江苏省苏州市苏州高新区实验初级中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题

这是一份江苏省苏州市苏州高新区实验初级中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】A、是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2. 和三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A. 三条角平分线的交点
B. 三边中线的交点
C. 三边上高所在直线的交点
D. 三边的垂直平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】由题意直接根据垂直平分线的性质，进行分析即可得出答案．本题考查的是垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解：根据线段垂直平分线的性质可得：和三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点．
故选：D．
3. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方是（ ）
A. 169B. 169或119C. 13或15D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】分边长为12的边为直角边和斜边两种情况，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当边长为12的边为直角边时，则第三边的长的平方为；
当边长为12的边为斜边时，则第三边的长的平方为；
综上所述，第三边长的平方是169或119，
故选B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键，在直角三角形中，如果两直角边的长为a、b，斜边的长为c，那么．
4. 等腰三角形的一个外角是，则它的顶角是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出三角形的一个内角为，然后分情况讨论：是等腰三角形的底角或是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
【详解】解：∵等腰三角形的一个外角是，
∴等腰三角形的一个内角是，
当是等腰三角形的顶角时，则顶角就是；
当是等腰三角形的底角时，则顶角是．
∴等腰三角形的顶角为或．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
5. 把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，如图所示，则所得的图形的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】从折叠的图形中剪去8个等腰直角三角形，易得将从正方形纸片中剪去4个小正方形，判断即可．
【详解】从折叠的图形中剪去8个等腰直角三角形，易得将从正方形纸片中剪去4个小正方形，
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的折叠与展开，熟练掌握展开的意义是解题的关键．
6. 如图，，进行如下操作：以射线上一点B为圆心，以线段的长为半径作弧，交射线于点C，连接，则的度数是（ ）
A. 54°B. 63°C. 117°D. 126°
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知AB=AC，由等边对等角可得；接下来根据邻补角得定义可求出的度数．
【详解】解：由题意可知AB=AC，，
．
故选C．
【点睛】本题主要考查了角计算，解题的关键是明确尺规作图的方法．
7. 如图，直线a、b分别经过等边三角形ABC的顶点A、C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A. 18°B. 42°C. 60°D. 102°
【答案】D
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质，求解即可．
【详解】解：在等边三角形ABC中
又∵
∴
故选D
【点睛】此题考查了等边三角形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
8. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 等腰三角形底边上的中线就是底边的垂直平分线
B. 等腰三角形的对称轴是底边上的高
C. 一条线段可看做是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形
D. 等腰三角形的对称轴就是顶角平分线
【答案】C
【解析】
【详解】A、三角形中，中线是连接一个顶点和它所对边的中点的连线段，而线段的垂直平分线是直线，故A错误；
B、三角形的高对应的是线段，而对称轴对应的是直线，故B错误；
C、线段是轴对称图形，对称轴为垂直平分线，故C正确；
D、角平分线对应的是射线，而对称轴对应的是直线，故D错误，
故选：C．
9. 如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（ ）

A. BD：CDB. AD：CDC. BC：ADD. BC：AC
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：如图，过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，∵BE∥AC，∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，∴△BDE∽△CDA，∴，又∵AD是角平分线，∴∠E=∠DAC=∠BAD，∴BE=AB，∴，∴AB：AC=BD：CD．故选A．

考点：角平分线的性质．
10. 如图，在四边形中，，平分，，，P，Q分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（ ）

A. 8B. 10C. 12D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】作点Q关于BD的对称点H，则，．推出，则当C、H、P三点在同一直线上，且时，为最短．得出，根据含角直角三角形的特征，求出，即可求出．
【详解】解：如图，作点Q关于BD的对称点H，则，．

∴，
∴当C、H、P三点在同一直线上，且时，为最短．
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称性质，垂线段最短，含角直角三角形的特征，解题的关键是掌握轴对称的性质；垂线段最短；含角直角三角形，角所对的边是斜边的一半；以及正确画出辅助线，确定当时，为最短．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为____．
【答案】13
【解析】
【详解】试题分析：因为等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，所以AB=AC=8，又DE垂直平分AB，所以AE=BE,所以△BEC的周长为=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13．
考点：1．等腰三角形性质；2．垂直平分线的性质．
12. 如图，在中，，平分，，则点D到的距离为________．

