2023-2024学年四川省内江六中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省内江六中八年级（上）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列式子有意义的是( )
A. −3B. −32C. − (−3)2D. −(−3)2
2.已知x，y是实数， 3x+4+y2−6y+9=0，则xy的值是( )
A. 4B. −4C. 94D. −94
3.下列计算正确的是( )
A. 3−8=−2B. − 3.6=−0.6C. (−13)2=−13D. 25=±5
4.下列各数：π， 5，227，0.01020304，− 49，3.14中无理数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.下列运算中正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a2⋅a4=a8C. (a2)3=a5D. (a2)3=a6
6.若9x2−kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值为( )
A. 6B. ±6C. 12D. ±12
7.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A. x2+4y2B. x2−2y+1C. x2−4y2D. −x2−4y2
8.若m−n=−2，mn=1，则m3n+mn3=( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
9.一个三角形的面积是8(a2b)3，它的一边长是(2ab)2，那么这条边上的高为( )
A. 2a4bB. 4a4bC. 2a3bD. 4a3b
10.已知a，b，c是正整数，a>b，且a2−ab−ac+bc=13，则a−c等于( )
A. −1B. −1或−13C. 1D. 1或13
11.实数a的相反数是2023，那么实数a是( )
A. 2023B. −2023C. 12023D. 20232
12.计算(x−y+3)(x+y−3)时，下列各变形中正确的是( )
A. [(x−y)+3][(x+y)−3]B. [(x+3)−y][(x−3)+y]
C. [x−(y+3)][x+(y−3)]D. [x−(y−3)][x+(y−3)]
二、填空题（本题共8小题，共24分）
13.(−4)2的平方根是______．
14.若(2x)2=2x+1，则x= ______．
15.已知实数m，n满足m2+n2=2+3mn，则(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)的最小值为______．
16.已知a=120x+20，b=120x+19，c=120x+21，则代数式a2+b2+c2−ab−bc−ca的值是______．
17.整数a、b、c是△ABC的三条边(a18.若x2−5x+2=0，则2x3−7x2−11x+2020的值为______．
19.已知实数x，y，z满足x=6−y，z2=xy−9，则x2+y2+z2的值是______．
20.若(x−2022)2+(x−2024)2=100，则(x−2023)2= ______．
三、解答题（本题共8小题，共70分）
21.计算：
(1)(4a2−6ab+2a)÷2a；
(2)(a+b+c)(a−b+c)；
(3)20142−2013×2015；
(4)(1−122)(1−132)(1−142)⋅⋅⋅(1−1992)(1−11002)．
22.因式分解：
(1)a(x−3)+2b(x−3)；
(2)13x2−2x+3；
(3)x2−2xy−3y2．
23.已知9n+1−32n=72，求n的值．
24.已知：3a+1的立方根是−2，2b−1的算术平方根是3，c是 10的整数部分．
(1)求a、b、c的值；
(2)求2b−a+c的平方根．
25.如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为6和9．
(1)小正方形的边长为______，它在______和______这两个连续整数之间；
(2)请求出图中阴影部分的面积.(结果保留根号)
26.阅读下列解答过程：
已知：x≠0，且满足x2−3x=1.求：x2+1x2的值．
解：∵x2−3x=1，∴x2−3x−1=0
∴x−3−1x=0，即x−1x=3．
∴x2+1x2=(x−1x)2+2=32+2=11．
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知a≠0，且满足(2a+1)(1−2a)−(3−2a)2+9a2=14a−7，
求：(1)a2+1a2的值；(2)a25a4+a2+5的值．
27.阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2+2ab+b2=(a+b)2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．
例如：①我们可以将代数式a2+6a+10进行变形，其过程如下a2+6a+10=(a2+6a)+10
=(a2+6a+9)+10−9=(a+3)2+1．
∵(a+3)2≥0，
∴(a+3)+1≥1．
因此，该式有最小值1．
②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0将其变形，a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2=0，a2+2a(b+c)+(b+c)2=0，可得(a+b+c)2=0．
(1)按照上述方法，将代数式x2+8x+20变形为a(x+ℎ)2+k的形式；
