浙教版八年级下册2.1 一元二次方程同步测试题

这是一份浙教版八年级下册2.1 一元二次方程同步测试题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．把方程化成的形式，则的值是（ ）
A．3，6B．，6C． ，6D．6，6
2．一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知方程x2－6x＋q＝0配方后是（x－p）2＝7，那么方程x2＋6x＋q＝0配方后是（ ）
A．（x＋p）2＝7B．（x＋p）2＝5C．（x－p）2＝7D．（x－p）2＝5
4．为实数，，那么的值为（ ）
A．1B．或1C．D．4或
5．在用配方法解方程时，可以将方程转化为其中所依据的一个数学公式是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知是方程的根，那么代数式的值是（ ）
A．B．C．或D．或
7．用一根长为厘米的绳子，围成一个面积为平方厘米的长方形，则的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
8．若，，则A、B的大小关系为（ ）
A．A＞BB．A＜BC．A≥BD．A＝B
9．已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ）
A．c＞8B．5＜c＜8C．8＜c＜13D．5＜c＜13
10．已知x、y都是正实数，且满足x2+2xy+y2+x+y−12=0,则x(1−y)的最小值为（ ）
A．-1B．4C．-2D．无法确定
二、填空题
11．______________．
12．若，则的值为_______．
13．关于y的方程，用___________法解，得__，__．
14．用配方法解方程，配方得，常数m的值是 _____．
15．已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为方程x2﹣6x+9＝0的根，则该等腰三角形的周长为 _____．
16．若实数，满足等式，则_____．
17．的三边分别为、、，若，，按边分类，则是______三角形
18．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是_________．
三、解答题
19．用配方法解下列一元二次方程：
(1) ；(2) ．
20．解方程：
(1) ．(2) ．
21．阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
解方程：
提示：可以用“换元法”解方程．
解；设，则有．
原方程可化为：
续解：
22．若为方程的一个正根，为方程的一个负根，求的值．
23．（1）设，求的值．
（2）已知代数式，先用配方法说明：不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
24．选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：或；③选取一次项和常数项配方：．
根据上述材料解决下面问题：
（1）写出的两种不同形式的配方．
（2）已知，求的值．
（3）已知a、b、c为三条线段，且满足，试判断a、b、c能否围成三角形，并说明理由．
参考答案
1．B
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：B．
【点拨】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
2．C
【分析】运用配方法将原方程转化为，运用直接开平方法可以转化为两个一元一次方程即可．
解：∵，
∴，即
∴，
∴或
∴另一个一元一次方程为
故选：C
【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3．A
【分析】根据完全平方公式展开，求出p的值，再代入求出即可．
解：∵方程x26x+q=0配方后是（xp）2=7，
∴x22px+p2=7，
∴6=2p，
解得：p=3，
即（x3）2=7，
∴x26x+97=0，
∴q=2，
即（x+3）2=7，
即（x+p）2=7，
故选：A．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
4．A
【分析】将原方程中的换元即转化为分式方程,化简得一元二次方程，解方程即可，注意验根．
解：设，则方程可变形为：

