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2024年中考数学压轴题专项练习—数形结合思想
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这是一份2024年中考数学压轴题专项练习—数形结合思想，文件包含78数形结合思想答案docx、78数形结合思想docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共67页， 欢迎下载使用。
（1）如图1，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交DC于点E．求证：CD＝CE；
（2）若将图1中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于Bʹ，其他条件不变（如图2），那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？
（3）若将图1中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变（如图3），那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？
2．（2023•碑林区校级开学）如图，等边△ABC中，CD∥AB，P为边BC上一点，Q为直线CD上一点，连接AP、PQ，使得∠APQ＝∠BAC．
（1）①如图1，∠PAC与∠PQC的数量关系为 ；
②如图1，线段AP，PQ的数量关系为 ；
（2）如图2，若将“等边△ABC”改为“等腰直角△ABC（AB＝AC）”，其他条件不变，求证：AP＝PQ；
（3）如图3，若继续将“等腰直角△ABC”改为“等腰△ABC（AB＝AC）”，其他条件不变，（2）中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由．
3．（2023春•北仑区校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，弦CD与AB交于E，AB＝CD，过A作AF⊥BC于F．
（1）猜想AE与CE的数量关系： ．
（2）①判断AC与BD的位置关系，并说明理由；
②求证：AC＝2CF+BD；
（3）若S△CFA＝S△CBD，求tan∠BDC的值．
4．（2023春•辽阳期中）【探究】（1）如图1，在四边形中ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小李同学探究此问题的方法是：FD延长到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系．他的结论是 ．
【拓展】（2）如图2，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°．将三角板的45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，在点E、F的位置发生变化时，猜想线段AE、EF、BF之间的数量关系，并说明理由；
【实际应用】（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝5cm，则四边形ABCD的面积为 cm2．
5．（2023春•西华县期中）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的路线移动（即沿着长方形移动一周）．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）当点P移动了3秒时，在图中描出此时P点的位置，并求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当点P到x轴距离为4个单位长度时，并求点P移动的时间．
6．（2023•梅县区一模）综合与实践：【问题情境】：通过查看出厂包装袋上的数据，数学活动小组的同学发现A4纸的长与宽分别为297mm和210mm，其比值为297210≈1.414，而2≈1.414，他们上网查阅资料也发现A4纸的长与宽的比是一个特殊值“2”．不妨定义长与宽的比为2：1的矩形为“标准矩形”．【操作实践】：如图1，数学活动小组的同学在几何画板软件上画了一个正方形ABCD，连接对角线BD，在射线DC上截取了DE＝DB，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，令AB＝1．
【问题探究】：（1）求证：四边形AFED为“标准矩形”；
（2）如图2，数学活动小组的同学在图1的基础上隐藏了线段BC，在线段EF上取一点P，连接BP，DP．
①当DP平分∠BDE时，求PF的长；
②当△BDP的周长最小时，求∠PBF的正切值．
7．（2023春•抚松县期中）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AB＝6，动点P从点A出发，以2个单位长度/s的速度沿边AB向终点B匀速运动，以PA为一边作∠APG＝120°，另一边PG与折线AC﹣CB相交于点G，以PG为边作菱形PGFE，点E在线段PB上．设点P的运动时间为x（s）．
（1）当点G在边AC上，直接写出PG的长并标出取值范围（用含x的代数式表示）；
（2）当点F落在边BC上时．
①求x的值；
②直接写出此时点E，点F的坐标；
③点M在y轴上，点Q在直线BC上，当以E、F、M，Q四个点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点Q的坐标．
8．（2023•海州区二模）定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．
【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边．①△BCG是 三角形．②若AD＝4，则BD＝ ；
【问题探究】（2）如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE交BC于点F，AD＝4，AB＝k，是否存在实数k，使得四边形ABEC是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；
【应用拓展】（3）如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC分别是和谐边，AB＝4，AD＝k，请求出k的值．
9．（2023•濉溪县模拟）如图，△ABC中，D，E两点分别在边AB，AC上，点F在DE上，连接BF，CD，CF，已知EC＝ED，FB＝FC，∠CED＝∠CFB．
（1）求证：∠ECF＝∠BFD；
