2022-2023学年四川省泸州市江阳区泸南中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省泸州市江阳区泸南中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若二次根式 x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x>2B. x≥2C. x<2D. x≤2
2.下列计算正确的是( )
A. 2+ 5= 7B. 5− 2= 3C. 2× 5= 10D. 5÷ 2=52
3.下列四个二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 9B. 13C. 12D. 7
4.下列各组数据中，能构成直角三角形的是( )
A. 3， 4， 5B. 6，7，8C. 2，3，4D. 8，15，17
5.如图，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.下列命题中，正确的是( )
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形
B. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C. 两组邻角相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
7.如图，正方形网格中，每个正方形的边长为1，则网格上的△ABC中，BC边的长度是( )
A. 13
B. 5
C. 13
D. 37
8.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( )
A. B. C. D.
9.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=6，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是( )
A. 10B. 16C. 20D. 22
10.实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a−1|+ (a−2)2=( )
A. −1B. 2a−3C. 3−2aD. 1
11.如上图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D’处，则重叠部分△AFC的面积为( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
12.如图，在正方形ABCD的外侧作等边△CDE，对角线AC与BD相交于点O，连接AE交BD于点F，若OF=1，则AB的长度为( )
A. 2B. 6C. 2 2D. 3
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.计算：( 3)2= ______； (−7)2= ______； 20= ______．
14.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面______(填“合格”或“不合格”)．
15.命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是______．
16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF=AB，G是五边形AEFCD内满足GE=GF且∠EGF=90°的点.现给出以下结论：
①∠GEB与∠GFB一定互补；
②点G到边AB，BC的距离一定相等；
③点G到边AD，DC的距离可能相等；
④点G到边AB的距离的最大值为2 2．
其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：( 3)0−( 2)2+(12)−1−(−1)2023．
18.(本小题6分)
计算： 33× 24+ 18− 8
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点求证：CD=EF．
20.(本小题7分)
先化简，再求值：(1+1−2aa2)×aa−1，其中a= 3．
21.(本小题7分)
如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°.求四边形ABCD的面积．
22.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
(1)求证：CE=AD；
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
23.(本小题8分)
如图，一艘轮船从A港向南偏西50°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km(即AD=60km)．
(1)若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间；
(2)请你判断C岛在A港的什么方向，并说明理由．
24.(本小题12分)
阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用，其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：
7− 6=( 7− 6)( 7+ 6) 7+ 6=1 7+ 6
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 7− 6和 6− 5的大小可以先将它们分子有理化如下：
7− 6=1 7+ 6 6− 5=1 6+ 5
因为 7+ 6> 6+ 5，所以 7− 6< 6− 5
再例如：求y= x+2− x−2的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0，x−2≥0可知x≥2，而y= x+2− x−2=4 x+2+ x−2
当x=2时，分母 x+2+ x−2有最小值2，所以y的最大值是2
解决下列两题：
(1)比较3 2−4和2 3− 10的大小；
(2)求y= 1−x+ 1+x− x的最大值和最小值．
25.(本小题12分)
如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．
(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
(2)当△ABQ的面积是正方形ABCD面积的16时，求DQ的长；
(3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意得x−2≥0，
解得x≥2，
即x的取值范围是x≥2．
故选：B．
根据二次根式有意义的条件得到x−2≥0，然后解不等式即可．
本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
2.【答案】C
【解析】解：A、 2与 5不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、 5与− 2不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；
C、 2× 5= 10，故C符合题意；
D、 5÷ 2= 102，故D不符合题意；
故选：C．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】D
【解析】解：A． 9=3，故A不符合题意；
B. 13= 33，故B不符合题意；
C. 12=2 3，故C不符合题意；
D. 7是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
知道三条边的长度，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形是直角三角形；如果不相等，则三角形不是直角三角形．
【解答】
解：A：( 3)2+( 4)2≠( 5)2，不能构成直角三角形，故本选项错误；
