初中浙教版2.1 一元二次方程习题

这是一份初中浙教版2.1 一元二次方程习题，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（ ）．
A．，，B．，，
C．，，D．，，
2．在公式法解方程时，的值是（ ）
A．16B．4C．32D．64
3．x＝是用公式法解一元二次方程得到的一个根，则满足要求的方程是（ ）
A．2x2﹣2x﹣1＝0 B．2x2﹣2x＋1＝0C．2x2＋2x＋1＝0D．2x2＋2x﹣1＝0
4．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．不能确定
6．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．B．C．D．
7．若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．
8．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（ ）
A．﹣2＜a＜﹣1B．2＜a＜3C．﹣4＜a＜﹣3D．4＜a＜5
9．常数a，ｂ，c在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数相D．无法确定
10．已知函数的图象如图所示，则一元二次方程的根的存在情况是（ ）
A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根
C．没有实数根D．不能确定
二、填空题
11．一元二次方程根的判别式的值为_______．
12．已知代数式x2-3与代数式的值互为相反数，那么x的值为______．
13．已知若分式的值为，则的值为______．
14．已知，求________．
15．已知方程如果设那么原方程可以变形为关于y的整式方程是____．
16．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是______．
17．有一个数值转换机，其流程如图所示：若输入，则输出的的值为______.
18．若直线不经过第一象限，则关于x的一元二次方程方程根的存在情况是______．
三、解答题
19．不解方程，判断下列方程的根的情况
（1）；（2）
20．用公式法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）． （4）．
21．求证：不论为何实数，关于的式子都可以分解成两个一次因式的积.
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．
(1) 求证：方程总有两个实数根．
(2) 若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．
23．小明同学说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法：若一元二次方程a的系数a、c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．他的发现正确吗？请你先举实例验证一下是否正确，若你认为他的发现是一般规律，请加以证明．
24．已知关于的方程．
(1) 试判断方程根的情况；
(2) 若=2是方程的一个根，求的值；
(3) 是否存在实数，使方程与方程有一个相同的根？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【分析】将一元二次方程化为一般形式，即可求得的值
解：化为一般形式为：
，，
故选C
【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2．D
【分析】首先把方程化简为一般形式，再得出、、的值，最后求出判别式的值即可．
解：，
，
，，，
；
故选：D．
【点拨】此题考查了公式法解一元二次方程，解此题时首先要化简．还要注意熟练应用公式．
3．D
【分析】根据一元二次方程求根公式，对照x＝得出一元二次方程的字母系数即可得出答案．
解：∵一元二次方程的根为，
∵x＝是用公式法解一元二次方程得到的一个根，
∴，
∴满足要求的方程为：，
故选：D．
【点拨】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键．
4．D
【分析】将等式变形为，利用将原式降次最后化简为2x，利用求根公式求的根，由，舍去负根，讲x代入即可．
解：将方程变形，
，
，
，
，
，
，
由
△=1+4=5，，由，则，
，
原式=．
故选择：D．
【点拨】本题考查代数式的求值问题，关键是会将方程变形，利用得到的等式进行降次化简是解题关键．
5．A
【分析】先求一元二次方程的判别式，由与0的大小关系来判断方程根的情况．
解：，，，
，
关于的方程有两个不相等实数根．
故选：A．
【点拨】此题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．
6．C
【分析】对每个选项中方程根判别式进行计算，判断与零的关系，然后找出符合题意的选项．
解：选项A、，存在一个实数根，不符合题意；
选项B、，存在两个不相等的实数根，不符合题意；
选项C、，不存在实数根，符合题意；
选项D、，存在两个不相等的实数根，不符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，会利用根的判别式来判断一元二次方程根的存在情况是解题关键．
7．A
【分析】先根据一元二次方程的定义可得，再利用一元二次方程根的判别式可得一个关于的一元一次不等式，解不等式即可得．
解：方程是关于的一元二次方程，
，
解得，
又关于的一元二次方程没有实数根，
此方程根的判别式，
解得，
综上，实数的取值范围是，
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义、以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
8．A
【分析】利用公式法表示出方程的根，再进行估算即可．
解：一元二次方程，
，
，
，
则较小的根，即，
故选：A．
【点拨】此题考查了解一元二次方程-公式法，以及估算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．B
【分析】观察数轴可得，从而得到，再根据一元二次方程根的判别式，即可求解．
解：观察数轴得：，
∴，
∴，
，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据数轴得到是解题的关键．
10．A
【分析】根据一次函数的图象可得出，再根据一元二次方程根的判别式即可判断．
