2024年中考数学压轴题专项练习—隐形圆之定点定长作圆

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A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：如图，由题意：，以为圆心为半径，作．
，，
，故①②正确，
当是等腰三角形时，易知，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，故③正确，
当时，易知，
，
，
，，
，故④正确．
故选：．
二．填空题（共11小题）
2．（2023•黑龙江）如图，在中，，，点是斜边的中点，把绕点顺时针旋转，得，点，点旋转后的对应点分别是点，点，连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值是 ．
【解答】解：线段为定值，
点到的距离最大时，的面积有最大值．
在中，，是的中点，
，，，
，
过点作交的延长线于点，
，
点的在以为圆心，长为半径的圆上，
，
点到的距离最大值为，
，
故答案为：．
3．（2022秋•襄都区校级期末）如图1，在矩形中，，，，分别是边和的中点，若线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，如图2所示．
（1）当线段绕点逆时针旋转时，线段的长 ；
（2）如图3，连接，则长度的最小值是 ．
【解答】解：（1）如图1，过点作交的延长线于点，
则，
四边形是矩形，
，
，分别是边和的中点，
，，
在中，，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
在△和中，
，
△，
，，
，
在△中，，
故答案为：．
（2）如图2，以为圆心，5为半径作，连接交于，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
点始终在上，
当点与点重合时，为最小值．
在中，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
4．（2022•濮阳二模）如图，在中，，，，点是的中点，点是斜边上任意一点，连接，将沿对折得到，连接，则周长的最小值是 ．
【解答】解：在中，，，，
，
，
如图，以点为圆心，为半径作圆，连接，交于点，
此时的长度最小，
将沿对折得到，且点是的中点，
，，
，
此时的周长最小，
过作于点，
，
由勾股定理可得，
，
由勾股定理可得，
，
周长的最小值是．
故答案为：．
5．（2021秋•萨尔图区校级期末）如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，的最大值为 ．
【解答】解：为坐标平面内一点，，
点的运动轨迹是在半径为2的上，
如图，取，连接，
点为线段的中点，
是的中位线，
，
最大值时，取最大值，此时、、三点共线，
此时在中，，
，
的最大值是．
故答案为：．
6．（2021秋•武昌区期中）已知，的直径，点为上一动点，、分别平分的外角，与交于点．若将绕点逆时针旋转，则点所经历的路径长为 ．（提示：在半径为的圆中，圆心角所对弧长为
【解答】解：如图，连接，设，
是的直径，
，
，，
、分别平分的外角，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
点在半径为2的上逆时针旋转，
点所经历的路径长为：，
故答案为：．
7．（2021•汉阳区校级模拟）如图，四边形中，，，，则 ．
【解答】解：过点作于．
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
8．（2020•武汉模拟）如图，四边形中，，，则 ．
【解答】解：，
点、、在以点为圆心，为半径的圆上，
，，
设，则，
，
，
，
，
，
，
即，解得，
即．
故答案为．
9．（2019秋•高淳区期末）如图，已知：，，，则 ．
【解答】解：根据题意，可以以点为圆心，以为半径作圆，
即可得出点、、均在圆周上，
故有，
即．
故答案为：．
10．（2012•泗阳县校级模拟）如图，四边形中，，如果，，那么 142 ．
【解答】解：，，
，
，，
则．
法二：根据题意，可以以点为圆心，以为半径作圆，即可得出点、、均在圆周上，
故有，，
，
故答案为：142
11．（2010•鄂州）如图，四边形中，，是的中点，，，，则 12 ．
【解答】解：法一：以点为圆心，为半径画圆，作，垂足为，
，、两点都在上，
是的中点，，由垂径定理得，
，，
，
，
又，
，
，
为等边三角形，
设，
在中，，
在中，，，
同理，，
由，得
解得，即．
法二：作，垂足为，
，是的中点，
，，
，，
，
又，
，
，
，
，
为等边三角形，
设，
在中，，
在中，，，
同理，，
由，得
解得，即．
12．（2008•济宁）如图，四边形中，，若，则 38 度．
【解答】解：，
点，，可以看成是以点为圆心，为半径的圆上的三个点，
是弧对的圆周角，是弧对的圆心角；
，
．
三．解答题（共15小题）
13．（2023•竞秀区二模）已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，弦．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，若，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积；
