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高一物理下学期期末复习精细讲义（人教2019）第7讲 机械能守恒定律及其应用（原卷版+解析）
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这是一份高一物理下学期期末复习精细讲义（人教2019）第7讲 机械能守恒定律及其应用（原卷版+解析），共42页。试卷主要包含了重力势能，弹性势能，守恒表达式等内容，欢迎下载使用。
知识点1：重力势能与弹性势能
1．重力势能
(1)重力做功的特点
①重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关．
②重力做功不引起物体机械能的变化．
(2)重力势能
①公式：Ep＝mgh.
②矢标性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同．
③系统性：重力势能是物体和地球共有的．
④相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关．重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关．
(3)重力做功与重力势能变化的关系
①定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加．
②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
2．弹性势能
(1)大小：弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及劲度系数有关．
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增加．
对于弹性势能，一般取物体的弹性形变为零时的弹性势能为零．当弹簧的伸长量与压缩量相等时，其弹性势能相等．
知识点2：机械能守恒定律
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．机械能守恒的条件
只有重力或弹力做功．
3．守恒表达式
（1）守恒观点：①表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2。式中EKl、EPl、E1分别是初态动能、势能和机械能；EK2、EP2、E2分别是末态动能、势能和机械能。表示初态机械能等于末态机械能。
②意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能。
③注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面。
（2）转化观点：①表达式：ΔEk＝－ΔEp。
②意义：系统（或物体）的机械能守恒时，系统增加（或减少）的动能等于系统减少（或增加）的势能。
③注意问题：要明确势能的增加量或减少量，即势能的变化，可以不选取零势能参考平面。
转移观点：
①表达式：ΔEA增＝ΔEB减。
②意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量。
③注意问题：A部分机械能的增加量等于A部分末状态的机械能减初状态的机械能，而B部分机械能的减少量等于B部分初状态的机械能减末状态的机械能。
(1)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒．( )
(2)物体受到摩擦力作用时，机械能一定要变化．( )
(3)物体只发生动能和势能的相互转化时，物体的机械能一定守恒．( )
【典例1】(多选)下列运动中能满足机械能守恒的是( )
A．手榴弹从手中抛出后的运动(不计空气阻力)
B．子弹射穿木块
C．细绳一端固定，另一端拴着一个小球，使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动
D．吊车将货物匀速吊起
【典例2】如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在将弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的是( )
A．重力势能和动能之和总保持不变
B．重力势能和弹性势能之和总保持不变
C．动能和弹性势能之和总保持不变
D．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
【典例3】(多选)“蹦极”是一项非常刺激的体育运动．如图所示，运动员身系弹性绳自高空中Q点自由下落，图中a是弹性绳的原长位置，c是运动员所到达的最低点，b是运动员静止地悬吊着时的平衡位置．则( )
A．由Q到c的整个过程中，运动员的动能及重力势能之和守恒
B．由a下降到c的过程中，运动员的动能一直减小
C．由a下降到c的过程中，运动员的动能先增大后减小
D．由a下降到c的过程中，弹性绳的弹性势能一直增大
【典例4】伽利略曾设计如图所示的一个实验，将摆球拉至M点放开，摆球会达到同一水平高度上的N点．如果在E或F处钉上钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点．这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面(或弧线)下滑时，其末速度的大小( )
A．只与斜面的倾角有关
B．只与斜面的长度有关
C．只与下滑的高度有关
D．只与物体的质量有关
【典例5】如图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B．5R/3
C．4R/3 D．2R/3
考点1：机械能守恒的判断
1.机械能守恒的条件
只有重力或弹力做功，可以从以下四个方面进行理解：
（1）物体只受重力或弹力作用．
（2）存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或弹力做功．
（3）其他力做功，但做功的代数和为零．
（4）存在相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能的转化．
2.机械能守恒的判断方法
（1）利用机械能的定义判断(直接判断)：分析动能和势能的和是否变化．
（2）用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．
（3）用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒．
【典例1】如图所示的物理过程示意图中，甲图为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车，B静止，A获得一向右的初速度后向右运动，某时刻连接两车的细绳绷紧，然后带动B车运动；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动．则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是( )
A．甲图中小球机械能守恒
B．乙图中小球A的机械能守恒
C．丙图中两车组成的系统机械能守恒
D．丁图中小球的机械能守恒
