山西省晋城市第一中学校2023-2024学年高三下学期第十四次调研考试数学试题
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这是一份山西省晋城市第一中学校2023-2024学年高三下学期第十四次调研考试数学试题,共7页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知集合,若的子集有4个,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
2.在复平面内,复数对应的点关于直线对称,若,则( )
A.B.1C.5D.
3.在平行四边形中,,点在上,且满足,点是的中点,则( )
A.B.C.1D.
4.若在处有极值,则函数的单调递增区间是( )
A.B.C.D.
5.已知,则的大小关系为( )
A.B.C.D.
6.在的展开式中,含的项的系数为,则的最小值为( )
A.13B.25C.30D.36
7.已知分别为椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,则的最大值为( )
A.20B.16C.64D.24
8.已知,则()
A.B.C.D.
二、多选题(共3小题,每小题6分,共18分。全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.某位养鱼爱好者定期给鱼缸的水质进行过滤,水中的杂质残留量与过滤时间(单位:小时)的关系满足,(其中:是初始残留量,为常数)。过滤1个小时后,水中的杂质残留量为原来的,过滤3个小时后,水中的杂质残留量为原来的,则下列说法正确的是(参考数据:)( )
A.
B.过滤5个小时后,水中的杂质残留量为原来的;
C.过滤7个小时后,水中的杂质残留量为原来的;
D.若水中的杂质残留量不超过原来的,则至少需要过滤11.84小时
10.设函数的定义域为,且满足,当时,,则( )
A.是周期为4的函数
B.
C.的取值范围为
D.在区间内恰有1011个实数解
11.已知函数,其导函数为,且,记,则下列说法正确的是( )
A.恒成立
B.函数的极小值为0
C.若函数在其定义域内有两个不同的零点,则实数的取值范围是
D.对任意的,都有
三、填空题(共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知数列的前项和为,且满足,则_______.
13.甲、乙、丙、丁四位同学到三个社区进行社会活动,要求每位同学只能去一个社区,每个社区至少有一位同学,若甲、乙都不去社区,则一共有_______种安排方法。
14.在平面四边形中,,则的取值范围是_______.
四、解答题(共5小题,共77分)
15.(13分)在中,角的对边分别是,满足,.
(1)求的值;
(2)若,过点作,垂足为,求。
16.(15分)成都第31届世界大学生夏季运动会于7月28日开幕,蓬勃向上的青春活力在“大运之城”绽放,多所学校掀起了运动的热潮,为了解决学生对运动的喜爱程度,某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查,得到以下信息:
①抽取的学生中,男生占的比例为60%;
②抽取的学生中,不喜欢运动的学生占的比例为40%;
③抽取的学生中,喜欢运动的男生比喜欢运动的女生多40人。
(1)完成列联表,依据小概率值的独立性检验,能否认为是否喜欢运动与性别有关联?
(2)从随机抽取的这200名学生中随机抽取20人,其中喜欢运动的有11人,不喜欢运动的有9人,现从这20人中随机选出2人,设2人中喜欢运动的学生人数为,求随机变量的分布列。
参考公式及数据
17.(15分)在四棱锥中,侧面底面,底面为菱形,点为的中点,。
(1)证明:平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值。
18.(17分)在平面直角坐标系中,点到和的距离之和等于6,记动点的轨迹为。
(1)求的轨迹方程;
(2)轨迹与轴的负半轴的交点为,过点的直线与轨迹交于两点,直线与轴的交点分别为,点是的中点,问:是否为定值?若为定值,求出该定值,若不为定值,请说明理由。
19.(17分)已知函数。
(1)求的单调区间;
(2)若方程的两个实数根分别为,求证:。
2021级高三年级第二学期第十四次调研考试答案
数学
一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分)
二、多选题(共3小题,每小题6分,共18分。全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
三、填空题(共3小题,每小题5分,共15分)
12.50 13.14 14.
四、解答题(共5小题,共77分)
15.解析:(1)由得
即①
代入①得
(2)由(1)知:,同理
,故和为锐角
,故为锐角
16.解析:(1)列联表如下:
假设:是否喜欢运动与性别无关联,由题知:,
依据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即认为是否喜欢运动与性别有关联。
(2)由题知的所有取值为,此时
则的分布列为
17.解析:(1)证明:因为底面为菱形,点为的中点,所以
因为侧面底面,侧面底面,所以平面;
(2)设点为,连接,则。以的方向为轴的正方向建系,
则,
设平面的法向量为,则,令,则
设平面的法向量为,则,令,则
则,由题知平面与平面夹角为锐角,故余弦值为。
18.解:(1)由题知,故的轨迹方程为
(2)由题知直线的斜率存在且小于0,设直线的斜率为,则,直线的方程为
联立,消得
,设,故
令得,所以,
故直线的方程为,令得,所以同理
所以
的中点,故
19.解:(1),当时,,函数在上递增;
当时,,函数在上递减;
(2)由,令,得
又,即
令
欲证,需证即,即
即
构造且
在上递减
,得证。
再证左端的不等式:,又。喜欢运动
不喜欢运动
合计
男生
女生
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
C
A
D
B
A
B
9
10
11
ACD
ABD
CD
喜欢运动
不喜欢运动
合计
男生
80
40
120
女生
40
40
80
合计
120
80
200
0
1
2
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