（2）连接AF，若AB＝CD，AF＝DF，求证：AF＝AE；
（3）在（2）的条件下，若DF＝kEF，求ADAB的值（用含k的代数式来表示）．
10．（2023•阳谷县二模）如图，直线y=12x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形ACPB面积最大时点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点M，使∠MCB＝∠ABC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2023•江岸区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3．
（1）若函数图象经过点（1，﹣4），（﹣1，0），求抛物线的解析式；
（2）若2a﹣b＝1，对于任意不为零的实数a，是否存在一条直线y＝kx+t（k≠0），始终与函数图象交于A，B两个定点，若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由；
（3）如图，在（2）的条件下，若a＞0，M、A两点关于抛物线的对称轴对称，点P为A，B之间的抛物线上一动点，连接MP交AB于点Q，且PQMQ的最大值为13，求抛物线的函数解析式．
12．（2023•萍乡二模）综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
转一转：如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH，将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：
（1）图②中，AB＝BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）图③中，AB＝2，BC＝3，则GHCE= ，请证明你的结论；
（3）当AB＝m，BC＝n时，GHCE= ；
剪一剪、折一折：
（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④）点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为 ．
13．（2023春•铁东区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC=53．∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请直接写出相应的t值为： ．
14．（2023春•辽阳期末）综合与实践
八年级同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转”为主题，开展如下数学探究活动：
（1）如图1，△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE，连接BE，则∠EBC＝ °．若F是BE的中点，连接AF，则AF与DE的数量关系是 ．
迁移探究：
（2）如图2，（1）中的其他条件不变，当△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE，求出此时∠EBC的度数及AF与DE的数量关系．
拓展应用：
（3）如图3，在Rt△ABC中，AB＝AC＝22，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A旋转，得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF．在旋转过程中，当∠EBC＝15°时，求AF的长．
15．（2023春•忠县期中）如图1，△ABC中，AC＝BC，点D是线段AC上任意一点，连接BD．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE，若AD：CD＝3：2，CE＝2，求AE．
（2）如图2，点E在线段BC上，连接AE，点F在线段AE上，点G是线段DB的中点，连接DF，FG．若∠ACB＝∠EFD，∠AEB＝3∠FAD，求证：FG⊥CG．
（3）如图3，若∠CDB＝60°，点N是射线DB上的动点，点M是射线DC上的动点，点P是平面上任意一点，连接PM，PN，MN，PM＝PN，且∠MPN＝120°，当线段DP的距离最大时，连接AP，AN，若∠NAM＝45°，线段MN的长为4，直接写出△PAN的面积．
16．（2023•渠县校级模拟）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝6，BC＝8时，求DE的长．
17．（2023•海州区校级二模）如图1，已知△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，点D在线段AC上，点F为AB中点，点M为BE中点，点N为AD中点．
（1）如图1，∠FMN＝ ，FM和MN之间的数量关系是 ；
（2）如图2，△DCE绕点C顺时针旋转，点G为DE中点，求证：四边形FMGN为正方形；
（3）如图3，若AB=42，CE＝2，在将△DCE绕点C顺时针旋转360°过程中，直线BD，AE交于点H，直接写出△ABH面积的最小值．
18．（2023•东莞市校级一模）（1）问题发现：如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，填空：ACBD= ；∠AMB＝ ；
（2）类比探究：如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M，请判断ACBD的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将△OCD绕点O旋转至点C与点M重合，若OD＝1，OB=7，填空：AC＝ ．
19．（2023春•新都区期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，点D为BC边上的一个动点，以CD为边作等边△CDE，DE与AC相交于点F，连接AE，将等边△CDE绕点C旋转．
（1）如图1，当点D在BC上，四边形ABDE是平行四边形时，求线段DF的长；
（2）如图2，当点D恰好落在AC上时，此时点D与点F重合，连接BD，若B，D，E共线，求线段AE的长；
（3）如图3，在等边△CDE在旋转的过程中，BD所在的直线与AC相交于点P，当∠DPE＝150°时，若DP=2，PE=23，求线段AP的长．
