初中数学2.1 一元二次方程复习练习题

这是一份初中数学2.1 一元二次方程复习练习题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．4B．3C．D．
2．若关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．若关于x的一元二次方程的两个根互为相反数，则m的值为（ ）
A．3或B．C．3D．2或
4．已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则原方程可化为（ ）
A．B．
C．D．
5．一元二次方程和 所有实数根的和等于（ ）
A．3B．2C．1D．10
6．已知一个直角三角形的两条直角边恰好是方程的两根，则此三角形的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知a、b、c是△ABC三边的长，则方程的根的情况为（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的正实数根
C．有两个不相等的负实数根
D．有两个异号的实数根
8．已知关于x的方程的两根分别为，，且，则关于x的不等式3-（2m-1）x≤0的解为（ ）
A．x≤B．x＜C．x≥3D．x≤3
9．若方程恰有四个实数根，则这四个实数根的和是（ ）
A．0B．4C．2D．与b的取值有关
10．如图，四边形的两条对角线互相垂直，AC、BD是方程的两个解，则四边形的面积是（ ）
A．60B．30C．16D．32
二、填空题
11．已知是一元二次方程的两根，则________．
12．请写出一个两根分别为和，且二次项系数为的一元二次方程___________．
13．若α、β是方程的两个实数根，则_____．
14．已知a、b是一元二次方程的两个根，则代数式的值等于__________．
15．已知实数a，b满足，，则=_______
16．如果一个矩形的长和宽是一元二次方程的两个根，那么这个矩形的周长是__________________．
17．点A，B在数轴上的位置如图所示，点A对应的数是，点B对应的数是，，且，是方程的两根，则k的值为______．
18．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为．其中正确的是______．（写出所有正确说法的序号）
三、解答题
19．若一元二次方程的两根为则，，我们把这个命题叫做韦达定理．设，是方程的两根，请根据韦达定理求下列各式的值：
(1) ； ；
(2) ；
(3) ．
20．关于的一元二次方程有实数根．
(1) 求的取值范围；
(2) 如果，是方程的两个解，令，求的最大值．
21．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根为，，且，求m的值．
22．已知关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0有两个实数根x1、x2，
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得2（x1+x2）+10+x1x2＝0成立？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
23．（1）解方程；
（2）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰有点在函数的图象上，求满足条件的k的值．
24．已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有实数根，求的取值范围；
（2）若是方程的两个实数根，且，求的值；
（3）已知等腰的一边长为10，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
参考答案
1．B
【分析】直接利用一元二次方程的根与系数的关系即可得．
解：是一元二次方程的两个根，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
2．B
【分析】利用根的判别式及两根之积为负数，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出实数的取值范围．
解：∵关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，
∴
解得：，
∴实数m的取值范围是．
故选：B．
【点拨】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”及“两根之积等于”是解题的关键．
3．A
【分析】利用根与系数的关系，则这两个根的和为零，从而得，解方程即可．
解：设一元二次方程的两个根分别为、，由题意得：，
由一元二次方程根与系数的关系得：，
解方程得：，，
此时，判别式的值，符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，关键是由根与系数的关系得到关于m的一元二次方程．
4．D
【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为=2，=-3，
∴2-3=-p，2×（-3）=q，
∴p=1，q=-6，
∴原方程为，
∴原方程可化为（x-2）（x+3）=0．
故选：D．
【点拨】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
5．B
【分析】先利用根的判别式的意义判断没有实数解，所以利用根与系数的关系求出方程的两根之和即可．
解：对于方程，
，
此方程没有实数解，
一元二次方程和所有实数根的和等于2．
故选：B．
【点拨】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．