【典例2】如图所示，用轻弹簧相连的物块A和B放在光滑的水平面上，物块A紧靠竖直墙壁，一颗子弹沿水平方向射入物块B后留在其中，由子弹、弹簧和A、B所组成的系统在下列依次进行的过程中，机械能不守恒的是（ ）
A．子弹射入物块B的过程
B．物块B带着子弹向左运动，直到弹簧压缩量最大的过程
C．弹簧推着带子弹的物块B向右运动，直到弹簧恢复原长的过程
D．带着子弹的物块B因惯性继续向右运动，直到弹簧伸长量达最大的过程
（1）对一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒．
（2）对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．
（3）对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。
考点2：机械能守恒定律的表达式及应用
1.三种守恒表达式的比较
2.应用机械能守恒的一般步骤
（1）选取研究对象（物体或系统）。
（2）明确研究对象的运动过程，分析研究对象在过程中的受力情况，弄清各力做功情况，判断机械能是否守恒。
（3）选取恰当的参考平面，确定研究对象在初末状态的机械能。
（4）选取恰当的表达式列方程求解。常见的表达式有三种（见上面表达式）。
（5）对计算结果进行必要的讨论和说明。
3.机械能守恒定律的应用技巧
（1）机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。
（2）如果系统（除地球外）只有一个物体，用守恒式列方程较方便；对于由两个或两个以上物体组成的系统，用转化式或转移式列方程较简便。
【典例1】如图所示，倾角为θ的直角斜面体固定在水平地面上，一根轻质弹簧上端固定在斜面上，下端拴一质量为m的物块，物块放在光滑斜面上的P点并保持静止，弹簧与斜面平行，此时弹簧具有的弹性势能为Ep，已知弹簧的劲度系数为k，现将物块缓慢沿斜面向上移动，到弹簧刚恢复至原长位置时，由静止释放物块，求在以后的运动过程中物块的最大速度．
【典例2】如图所示，物块A的质量为M，物块B、C的质量都是m，并都可看作质点，且m(1)物块A上升时的最大速度；
(2)若B不能着地，求eq \f(M,m)满足的条件．
轻杆模型中的机械能守恒
1.模型构建
轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型．
2.模型条件
（1）忽略空气阻力和各种摩擦．
（2）平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．
3.模型特点
（1）杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
（2）对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒．
【典例1】质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球eq \f(L,3)处有一个光滑固定轴O，如图所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低点位置时，求：
(1)小球P的速度大小；
(2)在此过程中小球P机械能的变化量．
【典例2】如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：
(1)两球在光滑水平面上运动时的速度大小；
(2)整个运动过程中杆对A球所做的功．
在利用轻杆模型求解问题时应注意以下两点：
（1）本类题目易误认为两球的线速度相等，还易误认为单个小球的机械能守恒．
（2）杆对球的作用力方向不再沿着杆，杆对小球P做正功从而使它的机械能增加，同时杆对小球Q做负功，使小球Q的机械能减少，系统的机械能守恒.
一、多选题
1．如图所示，两个可视为质点的质量相同的小球a、b分别被套在刚性轻杆的中点位置和其中一端的端点处，两球相对于杆固定不动，杆长，轻杆的另一端可绕固定点O自由转动。当装置在竖直平面内由水平位置静止释放，某一时刻轻杆绕点转动的角度为（为锐角），若此时球a的速度大小为，方向斜向左下。运动过程中不计一切摩擦（），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．此时b球的速度大小为
C．轻杆对a球不做功，对b球做负功
D．从初始位置到转过θ角度过程中，a球机械能减小，b球机械能增加
2．1924年跳台滑雪被列为首届冬奥会项目。如图所示，一名运动员从雪道的最高点M由静止开始滑下，经过水平段后从P点飞入空中，最终落到Q点，不计运动员经过N点的机械能损失和空气阻力。已知运动员从M点到P点，重力做功为，克服阻力做功为，从P点到Q点重力做功为，设P点所在平面为零势能面，则下列说法正确的是（ ）
A．运动员在P点的动能为
B．运动员从M点到P点机械能减少了
C．运动员在Q点的机械能为
D．运动员从M点到Q点重力势能减少了
3．如图所示，倾角为、质量为的斜面体置于水平地面上，质量为的物块放在斜面上，穿过光滑小环（O为接触点）的不可伸缩的轻质细线一端连接物块，另一端系着一个质量为m的小球，物块与小环间的细线与斜面平行。现将小球从位置a由静止释放（此时水平且细线刚好伸直），重力加速度为g，，则在小球从位置a摆到最低点b的过程中，下列说法正确的是（ ）（物块和斜面体始终静止，不计空气阻力）
A．斜面对物块的摩擦力先减小后增大
B．斜面对物块的摩擦力的最大值为
C．地面对斜面体的支持力的最小值为
D．地面对斜面体的支持力的最小值为
4．如图所示，质量为的小球甲固定在轻弹簧上，轻弹簧固定在水平面上，小球甲和轻弹簧套在一竖直固定的光滑杆上，小球甲和质量为的物体乙用跨过一个光滑小定滑轮的不可伸长的轻绳连接。初始时，用手托住物体乙，使轻绳刚好伸直且绳上拉力为零，此时，连接小球甲和小定滑轮之间的轻绳与水平方向的夹角为，且小球甲静止于点，现将物体乙由静止释放，经过一段时间后小球甲运动到点，水平并相切于小定滑轮上的点，且小球在两点时弹簧的弹力大小相等。已知重力加速度为，，，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数
B．小球甲运动到N点时的速度大小为
C．小球甲由M点运动到N点的过程中，小球甲和物体乙的机械能之和先减小后增大
D．在小球甲由M点运动到N点的过程中，物体乙重力的瞬时功率一直增大
5．如图所示，一条轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球a和b，用手托住球b，当绳刚好被拉紧时，球b离地面的高度为h，球a静止于地面。已知球a的质量为m，球b的质量为3m，重力加速度为g，定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计。若无初速度释放球b，则下列判断正确的是（ ）
A．经过时间，球b恰好落地
B．在球b下落过程中，球b所受拉力大小为1.5mg
C．在球b下落过程中，球a的机械能保持不变
D．球b落地前瞬间速度大小为
二、单选题
6．如图所示，光滑半圆弧槽静止在光滑的水平面上，一滑块从槽顶端A处由静止下滑，滑至槽最低点上方的某点B时速度达到最大，则滑块运动到B点时（ ）
A．圆弧槽速度也达到最大值
B．滑块和槽组成的系统总动能最大
C．滑块对槽压力做功的功率等于重力对滑块做功的功率