【答案】5
【解析】
【分析】过点D作于点E，根据角平分线的性质定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于点E，

∵，平分，，
∴，
即点D到的距离为5．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．
13. 在△ABC中，∠A=36°．当∠C=______________°，△ABC为等腰三角形．
【答案】72°、36°、108°
【解析】
【分析】在等腰三角形中，当不确定∠A为顶角还是底角时，分类处理：（1）当∠A=36°为顶角，可得底角∠C的值.（2）当∠A=36°为底角时，∠C为顶角或底角，根据内角和性质代入求解即可得出结论.
【详解】解：（1）当∠A=36°为顶角时，；
（2）当∠A=36°为底角时，∠C若为底角，则∠C=∠A=36°，
∠C若为顶角，，
故答案为72°、36°、108°
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，本题关键在于不确定等腰三角形的顶角与底角的情况下，要注意分类讨论.
14. 如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为________．
【答案】##45度
【解析】
【分析】连接，利用勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形即可．
【详解】解：连接，
由勾股定理得：，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
15. 如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为5，两边的正方形面积分别是，，则______．

【答案】5
【解析】
【分析】根据正方形的性质得，，再根据等角的余角线段得，则可根据“”判定，得到，；由勾股定理得，即．进而可以解决问题．
【详解】解：如图，

、、都是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，；
在中，由勾股定理得：，
即，
．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理和正方形的性质．解决本题的关键是结合全等三角形的性质证明线段相等．
16. 如图所示，已知△ABC的面积是36，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，则△ABC的周长是_____．

【答案】18
【解析】
【详解】如图，

过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OF=OD=4，
∵S△ABC==2·△ABC的周长，
∴△ABC的周长=36÷2=18，
故答案为18.
【点睛】本题考查了三角形面积公式和角平分线的性质.本题关键利用角平分线的性质得到三个小三角形的高相同，将大三角形的面积转化为周长与高的关系求解.
17. 是△中线，，;把△沿直线折叠，使点落在点的位置，连接,则的长为 _______ .
【答案】4
【解析】
【分析】由中线可得BD=CD，折叠可得BD=DE，∠ADB=∠ADE=60°，所以∠CDE=60°，易得△EC'D是等边三角形，即可求得CE的长．
【详解】∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
由折叠可得BD=DE，∠ADE=∠ADB=60°，
∴DE=CD，∠CDE=60°，
∴△EDC是等边三角形，
∴CE=CD=BC=4．
故答案：4.
【点睛】此题主要考查折叠的性质，综合利用了中线的定义、等边三角形的判定等知识点．
18. 如图，在直角中，，，，、分别为、上的两个动点，若使是等腰三角形且，则______．

【答案】
【解析】
【分析】先利用勾股定理求得，根据题意得到，再证明，利用相似三角形的性质列方程即可求解．
【详解】解：∵由题意得是等腰三角形且，
∴，设，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
三、解答题（本大题共9小题，共56分）
19. 如图，的顶点都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
（1）画，使它与关于直线成轴对称；
（2）在直线上找一点，使点到点的距离之和最短；
（3）在直线上找一点，使点到边的距离相等．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析 （3）图见解析
【解析】
【分析】本题考查了轴对称、两点之间线段最短、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、两点之间线段最短、角平分线的性质，从而完成求解．
（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点并依次连接即可；
（2）连接交直线l于点P，点P即为所求；
（3）连接，则是的角平分线，与直线l的交点Q即为所求．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作．
【小问2详解】
解：如图，点P即为所求作．

理由：根据（1）的结论，点A、点关于直线l成轴对称，
∴，
∴，
∴当点P在直线l和的交点处时，，为最小值，
∴当点P在直线l和的交点处时，取最小值，
即点P到点A、点B的距离之和最短；
【小问3详解】
解：如图，点Q即为所求作．
连接，根据题意得：，
∴点Q在直线l和的交点处时， 点Q到边的距离相等．
20. 如图所示，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂上颜色，请再将图中剩余的7个小正方形涂黑一个，使整个图案成为一个轴对称图形．（请用4种不同的方法涂）