20．（2023•青岛三模）如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD＝6cm，DC＝8cm，BC＝12cm，动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1cm．两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．
（1）当 MN∥CD 时，求t的值？
（2）设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
（3）如图②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
21．（2023•南岗区校级开学）点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，BD，CE交于点F，连接AF，FE＝FD．
（1）如图1，若∠AFE＝∠AFD，求证：AE＝AD；
（2）如图2，若∠FAE＝∠FAD，∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；
（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB，若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．
22．（2023春•成都期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b分别与x轴，y轴交于点A（﹣1，0），B（0，2），过点C（2，0）作x轴的垂线，与直线AB交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）点E是线段CD上一动点，直线BE与x轴交于点F．
ⅰ）若△BDF的面积为8，求点F的坐标；
ⅱ）如图2，当点F在x轴正半轴上时，将直线BF绕点B逆时针旋转45°后的直线与线段CD交于点M，连接FM，若OF＝MF+1，求线段MF的长．
23．（2023•南岗区校级开学）在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，点E为AD上一点，连接AC，CE，且∠B＝∠AEC．
（1）如图1，求证：∠CED＝∠CDE；
（2）如图2，若∠B+∠CAE＝120°，∠ACD＝2∠BAC，求∠BAD的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，作直线CE交AB的延长线于点F，过点A作射线AG交CE于点G，且∠G＝∠D，若CG＝5，AG＝7，求AF：CF的值．
24．（2023秋•恩施市校级月考）如图1，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC＝∠BCD．
（1）求证：∠DEC+∠ECD＝90°；
（2）如图2，BF平分∠ABD交CD的延长线于点F，若∠ABC＝100°，求∠F的大小；
（3）如图3，若H是BC上一动点，K是BA延长线上一点，KH交BD于点M，交AD于点O，KG平分∠BKH，交DE于点N，交BC于点G，当点H在线段BC上运动时（不与点B重合），求∠BAD+∠DMH∠DNG的值．
25．（2023秋•青岛月考）【模型定义】
如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
【探究应用】
①已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，则BN＝ ；
②如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；
【问题解决】
如图3，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM＞BN，四边形AMDC，四边形MNFE和四边形NBHG均是正方形，点P在边EF上，试探究S△ACN，S△APB，S△MBH的数量关系．
26．（2023•大东区校级开学）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B(0，23)．
（1）点（k+1，2k﹣5）关于x轴的对称点在第一象限，a为实数k的范围内的最大整数，A点的坐标为 ，△AOB的面积为 ．
（2）在（1）的条件下，点P是第一象限的点，且△ABP是以AB为腰的等腰直角三角形，点P坐标为 ．
（3）在（1）的条件下，如图2，∠OBA＝30°时，以AB、OB的作等边三角形ABC和等边△OBD，连接AD、OC交于E点，连接BE．M点是y轴上一动点，AM+CM的最小值为 ．
27．（2023秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，垂足为D，点P为AB边上一点，以PC为边向上作△PCE，∠PEC＝90°，EP＝EC．
（1）如图1，求证：BP=2DE；
（2）如图2，连接AE并延长交BC于F，FC＝22，△PAC的面积为12，求BF的长．
28．（2023春•南海区校级期中）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．
①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，试判断BE和CF的数量关系，并说明理由；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于a与∠BCA关系的条件 ，使①中的结论仍然成立．
（2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由．
29．（2023•铜梁区校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D是边AB上一动点，连接CD，将CD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE．
（1）如图1，求证：∠ACD＝∠ADE；
（2）如图2，CG是△ABC的中线，连接EG，点H是EG的中点，连接DH，试猜想DH、BD、AC的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AC＝2，点Q是CG的中点，点P是BC上一点，将△PCQ沿PQ翻折，得到△PC′Q，点D、P在运动过程中，当C′E最短时，请直接写出△ABE的面积．
30．（2023•深圳开学）【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE=5，BE＝25，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B'、E'．
【问题解决】：
（1）如图2，在旋转的过程中，点B'落在了AC上．则CB'＝ ；