D．重力对滑块做功的功率大于滑块克服支持力做功的功率
7．有三个斜面a、b、c，底边长与高度分别如图所示。某物体与三个斜面间的动摩擦因数都相同，这个物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端。三种情况相比较，下列说法正确的是（ ）
A．物体损失的机械能
B．物体重力势能的变化量
C．物体到达底端的动能
D．因摩擦产生的热量
8．如图，将一质量为m的小球从a点以初速度v斜向上抛出（不计空气阻力），小球先后经过b、c两点。已知a、c之间的高度差和b、c之间的高度差均为h，重力加速度为g，取b点所在的水平面为零势能面，则小球在（ ）
A．a点的重力势能为0B．b点的动能为
C．b点的机械能为D．c点的机械能为
9．如图所示，一小球自A点由静止开始自由下落，到达B点时与弹簧接触，到达C点时弹簧被压缩至最短。若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由A至B到C的运动过程中（ ）
A．小球的机械能守恒
B．小球在B点时动能最大
C．小球由B到C加速度先减小后增大
D．小球由B到C的过程中，动能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量
10．一质量为可视为质点的小球，系于长为的轻绳一端，绳的另一端固定在点，假定绳不可伸长，柔软且无弹性。现将小球从点的正上方距离点的点以水平速度抛出，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为
B．轻绳从释放到绷直所需时间为
C．轻绳绷直后瞬间，小球的速度大小为
D．当小球到达点正下方时，绳对质点的拉力为
11．如图所示，质量均为m的两个物块A、B叠放在轻弹簧上，处于静止状态。轻弹簧下端固定在地面上，上端与物块B连接。从某时刻开始对物块A施加竖直向上的恒力F，物块A开始向上运动，物块B与弹簧组成的系统机械能没有变化。经过时间t，撤去力F，物块B也第一次达到最大高度。忽略空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．F大小为2mg
B．F大小可能为1.8mg
C．若在2t时刻两物块的距离刚好达到最大，则该最大距离为gt2
D．在1.5t时刻，物块B与弹簧组成的系统的势能可能达到最大值
12．一木箱放在电梯的水平底板上，随同电梯在竖直方向运动，运动过程中木箱的机械能E与位移x关系的图像如图所示，其中过程的图线为曲线，过程的图线为直线。根据该图像，在过程中下列判断正确的是（ ）
A．电梯向上先变加速后匀减速B．电梯所受拉力先增大后不变
C．木箱所受支持力先减小后不变D．木箱一直处于超重状态
三、实验题
13．“验证机械能守恒定律”的实验装置示意图.现有的器材为：带铁夹的铁架台、电磁打点计时器、纸带、带铁夹的重锤、天平，回答下列问题：
（1）为完成此实验，除了所给的器材，还需要的器材有___________.（填入正确选项前的字母）
A．毫米刻度尺 B．秒表 C．约为8V的交流电源 D．220V的交流电源
（2）关于重锤的选用，以下说法正确的是___________.
A．重锤选用体积较大且质量较小的
B．重锤选用体积较小且质量较大的
C．选用重锤后要称质量
（3）质量的重锤自由下落，在纸带上打出了一系列的点，如图所示，相邻计数点的时间间隔为0.02s，长度单位是cm，g取9.8m/s2.（结果保留2位有效数字）：
①打点计时器打下计数点B时，重锤的速度___________m/s.
②从打下计数点O到打下计数点B的过程中，重锤重力势能的减小量___________J，动能的增加量___________J.
14．利用图1装置做“验证机械能守恒定律”的实验。
（1）实验中除带夹子的重物、纸带、铁架台（含铁夹）、电磁打点计时器、导线及开关外，在下列器材中，还必须使用的器材是______。
A．直流电源 B．刻度尺 C．天平（含砝码） D．秒表
（2）实验中，需先接通电源，再释放重物，得到如图2所示的一条纸带，在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为h、h、h。已知当地重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T，设重物的质量为m，从打O点到打B点的过程中，重物的重力势能减少量ΔEp=______；动能增加量ΔEk=______；大多数学生的实验结果显示重力势能的减少量______（填“小于”、“等于”、“大于”）动能的增加量。
（3）某同学利用图中纸带，先分别测量出从某点到A、B、C、D、E、F、G点的距离h（其中D、E、F、G点为C点后连续打出的点，图中未画出），再计算打出B、C、D、E、F各点时重锤下落的速度v，绘制v2-h图像，如图所示，并求得图线的斜率为k。假设上述实验操作中不受一切阻力影响，此时绘制的v2-h图线的斜率k′与k的大小关系是k′______k（填“小于”、“等于”、“大于”）。
四、解答题
15．如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相接，导轨半径为。一个质量为的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，它经过B点的速度为，之后沿半圆形导轨运动，到达C点的速度为。重力加速度为。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）物体沿半圆形导轨运动过程中阻力所做的功；
（3）物体在最高点C轨道对物体的弹力。
16．如图所示，在倾角为的斜面的底端有一个固定挡板D，已知物块与斜面PO间的动摩擦因数μ＝0.50，斜面OD部分光滑，处于自然长度的轻质弹簧一端固定在D点，另一端在O点，PO的长度L=16m。在P点有一质量为1kg的小物体A（可视为质点），现使A从静止开始下滑，g=10m/s2，，。求：
（1）物体第一次接触弹簧时物体的速度的大小；
（2）若已知弹簧的最大压缩量为d=0.5m，求弹簧的最大弹性势能Ep；
（3）物体与弹簧第一次接触后反弹，物体从O点沿斜面上升的最大距离x。
表达
角度
表达公式
表达意义
注意事项
守恒
观点
Ek＋Ep＝Ek′＋Ep′
系统初状态的机械能的总和与末状态机械能的总和相等
应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能
转化
观点
ΔEk＝－ΔEp
表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能
应用时关键在于分清重力势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差
转移
观点
ΔE增＝ΔE减
若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等
常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
第7讲 机械能守恒定律及其应用
知识点1：重力势能与弹性势能
1．重力势能
(1)重力做功的特点
①重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关．
②重力做功不引起物体机械能的变化．
(2)重力势能
①公式：Ep＝mgh.