（3）如图3，取的中点，点从点开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中：点到的距离的最小值是 ．
【解答】（1）证明：，
，
，
，，
，
，
又，
；
（2）解：过作于，连接，如图
半圆中，直径，
，
，
，
，，
，
；
（3）连接，，
是的中点，
，，
，
点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
过作，垂足为，
，
，
点到的距离的最小值是，
故答案为：．
14．（2021秋•武夷山市期末）如图，为线段上一点，分别以、为边在的同侧作等边与等边，连接．
（1）如图1，当时，直接写出与的数量关系为 ；
（2）在（1）的条件下，点关于直线的对称点为，连接、，求证：平分；
（3）现将图1中绕点顺时针旋转一定角度，如图2，点关于直线的对称点为，则（2）中的结论是否成立并证明．
【解答】解：（1），
与都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图1，由对称性得，，
，
，
，
由（1）可得，
，
，
即平分；
（3）结论仍然正确，理由如下：
如图，由对称性可知：，
又，
，
，，都在以为圆心，为半径的圆上，
，
同理可得．，
，
平分．
15．（2022秋•任城区校级期末）【阅读】
辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁．在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽．
性质：如图①，若，则点在经过，，三点的圆上．
【问题解决】
运用上述材料中的信息解决以下问题：
（1）如图②，已知．
求证：．
（2）如图③，点，位于直线两侧．用尺规在直线上作出点，使得．（要求：要有画图痕迹，不用写画法）
（3）如图④，在四边形中，，，点在的延长线上，连接，．
求证：是外接圆的切线．
【解答】解：（1）如图②，由，可知
点，，在以为圆心，为半径的圆上．
所以，．
（2）如图③，点，就是所要求作的点．
（3）如图④，取的中点为圆心，为直径作圆，则是的外接圆；
由，可得点在的外接圆上．
．
，
．
，
．
．
即．
是外接圆的切线．
16．（2015•汕尾）在中，，，，分别是边，的中点，若等腰绕点逆时针旋转，得到等腰△，设旋转角为，记直线与的交点为．
（1）如图1，当时，线段的长等于 ，线段的长等于 ；（直接填写结果）
（2）如图2，当时，求证：，且；
（3）求点到所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）
【解答】（1）解：，，，分别是边，的中点，
，
等腰绕点逆时针旋转，得到等腰△，设旋转角为，
当时，，，
，；
故答案为：，；
（2）证明：当时，如图2，
△是由绕点逆时针旋转得到，
，，
在△和△中
，
△△，
，且，
记直线与交于点，
，
，
；
（3）解：如图3，作，交所在直线于点，
，在以为圆心，为半径的圆上，
当所在直线与相切时，直线与的交点到直线的距离最大，
此时四边形是正方形，，则，
故，
则，
故点到所在直线的距离的最大值为：．
17．（2021秋•盱眙县期末）（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数，若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 45或135 ．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形中，，，求的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：的外接圆就是以的中点为圆心，长为半径的圆；的外接圆也是以的中点为圆心，长为半径的圆．这样、、、四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在中，，是边上的高，且，，求的长．
【解答】解：（1）如图1，，，
以点为圆心，点、、必在上，
是的圆心角，而是圆周角，
，
同理，当点在弧上时，．
故答案为：或135；
（2）如图2，取的中点，连接、．
，
点、、、共圆，
，
，
，
（3）如图3，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．
，
．
在中，，
．
，为圆心，
，
．
在中，，，
．
在中，，，
，
．
18．（2020秋•盱眙县期末）如图，中，，，过点任作一条直线，将线段沿直线翻折得线段，直线交直线于点．
（1）小智同学通过思考推得当点在上方时，的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程：
，
、、三点在以为圆心以为半径的圆上．
．
（2）若，求的长．
（3）线段最大值为 ；若取的中点，则线段的最小值为 ．
【解答】解：（1），
、、三点在以为圆心以为半径的圆上，
，
故答案为：，45；
（2）由折叠可知，垂直平分，
，
设、交于点，则，
，
，
，
在中，
由勾股定理得，，
