四川省自贡市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份四川省自贡市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知某新型流感病毒的直径约为米，将用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，将原数表示成形式为（，n为正整数），确定a和n的值成为解答本题的关键．
【详解】解：．
故选B．
2. 下列几何图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
3. 能与长为的两根木条首尾顺次相接钉成一个三角形的木条长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，设要选取的木条长度是，由此得到，即可得到答案．
【详解】解：设要选取的木条长度是，
∴，
∴，
∴要选取的木条长度是，
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方和负整数指数幂的含义，熟知相关计算法则是解题的关键．根据同底数幂乘除法计算法则，幂的乘方和负整数指数幂的含义逐一分析即可．
【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选A．
5. 如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点和，连接．若，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，由和三角形的内角和定理得出，又由是的垂直平分线，即得出，则，所以，最后根据三角形的外角性质即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
6. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据定义逐一判定即可得答案．
【详解】解：A、，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；
B、，等式左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不合题意；
C、，等式的右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项不合题意；
D、，是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
7. 如图，的和 的外角角平分线交于点，若，，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，延长至，使，连接，， 由“” 可证. 可得，设，由等腰三角形的性质可得，根据角平分线定义求出，，根据平角定义求出，再根据三角形外角的性质可求解，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
【详解】如图， 延长至，使，连接，，交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵的和的外角角平分线交于点，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
故选：．
8. 如图，在和中，，，，，连接， 交于点 H，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤直线平分线段．其中正确的结论有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定以及性质，角平分线的判定以及性质，三角形的外交性质定理．由证明得出，，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得∶ ，得出，②正确；作于G，于M，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；假设平分，则，由平分，，利用推出，得，而，故③错误；根据题意，无法求证直线平分线段，故⑤错误，即可得出结论．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
即，
在和中
，
∴，
∴，．
故①正确，符合题意；
由三角形的外角性质得∶
，
∴，
故②正确，符合题意；
作于G，于M，如图所示
则，
在和中
∴，
∴．
∴平分，
故④正确，符合题意；
假设平分，则，
∴
∵平分，
∴，
在和中
∴，
∴，
与矛盾，
故③错误，不符合题意，
根据题意，无法求证直线平分线段
故⑤错误，不符合题意；
则正确的个数有3个；
故选∶B．
二、填空题（本题有 6个小题，每小题 3分，共计18分）
9. 若分式有意义，则x的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件计算即可；
【详解】∵分式有意义，
∴，
∴；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，准确计算是解题的关键．
10. 约分：_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的约分化简，根据分式的基本性质，进行约分即可．
【详解】解：；
故答案为：．
11. 如图，在中，是高，角平分线，相交于点O，，，则 的度数是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查是三角形的高的含义，角平分线的含义，先计算，，，，再利用三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：是的高，
，
，，
，
∵平分，，
∴，
，
，
分别平分，
∴，
，
．
故答案为：
12. 已知，则_________．
【答案】24
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式运用，以及已知式子的值，求代数式的值，由已知条件得出，进一步得出，，然后利用完全平方公式变形即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：24．
13. 一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则从这个多边形的一个顶点出发共有_________条对角线．
【答案】5
【解析】
【分析】首先设这个多边形有n条边，由题意得方程（n-2）×180=360×2，再解方程可得到n的值，然后根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线可得答案．
【详解】解：设这个多边形有n条边，由题意得：
（n-2）×180=360×3，
解得n=8，
从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是8-3=5，
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和外角，以及对角线，关键是掌握多边形的内角和公式．
14. 如图，已知锐角的面积为 42，，，点C是边上一动点，点E，F 是， 边上异于端点的两个动点，当的周长最小时，点 O 到线段的距离是_________．

【答案】
【解析】