②矢标性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同．
③系统性：重力势能是物体和地球共有的．
④相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关．重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关．
(3)重力做功与重力势能变化的关系
①定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加．
②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
2．弹性势能
(1)大小：弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及劲度系数有关．
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增加．
对于弹性势能，一般取物体的弹性形变为零时的弹性势能为零．当弹簧的伸长量与压缩量相等时，其弹性势能相等．
知识点2：机械能守恒定律
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．机械能守恒的条件
只有重力或弹力做功．
3．守恒表达式
（1）守恒观点：①表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2。式中EKl、EPl、E1分别是初态动能、势能和机械能；EK2、EP2、E2分别是末态动能、势能和机械能。表示初态机械能等于末态机械能。
②意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能。
③注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面。
（2）转化观点：①表达式：ΔEk＝－ΔEp。
②意义：系统（或物体）的机械能守恒时，系统增加（或减少）的动能等于系统减少（或增加）的势能。
③注意问题：要明确势能的增加量或减少量，即势能的变化，可以不选取零势能参考平面。
转移观点：
①表达式：ΔEA增＝ΔEB减。
②意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量。
③注意问题：A部分机械能的增加量等于A部分末状态的机械能减初状态的机械能，而B部分机械能的减少量等于B部分初状态的机械能减末状态的机械能。
(1)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒．(×)
(2)物体受到摩擦力作用时，机械能一定要变化．(×)
(3)物体只发生动能和势能的相互转化时，物体的机械能一定守恒．(√)
【典例1】(多选)下列运动中能满足机械能守恒的是( )
A．手榴弹从手中抛出后的运动(不计空气阻力)
B．子弹射穿木块
C．细绳一端固定，另一端拴着一个小球，使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动
D．吊车将货物匀速吊起
【解析】 手榴弹从手中抛出后，在不计空气阻力的情况下只有重力做功，没有其他力做功，机械能守恒，A正确；子弹穿过木块的过程中，子弹受到木块施加的摩擦力的作用，摩擦力对子弹做负功，子弹的动能一部分转化为内能，机械能不守恒，B不正确；小球在光滑的水平面上运动，受到重力，水平面对小球的支持力，还有细绳对小球的拉力作用，这些力皆与小球的运动方向垂直，不做功，所以小球在运动过程中无能量转化，保持原有的动能不变，即机械能守恒，C正确；吊车将货物匀速吊起的过程中，货物受到与其重力大小相等、方向相反的拉力作用，上升过程中除重力做功外还有拉力对物体做正功，货物的机械能增加，故D所指的运动过程机械能不守恒，D不正确．
【答案】 AC
【典例2】如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在将弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的是( )
A．重力势能和动能之和总保持不变
B．重力势能和弹性势能之和总保持不变
C．动能和弹性势能之和总保持不变
D．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
【解析】 在小球与弹簧相互作用过程中，重力势能、弹性势能和动能相互转化，总和保持不变，D正确；重力势能一直减小，故动能和弹性势能之和一直增大，C错误；动能先增大后减小，故重力势能与弹性势能之和先减小后增大，B错误；因弹性势能一直增大，故重力势能与动能之和一直减小，A错误．
【答案】 D
【典例3】(多选)“蹦极”是一项非常刺激的体育运动．如图所示，运动员身系弹性绳自高空中Q点自由下落，图中a是弹性绳的原长位置，c是运动员所到达的最低点，b是运动员静止地悬吊着时的平衡位置．则( )
A．由Q到c的整个过程中，运动员的动能及重力势能之和守恒
B．由a下降到c的过程中，运动员的动能一直减小
C．由a下降到c的过程中，运动员的动能先增大后减小
D．由a下降到c的过程中，弹性绳的弹性势能一直增大
【解析】 由Q到c的整个过程中，运动员的动能、重力势能和弹性绳的弹性势能之和守恒，A错误；由a下降到c的过程中，运动员的动能先增大后减小，B错误，C正确；由a下降到c的过程中，弹性绳的伸长量不断增加，故弹性势能一直增大，D选项也正确．
【答案】 CD
【典例4】伽利略曾设计如图所示的一个实验，将摆球拉至M点放开，摆球会达到同一水平高度上的N点．如果在E或F处钉上钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点．这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面(或弧线)下滑时，其末速度的大小( )
A．只与斜面的倾角有关
B．只与斜面的长度有关
C．只与下滑的高度有关
D．只与物体的质量有关
【答案】 C
【典例5】如图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B．5R/3
C．4R/3 D．2R/3
【解析】
如图所示，以A、B两球为系统，以地面为零势能面，设A质量为2m，B质量为m，根据机械能守恒定律有：2mgR＝mgR＋eq \f(1,2)×3mv2，A落地后B将以v做竖直上抛运动，即有eq \f(1,2)mv2＝mgh，解得h＝eq \f(1,3)R.则B上升的高度为R＋eq \f(1,3)R＝eq \f(4,3)R，故选项C正确．