B：62+72≠82，不能构成直角三角形，故本选项错误；
C：22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项错误；
D：82+152=172，能构成直角三角形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】
本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】
根据平行四边形的性质和角平分线的定义可以推导出∠BAE=∠BEA，可得BE=AB=3，又BC=AD=5，利用BC−BE即可求得EC．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BE=AB=3，
∵BC=AD=5，
∴EC=BC−BE=5−3=2．
故选B．
【点评】
本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
6.【答案】D
【解析】【分析】
分别根据菱形、矩形、平行四边形及正方形的判定定理对各选项逐一分析判断即可．
【解答】
解：A：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项错误；
B：对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故本选项错误；
C：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；
D：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】
本题主要考查了菱形、矩形、平行四边形及正方形的判定，熟练掌握菱形、矩形、平行四边形及正方形的判定定理是解答本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由图可得，
BC= 22+32= 4+9= 13，
故选：A．
根据图形，利用勾股定理可以求得BC的长．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】D
【解析】解：A、∵12ab+12c2+12ab=12(a+b)(a+b)，
∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×12ab+c2=(a+b)2，
∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×12ab+(b−a)2=c2，
∴整理得：a2+b2=c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．
9.【答案】C
【解析】【分析】
由平行四边形的性质和已知条件易求OC+OD，再由AC=2OC，BD=2OD，即可求出AC与BD的和．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，
∵△OCD的周长为16，
∴OC+OD=16−CD=16−6=10，
∵AC=2OC，BD=2OD，
∴AC+BD=2OC+2OD=2(OC+OD)=2×10=20，
故选：C．
【点评】
本题主要考查了平行四边形的基本性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：由图知：1∴a−1>0，a−2<0；
∴|a−1|+ (a−2)2=a−1−(a−2)=a−1−a+2=1．
故选：D．
根据数轴上a的位置，判断出a的取值范围，然后代入所求的式子中进行化简．
解答此题的关键是根据数轴得出a的取值范围，需注意的是绝对值和算术平方根都是非负数．
11.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/CD，
∴∠DCA=∠BAC，
由折叠的性质可知，∠DCA=∠D′CA，
∴∠CAF=∠D′CA，
∴FA=FC，
在Rt△BFC中，BF2+BC2=CF2，即42+(8−AF)2=AF2，
解得，AF=5，
则△AFC的面积=12×5×4=10，
故选：C．
根据矩形的性质得到∠DCA=∠BAC，由折叠的性质得到∠DCA=∠D′CA，得到∠CAF=∠D′CA，根据等腰三角形的判定定理得到FA=FC，根据勾股定理求出AF，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
12.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，DC=DE，∠CDE=∠DEC=60°，∠DAC=45°，AC⊥BD，
∴AD=DE，∠ADE=90°+60°=150°，∠AOD=90°，
∴∠DAE=∠DEA=12(180°−150°)=15°，∠OAF=45°−15°=30°，
∴AF=2OF=2，
∴OA= AF2−OF2= 22−12= 3，
∴AB= 2OA= 6，
故选：B．
先根据正方形和等边三角形的性质证明△ADE是等腰三角形，求出∠DAE=∠DEA，再求出∠OAF=30°，在直角三角形OAF中即可得出结论．
本题考查了正方形的性质和等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定方法；根据正方形和等边三角形的性质弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
13.【答案】3 7 2 5
【解析】解：( 3)2=3； (−7)2=7； 20=2 5．
故答案为：3，7，2 5．
首先根据二次根式的乘法的运算方法，计算( 3)2；然后根据算术平方根的含义和求法，计算 (−7)2与 20即可．
此题主要考查了算术平方根的含义和求法，以及二次根式的乘除法的运算方法，要明确二次根式的乘除法的运算方法．
14.【答案】合格
【解析】解：因为802+602=10000=1002，
即：AD2+DC2=AC2，
所以∠D=90°，
同理：∠B=∠BCD=90°，
所以四边形ABCD是长方形，
所以这个桌面合格．
故答案为：合格．
只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据长方形的判定：有三个角是直角的四边形是长方形，可得此桌面合格．
本题考查的是勾股定理逆定理在实际中的应用，以及长方形的判定，关键是熟练掌握勾股定理逆定理与矩形的判定方法；勾股定理逆定理：在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；长方形的判定：有三个角是直角的四边形是长方形．
15.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【解析】解：“平行四边形对角线互相平分”的条件是：四边形是平行四边形，结论是：四边形的对角线互相平分．
所以逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
把一个命题的题设和结论互换就可得到它的逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
16.【答案】
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
又∵∠EGF=90°，四边形内角和是360°，
∴∠GEB+∠GFB=180°，
故①正确；
过G作GM⊥AB，GN⊥BC，分别交AB于M，交BC于N，
∵∠GEB+∠GFB=180°，
∠GEB+∠GEM=180°，
∴∠GEM=∠GFN，
在△GEM和△GFN中，
∠GME=∠GNF=90°∠GEM=∠GFNGE=GF，
∴△GEM≌△GFN(AAS)，
∴GM=GN，
故②正确；
∵AB=4，AD=5，并由②知，
点G到边AD，DC的距离不相等，
故③错误：
当四边形EBFG是正方形时，点G到AB的距离最大，
∵EF=AB=4，
∴GE=EB=BF=FG=4× 22=2 2，
故④正确．
故答案为：①②④．
根据矩形的性质得出∠B=90°，又∠EGF=90°，有三角形内角和为360°可判断①；