(2)若p=−x2+2x+5，求p的最大值；
(3)已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2−2b(a+c)=0，试判断此三角形的形状并说明理由．
28.定义：任意两个数a，b，按规则c=(a+1)(b+1)运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”．
(1)若a=4，b=−2，求a，b的“和积数”c；
(2)若ab=12，a2+b2=8，求a，b的“和积数”c；
(3)已知a=x+1，且a，b的“和积数”c=x3+4x2+5x+2，求b(用含x的式子表示)并计算a+b的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 −3无意义，故A不符合题意．
B、 −32无意义，故B不符合题意．
C、原式=− 9=−3，故C符合题意．
D、 −(−3)2无意义，故D不符合题意．
故选：C．
二次根式有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了非负数的性质
首先根据非负数的性质可求出x、y的值，进而可求出xy的值．
【解答】
解：原式可化为： 3x+4+(y−3)2=0，
则3x+4=0，即x=−43；y−3=0，即y=3；
∴xy=−43×3=−4．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：A、3−8=−2，故选项正确；
B、−0.36开平方=−0.6，故选项错误；
C、原式=13，故选项错误；
D、原式=5，故选项错误．
故选：A．
A、根据立方根的定义即可判定；
B、根据算术平方根的定义即可判定；
C、根据算术平方根的性质化简即可判定；
D、根据算术平方根的定义即可判定．
此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，注意：算术平方根只有一个，是正值．
4.【答案】B
【解析】解：− 49=−7，π， 5，227，0.01020304，− 49，3.14，中无理数有π， 5，
共2个，
故选：B．
无限不循环小数叫做无理数，据此逐个判定即可
本题考查无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数．
5.【答案】D
【解析】解：A.a2和a3不是同类项，不能合并，原式计算错误；
B.a2⋅a4=a6，原式计算错误；
C.(a2)3=a6，原式计算错误；
D.(a2)3=a6，正确；
故选：D．
根据合并同类项，同底数幂的乘法和幂的乘方法则逐项判断即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵9x2−kxy+4y2是完全平方式，
∴−kxy=±2×3x⋅2y，
解得k=±12．
故选D．
本题考查完全平方公式的灵活应用，这里首末两项是3x和2y的平方，那么中间项为加上或减去3x和2y的乘积的2倍．
本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．
7.【答案】C
【解析】解：A.x2+4y2无法分解因式，故此选项不合题意；
B.x2−2y+1无法分解因式，故此选项不合题意；
C.x2−4y2=(x−2y)(x+2y)，故此选项符合题意；
D.−x2−4y2无法分解因式，故此选项不合题意；
故选：C．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了提取公因式法的应用以及完全平方公式的应用，正确得出m2+n2=6是解题关键．直接利用完全平方公式得出m2+n2=6，进而提取公因式分解因式得出答案．
【解答】
解：∵m−n=−2，mn=1，
∴(m−n)2=4，
∴m2+n2−2mn=4，
则m2+n2=6，
∴m3n+mn3=mn(m2+n2)
=1×6
=6．
故选A．
9.【答案】B
【解析】解：由题意，∵三角形的面积=边×高÷2，∴高=2×面积÷边．又一个三角形的面积是8(a2b)3，它的一边长是(2ab)2，∴这条边上的高为2×8(a2b)3÷(2ab)2=16a6b3÷4a2b2=4a4b.故选：B．
依据题意，由三角形的面积公式可得高，进而计算可以得解．
本题主要考查了整式的除法的应用以及三角形的面积计算公式，解题时要熟练掌握并理解是关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵a2−ab−ac+bc=13，
∴(a2−ac)+(−ab+bc)=13，
∴a(a−c)−b(a−c)=13，
∴(a−b)(a−c)=13，
∵a，b，c是正整数，a>b，
∴a−b=1或13，a−c=13或1，
故选：D．
根据因式分解的分组分解法，a2−ab−ac+bc=(a−b)(a−c)=13，再根据a，b，c是正整数，a>b，可得出(a−c)的值．
本题主要考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式．
11.【答案】B
【解析】解：∵实数a的相反数是2023，
∴a=−2023，
故选：B．
直接利用相反数的定义分析得出答案．
本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，解题的关键是正确把握定义．
12.【答案】D
【解析】解：(x−y+3)(x+y−3)=[x−(y−3)][x+(y−3)]，
故选：D．
本题是平方差公式的应用，x是相同的项，互为相反项是(y−3)，对照平方差公式变形即可．
本题主要考查了二次根式的乘法运算以及平方差公式的应用．运用平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