【答案】 C
考点1：机械能守恒的判断
1.机械能守恒的条件
只有重力或弹力做功，可以从以下四个方面进行理解：
（1）物体只受重力或弹力作用．
（2）存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或弹力做功．
（3）其他力做功，但做功的代数和为零．
（4）存在相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能的转化．
2.机械能守恒的判断方法
（1）利用机械能的定义判断(直接判断)：分析动能和势能的和是否变化．
（2）用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．
（3）用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒．
【典例1】如图所示的物理过程示意图中，甲图为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车，B静止，A获得一向右的初速度后向右运动，某时刻连接两车的细绳绷紧，然后带动B车运动；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动．则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是( )
A．甲图中小球机械能守恒
B．乙图中小球A的机械能守恒
C．丙图中两车组成的系统机械能守恒
D．丁图中小球的机械能守恒
【解析】 甲图过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒；乙图过程中A、B两球通过杆相互影响(例如开始时A球带动B球转动)，轻杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以每个小球的机械能不守恒，但把两个小球作为一个系统时机械能守恒；丙图中绳子绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功，但弹力突变有内能转化，机械能不守恒；丁图过程中细绳也会拉动小车运动，取地面为参考系，小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，小球的机械能不守恒，把小球和小车当做一个系统，机械能才守恒．
【答案】 A
【典例2】如图所示，用轻弹簧相连的物块A和B放在光滑的水平面上，物块A紧靠竖直墙壁，一颗子弹沿水平方向射入物块B后留在其中，由子弹、弹簧和A、B所组成的系统在下列依次进行的过程中，机械能不守恒的是（ ）
A．子弹射入物块B的过程
B．物块B带着子弹向左运动，直到弹簧压缩量最大的过程
C．弹簧推着带子弹的物块B向右运动，直到弹簧恢复原长的过程
D．带着子弹的物块B因惯性继续向右运动，直到弹簧伸长量达最大的过程
【答案】A
【解析】子弹射入物块B的过程中，子弹和物块B组成的系统，由于要克服子弹与物块之间的滑动摩擦力做功，一部分机械能转化成了内能，所以机械能不守恒。在子弹与物块B获得了共同速度后一起向左压缩弹簧的过程中，对于A、B弹簧和子弹组成的系统，由于墙壁给A一个推力作用，系统的外力之和不为零，但这一过程中墙壁的弹力不做功，只有系统内的弹力做功，动能和弹性势能发生转化，系统机械能守恒，这一情形持续到弹簧恢复原长为止。当弹簧恢复原长后，整个系统将向右运动，墙壁不再有力作用在A上，这时物块的动能和弹簧的弹性势能相互转化，故系统的机械能守恒。
（1）对一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒．
（2）对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．
（3）对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。
考点2：机械能守恒定律的表达式及应用
1.三种守恒表达式的比较
2.应用机械能守恒的一般步骤
（1）选取研究对象（物体或系统）。
（2）明确研究对象的运动过程，分析研究对象在过程中的受力情况，弄清各力做功情况，判断机械能是否守恒。
（3）选取恰当的参考平面，确定研究对象在初末状态的机械能。
（4）选取恰当的表达式列方程求解。常见的表达式有三种（见上面表达式）。
（5）对计算结果进行必要的讨论和说明。
3.机械能守恒定律的应用技巧
（1）机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。
（2）如果系统（除地球外）只有一个物体，用守恒式列方程较方便；对于由两个或两个以上物体组成的系统，用转化式或转移式列方程较简便。
【典例1】如图所示，倾角为θ的直角斜面体固定在水平地面上，一根轻质弹簧上端固定在斜面上，下端拴一质量为m的物块，物块放在光滑斜面上的P点并保持静止，弹簧与斜面平行，此时弹簧具有的弹性势能为Ep，已知弹簧的劲度系数为k，现将物块缓慢沿斜面向上移动，到弹簧刚恢复至原长位置时，由静止释放物块，求在以后的运动过程中物块的最大速度．
【解析】 由题意可知，物块将以P点为平衡位置往复运动，当物块运动到位置P点时有最大速度，设为vm，从物块在弹簧原长位置由静止释放至物块刚好到达P点的过程中，由系统机械能守恒得：
mgx0sin θ＝Ep＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)
当物块自由静止在P点时，物块受力平衡，则有：mgsin θ＝kx0
联立解得：vm＝eq \r(2\f(mg2sin2θ,k)－\f(Ep,m))
【答案】 eq \r(2\f(mg2sin2θ,k)－\f(Ep,m))
【典例2】如图所示，物块A的质量为M，物块B、C的质量都是m，并都可看作质点，且m(1)物块A上升时的最大速度；
(2)若B不能着地，求eq \f(M,m)满足的条件．
【审题指导】 解答该题应注意．
(1)物块C在落地之前，A、B、C三者组成的系统机械能守恒．
(2)C在落地之后，物块B在落地之前，A、B组成的系统机械能守恒．
【解析】 (1)A上升L时速度达到最大，设为v，由机械能守恒定律有
2mgL－MgL＝eq \f(1,2)(M＋2m)v2
得v＝eq \r(\f(22m－MgL,2m＋M)).