【分析】作点C关于的对称点P，作点C关于的对称点Q，连接，交于点E，交于点Q，连接，，，，，过点O作于点M，根据轴对称的性质得出，，说明最小时，的周长最小，求出，根据等腰三角形的性质得出，，根据勾股定理求出，得出，说明当最小时，最小，的周长最小，根据等积法求出，即可得出．
【详解】解：作点C关于的对称点P，作点C关于的对称点Q，连接，交于点E，交于点Q，连接，，，，，过点O作于点M，如图所示：

根据对称性可知，，，，，，，
∴，，
∴最小时，的周长最小，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，的周长最小，
∵垂线段最短，
∴当时，最小，
∵，，
∴此时，
∴，
∴，
即此时点 O 到线段距离是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，点到直线的距离，解题的关键是作出辅助线，说明当最小时，的周长最小．
三、解答题（本题有5个小题，每小题5分，共计25分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是整式的混合运算，先利用完全平方公式与单项式乘以多项式计算乘法运算，再合并同类项即可．
【详解】解：原式．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【详解】原方程去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为得：，
检验：将代入得，
故原分式方程的解为．
17. 如图，已知中，，D为的中点，，垂足分别是点E、F，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键．
由等边对等角可得，垂直的定义可得，中点的定义可得，然后证得，最后根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵D为的中点，
∴，
在与中，，
∴，
∴．
18. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了含乘方的分式的乘除混合运算，先算乘方，然后把除法转化为乘法，最后化简即可．
【详解】解：原式
．
19. 如图，在中，，，要把图纸上的这块三角形土地均分给甲、乙、丙三家农户，并使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请在图上画出分割图.（要求；尺规作图，要写出作法，并保留作图痕迹.）
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了应用与设计作图，三角形内角和定理．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．作边的垂直平分线，连接．
【详解】解：如图所示：
作法：作边的垂直平分线，分别交，于点，，连接，则，，即为分出的三块地．
四、解答题（本题有3个小题，每小题6分，共计18分）
20. 自贡彩灯文化历史悠久，盐、龙、灯被称为自贡的“大三绝”．师徒二人制作某种彩灯，师父每天比徒弟多做5个，师父做80个所用的时间与徒弟做60个所用的时间相等．
（1）求师父每天做彩灯多少个？
（2）春节前夕，有600个该种彩灯需要制作．若师父工价是每天300元，徒弟每天250元，总预算费用不超过 9200 元，则最多可安排徒弟做多少天？
【答案】（1）师父每天做彩灯20个
（2）最多能安排徒弟做8天
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键；
（1）设师父每天做彩灯个，利用师父做80个所用的时间与徒弟做60个所用的时间相等，再建立方程求解即可；
（2）设师父做天，徒弟做天刚好完成制作任务，可得：，利用总预算费用不超过 9200 元，再建立不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设师父每天做彩灯个，
则．
解得，经检验，符合题意，
答：师父每天做彩灯20个．
【小问2详解】
设师父做天，徒弟做天刚好完成制作任务．
由题意得，
由①得：③，
把③代入②得：，
∴，
解得．
答：最多能安排徒弟做8天．
21. 如图，在中，点，，的坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的图形，并写出点，，的坐标；
（2）求以，，，为顶点的四边形的面积．
【答案】（1）图见解析，、、；
（2）10
【解析】
【分析】本题主要考查作图—轴对称变换，解题关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
（1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可得出答案；
（2）根据梯形的面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求，
由图知，、、；
【小问2详解】
解：由图知，，
以，，，为顶点的四边形的面积为．
22. 如图，在中，，是边上的中线，交于点E．求证：．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，根据已知条件结合等腰三角形的性质得出，，由平行线的性质得出，，从而得出，再利用角的关系得出，，即可得出．
【详解】证明：∵是边上的中线，
∴，
又，
，．
，
，
，
，
又∵，
，
，
．
五、解答题（本题共有2个小题，23题7分，14题8分，共15分）
23. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：，因此4，12，20都是“神秘数”
（1）请说明36是否为“神秘数”；
（2）证明：“神秘数”一定是4的倍数；
（3）2000是“神秘数”吗？请说明理由．
【答案】（1）详见解析
（2）详见解析 （3）2000不是“神秘数”
【解析】
【分析】本题考查新定义的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．注意应用已得到的结论．
（1）假设36是神秘数，看36是否能表示为两个连续偶数的平方差即可判断是否为“神秘数”；
（2）设两个连续偶数为和，为正整数，看较大偶数与较小偶数的平方差是否是4的倍数即可；
（3）把2000代入（2）得到的式子中，看是否符合实际意义．
【小问1详解】
解：假设36是“神秘数”，可表示为两个连续偶数和的平方差，
则，
解得，
，
，因此假设成立，36是“神秘数”；
【小问2详解】
证明：设两个连续偶数为和，为正整数，
，
为正整数，
为正整数，
“神秘数”，一定是4的倍数；
【小问3详解】
解：2000不是“神秘数”.
假设2000是“神秘数”，由（2）得，解得，
不是整数，
假设不成立，
不是“神秘数”．
24. 如图1所示，在中，，点是线段延长线上一点，且．点是线段上一点，连接，以为斜边作等腰，连接，且．
（1）若，垂足为，求证：；
（2）如图2，若点是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）由，，得，而，，则，，即可根据“”证明，得，再证明，得，则；
（2）作交的延长线于点，可证明，得，再证明，得，则．
【小问1详解】
证明：如图1，，，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
理由：如图2，作交的延长线于点，则，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．