东北三省三校2023-2024学年高三下学期第一次联合模拟考试数学试题及答案

这是一份东北三省三校2023-2024学年高三下学期第一次联合模拟考试数学试题及答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数的共轭复数是，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，则（ ）
A．B．3C．D．
4．已知平面直角坐标系中，椭圆：（）的左顶点和上顶点分别为，过椭圆左焦点且平行于直线的直线交轴于点.若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．的展开式中的系数为（ ）
A．55B．C．30D．
6．已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若时，恒有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．等差数列中，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则，
10．在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点在抛物线的准线上，则以下命题正确的是（ ）
A．的最小值是2
B．
C．当点的纵坐标为4时，存在点，使得
D．若是等边三角形，则点的横坐标是3
11．在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆，一个酒鬼家住在，其相对位置关系如图所示.小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下述结论正确的是（ ）

A．若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为
B．若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为
C．若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口的概率为
D．若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为
三、填空题
12．在中，，，则外接圆半径为 .
13．如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为 .
14．已知圆：，直线交圆于、两点，点，则三角形面积的最大值为 .
四、解答题
15．已知.
(1)求在处的切线方程；
(2)求的单调递减区间.
16．如图，在四棱台中，底而为平行四边形，侧棱平面，，，.

(1)证明：；
(2)若四棱台的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
17．在统计学的实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数），四分位数应用于统计学的箱型图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应数据为第一四分位数，上底边对应数据为第三四分位数，中间的线对应中位数，已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱型图如图所示.
(1)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？（直接给出结论即可，不用说明理由）
(2)若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分，则求该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少？
(3)据统计两班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，从中抽取了3人作学习经验交流，3人中来自乙班的人数为，求的分布列.
18．已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：为直角三角形；
(3)若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围.
19．十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，5表示为，发现若可表示为二进制表达式，则，其中，或1（）.
(1)记，求证：；
(2)记为整数的二进制表达式中的0的个数，如，.
（ⅰ）求；
（ⅱ）求（用数字作答）.
参考答案：
1．C
【分析】先由对数函数的性质，求出对数不等式的解集，再求即可.
【详解】由对数函数的性质可得：
不等式成立，需要满足，
解得，即，且，
则，
故选：C.
2．A
【分析】先由，得到，利用复数的除法运算法则求出，进而求出复数即可.
【详解】由于，得，
则，
故选：A.
3．B
【分析】借助奇函数的性质计算即可得.
【详解】，故，
故，解得.
故选：B.
4．D
【分析】先求直线的斜率，再求过左焦点且平行于直线的直线方程，求出点的坐标后，由关系式得出关于的方程，化简即可.
【详解】由椭圆：的方程可得：
，其中，
则，
过椭圆左焦点且平行于直线的直线方程为：，
将代入该直线方程，可得点的坐标为，
若，则，得.
故选：D.
5．C
【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对，有，
令，有，
令，有，
则，
故的展开式中的系数为.
故选：C.
6．B
【分析】根据体积可求正四棱锥的高，再结合外接球球心的性质可求其半径，故可求外接球的表面积.
【详解】
如图，设在底面的射影为，则平面，
且为的交点.
因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为，且，
故，故.
由正四棱锥的对称性可知在直线上，设外接球的半径为，
则，故，故，
故正四棱锥的外接球的表面积为，
故选：B.
7．B
【分析】求导，令，利用导数判断函数的单调性，再由分类讨论即可得解.
【详解】由，得，
令，
则，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
所以，
所以函数在上是增函数，
所以，
当时，，
所以函数在上单调递增，
所以，满足题意；
当时，则存在，使得，
且当，，函数单调递减，
所以，故不恒成立，
综上所述，的取值范围是.
故选：B.
8．B
【分析】由题意可得，，，即可得，，再比较与的大小关系，借助对数运算转化为比较与的大小关系，结合放缩计算即可得.
【详解】，，，故，，
要比较与的大小，即比较与的大小，
等价于比较与的大小，等价于比较与的大小，
又
，
故，即，即，
故.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于比较与的大小关系，可借助对数运算转化为比较与的大小关系，再借助放缩帮助运算即可得.
9．ACD
【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质、前n项和公式逐项分析判断即得.
【详解】等差数列中，，
对于A，，，A正确；
对于B，，则，，
则，，因此，即，B错误；
对于C，，则，C正确；
对于D，设的公差为，由，得，解得，
则，，D正确.
故选：ACD
10．ABD
【分析】A选项，求出及准线方程，由抛物线定义得到，当与点重合时，取的最小值，当与点重合时，取得最小值，得到答案；B选项，在A选项基础上得到；C选项，求出，假设存在点，使得，则点为直线与准线的交点，求出直线的方程，得到，求出；D选项，得到，由抛物线定义得到点与点重合，由等边三角形的性质结合得到，从而求出点的横坐标.
【详解】A选项，由题意得，准线方程为，设准线与轴交点为，
过点作⊥抛物线的准线，垂足为，
由抛物线定义可知，，
则，故当与点重合时，取的最小值，
显然，当与点重合时，取得最小值，最小值为，
故的最小值为2，A正确；

B选项，由A选项知，当点与点重合时，等号成立，故B正确；
C选项，当点的纵坐标为4时，令中的得，，
故，假设存在点，使得，
则点为直线与准线的交点，
直线的方程为，即，
中，令得，故点，
此时，此时，C错误；
D选项，若是等边三角形，则，