6．B
【分析】直接利用根与系数的关系得出两直角边长的乘积为4，再乘即是三角形的面积．
解：设直角三角形的两直角边长分别为a、b，是方程的两根，
则，
所以三角形的面积为．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了根与系数的关系：一元二次方程如果方程的两根为，则．
7．C
【分析】根据三角形的三边关系，确定出方程的根的判别式的符号后，判断方程根的情况．
解：
＝
∵三角形两边之和大于第三边，
∴
∴
∴有两个不相等的实数根
根据一元二次方程根与系数的关系可得：两根的积是，则两个根一定同号；
两根的和是
∴方程的两根都是负数．
故方程有两个不相等的负根．
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程（）的根的判别式与根的关系，根与系数的关系，三角形三边的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
8．C
【分析】由根与系数的关系得出， ．将变形得=3，求得2m-1=1，将其代入关于x的不等式3-（2m-1）x≤0，求得x的解集．
解：关于x的方程的两根分别为，，则， ．
∵，
∴==1-2（1-2m）=3，
由此可得2m-1=1．
把2m-1=1代入3-（2m-1）x≤0得，
3-x≤0，
解得，x≥3．
故选C．
【点拨】本题考查了根与系数的关系，完全平方公式的变形求值及不等式的解法，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
9．A
【分析】根据方程恰有四个实数根，并且方程中出现了绝对值，因此根据x的符号分类讨论，再根据根与系数的关系得到两根之和，即可得出答案．
解：由题可知，
当时，方程为：，
∴，
当时，方程为：，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查了绝对值的化简，以及一元二次方程根与系数的关系，此题的关键是根据方程有四个实数根进行分类讨论．
10．B
【分析】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，二次方程的两根乘积可以利用韦达定理快速求解即可．
解：由题意可知
四边形的面积
∵AC、BD是方程的两个解，
∴，四边形的面积，
故答案为：B．
【点拨】本题主要考查对角线互相垂直的四边形的面积计算及二次方程根与系数的关系，知道利用对角线的成绩计算面积是解题关键．
11．8
【分析】利用根与系数的关系求解即可．
解：利用根与系数的关系可知：，
故答案为：8．
【点拨】本题考查一元二次方程中根与系数的关系：，关键是要记住公式．
12．
【分析】先计算两数的和、两数的积，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程．
解：，
以和为两根且二次项系数为的一元二次方程为
故答案为：．
【点拨】本题考查了根与系数的关系：是方程的两根时，，反过来可得．
13．4
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则，进而得出，然后根据一元二次方程根与系数的关系得，再利用整体代入的方法计算即可．
解：∵α方程的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵α、β是方程的两个实数根，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的定义，得出是解题的关键．
14．2
【分析】利用根与系数关系，可得，，代入即可求得代数式的值．
解：是一元二次方程的两个根，
，，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，关键是根与系数的关系的运用．
15．2022
【分析】当时，a，b是方程的两根，由根与系数的关系可知，代入可以求值．
解：∵，，，
∴a，b是方程的两根，
∴，
∴===．
故答案为：2022．
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形结合是解题的关键．
16．
【分析】设矩形的长和宽分别为、，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，再根据矩形的周长公式，计算即可．
解：设矩形的长和宽分别为、，
∵一个矩形的长和宽是一元二次方程的两个根，
∴，
∴矩形的周长为：．
故答案为：
【点拨】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、矩形的周长，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系：对一元二次方程的两个实数根是、，则有，．
17．## ##3.75
【分析】根据可知，根据一元二次方程跟与系数的关系，可得到的值，联立两式，求出两根之积即可求解．
解：∵，
∴，
∵，是方程的两根，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程跟与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根之和为，两根之积为．
18．①②③④
【分析】通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法①；根据解方程，得出，，再结合“倍根方程”的定义，得出或，进而得出，，然后再用十字相乘法分解，再把，代入，即可判断说法②；通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法③；根据“倍根方程”的定义，设，再根据一元二次方程根与系数的关系，得出，进而得出，解出即可判断说法④．
解：①解方程得：，，
∵，
