初中数学浙教版八年级下册2.1 一元二次方程巩固练习

这是一份初中数学浙教版八年级下册2.1 一元二次方程巩固练习，共17页。
【学习目标】
1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；
2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；
3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.
【要点梳理】
知识点一、一元二次方程的解法---配方法
在比较大小中
二 配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解；
1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；
2、把常数项移到等号的右边；
3、方程两边都除以二次项系数；
4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
知识点二、配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
特别说明：
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同时对后期学习二次函数有着重要的作用，同学们一定要把它学好．
【典型例题】
类型一、解一元二次方程➽➼配方法➽➼纠错与运算
1． (2023秋·河北廊坊·九年级校考期末）嘉嘉解方程的过程如图14所示．
在嘉嘉解方程过程中，是用_____________（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的；从第_____________步开始出现错误；
请你用不同于（1）中的方法解该方程．
【答案】(1) 配方法；二(2) ，
【分析】（1）根据配方法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
（1）解：在嘉嘉解方程过程中，是用配方法来求解的；
从第二步开始出现错误；
故答案为：配方法；二
（2）解：，
∴，
∴，
解得：，．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 (2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
二次系数化为，得…第一步
移项，得…第二步
配方，得，即…第三步
由此，可得…第四步
所以，，…第五步
小明同学解题过程中，从第______步开始出现错误．
(2) 请给出正确的解题过程
【答案】(1) 三(2) 解题过程见详解
【分析】（1）根据完全平方公式即可求解；
（2）在小明同学的第三步开始，左右两边同时加，根据完全平方公式配方，然后直接开方解方程即可求解．
（1）解：第三步中，的一次项系数是，根据完全平方公式可知常数项应该是，即左右两边同时加即可，
∴第三步出错，
故答案为：三．
（2）解：
二次系数化为，
移项，
配方，，即
直接开方，
∴原方程的解为：，．
【点拨】本题主要考查配方法，直接开方法解一元二次方程，掌握完全公式的配方法解方程是解题的关键．
【变式2】 (2023秋·河北邯郸·九年级校考阶段练习）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时，对于的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程变形为：
……第一步
……第二步
……第三步
，……第四步
……第五步
嘉淇的解法从第______步开始出现错误；事实上，当时，方程的求根公式是______；
(2) 用配方法解方程：．
【答案】(1) 四，；(2) ．
【分析】（1）观察嘉淇同学解方程的步骤，找出出错的地方，写出正确的求根公式即可；
（2）方程利用配方法求出解即可．
解：（1）由于a≠0，方程变形为：
……第一步
……第二步
……第三步
，……第四步
……第五步
∴嘉淇的解法从第四步开始出现错误；当时，方程的求根公式是．
故答案为：四，
（2），
移项得：x2﹣2x＝24，
配方得：，即，
开方得：，
解得：．
【点拨】此题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握配方法是解本题的关键．
2． （2023秋·辽宁鞍山·九年级统考期末）用适当的方法解方程
；(2) ．
【答案】(1) ，(2) ，
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程；
（2）利用因式分解法解一元二次方程．
（1）解：
移项，得，，
配方，得：，
∴，
解得：，；
（2）解：
∴，
解得：，．
【点拨】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 (2023春·八年级课时练习）用配方法解下列方程：
．(2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程；
（2）根据配方法解一元二次方程即可求解．
（1）解：，
，
即，
∴，
解得：；
（2）解：，
，
即，
∴，
解得．
【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
【变式2】 (2023春·八年级课时练习）用配方法解下列方程：
．(2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先将二次项系数化为1，然后根据配方法解一元二次方程即可求解；
（2）先将二次项系数化为1，然后根据配方法解一元二次方程即可求解；
（1）解：，
将二次项系数化为1，得，，
，
即，
∴，
解得：；
（2）解：，
将二次项系数化为1，得，，
，
即，
∴，
解得：．
【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
类型二、解一元二次方程➽➼配方法的应用➽➼求最值
3． (2023秋·全国·九年级期中）先阅读材料，再解决下列问题．
例如：用配方法求代数式的最小值．
原式．
∵，
∴当时，有最小值是2．
根据上述所用方法，解决下列问题：
求代数式的最小值；
若，当_______时，有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______；
当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
【答案】(1) 3(2) 1，大，-2(3) 直角三角形，见分析
【分析】（1）凑成完全平方加一个数值的形式．
（2）和（1）类似，凑成完全平方加以一个数值的形式．
（3）先因式分解，判断字母，，三边的关系，再判定三角形的形状．
（1）解：；
∴的最小值是3．
（2），
，
，
∴当的时，有最大值．
故答案为：1，大，．
（3），
，
，
三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．
，，，
解得，，．
∵，
∴是直角三角形．
【点拨】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单得数量关系，再根据此关系解决问题．
举一反三：
【变式】 (2023秋·全国·九年级专题练习）我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，∴，∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
探究：；
求的最小值．
比较代数式：与的大小．
【答案】(1) ，1(2) (3)
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．
（2）先配方，再求最值．
（3）作差后配方比较大小即可．
（1）解：．
（2），
∵，
∴当即时，
原式有最小值．
（3），
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题考查的是配方法的应用，“熟练的利用配方法求解代数式的最值以及比较代数式的值的大小”是解本题的关键．
类型三、解一元二次方程➽➼配方法的应用➽➼证明
4． (2023秋·江西吉安·九年级校考阶段练习）试说明无论，为何值，代数式的值总是非负数，并求出当，取何值时，这个代数式的值最小．
【答案】，
【分析】先用拆项法把化为的形式，再配成完全平方决定代数式的值，再根据，时，代数式的值最小，求出、．
解：
；
，，
无论，为何值，代数式的值总是非负数；
当，时，代数式的值最小，
，．
【点拨】本题考查了配方法的综合应用、偶次方具有非负性，掌握配方法的综合应用，其中偶次方具有非负性是解题关键．
举一反三：
【变式】 (2023秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）求证：无论 取何值，代数式的值恒大于．
【答案】见分析
【分析】直接将转化成即可．
解：∵，
∴无论 取何值， 的值均大于 ．
【点拨】本题考查了完全平方公式，正确将转化成是解题的关键．
类型四、解一元二次方程的解➽➼配方法的应用➽➼图形✭✭几何动点问题
5． (2023秋·江西九江·九年级统考期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式最小值．
解：
∵无论x取何实数，总有．
∴，即的最小值是．
即无论x取何实数，的值总是不小于的实数．
问题：
已知，求证y是正数；
知识迁移：如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为t秒时S最大，请求出t和S的值，
【答案】(1)见分析(2)t=，S最大值=
【分析】（1）仿照例题，利用配方求解即可．
（2）先求s，再利用配方求最值即可．
解：（1）证明：（1）
．
∵．
∴．
∴．
∴y是正数．
（2）解：∵，，．
∴
．
∵．
∴当时，S有最大值，最大值为．
【点拨】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键．
举一反三：
【变式】 (2023春·湖北恩施·八年级校考阶段练习）已知Rt△ABC的两条直角边的长a、b均为整数，且a为质数，若斜边c也是整数，求证：2（a＋b＋1）是完全平方数．
【答案】证明见分析
【分析】由勾股定理得，再根据质数的性质得出，再求出用a表示b的式子，代入式子2（a+b+1）变形，得出结论．
解：∵a、b为直角三角形的直角边，c为斜边，
∴，
∵>0，
∴b-c