盾，可得，当时，；当时，，
可得函数的减区间为，增区间为，
若，必有，有，
又由，有，
有，有.又由，有，可得，
有，可得，
由，及，可得，
若.则实数的取值范围为.
22.【详解】（1）直线的参数方程为（为参数，，故，则
，即；故的极坐标方程为：.把绕坐标原点逆时针旋转得到，故的极坐标方程为：.
（2）曲线的极坐标方程为，且与交于点与交于点，联立方程得，
，
故.
故当时，面积的最大值为16.
23.【详解】（1）作出函数的图形，
如图，由图可知的最小值为.
（2）由（1）知，，所以，根据柯西不等式得
，当且仅当时取等号，又，所以当且仅当时取等号，.
考试时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.空间中有平面和直线，若，则下列说法中一定错误的是（ ）
A.直线平行于平面 B.直线在平面内
C.直线和共面 D.直线与平面交于一点
3.已知是虚数单位，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过”，下列假设中正确的是（ ）
A.假设有两个内角超过 B.假设四个内角均超过
C.假设至多有两个内角超过 D.假设有三个内角超过
5.2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继2001北京大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩.为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了100名学生的成绩（满分100分）进行统计，成绩均在内，将其分成5组：，并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间内的人数为（ ）
A.10 B.20 C.30 D.40
6.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华一王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇.他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点，则下列结论中错误的是（ ）
A.的标准方程为
B.的离心率等于
C.与双曲线的渐近线不相同
D.直线与有且仅有一个公共点
8.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9.已知的内角所对的边分别为，面积为，若，则的形状是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
10.若函数的最小值为，则函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
11.在四棱锥中，平面，且.若点均在球的表面上，则球的体积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数没有极值点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知实数，若，则的最小值为__________.
14.已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为__________.
15.已知直线经过点，且被两条平行直线和截得的线段长为，则直线的方程为__________.
16.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，若和为椭圆上在轴上方的两点，且，则直线的斜率为__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
17.（本小题满分12分）已知等差数列的首项，公差为为的前项和，为等差数列.
（1）求与的关系；
（2）若为数列的前项和，求使得成立的的最大值.
18.（本小题满分12分）在四棱锥中，已知，是线段上的点.
（1）求证：底面；
（2）是否存在点使得三棱锥的体积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分12分）2022年二十国集团领导人第十七次峰会11月16日在印度尼西亚巴厘岛闭幕，峰会通过《二十国集团领导人巴厘岛峰会宣言》.宣言说，值此全球经济关键时刻，二十国集团采取切实､精准､迅速和必要的行动至关重要，基于主席国印尼提出的“共同复苏､强劲复苏”主题，各国将采取协调行动，推进强劲､包容､韧性的全球复苏以及创造就业和增长的可持续发展､中国采取负责任的态度，积极推动产业的可持续发展，并对友好国家进行技术援助.非洲某芯片企业生产芯片I有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.
（1）在中国企业援助前，该芯片企业生产芯片I的前三道工序的次品率分别为.求生产该芯片的前三道工序的次品率；
（2）该芯片企业在中国企业援助下，改进生产工艺并生产了芯片II.某手机生产厂商获得芯片I与芯片II，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的100名
用户中，安装芯片I的有40部，其中对开机速度满意的占；安装芯片II的有60部，其中对开机速度满意的占.现采用分层抽样的方法从开机速度满意的人群中抽取6人，再从这6人中选取2人进行座谈，求抽到2人中对安装芯片II的手机开机速度满意的人数为1的概率.
20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为，过点斜率存在且不为0的直线与椭圆有两个不同的交点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆左右顶点为，设中点为，直线交直线于点是否为定值？若是请求出定值，若不是请说明理由.
21.（本小题满分12分）已知函数，其中.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中选一题作答.如果多选，则按所做的第一题记分.
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），把绕坐标原点逆时针旋转得到，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.
（1）写出的极坐标方程；
（2）若曲线的极坐标方程为，且与交于点与交于点（与点不重合），求面积的最大值.
23.【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数的最小值为.
（1）求实数的值；
（2）若实数满足，证明：.
2023—2024学年度下期高2024届二诊模拟考试
文科数学试卷参考答案：
一､选择题：
1-5ADABC 6-10ACDBA 11-12CB
二､填空题：
13. 14.
15.或 16.
三､解答题：
17.【详解】（1）因为为等差数列，所以，即从而得到，化简得所以
（2）当时，，
所以，解得，又因为，
所以的最大值7.
18.【详解】（1）证明：在中，，所以.
在中，，由余弦定理有：
，所以，，所以，
所以，又因为平面，所以，平面，
因为平面，所以，，在中：，则，
所以，，因为平面，所以面.
（2）解：，设，
因此，存在点使得三棱锥的体积为，且.
19.【详解】（1）.
（2）对安装芯片I的手机开机速度满意的人数为，对安装芯片II的手机开机速度满意的人数为，所以采用分层抽样的方法的抽样比为，故所抽取的6人中，手机安装芯片I的有2人，手机安装芯片II的有4人，所以抽到2人中对安装芯片II的手机开机速度满意的人数为1的概率为.
20.【详解】（1）由题意：，解得
故所求椭圆的标准方程为：.
（2）如图：因为直线斜率不为0，设其方程为：，代入椭圆方程：，得：
，整理得：.设，则：，
，则直线方程为，令，得，则则
，又代入得.
所以为定值.
21.【详解】（1）函数的定义域为，
，
当时，，解不等式，有或，令得，
故函数的增区间为，减区间为；
（2）若，函数的减区间为，增区间为，且，
当时，由，有恒成立，
所以，必有.又由，可得.
又由，不等式可化为，设，
有，
当且时，，可得，
当且时，，可得，当时，函数单调递增，
故存在正数使得.若，有，有，与矛盾，可得，当时，；当时，，
可得函数的减区间为，增区间为，
若，必有，有，
又由，有，
有，有.又由，有，可得，
有，可得，
由，及，可得，
若.则实数的取值范围为.
22.【详解】（1）直线的参数方程为（为参数，，故，则
，即；故的极坐标方程为：.把绕坐标原点逆时针旋转得到，故的极坐标方程为：.
（2）曲线的极坐标方程为，且与交于点与交于点，联立方程得，
，
故.
故当时，面积的最大值为16.
23.【详解】（1）作出函数的图形，
如图，由图可知的最小值为.
（2）由（1）知，，所以，根据柯西不等式得
，当且仅当时取等号，又，所以当且仅当时取等号，.
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