13.【答案】±4
【解析】【分析】
此题主要考查了平方根的定义，属于基础题．
算出(−4)2=16，然后根据平方根的定义求16的平方根即可．
【解答】
解：∵(−4)2=16，
∴16平方根是±4．
∴(−4)2的平方根是±4．
故答案为：±4．
14.【答案】1
【解析】解：∵(2x)2=2x+1，
∴22x=2x+1，
∴2x=x+1，
∴x=1，
故答案为：1．
先根据幂的乘方，底数不变，指数相乘计算(2x)2，然后得出2x=x+1，求解即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键．
15.【答案】445
【解析】解：∵m2+n2=2+3mn，
∴(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)
=4m2+9n2−12mn+m2−4n2
=5m2+5n2−12mn
=5(2+3mn)−12mn
=10+3mn，
∵m2+n2=2+3mn，
∴(m+n)2=2+5mn≥0(当m+n=0时，取等号)，
∴mn≥−25，
∴(m−n)2=2+mn≥0(当m−n=0时，取等号)，
∴mn≥−2，
∴mn≥−25，
∴3mn≥−65，
∴10+3mn≥445，
即(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)的最小值为445．
故答案为：445．
先化简(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)=10+3mn，再判断出mn≥−25，即可求出答案．
本题考查了配方法，完全平方公式，整式的乘法等，化简(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)是解答本题的关键．
16.【答案】3
【解析】解：由a=120x+20，b=120x+19，c=120x+21，
得(a−b)120x+20−120x−19=1，
同理得：(b−c)=−2，(c−a)=1，
∴a2+b2+c2−ab−bc−ac，
=12(2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac)，
=12[(a2−2ab+b2)+(a2−2ac+c2)+(b2−2bc+c2)]，
=12[(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2]，
=12×(1+1+4)=3．
故答案为3．
已知条件中的几个式子有中间变量x，三个式子消去x即可得到：a−b=1，a−c=−1，b−c=−2，用这三个式子表示出已知的式子，即可求值．
本题若直接代入求值会很麻烦，为此应根据式子特点选择合适的方法先进行化简整理，化繁为简，从而达到简化计算的效果，对完全平方公式的灵活运用是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(4a2−6ab+2a)÷2a
=4a2÷2a−6ab÷2a+2a÷2a
=2a−3b+1；
(2)原式=[(a+c)+b][(a+c)−b]
=(a+c)2−b2
=a2+2ac+c2−b2；
(3)原式=20142−(2014−1)×(2014+1)
=20142−20142+1
=1．
(4)原式=(1−12)(1+12)(1−13)(1+13)(1−14)(1+14)⋅⋅⋅(1−199)(1+199)(1−1100)(1+1100)
=12×32×23×43×34×54×⋅⋅⋅×9899×10099×99100×101100
=12×101100
=101200．
【解析】(1)根据多项式除以单项式法则进行计算即可；
(2)先变形，再根据平方差公式进行计算，最后根据完全平方公式进行计算即可；
(3)先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可；
(4)先根据平方差公式进行计算，再算乘法即可．
本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
18.【答案】解：(1)a(x−3)+2b(x−3)
=(x−3)(a+2b)；
(2)13x2−2x+3
=13(x2−6x+9)=13(x−3)2；
(3)x2−2xy−3y2
=(x+y)(x−3y)．
【解析】(1)提取公因式(x−3)即可；
(2)提取系数13后构成完全平方式分解即可；
(3)十字相乘法分解因式即可．
本题考查了因式分解中提取公因式法和十字相乘法，熟练掌握这两种方法是解答本题的关键．
19.【答案】解：∵9n+1−32n=9n+1−9n=9n(9−1)=9n×8，而72=9×8，
∴当9n+1−32n=72时，9n×8=9×8，
∴9n=9，
∴n=1．
【解析】由于72=9×8，而9n+1−32n=9n×8，所以9n=9，从而得出n的值．
主要考查了幂的乘方的性质以及代数式的恒等变形．本题能够根据已知条件，结合72=9×8，将9n+1−32n变形为9n×8，是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)∵3a+1的立方根是−2，
∴3a+1=(−2)3=−8，
∴a=−3，
∵2b−1的算术平方根是3，
∴2b−1=32=9，
∴b=5，
∵ 9< 10< 16，
∴3< 10<4，
∵c是 10的整数部分，
∴c=3；
(2)由(1)可知，a=−3，b=5，c=3，
∴2b−a+c=2×5−(−3)+3=16，
∴2b−a+c的平方根是±4．
【解析】(1)根据立方根、算术平方根以及无理数的估算，即可求出a、b、c的值；
(2)将(1)所求的a、b、c的值代入计算，再利用平方根的定义，即可得到答案．