；
（3），，，三点在以为圆心，以为半径的圆上，
当经过圆心时，线段的最大值为，
在中，，，
，
，，
连接，取的中点，连接，如图，
垂直平分，，
，
，
，
，
，
点在以点为圆心，为直径的圆上，
，
点在上，
当经过点时，最短，此时，
，
，
即线段的最小值为，
故答案为：8；．
19．（2019秋•望城区期末）（1）【问题背景】有些数学问题，将圆隐藏在已知条件里，如果能通过分析探索，发现这些隐藏的圆，然后添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．
分析：若以点为圆心，为半径作辅助圆，因为，所以点、在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 25 ．
（2）【问题解决】如图2，四边形中，，以为直径作．
①试说明点、都在上；
②若，求的度数．
（3）【问题拓展】如图3，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点，直线与轴交于点，连接．含角的直角三角板如图所示放置，直角顶点在上，一个顶点与重合，另一顶点在直线上，求此抛物线的解析式．
【解答】解：（1）如图1，
，，
以点为圆心，点、、必在上，
是的圆心角，而是圆周角，
，
故答案为：；
（2）①以为直径作，则为的中点，连接、，
，
，
点、都在上；
②、是中同弧所对的圆周角，
；
（3）抛物线，
对称轴为直线，
直线是直线，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，
，
点，
将点和点代入中得：，
解得：，
抛物线的解析式为：．
20．（2018秋•涧西区校级期中）如图（1），在中，，，、分别是，的中点．若等腰绕点逆时针旋转，得到等腰△，如图（2），设旋转角为，记直线与的交点为．
（1）求证：；
（2）当时，则旋转角为 （直接写结果）
（3）连接，面积的最大值为 （直接写结果）
【解答】解：（1）在和中
；
（2）与的交点记作点，如图（2），
由（1）知，
，
，
，
，
，
旋转角
故答案为；
（3）如图3，
，
点，分别是，的中点，
，
由旋转知，
作，交所在直线于点，
，在以为圆心，为半径的圆上，
当所在直线与相切时，直线与的交点到直线的距离最大，
此时四边形是正方形，，
则，
，
，
点到所在直线的距离的最大值为：．
的面积最大值为，
故答案为．
21．（2017•台江区校级自主招生）如图，平面直角坐标系中，已知点，，，，记线段为，线段为，点是坐标系内一点．给出如下定义：若存在过点的直线与，都有公共点，则称点是联络点．
例如，点是联络点．
（1）点，，中，是联络点的是 ， ．（填出所有正确的点的坐标）；
（2）直接在图1中画出所有联络点所组成的区域，用阴影部分表示；
（3）已知点在轴上，以为圆心，为半径画圆，上只有一个点为联络点，求的取值范围．
【解答】解：（1）根据联络点的定义可知，，是联络点，
故答案为：，；
（2）所有联络点所组成的区域为图中阴影部分（含边界）；
（3）由（2）知，阴影部分关于直线对称，故设点位于阴影部分的下方，
点在轴上，上只有一个点为联络点，且阴影部分关于轴对称，
与直线相切于，且与直线相离，
作于，设与的交点为，
，，，
在中，，，，
，，
在中，，，，
，
，且，
．
22．（2022秋•丰都县期末）在中，，，为边上一点，连接．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，将的边绕点在同一平面内顺时针旋转得到，为延长线上一点，连接．若，，求证：；
（3）如图3，在（1）的条件下，为射线上一动点，连接，，将沿翻折，得到，连接，为的中点，连接，当的长度最小时，请直接写出的值．
【解答】（1）解：如图1，在中，，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，；
（2）证明：如图2，过点作于点，过点作交于点，
则，
设，，
则，，
边绕点在同一平面内顺时针旋转得到，
，，
，，
，
，
，
，
，
即，
，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
解得：，
，
；
（3）解：由（1）知，，如图3，在射线截取，连接，
以为圆心，2为半径作，
为的中点，为的中点，
，
当的长度最小时，的长度最小，
将沿翻折，得到，
，即点在以为圆心，2为半径的上运动，
当经过点且点在线段上时，的长度最小，
如图4，过点作于点，过点作交的延长线于点，
则，
，
，
，
，即的最小值为，
将沿翻折，得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故的值为．
23．（2022•番禺区二模）已知抛物线与轴交于点，两点，，．其顶点的横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设点在抛物线第一象限的图象上，垂足为，轴交直线于点，当面积等于4时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点是抛物线上的一点，点从点运动到达点，交直线于点，延长与线段的延长线交于点，点为，，三点构成的三角形的外心，求点经过的路线长．
【解答】解：（1）点，点两点关于直线对称，，
