湖北省武汉市光谷实验中学2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题

这是一份湖北省武汉市光谷实验中学2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，四象限B. 点在该函数图象上，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A. 任意两个正方形B. 任意两个平行四边形
C. 任意两个菱形D. 任意两个矩形
【答案】A
【解析】
【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．
【详解】解：A、任意两个正方形，四条边对应成比例，四个角对应相等，一定相似，故本选项正确；
B、任意两个平行四边形不一定相似，故本选项错误；
C、任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故本选项错误．
D、任意两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了图形相似的判定，熟练掌握矩形、平行四边形、菱形、正方形的性质是解题的关键，难度适中．
2. 已知反比例函数图像经过点，下列说法中不正确的是（ ）
A. 该函数图象在第二、四象限B. 点在该函数图象上
C. 随的增大而增大D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，确定反比例函数解析式中的k是解题的关键．
先确定反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质逐项分析即可解答．
【详解】解：把点代入反比例函数可得，，即．
A、该函数的图像在第二、四象限，故A选项正确，不符合题意；
B、将点代入解析式，满足解析式，故B选项正确，不符合题意；
C、在每个象限内，y随着x的增大而增大，故C选项错误，符合题意；
D、当时，，故D选项正确，不符合题意．
故选C．
3. 如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离（的长）为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin＝＝，进而得出答案．
【详解】由题意可得：sin＝＝，
故BC＝2sin（米）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
4. 若点，，都在反比例函数的图象上，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据解析式求出函数值比较大小即可．
【详解】解：，，都在反比例函数的图象上，
，
，
，
故，
故选B．
5. 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）

A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：

由，且可知，，
由，且可知，，
∴在中，由勾股定理有：．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．
6. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠CAB等于（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意和图形，可以得到AC、BC和AB的长，然后根据等面积法可以求得CD的长，从而可以得到sin∠CAB的值．
【详解】解：作CD⊥AB，交AB于点D，
由图可得，
AC＝，BC＝2，AB＝，
∵，
∴，
解得，CD＝，
∴sin∠CAB＝，
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角函数，构造出直角三角形是解题的关键．
7. 已知点，在反比例函数（为常数）图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数图象的性质即可得到答案．
【详解】解：∵为任意常数时，成立，
∴反比例函数的图像分布于二、四象限，
∵点，在反比例函数图象上，
∴当时，一定成立，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，熟练掌握反比例函数中与图像的象限关系是解决问题的关键．
8. 如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：AF：AB=1：2：4，则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG等于( )
A. 1：2：4B. 1：4：16C. 1：3：12D. 1：3：7
【答案】C
【解析】
【分析】由于DE∥FG∥BC，那么△ADE△AFGABC，根据AD：AF：AB=1：2：4，可得出三个相似三角形的面积比，进而得出△ADE、四边形DFGE、四边形FBCG的面积比.
【详解】

设△ADE的面积为a,则△AFG和△ABC的面积分别是4a、16a;
则分别是3a、12a;
则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG= 1：3：12
故选C.
【点睛】本题主要考查相似三角形，解题突破口是根据平行性质推出△ADE△AFGABC.
9. 如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止．设点P的运动路程为(cm)，在下列图象中，能表示△ADP的面积(cm2)关于(cm)的函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．
【详解】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y=×2x=x，
当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y=×2×2=2，
符合题意的函数关系的图象是A；
故选：A．
【点睛】本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值范围．
10. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为______．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
由，可以假设，则，，证明，，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：设，
∵，
∴，，
∵四边形平行四边形，
∴，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 写出一个大于2的无理数_____．
【答案】如（答案不唯一）
【解析】
【分析】首先2可以写成，由于开方开不尽的数是无理数，由此即可求解．
【详解】解：∵2=，
∴大于2的无理数须使被开方数大于4即可，如（答案不唯一）．
【点睛】本题考查无理数定义及比较大小．熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
12. 今年“五一”假期国内旅游出行合计约人次，将用科学记数法表示为______人．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13. “二十四节”是中华上古农耕文明的智慧结晶．小明购买了一套“二十四节”主题邮票，他将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票背面朝上放在桌面上，随机抽取两张送给好朋友小军，则抽到的两张恰好是“立春”和“立夏”的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用树状图法进行分析求解即可．
【详解】解：列树状图如下：
由树状图，所有等可能的情况共有12种，其中两张恰好是“立春”和“立夏”的有2种，
∴两张恰好是“立春”和“立夏”的概率，
故答案为：．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，掌握列表格或树状图是解题关键．
14. 如图，小华站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，在点O处测得小山顶端A的仰角为，小山顶端A在水中倒影的俯角为．点O到湖面的距离，则小山的高度是______m．（结果取整数，参考数据：）