（2）若α＝90°，如图3，得到△ADE'（此时B'与D重合），延长BE交B'E'于点F，
①试判断四边形AEFE'的形状，并说明理由；
②连接CE，求CE的长；
（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE'长度的取值范围．
31．（2023春•江岸区校级月考）如图1，在矩形ABCD中，点P是AD边上一点，BE⊥PC于点E，交AC于点F．
（1）求证：△BCE∽△CPD；
（2）如图2，若AB＝BC，PD＝3PA．
①直接写出PE：EC＝ ；
②求AF：FC的值；
（3）如图3，若AB＝BC，PD：PA＝1：n，直接写出AF：FC＝ ．（用含有n的代数式表示）
32．（2022秋•南关区校级期末）如图，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AC＝6，点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，过点D作DE⊥AC交折线AB﹣BC于点E，以DE为边向右作长方形DEGF，使DE＝2DF，设点D的运动时间为t秒（0＜t＜6）．
（1）用含t的代数式表示线段DE的长；
（2）当点G落在BC边上时，求t的值；
（3）求长方形DEGF与△ABC重叠部分图形的面积S与t之间的关系式；
（4）点M为AC的中点，连结MG，当MG所在的直线垂直△ABC的一边时，直接写出t的值．
33．（2023春•淮安区校级期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线l1∥l2，点A，D在直线l1上，点B，C在直l2上，若∠BAD＝2∠BCD，则四边形ABCD是半对角四边形．
（1）如图2，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，∠A＝60°，AB＝2，AE＝4．若四边形ABCE为半对角四边形，求平行四边形ABCD的面积；
（2）如图3，以平行四边形ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边AD上一点，满足BC＝AE+CE．求证：四边形ABCE是半对角四边形；
（3）在（2）的条件下，当AB＝AE＝4，∠B＝60°时，将四边形ABCE向左平移a（a＞0）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数y=kx的图象上，求k的值．
34．（2023•梁溪区模拟）如图，已知矩形纸片ABCD中，AB＜AD．
（1）若将此纸片沿过点A的某一直线折叠，点D恰好落在边BC上点E处．请用直尺（不含刻度）和圆规在图1中作出折痕AM（M为折痕的另一端点）．
（2）在（1）的条件下，已知AB＝9，CM＝4．若将该纸片沿折痕AM裁成两部分，并将△AEM沿A→B的方向，以每秒1个单位的速度，向点B运动．当△AEM的顶点A到达点B时，整个运动停止．设运动时间为t秒，两部分的重叠部分的图形面积（按单层计算）为S，请求出s与t之间的函数关系式．
35．（2023春•商洛期末）问题提出
（1）如图1，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．若BD＝4，则CE的长为 ．
问题探究
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝60°，E为线段BD延长线上的一点，连接AE，CE，求证：CE＝AE．
问题解决
（3）王叔叔家门前有一块四边形空地ABCD，王叔叔计划用该空地开发一个种植基地，如图3，经测量，AB＝300米，AD＝480米，BC＝140米，CD＝400米，并测得∠ABD+∠BDC＝90°，请依据相关数据帮王叔叔计算该四边形空地ABCD的面积．
36．（2023•晋中模拟）综合与实践
问题情境：
（1）如图1，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE．如图2，将△ABC 绕顶点A按逆时针方向旋转15°得到△AB'C'，连接B′D，C′E，求证：B′D＝C′E．
深入研究：
（2）①如图3，在正方形ABCD和正方形CEFG中，已知点B，C，E在同一直线上，连接DE，AF，交于点P，求AF：DE的值；
②如图4，若将正方形CEFG绕点C按顺时针方向旋转一定角度，AF：DE的值变化吗？请说明理由．
拓展应用：
（3）如图5，若把正方形ABCD和正方形CEFG分别换成矩形ABCD和矩形CEFG，且AD：AB＝CG：CE＝k，请直接写出此时AF：DE的值．
37．（2023春•金沙县期末）如图1，在等边△ABC中，点D、E分别是BC、AB上的点，CD＝BE，CE与AD交于点O．
（1）填空：∠AOC＝ 度；
（2）如图2，将AO绕点A旋转60°得AF，连接BF、OF，求证：BF＝OC；
（3）如图3，若点G是AC的中点，连接BO、GO，判断BO与GO有什么数量关系？并说明理由．
38．（2023春•万州区校级月考）已知△ABC是等边三角形．
（1）如图1，若AB＝4，点D在线段BC上，且BD＝1，连接AD，求AD的长；
（2）如图2，点E是BC延长线上一点，∠AEF＝60°，EF交△ABC的外角平分线于点F，求证：CF＝AC+CE；
（3）如图3，若AB＝8，动点M从点B出发，沿射线BC方向移动，以AM为边在右侧作等边△AMN，取AC中点H，连接NH，请直接写出NH的最小值及此时BM的长．
39．（2023•黄石模拟）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点（1，1）是函数的y=12x+12图象的“等值点”．
（1）试判断函数y=1x−1（x＞1）的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，请说明理由；
（2）已知函数y＝x2﹣2的图象的“等值点”为点A（﹣1，﹣1）和点B（2，2）．
①已知实数m、n满足m2﹣m﹣2＝0，n2﹣n﹣2＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值；
②已知实数p、q满足p2＝p+2，2q2＝q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值；
③若函数y＝x2﹣2（x≥1）的图象记为W1将其沿直线x＝1翻折后的图象记为W2，由W1，W2两部分组成的图象记为W，试求图象W上的“等值点”．
40．（2023春•凤城市期末）如图1，△ABC为等边三角形，在AB、AC上分别取点E、D，使AE＝AD，连接DE．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）点M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，当△ADE绕A点旋转到如图2的位置时，求∠MAN的度数．