本题考查了立方根、算术平方根、平方根、无理数的估算、代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题关键．
21.【答案】解：(1) 6，2，3；
(2)阴影部分的面积为： 6×(3− 6)=3 6−6．
【解析】解：(1)∵小正方形的面积为6，
∴小正方形的边长为 6，
∵4<6<9，
∴2< 6<3，
∴它在2和3这两个连续整数之间．
故答案为： 6；2；3．
(2)见答案．
(1)根据算术平方根可得小正方形的边长，估算 6在2和3之间；
(2)利用面积计算公式可得结论．
本题考查列代数式和算术平方根问题，得到两个正方形的边长是解决本题的关键．
22.【答案】17
【解析】解：∵△ABC的周长为30．
∴a+b+c=30．
∴a+b=30−c，
而a+b>c，
则30−c>c，
∴c<15，
∵a∴10∴c2+18a+18b−446
=c2+18(a+b)−446
=c2+18(30−c)−446
=(c−9)2+13，
∵c是整数，
∴当c=11时，c2+18a+18b−446的值最小，且为17．
故答案为：17．
根据三角形的周长得到a+b=30−c，整体代入c2+18a+18b−446，得到(c−9)2+13，利用三角形的三边关系求出10本题考查了三角形的三边关系，完全平方公式，因式分解的应用，解题的关键是掌握三角形的三边关系，完全平方公式，因式分解的应用，正确求出c的取值范围．
23.【答案】2014
【解析】解：∵x2−5x+2=0，
∴2x3−7x2−11x+2020
=2x(x2−5x+2)+3(x2−5x+2)+2014
=2014，
故答案为：2014．
先把代数式进行变形，再整体代入求解．
本题考查了因式分解的应用，整体代入求解是解题的关键．
24.【答案】18
【解析】解：∵x=6−y，
∴z2=xy−9=y(6−y)−9=−(y−3)2，
∴z2+(y−3)2=0，
∴z=0，且y=3，
∴x=6−y=3，
∴x2+y2+z2=18．
先把x=6−y代入第二个等式，得到z2+(y−3)2=0，再根据非负数的性质求出y和z的值，进而求出x的值，再代入求解．
本题考查了因式分解的应用，非负数的性质是解题的关键．
25.【答案】49
【解析】解：∵(x−2022)2+(x−2024)2=100，
∴[(x−2023)+1]2+[(x−2023)−1]2=100，
∴(x−2023)2+2(x−2023)+1+(x−2023)2−2(x−2023)+1=100，
∴2(x−2023)2+2=100，即(x−2023)2=49，
故答案为：49．
先根据题中数据关系，将已知方程变形为[(x−2023)+1]2+[(x−2023)−1]2=100，然后利用完全平方公式展开求解即可．
本题考查完全平方公式的运用，解答的关键是熟练灵活运用完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．
26.【答案】解：(1)(2a+1)(1−2a)−(3−2a)2+9a2=14a−71−4a2−(9−12a+4a2)+9a2−14a+7=0，
整理得：a2−2a−1=0
∴a−1a=2，
∴a2+1a2=(a−1a)2+2=4+2=6；
(2)解：a25a4+a2+5的倒数为5a4+a2+5a2，
∵5a4+a2+5a2=5a2+5a2+1=5(a2+1a2)+1=5×6+1=31，
∴a25a4+a2+5=131．
【解析】(1)根据题意可得a−1a=2，再利用完全平方公式计算即可；
(2)根据倒数的定义和完全平方公式计算即可．
此题考查完全平方公式，关键是根据完全平方公式进行变形解答．
27.【答案】解：(1)原式=(x2+8x)+20
=(x2+8x+16)+20−16
=(x+4)2+4；
(2)原式=−(x2−2x+1)+6=−(x−1)2+6，
∴x=1时，p的最大值6；
(3)△ABC是等边三角形；
∵a2+2b2+c2−2b(a+c)=0，
∴(a2−2ab+b2)+(b2−2bc+c2)=0，
∴(a−b)2+(b−c)2=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形；
【解析】(1)(2)利用配方法即可解决问题；
(3)先配方，然后利用非负数的性质即可解决问题．
本题考查配方法的应用，非负数的性质等知识，解题的关键是灵活运用配方法解决问题，属于中考常考题型．
28.【答案】解：(1)由题意得，c=(4+1)(−2+1)=−5．
即所求a，b的“和积数”c为−5．
(2)由题意，c=(a+1)(b+1)=ab+a+b+1．
∵ab=12，a2+b2=8，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=8+1=9．
∴a+b=±3．
∴c=12+3+1=92或c=12−3+1=−32．
∴c=92或c=−32．
(3)由题意，c=(a+1)(b+1)，
∵a=x+1，c=x3+4x2+5x+2=x3+2x2+2x2+5x+2=x2(x+2)+(2x+1)(x+2)=(x+2)(x2+2x+1)，
∴(x+2)(b+1)=(x+2)(x2+2x+1)．
①若x=−2，式子(x+2)(b+1)=(x+2)(x2+2x+1)变为0⋅(b+1)=0．
∴b为任何数，a+b不存在最小值．
②若x≠−2，又(x+2)(b+1)=(x+2)(x2+2x+1)，
∴b+1=x2+2x+1．
∴b=x2+2x．
∴a+b=x2+2x+x+2=x2+2x+x+2=x2+3x+2=x2+3x+94−14=(x+32)2−14．
∴当x=−32时，a+b有最小值为−14．
【解析】(1)依据题意，根据“和积数”的定义，代入数据可以得解；
本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用．