过G作GM⊥AB，GN⊥BC，分别交AB于M，交BC于N，先求出∠GEM=∠GFN，然后证明△GEM≌△GFN，可以判断②；
由AB=4，AD=5和②的结论可以判断③；
当四边形EBFG是正方形时，点G到AB的距离最大，从而可以判断④．
本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定以及三角形内角和定理，关键是对知识的掌握和运用．
17.【答案】解：( 3)0−( 2)2+(12)−1−(−1)2023
=1−2+2−(−1)
=1−2+2+1
=2．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解：原式= 33×2 6+3 2−2 2
=2 2+3 2−2 2
=3 2．
【解析】直接化简二次根式，进而结合二次根式乘法运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
19.【答案】证明：∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD=12AB，
∵E，F分别为AC，BC的中点
∴EF=12AB，
∴CD=EF．
【解析】根据直角三角形的性质得到CD=12AB，根据三角形中位线定理得到EF=12AB，等量代换即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
20.【答案】解：原式=(a2a2+1−2aa2)×aa−1
=a2−2a+1a2×aa−1
=(a−1)2a2×aa−1
=a−1a，
当a= 3时，原式= 3−1 3=3− 33．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：∵∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴AC= 32+42=5，
在△ACD中，∵AC2+CD2=25+144=169=AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=12AB⋅BC+12AC⋅CD
=12×3×4+12×5×12
=6+30
=36．
【解析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键，难度适中．
22.【答案】(1)证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC/​/DE，
∵MN/​/AB，即CE/​/AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
(2)解：四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD/​/CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴四边形BECD是菱形．
【解析】(1)先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
(2)求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
23.【答案】解：(1)由题意AD=60km，
Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，得602+BD2=1002．
∴BD=80(km)．
∴CD=BC−BD=125−80=45(km)．
∴AC= CD2+AD2= 452+602=75(km)．
75÷25=3(小时)．
答：从C岛返回A港所需的时间为3小时．
(2)∵AB2+AC2=1002+752=15625，BC2=1252=15625，
∴AB2+AC2=BC2．
∴∠BAC=90°．
∴∠NAC=180°−90°−50°=40°．
∴C岛在A港的北偏西40°．
【解析】(1)Rt△ABD中，利用勾股定理求得BD的长度，则CD=BC−BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来求AC的长度，则时间=路程÷速度；
(2)由勾股定理的逆定理推知∠BAC=90°.由方向角的定义作答．
本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单．
24.【答案】解：(1)3 2−4=(3 2+4)(3 2−4)3 2+4=23 2+4，
2 3− 10=(2 3+ 10)(2 3− 10)2 3+ 10=22 3+ 10，
而3 2>2 3，4> 10，
∴3 2+4>2 3+ 10，
∴3 2−4<2 3− 10；
(2)由1−x≥0，1+x≥0，x≥0得0≤x≤1，
y= 1−x+1 1+x+ x，
当x=0时， 1+x+ x有最小值，则1 1+x+ x有最大值1，此时 1−x有最大值1，所以y的最大值为2；
当x=1时， 1+x+ x有最大值，则1 1+x+ x有最小值 2−1，此时 1−x有最小值0，所以y的最小值为 2−1．
【解析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握利用分子有理化进行二次根式的大小比较和求最值是解题的关键．
(1)利用分子有理化得到3 2−4=23 2+4，2 3− 10=22 3+ 10，然后比较3 2+4和2 3+ 10的大小即可得到3 2−4与2 3− 10的大小；
(2)利用二次根式有意义的条件得到0≤x≤1，而y= 1−x+1 1+x+ x，利用当x=0时，1 1+x+ x有最大值1， 1−x有最大值1得到所以y的最大值；利用当x=1时，1 1+x+ x有最小值 2−1， 1−x有最小值0得到y的最小值．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AB，∠DAQ=∠BAQ=45°
又 AQ=AQ，
∴△ADQ≌△ABQ
即 无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
(2)如图1，
作 QE⊥AD于E，由(1)得△ADQ≌△ABQ，
∴S△ADQ=S△ABQ
∵△ABQ的面积是正方形ABCD面积的16
∴12AD×QE=16S正方形ABCD=83，
∴QE=43
又∵QE⊥AD，∠DAQ=45°
∴∠AQE=∠DAQ=45°
∴AE=QE=43
∴DE=4−43=83
∴在Rt△DEQ中，QE=43，DE=83，
根据勾股定理得，DQ=4 53；’
(3)若△ADQ是等腰三角形，则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD，
①当点P运动到与点B重合时，由正方形知QD=QA此时△ADQ是等腰三角形；
②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时DA=DQ，△ADQ是等腰三角形；
③如图4，设点P在BC边上运动到CP=x时，有AD=AQ，
∵AD/​/BC
∴∠ADQ=∠CPQ．
又∵∠AQD=∠CQP，∠ADQ=∠AQD，
∴∠CQP=∠CPQ.
∴CQ=CP=x．
∵AC=4 2，AQ=AD=4．
∴x=CQ=AC−AQ=4 2−4．
即当CP=4 2−4时，△ADQ是等腰三角形．
【解析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，(3)需要分类讨论．
(1)根据正方形性质得出AB=AD，∠BAD=90°，∠DAC=∠BAC=45°，利用“边角边”证明△ADQ≌△ABQ即可；
(2)过点Q作QE⊥AD于E，利用△ABQ的面积是正方形ABCD面积的16求出QE，进而求出DE最后用勾股定理即可；
(3)点P运动时，△ADQ恰为等腰三角形的情况有三种：QD=QA或DA=DQ或AQ=AD．
①当点P运动到与点B重合时，QD=QA，此时△ADQ是等腰三角形；
②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA=DQ，△ADQ是等腰三角形；
③当AD=AQ=4时，有CP=CQ，CP=AC−AD而由正方形的对角线的性质得到CP的值．