江苏省宿迁市宿迁青华中学2023-2024年九年级上学期第三次月考数学试题

这是一份江苏省宿迁市宿迁青华中学2023-2024年九年级上学期第三次月考数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（总分150分 考试时间：120分钟）
一、选择题（认真选一选，每小题3分，共24分．）
1. 已知，则＝（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意易得，进而问题可求解．
【详解】解：由可得：，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
2. 彩民小明购买10000张彩票，中一等奖．这个事件是（ ）
A. 必然事件B. 确定性事件C. 不可能事件D. 随机事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的特点，即可解答．
【详解】解：彩民小明购买10000张彩票，中一等奖，这个事件是随机事件，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了随机事件，熟练掌握随机事件、必然事件、不可能事件的特点是解题的关键．
3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查是二次函数图象与几何变换．根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律进行求解．
【详解】解：根据题意，
∵将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，
∴所得抛物线解析式为：；
故选：B．
4. △ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB-）（2sinA-）=0，则△ABC是（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 至少一个角是60°的三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得或，即或 ，根据、均为锐角得或，分类讨论即可得．
【详解】解：∵，
∴或，
即或 ，
∵、均为锐角，
∴或，
即当或时，满足，此时三角形是有一个角是60°的三角形；当且时，满足，此时三角形为等边三角形，
综上，一定是有一个角是60°的三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用锐角三角函数求角度，三角形的判定，解题的关键是分类讨论．
5. 如图，在中，点分别在边上，与不平行，那么下列条件中，不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠A=∠A，
A、，可利用两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
B、，可利用两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
C、，不能判定两个三角形相似，故本选项符合题意；
D、，可利用两边对应成比例，及其夹角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
6. 如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】设AP=x，则BP=7-x，然后根据对应关系，分情况为：
①当△ADP∽△BCP时，可得，即，解得x=，这时有一个P点；
②当△ADP∽△BPC时，可得，即，解得x=1或x=6，因此这样的点有两个；
因此符合条件的P点共有3个.
故选C
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，解题时，先根据相似三角形的性质，和相似三角形的对应关系，列出相应的比例式，求解即可.
7. 已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A. ﹣2B. ﹣4C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解；
【详解】解：抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴，
，
；
，
将点代入函数解析式，可得；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
8. 如图，抛物线与轴交于两点、，其中．下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确的结论个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键．根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当时，即可判断②；根据对称轴为，可判断③；，数形结合即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确．
∵当时，，
∴，故②错误．
∵抛物线与x轴交于两点，其中，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
，
，
∴，故③正确；
设，，如图：
由图得，时，，故④正确．
综上，正确的共3个．
故选：C．
二、填空题（细心填一填，每小题3分，满分30分．）
9. 若y＝（m+1）x2+mx﹣1是关于x的二次函数，则m满足_____．
【答案】m≠﹣1
【解析】
【分析】利用二次函数定义可知m+1≠0，再解不等式即可；
【详解】解：由题意得：m+1≠0，
解得：m≠﹣1，
故答案为：m≠﹣1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，正确掌握二次函数的定义是解题的关键；
10. 如图，在中，，点是边上的一点，于，则边的长为_____．
【答案】4.
【解析】
【分析】根据射影定理列式计算即可．
【详解】由射影定理得，，
解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查的是射影定理，直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
11. 一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是_____．
【答案】
【解析】
【详解】分析：根据概率的计算公式．颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出各自的概率即可．
详解：用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；
用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：
Aa、Ab、Ba、Bb．
所以颜色搭配正确的概率是．
故答案为．
点睛：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
12. 已知二次函数，当时，函数值的最小值为0，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解．
【详解】解：，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
若，当时，y随x的增大而减小，
此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意；
若，当时，函数值y最小，最小值为0，
∴，
解得：或（舍去）；
综上所述，a的值为．
故答案：．
13. 如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后根据正切的定义即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，
，
，
，
同理可得：，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键．
14. 已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为____________．
【答案】1或
【解析】
【分析】函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分两种情况：第一种情况，函数图象过原点；第二种情况，函数图象与x轴只有一个交点，分别计算即可
【详解】当函数图象过原点时，函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，
此时满足，解得；
当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时，
此时满足，解得或，
当是，函数变为与y轴只有一个交点，不合题意；
综上可得，或时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点．
故答案为：1或
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质．
15. 如图，四边形中，，对角线交于点，已知，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据相似三角形的判定和性质，可以得到与的比，再根据相似三角形的性质和三角形的面积公式就可以求得的值．
【详解】解：作于点，作于点，如图所示，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16. 如图，在边长为7的正方形ABCD中放入四个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点E，F分别在边BC，AD上，则放入的四个小正方形的面积之和为___ ．
【答案】22
【解析】
【分析】作GH⊥BC，证明△GHE∽△EMN，根据相似三角形的性质得到GH=2EM，HE=2MN ，根据正方形的性质列方程求出MN，根据勾股定理、正方形的面积公式计算，得到答案.
【详解】解：如图，作GH⊥BC，
则∠HGE+∠HEG=∠HEG+∠MEN=90°,
∴∠HGE=∠MEN，
∵∠GHE=∠EMN=90°，
∴△GHE∽△EMN，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
即：，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴四个小正方形的面积之和.
故答案为：22.
【点睛】本题考查是相似三角形的判定和性质、中心对称图形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键.
17. 小明经探究发现：不论字母系数m取何值，函数的图像恒过一定点P，则P点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据不论字母系数m取何值图像恒过一定点P，取值与m无关，则字母m的系数为0，进而可得答案．
【详解】解：
当，即时，，
所以无论字母系数m取何值时，图像恒过一定点P．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，知道字母m的系数为0时，才与m的取值无关．
18. 如图，在矩形中，，点以的速度从点到点，同时点以的速度从点到点，当一个点到达终点时，则运动停止，点是边上一点，且，且是线段的中点，则线段的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，平行线分线段成比例定理，轨迹等知识，以为x轴，为y轴，D为坐标原点建立直角坐标系，连接，首先用t表示出点Q的坐标，发现点Q在直线上运动，求出的值，再根据，可得结论．
【详解】解：如图，以为x轴，为y轴，D为坐标原点建立直角坐标系，连接，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点Q在直线上运动，
点关于直线对称，
，
，
，，
，
则线段的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（智畫大比拼，决不放弃一道题，共96分．）
19. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）先根据特殊角锐角三角函数值化简，再合并，即可求解；
（2）先根据特殊角锐角三角函数值，二次根式的性质，负整数指数幂，零指数幂化简，再合并，即可求解．
【小问1详解】
解：