因为，所以，即点与点重合，
则⊥轴，则，
又，则，所以，
故点的横坐标是，D正确；
故选：ABD
11．ABD
【分析】根据分类计数原理和分布计数原理可逐个判定选项得结果.
【详解】选项A：10分钟或10分钟以内到家只能是，
所以酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为，故A正确；
选项B：15分钟或15分钟以内到家,即共走小于或等于步，
可能顺时针走5步概率为，可能逆时针走3步概率为，
或者逆时针走5步，即概率为，
故其概率概率为，故B正确；
选项C：经过家门口不停， 15分钟后恰好停在家门口，共走5步，
可以顺时针走5步,即，概率为，
可以逆时针走5步，概率为，
故其概率为，故C错误；
选项D：经过家门口不停， 21分钟后恰好停在家门口，共走7步，
可以逆时针走5步返回2步，可以顺时针走6步返回1步，
所以其概率为，故D正确；
故选：ABD.
12．
【分析】根据面积公式和数量积的定义可求，根据同角的三角函数基本关系式和正弦定理可求外接圆的半径.
【详解】因为，故,
故，故为锐角，故，
故外接圆的半径为，
故答案为：.
13．
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】
因为平面，则，，又四边形是正方形，
则，以为坐标原点，分别为轴的正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，且，则，
，，又是线段的中点，则，
则，，则，
设异面直线与所成角为，即，
则，所以，
即异面直线与所成角的正切值为.
故答案为：
14．
【分析】求出圆心到直线的距离为，和到直线的距离为，利用垂径定理得到，表达出，换元后得到面积的最大值.
【详解】的圆心，半径为3，
则到直线的距离为，解得，
到直线的距离为，
，故，
令，由于，故，
则，
当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：
15．(1)
(2)单调递减区间为，
【分析】（1）先求原函数的导函数，再求出处的导数值即切线的斜率，写出切线方程即可；
（2）求的单调递减区间，只需求出其导函数满足不等式的解集即可.
【详解】（1）由于，
其导函数为：，
得：，，
所以在处的切线方程为：，即；
（2）由于，
得：，
若，则，即，
由于，则，
只需即可，解得，，
故的单调递减区间为：，.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用线面垂直的判定与性质即可证明；
（2）利用台体体积公式求出，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求出面面角余弦值即可.
【详解】（1）底面为平行四边形，
，.
，，
由余弦定理可得：，，
则，，
侧棱平面，平面，，
又平面，平面，且，
平面，
又平面，.
（2）四棱台中的体积为，
，
，
，解得：.
如图，以点为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，
建立如图的空间直角坐标系，

则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则有，所以
平面的法向量为，
设平面与平面所成锐二面角为，
则.
17．(1)甲班
(2)，
(3)分布列见解析
【分析】（1）根据甲乙两班成绩箱型图中的中位数，第三四分位数和第一四分位数的位置可以判断结果；
（2）依题知这是条件概率问题，分别设出从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件”，“该同学分数低于128分为事件”，则需要求和，而这需要先求和，再根据全概率公式求出，最后用贝叶斯公式求解即得；
（3）先求出的所有可能的值，再利用古典概型概率公式求出每个值对应的概率，即得的分布列.
【详解】（1）由两班成绩箱型图可以看出，甲班成绩得中位数为128，而乙班的第三四分位数使128，同时，甲班的第一四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高.
（2）由图可知，甲班中有的学生分数低于128分；
乙班中有的学生分数低于128分
设从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件”，“该同学分数低于128分为事件”，
则，，，，
所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为，.
（3）依题的所有可能取值为0，1，2，3
，
，
所以的分布列为：
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）设出、两点坐标，借助点差法计算即可得；
（2）联立直线与双曲线方程，可得与、两点坐标有关韦达定理，通过计算即可得为直角三角形；
（3）设直线方程为：，，，，结合题意计算可得，又，，可得，联立直线与渐近线方程，可得与两点坐标有关韦达定理，代入化简可得，结合面积公式计算即可用表示该三角形面积，构造相应函数借助对勾函数性质可得函数单调性即可得面积范围.
【详解】（1）设，，则，，
，两点在双曲线上，
，由①－②得，
即，，
，即，，
又，，双曲线的方程为：；
（2）由已知可得，直线的方程为：，即，
联立，，
则，，
，
，为直角三角形；
（3）由题意可知，若直线有斜率则斜率不为0，
故设直线方程为：，
设，，，
，，
，
点在双曲线上，，
，
③，
又，，
，④，
联立，
，
⑤，⑥，
，分别在第一象限和第四象限，，，
由④式得：，
⑦，
将⑤⑥代入⑦得：，
，
令，，
由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，
，.
【点睛】关键点点睛：本题第（3）小问关键点在于借助向量的线性关系，结合点在对应曲线及直线上，通过计算用表示出该三角形面积，难点在于计算.
19．(1)证明见解析
(2)（ⅰ）2；（ⅱ）9841
【分析】（1）借助二进制的定义计算可得，，即可得证；
（2）（ⅰ）借助二进制的定义可计算出，即可得表达式中的0的个数；（ⅱ）计算出从到中，、、，的个数，即可得.
【详解】（1），
，
，
，
；
（2）（ⅰ），
，
（ⅱ），
，故从到中，
有、、、共9个，
有个，由，即共有个
有个，由，即共有个
……，
有个，
.
【点睛】关键点点睛：本体最后一小问关键点在于结合二进制的定义，得到，，通过组合数的计算得到、、、的个数，再结合组合数的性质计算得到结果.