（3）在（2）条件下，若∠CAD＝30°，AC＝14，DE=43，求AN的长．
（1）如图1，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交DC于点E．求证：CD＝CE；
（2）若将图1中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于Bʹ，其他条件不变（如图2），那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？
（3）若将图1中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变（如图3），那么上述结论CD＝CE还成立吗？为什么？
2．（2023•碑林区校级开学）如图，等边△ABC中，CD∥AB，P为边BC上一点，Q为直线CD上一点，连接AP、PQ，使得∠APQ＝∠BAC．
（1）①如图1，∠PAC与∠PQC的数量关系为 ；
②如图1，线段AP，PQ的数量关系为 ；
（2）如图2，若将“等边△ABC”改为“等腰直角△ABC（AB＝AC）”，其他条件不变，求证：AP＝PQ；
（3）如图3，若继续将“等腰直角△ABC”改为“等腰△ABC（AB＝AC）”，其他条件不变，（2）中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由．
3．（2023春•北仑区校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，弦CD与AB交于E，AB＝CD，过A作AF⊥BC于F．
（1）猜想AE与CE的数量关系： ．
（2）①判断AC与BD的位置关系，并说明理由；
②求证：AC＝2CF+BD；
（3）若S△CFA＝S△CBD，求tan∠BDC的值．
4．（2023春•辽阳期中）【探究】（1）如图1，在四边形中ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小李同学探究此问题的方法是：FD延长到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系．他的结论是 ．
【拓展】（2）如图2，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°．将三角板的45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，在点E、F的位置发生变化时，猜想线段AE、EF、BF之间的数量关系，并说明理由；
【实际应用】（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝5cm，则四边形ABCD的面积为 cm2．
5．（2023春•西华县期中）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的路线移动（即沿着长方形移动一周）．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）当点P移动了3秒时，在图中描出此时P点的位置，并求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当点P到x轴距离为4个单位长度时，并求点P移动的时间．
6．（2023•梅县区一模）综合与实践：【问题情境】：通过查看出厂包装袋上的数据，数学活动小组的同学发现A4纸的长与宽分别为297mm和210mm，其比值为297210≈1.414，而2≈1.414，他们上网查阅资料也发现A4纸的长与宽的比是一个特殊值“2”．不妨定义长与宽的比为2：1的矩形为“标准矩形”．【操作实践】：如图1，数学活动小组的同学在几何画板软件上画了一个正方形ABCD，连接对角线BD，在射线DC上截取了DE＝DB，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，令AB＝1．
【问题探究】：（1）求证：四边形AFED为“标准矩形”；
（2）如图2，数学活动小组的同学在图1的基础上隐藏了线段BC，在线段EF上取一点P，连接BP，DP．
①当DP平分∠BDE时，求PF的长；
②当△BDP的周长最小时，求∠PBF的正切值．
7．（2023春•抚松县期中）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AB＝6，动点P从点A出发，以2个单位长度/s的速度沿边AB向终点B匀速运动，以PA为一边作∠APG＝120°，另一边PG与折线AC﹣CB相交于点G，以PG为边作菱形PGFE，点E在线段PB上．设点P的运动时间为x（s）．
（1）当点G在边AC上，直接写出PG的长并标出取值范围（用含x的代数式表示）；
（2）当点F落在边BC上时．
①求x的值；
②直接写出此时点E，点F的坐标；
③点M在y轴上，点Q在直线BC上，当以E、F、M，Q四个点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点Q的坐标．
8．（2023•海州区二模）定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．
【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边．①△BCG是 三角形．②若AD＝4，则BD＝ ；
【问题探究】（2）如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE交BC于点F，AD＝4，AB＝k，是否存在实数k，使得四边形ABEC是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；
【应用拓展】（3）如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC分别是和谐边，AB＝4，AD＝k，请求出k的值．
9．（2023•濉溪县模拟）如图，△ABC中，D，E两点分别在边AB，AC上，点F在DE上，连接BF，CD，CF，已知EC＝ED，FB＝FC，∠CED＝∠CFB．
（1）求证：∠ECF＝∠BFD；
（2）连接AF，若AB＝CD，AF＝DF，求证：AF＝AE；
（3）在（2）的条件下，若DF＝kEF，求ADAB的值（用含k的代数式来表示）．