【小问2详解】
解：


【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数的混合运算，二次根数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20. 2023男子篮球世界杯中国男篮再一次无缘2024年巴黎奥运会，72中学篮球队针对此次失利，将失败原因分为五个选项：A．乔帅的用人不当，B．王哲林的关键失误，C．李凯尔没有发挥出应有的水平，D．缺少郭艾伦，E．姚主席制定的联赛规则有缺陷，对篮球队员进行调查，统计结果如图，请回答下列问题．
（1）此次调查的样本容量是___________，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，A选项对应的百分比是___________，本次调查数据的中位数落在___________小组内；
（3）若该中学有2000名学生，请你估计选B的同学大约有多少人？
【答案】（1）50，见解析
（2）10，C （3）400人
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图扇形统计图，用样本估计总体，样本容量，中位数，熟悉统计中的相关概念，能从统计图中获取有用信息是解题的关键
（1）将C组人数除以其所占百分比，即可求出样本容量，将样本容量减去，其他四组人数可求出B组人数，再补全条形统计图即可；
（2）将A组人数除以样本容量化为百分数，即可求出A选项对应的百分比，根据中位数的定义，可确定本次调查数据的中位数落在哪个小组；
（3）将2000乘以选项B的同学所占的比例，即可估计选B的同学大约有多少人．
【小问1详解】
样本容量为：，
故答案为：50；
B组人数为（人），
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
A选项对应的百分比是，
一共有50分数据，第25、26个数据在C组，
∴本次调查数据的中位数落在C小组内；
故答案为：10，C；
小问3详解】
（人），
∴选B的同学大约有400人．
21. 已知：如图，是的高，．求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，先由直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半，得出的长度，再由勾股定理求出的长度,再根据线段的和差得出长度，最后根据求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】∵是的高，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22. 如图，是矩形的边上的一点，于点．若，，，求线段的长度．