(2)C着地后，若B恰能着地，即B物块再下降L时速度为零．对A、B组成的系统由动能定理得
－MgL＋mgL＝0－eq \f(1,2)(M＋m)v2
解得M＝eq \r(2)m
若使B不着地，应有M>eq \r(2)m，
即eq \f(M,m)>eq \r(2).
【答案】 (1) eq \r(\f(22m－MgL,2m＋M)) (2)eq \f(M,m)>eq \r(2)
轻杆模型中的机械能守恒
1.模型构建
轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型．
2.模型条件
（1）忽略空气阻力和各种摩擦．
（2）平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．
3.模型特点
（1）杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
（2）对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒．
【典例1】质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球eq \f(L,3)处有一个光滑固定轴O，如图所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低点位置时，求：
(1)小球P的速度大小；
(2)在此过程中小球P机械能的变化量．
【规范解答】 (1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q摆到最低位置时P球的速度为v，由于P、Q两球的角速度相等，Q球运动半径是P球运动半径的两倍，故Q球的速度为2v.由机械能守恒定律得2mg·eq \f(2,3)L－mg·eq \f(1,3)L＝eq \f(1,2)mv2＋eq \f(1,2)·2m·(2v)2，
解得v＝eq \f(\r(2gL),3).
(2)小球P机械能增加量为ΔE，
ΔE＝mg·eq \f(1,3)L＋eq \f(1,2)mv2＝eq \f(4,9)mgL.
【答案】 (1)eq \f(\r(2gL),3) (2)增加eq \f(4,9)mgL
【典例2】如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：
(1)两球在光滑水平面上运动时的速度大小；
(2)整个运动过程中杆对A球所做的功．
【解析】 (1)因为没有摩擦，且不计球与地面碰撞时的机械能损失，两球在光滑地面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有：
2mg(h＋eq \f(L,2)sin θ)＝2×eq \f(1,2)mv2
解得：v＝eq \r(2gh＋gLsin θ).
(2)因两球在光滑水平面上运动时的速度v比B单独从h处自由滑下的速度eq \r(2gh)大，增加的机械能就是杆对B做正功的结果．B增加的机械能为
ΔEkB＝eq \f(1,2)mv2－mgh＝eq \f(1,2)mgLsin θ
因系统的机械能守恒，所以杆对B球做的功与杆对A球做的功的数值应该相等，杆对B球做正功，对A球做负功，所以杆对A球做的功W＝－eq \f(1,2)mgLsin θ.
【答案】 (1)eq \r(2gh＋gLsin θ) (2)－eq \f(1,2)mgLsin θ
在利用轻杆模型求解问题时应注意以下两点：
（1）本类题目易误认为两球的线速度相等，还易误认为单个小球的机械能守恒．
（2）杆对球的作用力方向不再沿着杆，杆对小球P做正功从而使它的机械能增加，同时杆对小球Q做负功，使小球Q的机械能减少，系统的机械能守恒.
一、多选题
1．如图所示，两个可视为质点的质量相同的小球a、b分别被套在刚性轻杆的中点位置和其中一端的端点处，两球相对于杆固定不动，杆长，轻杆的另一端可绕固定点O自由转动。当装置在竖直平面内由水平位置静止释放，某一时刻轻杆绕点转动的角度为（为锐角），若此时球a的速度大小为，方向斜向左下。运动过程中不计一切摩擦（），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．此时b球的速度大小为
C．轻杆对a球不做功，对b球做负功
D．从初始位置到转过θ角度过程中，a球机械能减小，b球机械能增加
【答案】AD
【详解】AB．根据题意可知，小球a、b转动时角速度相等，由公式可知
转动过程中，系统的机械能守恒，由机械能守恒定律有
代入数据解得
即
故B错误，A正确；
CD．根据题意，设从初始位置到转过θ角度过程中，杆对球做功为，杆对球做功为，由动能定理对小球有
对小球有
解得
可知，轻杆对a球做负功，a球机械能减小，对b球做正功，b球机械能增加，故C错误，D正确。
故选AD。
2．1924年跳台滑雪被列为首届冬奥会项目。如图所示，一名运动员从雪道的最高点M由静止开始滑下，经过水平段后从P点飞入空中，最终落到Q点，不计运动员经过N点的机械能损失和空气阻力。已知运动员从M点到P点，重力做功为，克服阻力做功为，从P点到Q点重力做功为，设P点所在平面为零势能面，则下列说法正确的是（ ）
A．运动员在P点的动能为