【答案】作图见解析
【解析】
【分析】根据轴对称图形的性质求解即可；
【详解】根据题意作图如下：
【点睛】本题主要考查了做轴对称图形，准确作图是解题的关键．
21. 已知，如图在中，，点、在上，且，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】过A点作，交于点D，则由等腰三角形的性质可得，，利用线段的和差可得出结论．
【详解】解：过A点作，交于点D，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，过顶点作底边上的高得到垂足是底边的中点是解题的关键．
22. 如图，在中，，平分，于点．求证：直线是线段的垂直平分线．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由于，得，证，得到，，即得证．
【详解】解：证明：∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
即直线是线段的垂直平分线．
【点睛】本题考查了线段垂直平分的判定、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握垂直平分线的判定：到线段两端相等的点在线段的垂直平分线上．
23. 在四边形中，，平分．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）75°
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再根据平行的性质可得，即有，问题随之得证；
（2）利用三角形内角和以及等边对等角即可作答．
【小问1详解】
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，等边对等角，等角对等边以及角平分线的定义等知识，掌握等边对等角，等角对等边是解答本题的关键．
24. 如图所示的是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别为，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
（1）画出拼成的这个图形的示意图.
（2）证明勾股定理.
【答案】(1)详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形，利用面积的关系证明勾股定理．
【详解】解：如图①②所示．
（2）①大正方形的面积可表示为，大正方形的面积也可表示为，，即，，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
②大正方形的面积可表示为，又可以表示为，
，即，
，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
【点睛】本题考查勾股定理的证明．解题的关键是会根据所给的三角形拼出所需的图形．
25. 如图，已知在ABC中，BDAC于D，CEAB于E，M，N分别是BC，DE的中点．
（1）求证：MNDE；
（2）若BC10，DE6，求MDE的面积．
【答案】（1）见解析；（2）12
【解析】
【分析】（1）由直角三角形，线段中点的条件和定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到辅助线作法，连接进而得到等腰三角形，再根据定理“三线合一”即可证明.
（2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得等腰的腰长，且知道底的长度，那么再根据勾股定理求出高的长度即可求得的面积.
【详解】解：证明:
连接
,
,
是的中点，
同理可得,
是的中点,
;
解:
,
由可知
【点睛】本题综合考查了直角三角形斜边上的中线定理，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，观察图形，理解题意并作出辅助线，合理应用各个性质定理是解答关键.
26. 点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都是，设运动时间为．
（1）连接、交于点，则在、运动过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；
（2）连接，当运动时间为多少时，是等边三角形，并说明理由；
（3）连接，当为直角三角形时，则________s．（直接写出结果）
【答案】（1）不变，；
（2）s；
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用等边三角形的性质可证明，则可求得，再利用三角形外角的性质可证得；
（2）由为等边三角形，可得，再建立方程求解即可；
（3）当为直角三角形时，分两种情况讨论，当，而，则；当时，则，再利用含的直角三角形的性质列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵为等边三角形，
∴，
∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴在P、Q运动的过程中，不变，；
【小问2详解】
解：为等边三角形，

由题意得：，
，
，
解得：，
所以当为等边三角形时，则s；
【小问3详解】
解：当为直角三角形时，
当，而，则，
，
，
解得：，
当时，则，
，
，
解得：，
综上：当s或s时，为直角三角形．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，掌握“利用图形的性质得到边与边之间的关系，再建立方程求解”是解题的关键．
27. 如图1，在中，，点为射线上（不与、重合）一动点，在的右侧射线上方作，使得，，连接．

（1）找出图中的一对全等三角形，并证明你的结论；
（2）延长交的延长线于点，若，求出的多少；
（3）当在线段上时，若线段，的面积为3，则四边形的周长最小值是______．
【答案】（1）见解析
（2）
（3）7
【解析】
【分析】（1）根据得到即，证明即可．
（2）根据，，得到，利用平角的定义，列出等式计算即可．
（3）根据得到即，证明，得到，从而得到．从而得到四边形的周长，根据垂线段最短，得到是等腰三角形的高时最短计算即可．
【小问1详解】
，证明如下：
∵，
∴，
∴，
∵，

∴．
【小问2详解】
∵，，，
∴，
∵，
∴，

∵，
∴，
解得．
【小问3详解】
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，

∴，
∴．
∴四边形的周长，
根据垂线段最短，
∴是等腰三角形的高时最短，
∵，的面积为3，
∴，
解得，
∴四边形的周长为，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，熟练掌握三角形全等的判定和性质，垂线段最短是解题的关键．