10．（2023•阳谷县二模）如图，直线y=12x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形ACPB面积最大时点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点M，使∠MCB＝∠ABC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2023•江岸区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3．
（1）若函数图象经过点（1，﹣4），（﹣1，0），求抛物线的解析式；
（2）若2a﹣b＝1，对于任意不为零的实数a，是否存在一条直线y＝kx+t（k≠0），始终与函数图象交于A，B两个定点，若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由；
（3）如图，在（2）的条件下，若a＞0，M、A两点关于抛物线的对称轴对称，点P为A，B之间的抛物线上一动点，连接MP交AB于点Q，且PQMQ的最大值为13，求抛物线的函数解析式．
12．（2023•萍乡二模）综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
转一转：如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH，将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：
（1）图②中，AB＝BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）图③中，AB＝2，BC＝3，则GHCE= ，请证明你的结论；
（3）当AB＝m，BC＝n时，GHCE= ；
剪一剪、折一折：
（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④）点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为 ．
13．（2023春•铁东区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC=53．∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请直接写出相应的t值为： ．
14．（2023春•辽阳期末）综合与实践
八年级同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转”为主题，开展如下数学探究活动：
（1）如图1，△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE，连接BE，则∠EBC＝ °．若F是BE的中点，连接AF，则AF与DE的数量关系是 ．
迁移探究：
（2）如图2，（1）中的其他条件不变，当△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE，求出此时∠EBC的度数及AF与DE的数量关系．
拓展应用：
（3）如图3，在Rt△ABC中，AB＝AC＝22，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A旋转，得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF．在旋转过程中，当∠EBC＝15°时，求AF的长．
15．（2023春•忠县期中）如图1，△ABC中，AC＝BC，点D是线段AC上任意一点，连接BD．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE，若AD：CD＝3：2，CE＝2，求AE．
（2）如图2，点E在线段BC上，连接AE，点F在线段AE上，点G是线段DB的中点，连接DF，FG．若∠ACB＝∠EFD，∠AEB＝3∠FAD，求证：FG⊥CG．
（3）如图3，若∠CDB＝60°，点N是射线DB上的动点，点M是射线DC上的动点，点P是平面上任意一点，连接PM，PN，MN，PM＝PN，且∠MPN＝120°，当线段DP的距离最大时，连接AP，AN，若∠NAM＝45°，线段MN的长为4，直接写出△PAN的面积．
16．（2023•渠县校级模拟）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝6，BC＝8时，求DE的长．
17．（2023•海州区校级二模）如图1，已知△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，点D在线段AC上，点F为AB中点，点M为BE中点，点N为AD中点．
（1）如图1，∠FMN＝ ，FM和MN之间的数量关系是 ；
（2）如图2，△DCE绕点C顺时针旋转，点G为DE中点，求证：四边形FMGN为正方形；
（3）如图3，若AB=42，CE＝2，在将△DCE绕点C顺时针旋转360°过程中，直线BD，AE交于点H，直接写出△ABH面积的最小值．
18．（2023•东莞市校级一模）（1）问题发现：如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，填空：ACBD= ；∠AMB＝ ；
（2）类比探究：如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M，请判断ACBD的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将△OCD绕点O旋转至点C与点M重合，若OD＝1，OB=7，填空：AC＝ ．
19．（2023春•新都区期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，点D为BC边上的一个动点，以CD为边作等边△CDE，DE与AC相交于点F，连接AE，将等边△CDE绕点C旋转．
（1）如图1，当点D在BC上，四边形ABDE是平行四边形时，求线段DF的长；
（2）如图2，当点D恰好落在AC上时，此时点D与点F重合，连接BD，若B，D，E共线，求线段AE的长；
（3）如图3，在等边△CDE在旋转的过程中，BD所在的直线与AC相交于点P，当∠DPE＝150°时，若DP=2，PE=23，求线段AP的长．
20．（2023•青岛三模）如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD＝6cm，DC＝8cm，BC＝12cm，动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1cm．两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．
（1）当 MN∥CD 时，求t的值？