【答案】15
【解析】
【分析】作于点，根据题意，解直角三角形和即可得出结论．
【详解】解：如图所示，作于点，由题意，四边形为矩形，
∵，
∴为等腰直角三角形，，
设，
∵，
∴，，
由对称的性质，，
∴，
由题意，在中，，，
∴，即：，
解得：，经检验，是上述分式方程的解，
∴，
故答案为：15．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，轴对称的性质等，理解题干信息，合理构造并解直角三角形是解题关键．
15. 抛物线（a、b、c是常数且）经过A(4，0)、B(m，0)、C(1，n)三点，若m，n满足：，．下列四个结论：①；②当时，y随x增大而减少；③一元二次方程有一个实数根在2和3之间；④不等式的解集是．其中正确的结论是______（填写序号）．
【答案】①③④
【解析】
【分析】先根据抛物线经过的点坐标可得，再根据对称轴可得，由此可判断①；根据抛物线的对称轴，由此可判断②；先根据抛物线的对称性可得抛物线经过点，再根据可得，由此可判断③；先求出直线经过点和，再画出函数图象，结合函数图象可得不等式的解集，从而可判断④．
【详解】解：抛物线与轴交于点，经过点，且，
此抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，
，
，
此抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
，结论①正确；
，且抛物线的开口向下，
当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，则结论②错误；
抛物线的对称轴为直线，且经过点，
抛物线经过点，即点，
又，
，
一元二次方程有一个实数根在2和3之间，结论③正确；
对于直线，
当时，，
当时，，
则直线经过点和，
画函数图象如下：
结合函数图象可知，不等式的解集是，结论④正确；
综上，正确的结论是①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系、二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
16. 如图，正方形EFGH的边EF在ABC的边BC上，顶点H、G分别在边AB、AC上．如果ABC的边BC=30，高AD=20，那么正方形EFGH的边长为______________

【答案】12
【解析】
【分析】利用正方形的性质可知EH∥BC，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得△AGE∽△ACB，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长
【详解】
解：设AD交GH于M．
∵四边形EFMN是正方形，
∴HG∥BC，
∴△AGH∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴AD⊥BC，EH=HG=MD，
∴ ,
设，则，
∴，
解得： ，
∴
这个正方形的边长为12．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和平行线分线段成比例定理，是中考考查相似三角形常见题型．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊三角函数值即可解题.
【详解】解:
=
【点睛】本题考查了特殊的三角函数值得化简求值,属于简单题,熟悉三角函数值是解题关键.
18. 如图，已知，，D、C在上，且．