∴方程是倍根方程，故①正确；
②∵是倍根方程，且，，
∴或，
∴，，
∴，故②正确；
③∵，
解方程得：，，
∴，故③正确；
④∵方程是倍根方程，
∴设，
∵，即，
∴，
∴，
∴，故④正确．
综上所述，关于倍根方程的说法正确的为：①②③④．
故答案是：①②③④
【点拨】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，解本题的关键在理解题意，正确作出判断．
19．(1) 5，2(2) 8(3) 17
【分析】（1）根据韦达定理直接求解即可；
（2）利用整式的乘法将式子展开，再代入求解即可；
（3）根据方程根的含义可得，代入，求解即可．
（1）解：，是方程的两根，
，，
故答案为：5，2；
（2）解：
；
（3）解：，是方程的两根，
，
得，
．
【点拨】此题考查了韦达定理的应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
20．(1) (2) 18
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可得出x1＋x2＝4，x1•x2＝k＋2，结合w＝x1x22＋x12x2＋k，由增减性可求w的最大值．
（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
的取值范围为．
（2）解：，是关于的一元二次方程的两个解，
，，
，
时，的最大值为．
【点拨】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合w＝x1x22＋x12x2＋k，根据增减性可求w的最大值．
21．（1）见详解；（2）
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解．
解：（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，
∴，
∵方程有两个实数根为，，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
22．（1）m≤；（2）存在，m＝﹣3
【分析】（1）由一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根，根据根的判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac≥0，即32﹣4（m﹣1）≥0，解关于m的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系x1+x2＝﹣3，x1x2＝m﹣1，再利用2（x1+x2）+10+x1x2＝0成立求出m的值即可．
解：（1）∵一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0有两个实数根x1、x2，
∵Δ＝b2﹣4ac≥0，
即32﹣4（m﹣1）≥0，
解得m≤．
所以实数m的取值范围为m≤；
（2）存在m的值，使得2（x1+x2）+10+x1x2＝0成立成立．理由如下：
∵x1、x2是一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝m﹣1，
∴2（x1+x2）+10+x1x2＝2（﹣3）+10+（m﹣1），若2（x1+x2）+10+x1x2＝0成立，则m+3＝0，
解上述方程得，m＝﹣3．
∵（1）中m≤，（2）中m＝﹣3，
∴存在m的值，使得2（x1+x2）+10+x1x2＝0成立．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23．（1），；（2）
【分析】（1）利用公式法求解；
（2）根据“x1、x2为横坐标、纵坐标的点（x1，x2）恰有点在函数y=x+6的图象上”，得到x1和x2的关系式，根据根与系数的关系，列出关于k的方程，解之，结合（1）中k得取值范围，即可得到答案．
解：（1），
∵a=1，b=-1，c=-1，
∴，
∴，
∴，；
（2）根据题意得：
x2=x1+6，x2-x1=6，
整理得：（x1+x2）2-4x1x2=36，
∴x1+x2=2（k-3），x1x2=k2-4k-1，
则4（k-3）2-4（k2-4k-1）=36，
整理得：-2k+1=0，
解得：k=（符合题意），
即满足条件的k的值为．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，根与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确掌握根与系数的关系和代入法．
24．（1）m≥-1；（2）m=0；（3）24或38
【分析】（1）令判别式△≥0，解不等式即可；
（2）根据方程得出，，再由得到，代入得到方程，解之即可；
（3）分10为等腰三角形的腰和底两种情况分别求解．
解：（1）∵方程有实数根，
∴，
解得：m≥-1；
（2）∵是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：m=0；
（3）当腰长为10时，
则x=10是一元二次方程的一个解，
把x=10代入方程得，
解得m1=8，m2=15，
当m=8时，x1+x2=2（m-1）=14，解得x2=4，则三角形周长为4+10+10=24；
当m=15时，x1+x2=2（m-1）=28，解得x2=18，则三角形周长为10+10+18=38；
当10为等腰三角形的底边时，
则x1=x2，所以m=-1，方程化为，解得x1=x2=-2，故舍去；
综上所述，这个三角形的周长为24或38．
【点拨】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，三角形三边关系，等腰三角形的性质，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．