（2）设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
（3）如图②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
21．（2023•南岗区校级开学）点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，BD，CE交于点F，连接AF，FE＝FD．
（1）如图1，若∠AFE＝∠AFD，求证：AE＝AD；
（2）如图2，若∠FAE＝∠FAD，∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；
（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB，若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．
22．（2023春•成都期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b分别与x轴，y轴交于点A（﹣1，0），B（0，2），过点C（2，0）作x轴的垂线，与直线AB交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）点E是线段CD上一动点，直线BE与x轴交于点F．
ⅰ）若△BDF的面积为8，求点F的坐标；
ⅱ）如图2，当点F在x轴正半轴上时，将直线BF绕点B逆时针旋转45°后的直线与线段CD交于点M，连接FM，若OF＝MF+1，求线段MF的长．
23．（2023•南岗区校级开学）在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，点E为AD上一点，连接AC，CE，且∠B＝∠AEC．
（1）如图1，求证：∠CED＝∠CDE；
（2）如图2，若∠B+∠CAE＝120°，∠ACD＝2∠BAC，求∠BAD的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，作直线CE交AB的延长线于点F，过点A作射线AG交CE于点G，且∠G＝∠D，若CG＝5，AG＝7，求AF：CF的值．
24．（2023秋•恩施市校级月考）如图1，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC＝∠BCD．
（1）求证：∠DEC+∠ECD＝90°；
（2）如图2，BF平分∠ABD交CD的延长线于点F，若∠ABC＝100°，求∠F的大小；
（3）如图3，若H是BC上一动点，K是BA延长线上一点，KH交BD于点M，交AD于点O，KG平分∠BKH，交DE于点N，交BC于点G，当点H在线段BC上运动时（不与点B重合），求∠BAD+∠DMH∠DNG的值．
25．（2023秋•青岛月考）【模型定义】
如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
【探究应用】
①已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，则BN＝ ；
②如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；
【问题解决】
如图3，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM＞BN，四边形AMDC，四边形MNFE和四边形NBHG均是正方形，点P在边EF上，试探究S△ACN，S△APB，S△MBH的数量关系．
26．（2023•大东区校级开学）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B(0，23)．
（1）点（k+1，2k﹣5）关于x轴的对称点在第一象限，a为实数k的范围内的最大整数，A点的坐标为 ，△AOB的面积为 ．
（2）在（1）的条件下，点P是第一象限的点，且△ABP是以AB为腰的等腰直角三角形，点P坐标为 ．
（3）在（1）的条件下，如图2，∠OBA＝30°时，以AB、OB的作等边三角形ABC和等边△OBD，连接AD、OC交于E点，连接BE．M点是y轴上一动点，AM+CM的最小值为 ．
27．（2023秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，垂足为D，点P为AB边上一点，以PC为边向上作△PCE，∠PEC＝90°，EP＝EC．
（1）如图1，求证：BP=2DE；
（2）如图2，连接AE并延长交BC于F，FC＝22，△PAC的面积为12，求BF的长．
28．（2023春•南海区校级期中）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．
①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，试判断BE和CF的数量关系，并说明理由；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于a与∠BCA关系的条件 ，使①中的结论仍然成立．
（2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由．
29．（2023•铜梁区校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D是边AB上一动点，连接CD，将CD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE．
（1）如图1，求证：∠ACD＝∠ADE；
（2）如图2，CG是△ABC的中线，连接EG，点H是EG的中点，连接DH，试猜想DH、BD、AC的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AC＝2，点Q是CG的中点，点P是BC上一点，将△PCQ沿PQ翻折，得到△PC′Q，点D、P在运动过程中，当C′E最短时，请直接写出△ABE的面积．
30．（2023•深圳开学）【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE=5，BE＝25，∠AEB＝90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度（0≤α≤180°）点B、E的对应点分别为点B'、E'．
【问题解决】：
（1）如图2，在旋转的过程中，点B'落在了AC上．则CB'＝ ；
（2）若α＝90°，如图3，得到△ADE'（此时B'与D重合），延长BE交B'E'于点F，
①试判断四边形AEFE'的形状，并说明理由；
②连接CE，求CE的长；