B．运动员从M点到P点机械能减少了
C．运动员在Q点的机械能为
D．运动员从M点到Q点重力势能减少了
【答案】BC
【详解】A．根据动能定理可知，运动员在P点的动能为
故A错误；
B．运动员从M点到P点机械能减少量等于该过程克服阻力做的功，可知运动员从M点到P点机械能减少了，故B正确；
C．以P点所在平面为零势能面，运动员在P点的重力势能为零，则运动员在P点的机械能等于该位置运动员的动能；从P点到Q点只有重力做功，机械能守恒，则有
故C正确；
D．运动员从M点到Q点重力势能减少量等于该过程重力做的功，该过程重力势能减少了，故D错误。
故选BC。
3．如图所示，倾角为、质量为的斜面体置于水平地面上，质量为的物块放在斜面上，穿过光滑小环（O为接触点）的不可伸缩的轻质细线一端连接物块，另一端系着一个质量为m的小球，物块与小环间的细线与斜面平行。现将小球从位置a由静止释放（此时水平且细线刚好伸直），重力加速度为g，，则在小球从位置a摆到最低点b的过程中，下列说法正确的是（ ）（物块和斜面体始终静止，不计空气阻力）
A．斜面对物块的摩擦力先减小后增大
B．斜面对物块的摩擦力的最大值为
C．地面对斜面体的支持力的最小值为
D．地面对斜面体的支持力的最小值为
【答案】ABD
【详解】A．当水平时，细线的拉力为零，斜面对物块的摩擦力沿斜面向上，大小为
小球从位置a摆到最低点b点，由动能定理可得
由牛顿第二定律可得
解得细线的拉力为
故此时斜面对物块的摩擦力沿斜面向下，小球从a运动到b的过程中细线的拉力逐渐增大，所以斜面对物块的摩擦力先减小后增大，故A正确。
B．斜面对物块的沿斜面向上的摩擦力最大值为
斜面对物块的沿斜面向下的摩擦力的最大值为
所以斜面对物块的摩擦力的最大值为，故B正确。
CD．对斜面体和物块整体分析，当细线的拉力最大时，地面对斜面体的支持力最小，最小值为
故C错误，D正确。
故选ABD。
4．如图所示，质量为的小球甲固定在轻弹簧上，轻弹簧固定在水平面上，小球甲和轻弹簧套在一竖直固定的光滑杆上，小球甲和质量为的物体乙用跨过一个光滑小定滑轮的不可伸长的轻绳连接。初始时，用手托住物体乙，使轻绳刚好伸直且绳上拉力为零，此时，连接小球甲和小定滑轮之间的轻绳与水平方向的夹角为，且小球甲静止于点，现将物体乙由静止释放，经过一段时间后小球甲运动到点，水平并相切于小定滑轮上的点，且小球在两点时弹簧的弹力大小相等。已知重力加速度为，，，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数
B．小球甲运动到N点时的速度大小为
C．小球甲由M点运动到N点的过程中，小球甲和物体乙的机械能之和先减小后增大
D．在小球甲由M点运动到N点的过程中，物体乙重力的瞬时功率一直增大
【答案】AB
【详解】A．根据题意，由几何关系可知
由于小球在两点时弹簧的弹力大小相等，则小球在两点时，弹簧的形变量均为
小球在点时，由平衡条件有
联立解得
故A正确；
BCD．根据题意可知，小球甲由M点运动到N点的过程中，小球甲、物体乙和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的弹性势能先减小后增大，则小球甲和物体乙的机械能之和先增大后减小，由牵引速度可知，小球甲运动到N点时，物体乙的速度为0，则物体乙的速度先增大后减小，物体乙重力的瞬时功率先增大后减小，由于小球在两点时弹簧的弹力大小相等，弹簧的弹性势能相等，设小球甲运动到N点时的速度大小为，由机械能守恒定律有
解得
故CD错误，B正确。
故选AB。
5．如图所示，一条轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球a和b，用手托住球b，当绳刚好被拉紧时，球b离地面的高度为h，球a静止于地面。已知球a的质量为m，球b的质量为3m，重力加速度为g，定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计。若无初速度释放球b，则下列判断正确的是（ ）
A．经过时间，球b恰好落地
B．在球b下落过程中，球b所受拉力大小为1.5mg
C．在球b下落过程中，球a的机械能保持不变
D．球b落地前瞬间速度大小为
【答案】BD
【详解】A．以两球整体为研究对象，根据牛顿第二定律
解得
根据
解得
A错误；
B．设绳子的拉力为T，对b根据牛顿第二定律
解得
B正确；
C．b球下落过程中，a球重力势能增大，动能增大，机械能变大，C错误；
D．根据
解得
D正确。
故选BD。
二、单选题
6．如图所示，光滑半圆弧槽静止在光滑的水平面上，一滑块从槽顶端A处由静止下滑，滑至槽最低点上方的某点B时速度达到最大，则滑块运动到B点时（ ）
A．圆弧槽速度也达到最大值
B．滑块和槽组成的系统总动能最大
C．滑块对槽压力做功的功率等于重力对滑块做功的功率
D．重力对滑块做功的功率大于滑块克服支持力做功的功率
【答案】C
【详解】A．滑块运动到B点时，对圆弧槽的压力斜向左下方，有水平向左的分力，圆弧槽继续向左加速，圆弧槽速度没有达到最大值。A错误；
B．滑块和槽组成的系统机械能守恒，滑块运动最低点，系统重力势能最小，由滑块和槽组成的系统总动能最大，B错误；
C．在B点取一很短时间，由动能定理得