（1）求证：．
（2）若点C是线段的中点，交于点G，请直接写出的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线推出，，从而结合相等线段证明即可；
（2）根据相似三角形的判定与性质进行求解即可．
【小问1详解】
证：∵，，
∴，，
∵，
∴，即：，
在与中，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∵点C是线段的中点，
∴，
∴，即：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质等，掌握全等三角形和相似三角形的判定方法，以及相似三角形的基本性质是解题关键．
19. 某校为了加强学生的安全意识，组织学生参加安全知识竞赛，并从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图如图所示，根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）若组的频数比组小24，则频数分布直方图中___________，__________；
（2）扇形统计图中_____________，并补全频数分布直方图；
（3）若成绩在80分以上为优秀，全校共有2000名学生，请估计成绩优秀的学生有多少名？
【答案】（1）16；40；（2）126，图形见解析；（3）940
【解析】
【分析】（1）根据若A组的频数比B组小24，且已知两个组的百分比，据此即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得a、b的值；
（2）利用360°乘以对应的比例即可求解；
（3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．
【详解】（1）学生总数是24÷（20%−8%）＝200（人），
则a＝200×8%＝16，b＝200×20%＝40；
（2）n＝＝126°．
C组频数为200×0.25=50，频数分布直方图如下：
（3）1-8%-20%-25%=47%，2000×47%=940（名）
答：估计出全校2000名学生中成绩优秀的大约有940名.
【点睛】本题考查的是频数分布直方图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．直方图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体的思想．
20. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，BO的延长线交AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）若，求tan∠ABD．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）延长，交⊙O于点，连接、；根据直径所对圆周角为直角性质，得；根据圆周角性质，得；通过计算得；再根据圆的对称性和等腰三角形性质计算，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，延长BD交⊙O于点F，连接CF，与相交于点；通过证明，得；根据圆周角和三角形中位线的性质，得；再根据勾股定理得，通过三角函数计算即可得到答案．
【详解】（1）延长，交⊙O于点，连接、
由题意得：为⊙O直径
∴
∵AB=AC
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，即；
（2）如图，延长BD交⊙O于点F，连接CF，与相交于点
∴，
结合（1）的结论，
∴，即
又∵
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∵为⊙O直径
∴
∴
∵
∴
设，则，
中，
∴．
【点睛】本题考查了圆、直角三角形两锐角互余、等腰三角形、相似三角形、三角形中位线、勾股定理、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、相似三角形、勾股定理、三角函数的性质，从而完成求解．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，与轴交于点．
（1）求反比例函数的表达式与点坐标；
（2）请直接写出不等式的解集；
（3）若点是线段上的一个动点，作轴交反比例函数的图象于点，则的面积的最大值为______．
【答案】（1）y，
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出点A的坐标，再根据点A的坐标在反比例函数图象上求出反比例函数的表达式，设点，代入反比例函数表达式中，即可求出点B，
（2）结合图象即可得出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时的解集；
（3）设点，则，即可得出，则，再利用二次函数性质即可求解．
【小问1详解】
解：在一次函数的图象上，
，
即，
又在反比例函数图象上，
，即，
反比例函数的表达式为：，
一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，
设点，
，
，
，
或，
；
【小问2详解】
解：，即求一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时的解集，
由图象可知：当或时，；
【小问3详解】
解：由题意可知：设点，
，
，
，
当，即时，
面积的最大值为：，
故答案为：．
【点睛】本题是考查反比例函数的综合题，一次函数的应用，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
22. 如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．(结果用含有根号的式子表示)
【答案】建筑物BC的高为m．
【解析】
【分析】过点D作DH⊥BC于点H，设建筑物BC的高度为xm，则BH=（x﹣5）m，根据Rt△DHB和Rt△ACB的三角函数值得出答案．
【详解】解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：
则四边形DHCE是矩形，DH=EC，DE=HC=5，
设建筑物BC的高度为xm，则BH=（x﹣5）m，
在Rt△DHB中，∠BDH=30°，
∴DH=（x﹣5），
∴AC=EC﹣EA=（x﹣5）﹣30，
Rt△ACB中，∠BAC=60°，tan∠BAC=，
∴= 解得：x=，
答：建筑物BC的高为m．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，属于中等难度的题型．通过做辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23. 如图矩形ABCD中，AB=20，点E是BC上一点，将沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上的点G处，点F在DG上，将沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时．
（1）求证：
（2）求AD的长；
（3）求的值．
【答案】（1）见解析；（2）12；（3）
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质得出∠B=∠D=∠C=90°，由折叠的性质得出∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°，证得∠EGC=∠GFH，则可得出结论；
（2）由面积关系可得出GH：AH=2：3，由折叠的性质得出AG=AB=GH+AH=20，求出GH=8，AH=12，则可得出答案；
（3）由勾股定理求出DG=16，设DF=FH=x，则GF=16-x，由勾股定理得出方程，解出x=6，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【详解】（1）证明：因为四边形ABCD是矩形
所以
，
(2)解：
(3)解：在直角三角形ADG中，
由折叠对称性知，
解得：x=6，
所以：HF=6
在直角三角形GHF中，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
24. 如图，抛物线交轴于两点（点在点的左侧），交轴正半轴于点，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，求点的横坐标．
（3）平面上有两点，求的面积的最小值．
【答案】（1）
（2）点的横坐标为
（3）
【解析】
【分析】（1）分别令，根据，得出，进而即可求解；
（2）在线段上取点D，使，过点D作交于点E，过点C作交抛物线于点P，设，表示出，然后利用勾股定理求出，得到，求出，，然后求出，进而得到所在直线的解析式，然后求出所在直线的解析式，最后和抛物线联立求解即可；
（3）根据题意得出在上，设与平行的直线为，联立，令，得出直线根据题意当抛物线只有一个交点，过点作，连接，当时的面积的最小值，根据平行线的距离求得，进而根据三角形的面积公式即可求解；
【小问1详解】
解：∵抛物线，
当时，，又，
解得：，
∴，，
当时，，即，
∵，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
如图所示，在线段上取点D，使，过点D作交于点E，过点C作交抛物线于点P，
∵，，
∴，
∴点P即为所求，
∵，，
∴设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴，，
∴，
∴，
∴
设所在直线的解析式为，
∴，解得，
∴所在直线的解析式为，
∵，
∴设所在直线的解析式为，
将代入得，，
∴所在直线的解析式为，
∴联立抛物线和所在直线得，，
解得，，
∴点的横坐标为；
【小问3详解】
∵，，
设直线解析式为，
∴，
解得：，
∴在上，
设与平行的直线为，
联立，
即，
∴，
令，
即，
解得：，
∴直线，
当直线与抛物线只有一个交点，如图所示，过点作，连接，当时的面积的最小值，

∵，，
∴，
∵，与轴的交点分别为和，且直线与轴的夹角为，
∴，则，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和结合综合题，一次函数的图象和性质，解直角三角形，待定系数法求解析式，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．