【答案】
【解析】
【分析】由矩形的性质及，可证得，，进而可得，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，则
∵四边形是矩形，
∴，
则，
∴，
∴，
∴，即：，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，还考查了矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
23. 如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树的高度，甲同学在点测得大树顶端的仰角为，乙同学从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点处，在此处测得大树顶端的仰角为，且斜坡的坡度为，于点，点、、在一条直线上．
（1）求乙同学从点到点的过程中，上升的竖直高度；
（2）依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：）
【答案】（1）米
（2）的高度为米
【解析】
【分析】（1）在中，，则，根据勾股定理，即可求解；
（2）如图所示（见详解），过点作于点，设米，在矩形中，米，米，在中，米，，且，由此即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴米．
∴乙同学从点到点的过程中，上升的竖直高度为米．
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，设米，
在中，，
∴米，
由（1）得米，
在矩形中，米，
米，
在中，米，
∵，且，
∴，解方程得，米，
∴大树的高度为米．
【点睛】本题主要是解直角三角形，勾股定理的应用，掌握勾股定理的运算，锐角三角函数的计算方法是解题的关键．
24. 网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，某市市长亲自在网络平台上进行直播销售板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元．设板栗公司销售该板栗的日获利为（元）．
（1）请求出日获利与销售单价之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）
（2）当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大为元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用、二次函数的性质：
（1）根据获利=（销售单价成本）日销售量，即可求解；
（2）由二次函数的性质求出的最大利润，即可求解；
求出函数关系式是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据题意可得，
化简得：，
答：日获利与销售单价之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：，
∵，对称轴为，
∴当时，由最大值为元，
∴当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大为元．
25. 如图，将抛物线平移后得到抛物线，两抛物线与轴分别交于点．抛物线的交点的横坐标是1，过点作轴的平行线，分别交抛物线于点A，．
（1）求点A的横坐标．
（2）求线段的长度．
【答案】（1）点A横坐标为
（2）的长度均为7
【解析】
【分析】此题考查二次函数的性质，准确判断点A与点E关于对称轴对称是解此题的关键．
（1）根据对称轴公式直接求抛物线的对称轴，点A、E关于对称轴对称和点E横坐标，求出点A横坐标；
（2）求出C、D的坐标即可求出的长．
【小问1详解】
解：抛物线的对称轴为直线，
轴，
又A、E两点关于对称轴对称，E点横坐标为1，
，
解得：，
∴点A的横坐标为．
【小问2详解】
解： 点E是抛物线与抛物线的交点，
，
，
，
令，
则，
；
∴的长度均为7．
26. 如图，在中，，，垂足为点是的中点，的延长线与的延长线交于点．

（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半得出，可得进而证明，即可证明，根据相似三角形的性质，即可得证；
（2）证明可得，由（1）可得，进而即可得证．
【小问1详解】
证明：∵，是的中点，
∴，，
∴，
又，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
27. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/秒，点Q的速度是2cm/秒．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）如图，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）如图，Q在CB上，是否存着某时刻，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）或；（2）存在；．
【解析】
【分析】（1）如图1（1），当∠AQP=90°时， ，由相似三角形的性质就可以求出t值，如图1（2）当∠APQ=90°时，就有 ，由相似三角形的性质就可以求出其t值；
（2）如图2，当 时根据相似三角形的性质就有，再根据已知条件就可以求出t的值．
【详解】（1）在中，由勾股定理，得：cm．
∵cm，cm，
∴，
如图1（1），当时，，
∴．
∴，解得：，
如图1（2），当时，，
∴，
∴，解得：．
综上所述，或时，以点、、为顶点的三角形与相似；
（2）如图，当时，则．
∵，cm，
∴，解得：，
∴时，在上，以点、、为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题主要考查相似三角形的动点问题，掌握勾股定理，相似三角形的判定及性质定理，分类讨论思想，是解题关键．
28. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线经过两点，连接．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点为直线上方的抛物线上的一动点（点不与点重合），连接，设四边形的面积为，求的最大值；
（3）若点在平面直角坐标系内一点，则在抛物线上是否存在一点，使得以四点为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）的最大值为；
（3）点坐标为或或或．
【解析】
【分析】（1）将代入，即可求解；
（2）过作轴于点，与交于点，设，则，则，当时，的最大值为；
（3）设点的横坐标为t，分三种情况讨论：①当为边，点在上方时；②当为边，点在上方时；③当为对角线时，计算即可求解．
【小问1详解】
解：将代入，
，
解得：，
；
【小问2详解】
解：过作轴于点，与交于点，
，，
，
当时，，
，
，
设，则，
，
，
，
当时，的最大值为；
【小问3详解】
解：存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
，，
∴，，作轴于点，设点的横坐标为t，
①当为边，点在上方时，如图，作于点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴点的坐标为，
∴，
解得（舍去），，
∴点的坐标为；
②当为边，点在上方时，如图，
同理，，
∴点的坐标为，
∴，
解得（舍去），，
∴点的坐标为；
③当为对角线时，如图，作于点，
∴，，，，∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得（舍去），（舍去），，
∴点的坐标为或，
综上所述：点坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．