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    山西省晋城市第一中学校2023-2024学年高三下学期第十四次调研考试数学试题

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    山西省晋城市第一中学校2023-2024学年高三下学期第十四次调研考试数学试题

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    这是一份山西省晋城市第一中学校2023-2024学年高三下学期第十四次调研考试数学试题,共7页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分)
    1.已知集合,若的子集有4个,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    2.在复平面内,复数对应的点关于直线对称,若,则( )
    A.B.1C.5D.
    3.在平行四边形中,,点在上,且满足,点是的中点,则( )
    A.B.C.1D.
    4.若在处有极值,则函数的单调递增区间是( )
    A.B.C.D.
    5.已知,则的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    6.在的展开式中,含的项的系数为,则的最小值为( )
    A.13B.25C.30D.36
    7.已知分别为椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,则的最大值为( )
    A.20B.16C.64D.24
    8.已知,则()
    A.B.C.D.
    二、多选题(共3小题,每小题6分,共18分。全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
    9.某位养鱼爱好者定期给鱼缸的水质进行过滤,水中的杂质残留量与过滤时间(单位:小时)的关系满足,(其中:是初始残留量,为常数)。过滤1个小时后,水中的杂质残留量为原来的,过滤3个小时后,水中的杂质残留量为原来的,则下列说法正确的是(参考数据:)( )
    A.
    B.过滤5个小时后,水中的杂质残留量为原来的;
    C.过滤7个小时后,水中的杂质残留量为原来的;
    D.若水中的杂质残留量不超过原来的,则至少需要过滤11.84小时
    10.设函数的定义域为,且满足,当时,,则( )
    A.是周期为4的函数
    B.
    C.的取值范围为
    D.在区间内恰有1011个实数解
    11.已知函数,其导函数为,且,记,则下列说法正确的是( )
    A.恒成立
    B.函数的极小值为0
    C.若函数在其定义域内有两个不同的零点,则实数的取值范围是
    D.对任意的,都有
    三、填空题(共3小题,每小题5分,共15分)
    12.已知数列的前项和为,且满足,则_______.
    13.甲、乙、丙、丁四位同学到三个社区进行社会活动,要求每位同学只能去一个社区,每个社区至少有一位同学,若甲、乙都不去社区,则一共有_______种安排方法。
    14.在平面四边形中,,则的取值范围是_______.
    四、解答题(共5小题,共77分)
    15.(13分)在中,角的对边分别是,满足,.
    (1)求的值;
    (2)若,过点作,垂足为,求。
    16.(15分)成都第31届世界大学生夏季运动会于7月28日开幕,蓬勃向上的青春活力在“大运之城”绽放,多所学校掀起了运动的热潮,为了解决学生对运动的喜爱程度,某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查,得到以下信息:
    ①抽取的学生中,男生占的比例为60%;
    ②抽取的学生中,不喜欢运动的学生占的比例为40%;
    ③抽取的学生中,喜欢运动的男生比喜欢运动的女生多40人。
    (1)完成列联表,依据小概率值的独立性检验,能否认为是否喜欢运动与性别有关联?
    (2)从随机抽取的这200名学生中随机抽取20人,其中喜欢运动的有11人,不喜欢运动的有9人,现从这20人中随机选出2人,设2人中喜欢运动的学生人数为,求随机变量的分布列。
    参考公式及数据
    17.(15分)在四棱锥中,侧面底面,底面为菱形,点为的中点,。
    (1)证明:平面;
    (2)求平面与平面夹角的余弦值。
    18.(17分)在平面直角坐标系中,点到和的距离之和等于6,记动点的轨迹为。
    (1)求的轨迹方程;
    (2)轨迹与轴的负半轴的交点为,过点的直线与轨迹交于两点,直线与轴的交点分别为,点是的中点,问:是否为定值?若为定值,求出该定值,若不为定值,请说明理由。
    19.(17分)已知函数。
    (1)求的单调区间;
    (2)若方程的两个实数根分别为,求证:。
    2021级高三年级第二学期第十四次调研考试答案
    数学
    一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分)
    二、多选题(共3小题,每小题6分,共18分。全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
    三、填空题(共3小题,每小题5分,共15分)
    12.50 13.14 14.
    四、解答题(共5小题,共77分)
    15.解析:(1)由得
    即①
    代入①得
    (2)由(1)知:,同理
    ,故和为锐角
    ,故为锐角
    16.解析:(1)列联表如下:
    假设:是否喜欢运动与性别无关联,由题知:,
    依据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即认为是否喜欢运动与性别有关联。
    (2)由题知的所有取值为,此时
    则的分布列为
    17.解析:(1)证明:因为底面为菱形,点为的中点,所以
    因为侧面底面,侧面底面,所以平面;
    (2)设点为,连接,则。以的方向为轴的正方向建系,
    则,
    设平面的法向量为,则,令,则
    设平面的法向量为,则,令,则
    则,由题知平面与平面夹角为锐角,故余弦值为。
    18.解:(1)由题知,故的轨迹方程为
    (2)由题知直线的斜率存在且小于0,设直线的斜率为,则,直线的方程为
    联立,消得
    ,设,故
    令得,所以,
    故直线的方程为,令得,所以同理
    所以
    的中点,故
    19.解:(1),当时,,函数在上递增;
    当时,,函数在上递减;
    (2)由,令,得
    又,即

    欲证,需证即,即

    构造且
    在上递减
    ,得证。
    再证左端的不等式:,又。喜欢运动
    不喜欢运动
    合计
    男生
    女生
    合计
    0.100
    0.050
    0.010
    0.001
    2.706
    3.841
    6.635
    10.828
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    C
    D
    C
    A
    D
    B
    A
    B
    9
    10
    11
    ACD
    ABD
    CD
    喜欢运动
    不喜欢运动
    合计
    男生
    80
    40
    120
    女生
    40
    40
    80
    合计
    120
    80
    200
    0
    1
    2

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