解得，
经检验：都是的根，
即或者
当时，即所以
所以：．
故选A．
【点拨】本题考查了利用换元法解一元二次方程，换元思想是解题的关键．
5．B
【分析】根据配方法解方程的基本步骤去判断依据即可．
解：用配方法解方程时，可以将方程转化为，
其中所依据的一个数学公式是．
故选：B．
【点拨】本题考查了配方法解方程的基本依据,熟练掌握配方的依据是完全平方公式是解题的依据．
6．D
【分析】先解方程，得出，再根据分式加减乘除的法则进行化简，再代入x即可
解：由题意知，，解得
当时，原式
∴原式或．
故选D．
【点拨】本题考查了分式的化简求值以及解一元二次方程，熟练掌握法则是解题的关键
7．A
【分析】设围成矩形的长为厘米，则围成矩形的宽为厘米，利用矩形的面积计算公式，即可得出，利用完全平方公式可得出，利用平方的非负性可求出的最大值，再对比各选项中的数据后即可得出结论．
解：设围成矩形的长为厘米，
∴围成矩形的宽为：，
∴
，
∵
∴
∴，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴的值不可能为．
故选：A．
【点拨】本题考查列代数式，完全平方公式，平方的非负性．根据各数量之间的关系，找出关于的关系式是解题的关键．
8．A
【分析】利用做差法求出，然后利用偶数次幂的非负性即可得出，即可得出，从而得出正确选项．
解：
∵，，
∴，
∴，即，
故选：A．
【点拨】本题考查了配方法的应用，考查了通过做差法判断式子的大小，熟练掌握配方法是本题的关键所在．
9．C
【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．
解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，
∴（a2-10a+25）+（b2-16b+64）=0，
∴（a-5）2+（b-8）2=0，
∵（a-5）2≥0，（b-8）2≥0，
∴a-5=0，b-8=0，
∴a=5，b=8．
∵三角形的三条边为a，b，c，
∴b-a＜c＜b+a，
∴3＜c＜13．
又∵这个三角形的最大边为c，
∴8＜c＜13．
故选：C．
【点拨】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．
10．A
【分析】已知等式左边变形后，分解因式得到x+y=3或x+y=-4（舍去），表示出y代入所求式子中配方即可求出最小值．
解：∵x2+2xy+y2+x+y-12=0=（x+y）2+（x+y）-12=0，
∴（x+y-3）（x+y+4）=0，
∴x+y=3或x+y=-4（舍去），
∴y=-x+3，
当y=-x+3时，
x（1-y）=x（1+x-3）=x2-2x=（x-1）2-1，
∴最小值为-1．
故选A．
【点拨】此题考查了配方法的应用，解一元二次方程-因式分解法，以及二次函数的最值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
11．
【分析】直接利用配方法解答即可．
解：
．
故答案为，．
【点拨】本题主要考查了配方法，正确运用完全平方公式进行配方是解答本题的关键．
12．
【分析】根据换元法以及一元二次方程的解法即可求出答案．
解：，
．
令，
，
，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练应用一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
13． 配方 102
【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．
解：，
，
，
，
，
，
故答案为：配方，102，．
【点拨】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键．
14．
【分析】根据配方法的一般步骤先把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可得出答案．
解：，
，
，
，
则．
故答案为：．
【点拨】此题考查了配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是本题的关键，配方法的一般步骤是（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
15．15
【分析】先利用配方法解方程得到x1＝x2＝3，再根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为6，底边长为3，然后计算三角形的周长．
解：x2﹣6x+9＝0，
（x﹣3）2＝0，
解得x1＝x2＝3，
因为3+3＝6，不能构成三角形，
所以等腰三角形的腰为6，底边长为3，
所以三角形的周长＝6+6+3＝15．
故答案为：15．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．
16．
【分析】利用因式分解法解，求出，进而求出，再代入代数式求值即可．
解：
，
∵
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点拨】本题考查利用因式分解法解方程，以及根据字母的值，求代数式的值．通过因式分解法求出的值是解题的关键．
17．等腰
【分析】将，代入中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a与c的值，进而求出b的值，即可确定出三角形形状．
解：∵
∴ ，
∴，
∴，
即，
整理得：，
∵，，
∴，即；，即，
∴，
则△ABC为等腰三角形．
故答案是：等腰．
【点拨】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18．
【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解．
解：∵，p=3，c=2，
∴，
∴a+b=4，
∴a=4−b，
∴

∴当b=2时，S有最大值为．
【点拨】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．
19．(1) (2)
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
解：（1），
，
，
，
（2），
，
，
，
，
∴
【点拨】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟记配方的步骤是解此题的关键．
20．(1) ，；(2) ，．
【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
（1）解：，
∴，
解得：，；
（2）解：，
，
，
，
∴，
∴，．
【点拨】本题考查了直接开平方法和配方法解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
21．，
【分析】利用直接开平方法解一元二次方程，得到，，根据可得不符合题意，然后解方程，进而进行检验确定原方程的解．
解：，
∴，，
∵，
∴，
则有，配方，得：，
解得：，
经检验：，是原方程的根．
【点拨】本题考查了无理方程，解无理方程的基础思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法，注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意检验．
22．a+b= 5
【分析】先求出的根，由为方程的一个正根，得，再求的根，由为方程的一个负根，得，最后求即可．
解：，
，
，
为方程的一个正根，
，
，
，
，
，
为方程的一个负根，
，
．
【点拨】本题考查一元二次方程的解法，会比较方程根的正负与大小，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
23．（1）的值为；（2）说明见分析，当时，代数式有最小值．
【分析】（1）根据a＞b＞0可知，，再根据完全平方式把被开方数展开，把a2+b2=3ab代入进行计算即可；
（2）首先将原式变形为（x-）2+，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是整数，设代数式的值为M，就有M=x2-5x+7，根据非负数的性质就可以求出最值．
解：（1）∵a＞b＞0，a2+b2=3ab，
∴原式===；
（2）解：由题意，得，
∵，
∴，
∴，
∴这个代数式的值总是正数．
设代数式的值为M，则有
M=，
∴M=，
∴当时，这个代数式的值最小为．
【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，求代数式的值，代数式中配方法的运用，关键是运用完全平方公式，式子的转化．
24．（1）详见分析；（2）1；（3）不能围成三角形，理由详见分析．
【分析】（1）根据配方的概念，分别对一次项和常数项进行配方；
（2）根据求出x、y的值，代入求解即可；
（3）将原式进行转换，得出a、b、c之间的等量关系，从而进行判断．
解：（1）或．
（2），
．
，．．
（3）不能，理由如下：原式变形：．
．
即．
，，．
．a、b、c三条线段不能围成三角形．
【点拨】本题考查了整式的运算，根据题意理解新概念并掌握整式的运算，求解出未知数或者他们之间的等量关系是解题的关键．