（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE'长度的取值范围．
31．（2023春•江岸区校级月考）如图1，在矩形ABCD中，点P是AD边上一点，BE⊥PC于点E，交AC于点F．
（1）求证：△BCE∽△CPD；
（2）如图2，若AB＝BC，PD＝3PA．
①直接写出PE：EC＝ ；
②求AF：FC的值；
（3）如图3，若AB＝BC，PD：PA＝1：n，直接写出AF：FC＝ ．（用含有n的代数式表示）
32．（2022秋•南关区校级期末）如图，在等腰直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AC＝6，点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，过点D作DE⊥AC交折线AB﹣BC于点E，以DE为边向右作长方形DEGF，使DE＝2DF，设点D的运动时间为t秒（0＜t＜6）．
（1）用含t的代数式表示线段DE的长；
（2）当点G落在BC边上时，求t的值；
（3）求长方形DEGF与△ABC重叠部分图形的面积S与t之间的关系式；
（4）点M为AC的中点，连结MG，当MG所在的直线垂直△ABC的一边时，直接写出t的值．
33．（2023春•淮安区校级期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线l1∥l2，点A，D在直线l1上，点B，C在直l2上，若∠BAD＝2∠BCD，则四边形ABCD是半对角四边形．
（1）如图2，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，∠A＝60°，AB＝2，AE＝4．若四边形ABCE为半对角四边形，求平行四边形ABCD的面积；
（2）如图3，以平行四边形ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边AD上一点，满足BC＝AE+CE．求证：四边形ABCE是半对角四边形；
（3）在（2）的条件下，当AB＝AE＝4，∠B＝60°时，将四边形ABCE向左平移a（a＞0）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数y=kx的图象上，求k的值．
34．（2023•梁溪区模拟）如图，已知矩形纸片ABCD中，AB＜AD．
（1）若将此纸片沿过点A的某一直线折叠，点D恰好落在边BC上点E处．请用直尺（不含刻度）和圆规在图1中作出折痕AM（M为折痕的另一端点）．
（2）在（1）的条件下，已知AB＝9，CM＝4．若将该纸片沿折痕AM裁成两部分，并将△AEM沿A→B的方向，以每秒1个单位的速度，向点B运动．当△AEM的顶点A到达点B时，整个运动停止．设运动时间为t秒，两部分的重叠部分的图形面积（按单层计算）为S，请求出s与t之间的函数关系式．
35．（2023春•商洛期末）问题提出
（1）如图1，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．若BD＝4，则CE的长为 ．
问题探究
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝60°，E为线段BD延长线上的一点，连接AE，CE，求证：CE＝AE．
问题解决
（3）王叔叔家门前有一块四边形空地ABCD，王叔叔计划用该空地开发一个种植基地，如图3，经测量，AB＝300米，AD＝480米，BC＝140米，CD＝400米，并测得∠ABD+∠BDC＝90°，请依据相关数据帮王叔叔计算该四边形空地ABCD的面积．
36．（2023•晋中模拟）综合与实践
问题情境：
（1）如图1，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC，AD＝AE．如图2，将△ABC 绕顶点A按逆时针方向旋转15°得到△AB'C'，连接B′D，C′E，求证：B′D＝C′E．
深入研究：
（2）①如图3，在正方形ABCD和正方形CEFG中，已知点B，C，E在同一直线上，连接DE，AF，交于点P，求AF：DE的值；
②如图4，若将正方形CEFG绕点C按顺时针方向旋转一定角度，AF：DE的值变化吗？请说明理由．
拓展应用：
（3）如图5，若把正方形ABCD和正方形CEFG分别换成矩形ABCD和矩形CEFG，且AD：AB＝CG：CE＝k，请直接写出此时AF：DE的值．
37．（2023春•金沙县期末）如图1，在等边△ABC中，点D、E分别是BC、AB上的点，CD＝BE，CE与AD交于点O．
（1）填空：∠AOC＝ 度；
（2）如图2，将AO绕点A旋转60°得AF，连接BF、OF，求证：BF＝OC；
（3）如图3，若点G是AC的中点，连接BO、GO，判断BO与GO有什么数量关系？并说明理由．
38．（2023春•万州区校级月考）已知△ABC是等边三角形．
（1）如图1，若AB＝4，点D在线段BC上，且BD＝1，连接AD，求AD的长；
（2）如图2，点E是BC延长线上一点，∠AEF＝60°，EF交△ABC的外角平分线于点F，求证：CF＝AC+CE；
（3）如图3，若AB＝8，动点M从点B出发，沿射线BC方向移动，以AM为边在右侧作等边△AMN，取AC中点H，连接NH，请直接写出NH的最小值及此时BM的长．
39．（2023•黄石模拟）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点（1，1）是函数的y=12x+12图象的“等值点”．
（1）试判断函数y=1x−1（x＞1）的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，请说明理由；
（2）已知函数y＝x2﹣2的图象的“等值点”为点A（﹣1，﹣1）和点B（2，2）．
①已知实数m、n满足m2﹣m﹣2＝0，n2﹣n﹣2＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值；
②已知实数p、q满足p2＝p+2，2q2＝q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值；
③若函数y＝x2﹣2（x≥1）的图象记为W1将其沿直线x＝1翻折后的图象记为W2，由W1，W2两部分组成的图象记为W，试求图象W上的“等值点”．
40．（2023春•凤城市期末）如图1，△ABC为等边三角形，在AB、AC上分别取点E、D，使AE＝AD，连接DE．
（1）求证：△ADE是等边三角形．
（2）点M、N分别是BE、CD的中点，连接MN，当△ADE绕A点旋转到如图2的位置时，求∠MAN的度数．
（3）在（2）条件下，若∠CAD＝30°，AC＝14，DE=43，求AN的长．
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