，，
代入得，
，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）如图1所示：
轴，
，
抛物线的解析式为，
顶点，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
设点，则，
，
解得：或（舍，
，．
（3）如图2所示，
是直角三角形，
的外心是斜边的中点，
当点位于点时，△，其外心是斜边的中点，
当点位于点时，得△，其外心是斜边的中点，即的中点，
，，
，
，
由（2）得，，
，
，
，
平分，，
点，，，四点共圆，
点在线段的垂直平分线上，即点在上运动，即点的运动轨迹是一条线段．
，，
四边形为正方形，
此时点在上，且；
当点与点重合时，此时点在上，即为，且，
由题意，，，，，
△，
，解得，
，
由勾股定理可得：，
即点的运动轨迹长为1．
24．（2021•哈尔滨模拟）（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 45 ．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形中，，，求的度数．
（3）【问题拓展】
如图3，如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是 ．
【解答】解：（1）如图1，，，
以点为圆心，为半径作圆，点、、必在上，
是的圆心角，而是圆周角，
，
故答案为：45；
（2）如图2，取的中点，连接、．
，
点、、、共圆，
，
，
，
（3）如图3，在正方形中，，，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
取的中点，连接、，
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，，
当、、三点共线时，的长度最小，
最小值．
（解法二：可以理解为点是在，直径的半圆上运动当、、三点共线时，长度最小）
故答案为：．
25．（2020秋•江北区校级月考）与都是等腰直角三角形，，，，点、分别在、边上，连接，点是的中点．
（1）如图1，若是的中点，求线段的长；
（2）如图1，易得结论：，且．把绕点顺时针旋转，如图2，使点落在边上，则结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，点是上的一个动点，点是上的一点，且，连接、，再将绕点旋转过程中，请写出的最小值．
【解答】解：（1）是等腰直角三角形，，
，
是的中点，
，
是等腰三角形，
，
；
（2）成立，理由如下：
，，
，
是的中点，
，
过点作垂直交于，过点作交于，
，，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，即，
；
（3）是等腰直角三角形，
，
，
，
绕点旋转，
点在以为圆心，为为半径的圆上运动，
取的中点，连接，
是的中点，
，且，
点在以为圆心，为半径的圆上，
作点关于的对称点，连接，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，
在中，，，
，
的最小值为．
26．（2017秋•丹徒区期末）阅读理解
（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝46°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ 23 °．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝28°，求∠BAC的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，求证：∠EFC＝∠DFC．
【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝23°，
故答案为：23°；
（2）证明：取BD中点O，连接AO、CO，
在Rt△BAO中，AO＝BD，
同理：CO＝BD
∴AO＝DO＝CO＝BO，
∴点A、B、C、D在以O为圆心的同一个圆上，
∴∠BAC＝∠BDC＝28°；
（3）∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴点A、F、H、E在以AH为直径的同一个圆上，
∴∠EFC＝∠DAC，
同理：点B、D、H、E在以BH为直径的同一个圆上，
∠DFC＝∠CBE，
又∵∠DAC＝∠EBC，
∴∠EFC＝∠DFC．
27．（2016秋•香坊区校级期中）在四边形中，、交于点，且．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，若，求证：．
（3）如图3，若，，过作于，过作于，且，，求的长．
【解答】解：（1）解法一：中，，
中，，
，
，
，
，
，
，
；
解法二：如图1，，
，
，
，
点，，三点在以为圆心，以为半径的圆上，
与是所对的圆心角和圆周角，
；
（2）由（1）证得：，
，
，
，
是等边三角形，
；
（3）如图3，过作于，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
设，，
由得：，
，
．