解：由图可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点拨】本题考查了一次函数的图象和一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
11．1
【分析】首先找出一元二次方程中，，，然后根据根的判别式计算即可．
解：一元二次方程中，，，
，
故答案是：1．
【点拨】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式．
12．
【分析】根据相反数的性质列出关于x的方程，再利用公式法求解可得．
解：根据题意知x2-3+(-x)=0，
整理，得：x2-x-3=0，
∵，，，
∴，
∴x=，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程的能力和相反数的性质，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
13．，．
【分析】首先根据分式值为零的条件，可得，然后根据公式法解一元二次方程的步骤，求出的值即可．
解：分式的值为，
，
△=4+8=12＞0，
解得，
∴，，
∵，
∴，都满足条件，
故答案为，．
【点拨】本题考查分式值为0的条件，一元二次方程的解法，掌握分式值为0的条件是分子为0，分母不等于0，一元二次方程的公式解法是关键．
14．无解
【分析】已知方程两边除以y2变形后，将看做一个整体，即可求出值．
解：已知等式变形得：（）2++1=0，
∵a=1，b=1，c=1，
∴b2-4ac=1-4=-3＜0，即此方程无解．
∴无解．
故答案为无解．
【点拨】此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
15．
【分析】先求出，再代入原方程，去分母即可得．
解：由题意得：，
则原方程可以变形为，
方程两边同乘以得：，即，
故答案为：．
【点拨】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．
16．且
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得Δ=且k≠0，求出k的取值范围即可．
解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴且，
故答案为：且．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．
17．无解
【分析】将a＝−6代入方程x2−3x−a＝0中，利用公式法解方程即可．
解：输入的数a＝−6＜0，代入x2−3x−a＝0得：x2−3x＋6＝0，
∴a＝1，b＝−3，c＝6，
∴△＝b2−4ac＝9−24＝−15＜0，
∴此方程无解．
故答案为无解
【点拨】此题考查了解一元二次方程−公式法，利用此方法解方程时，找出a，b及c的值，代入求根公式即可求出解．
18．有两个不相等的实数根
【分析】根据一次函数的性质求得a的取值范围，再利用一元二次方程的判别式判断根的情况即可．
解：∵直线不经过第一象限，
∴a≤0，
对于关于x的一元二次方程方程，有a≠0，且判别式△=16﹣4a=4（4﹣a），
∴当a＜0时，判别式△＞0，方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点拨】本题考查一次函数的性质、一元二次方程根的判别式，解答的关键是熟练掌握一元二次方程的根与判别式△=的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
19．（1）见分析；（2）见分析；
【分析】（1）（2）先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
解：（1）∵一次函数中，，，；
∴，
∴方程没有实数根
（2）∵一次函数中，，，；
∴，
∴方程有两个相等的实数根
【点拨】本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
20．（1），；（2）；（3）；（4）没有实数根．
【分析】求出判别式判断有无实数根，再根据公式法逐一代入求解即可．
解：（1） 故原方程有两个不同实数根；
或
（2） 故原方程有两个相等的实根；
（3） 故原方程有两个不同的实数根；
（4） 故原方程无实数根．
【点拨】本题考查一元二次方程解法的公式法，掌握判别式的使用和公式是本题关键．
21．证明见分析.
【分析】求出方程=0的∆值，根据∆取值范围解答即可．
解：关于的方程，整理得，
∵，
∴不论为何实数，关于的方程都有两个不相等的实数根.
∴不论为何实数，关于的式子都可以分解成两个一次因式的积.
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为a(x－x1)(x－x2)＝0.
22．(1) 见分析(2) 1或2或3
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ=（m-6）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式得到x1=m-4，x2=2，则m-4＜0，从而得到正整数m的值．
（1）解：证明：∵Δ=（m-2）2-4（2m-8）
=m2-12m+36
=（m-6）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）x=，
∴x1=m-4，x2=2，
∵方程有一个根是负整数，
∴m-4＜0，
∴正整数m的值为1或2或3．
【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
23．小明的发现正确，见分析.
【分析】根据判别式的值、根与系数的关系即可证明．
解：小明的发现正确，如x2+x﹣2＝0，a＝1，c＝﹣2，
解方程得：x1＝2，x2＝﹣1，
若 a，c 异号，则△＝b2﹣4ac＞0，
故这个方程一定有两个不相等的实数根．
【点拨】本题考查根与系数的关系，根的判别式等知识，灵活运用所学知识是解题的关键．
24．（1）方程有两个不相等的实数根；（2）；（3）存在，
【分析】(1)计算的值，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若则方程无解；
(2)根据题意，将=2代入方程中，解出的值即可；
(3) 先解一元二次方程的根，再将其代入方程，即可解出的值．
解：(1)
方程有两个不相等的实数根；
(2)将=2代入得，
(3)解得，
当时，
当时，此时方程无解，
综上所述，存在使得使方程与方程有一个相同的根．
【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、方程有相同解等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．