滑块对槽压力做功的功率等于重力对滑块做功的功率，C正确。
D．滑块克服支持力做功的功率等于滑块对槽压力做功的功率，重力对滑块做功的功率等于滑块克服支持力做功的功率，D错误。
故选C。
7．有三个斜面a、b、c，底边长与高度分别如图所示。某物体与三个斜面间的动摩擦因数都相同，这个物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端。三种情况相比较，下列说法正确的是（ ）
A．物体损失的机械能
B．物体重力势能的变化量
C．物体到达底端的动能
D．因摩擦产生的热量
【答案】A
【详解】D．设任一斜面和水平方向夹角为，斜面长度为x，则物体下滑过程中克服摩擦力做功为
其中为底边长度，摩擦生热等于克服摩擦力做功，分别为
，，
故有
D错误；
A．根据能量守恒,损失的机械能等于摩擦产生的内能，所以损失的机械能关系为
A正确；
C．设物体滑到底端时的动能为，根据动能定理得
则得
根据图中斜面高度和底边长度可以知道滑到底边时动能大小关系不满足
C错误；
B．物体重力势能的变化量分别为
可得
B错误。
故选A。
8．如图，将一质量为m的小球从a点以初速度v斜向上抛出（不计空气阻力），小球先后经过b、c两点。已知a、c之间的高度差和b、c之间的高度差均为h，重力加速度为g，取b点所在的水平面为零势能面，则小球在（ ）
A．a点的重力势能为0B．b点的动能为
C．b点的机械能为D．c点的机械能为
【答案】D
【详解】A．取b点所在的水平面为零势能面，则a点的重力势能为-2mgh，选项A错误；
BC．从a到b机械能守恒，则
即b点的动能为
选项BC错误；
D．从a到c机械能守恒，则c点的机械能等于a点的机械能，为，选项D正确。
故选D。
9．如图所示，一小球自A点由静止开始自由下落，到达B点时与弹簧接触，到达C点时弹簧被压缩至最短。若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由A至B到C的运动过程中（ ）
A．小球的机械能守恒
B．小球在B点时动能最大
C．小球由B到C加速度先减小后增大
D．小球由B到C的过程中，动能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量
【答案】C
【详解】A．小球在A到B的过程中，只有重力做功，机械能守恒，在B到C的过程中，有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，小球机械能不守恒，故A错误；
B．小球从接触弹簧开始，重力先大于弹力，加速度方向向下，向下加速，加速度逐渐减小，当重力与弹簧弹力相等时，速度最大，然后弹力大于重力，加速度方向向上，做减速运动，加速度逐渐增大，故小球从B到C过程中加速度先减小后增大，故B错误，C正确；
D．小球由B到C的过程中，动能减小，重力势能减小，弹性势能增加，根据能量守恒定律知，动能和重力势能的减小量等于弹性势能的增加量，故D错误。
故选C。
10．一质量为可视为质点的小球，系于长为的轻绳一端，绳的另一端固定在点，假定绳不可伸长，柔软且无弹性。现将小球从点的正上方距离点的点以水平速度抛出，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为
B．轻绳从释放到绷直所需时间为
C．轻绳绷直后瞬间，小球的速度大小为
D．当小球到达点正下方时，绳对质点的拉力为
【答案】D
【详解】AB．小球水平抛出后，在绳子绷直之前做平抛运动，有
解得
故AB错误；
C．绳子绷直时，水平方向的速度突变为零，只剩下竖直方向的速度，故速度
故C错误；
D．小球在绳子绷直后运动到的正下方，机械能守恒，有
又在最低点，根据受力关系
解得
故D正确。
故选D。
11．如图所示，质量均为m的两个物块A、B叠放在轻弹簧上，处于静止状态。轻弹簧下端固定在地面上，上端与物块B连接。从某时刻开始对物块A施加竖直向上的恒力F，物块A开始向上运动，物块B与弹簧组成的系统机械能没有变化。经过时间t，撤去力F，物块B也第一次达到最大高度。忽略空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．F大小为2mg
B．F大小可能为1.8mg
C．若在2t时刻两物块的距离刚好达到最大，则该最大距离为gt2
D．在1.5t时刻，物块B与弹簧组成的系统的势能可能达到最大值
【答案】C
【详解】AB．在恒力F作用前，对A、B整体，由平衡条件有
物块A开始向上运动时，物块B与弹簧组成的系统机械能没有变化，则以B为研究对象，由牛顿第二定律有
解得
此时物块A的最小加速度则也应为g，故恒力F的最小值应为2mg，故AB错误；
C．若在2t时刻两物块距离刚好达到最大，经t时间物块B也第一次达到最大高度。则再经t时间物块B恰好回到原来静止位置，且物块A应恰好达到最高点，这样两物块距离恰好达到最大。在0~t时间，物块A做匀加速运动，在t~2t时间物块A做加速度为g匀减速运动，则有
可得
根据匀变速直线运动位移一时间公式，则有物块A在2t时间内上升高度
物块B在2t时间内位置不变，故该最大距离为，故C正确；
D．物块B与弹簧组成的系统势能最大时，根据能量守恒可知此时动能最小，所以应是0时刻或2t时刻，物块B与弹簧组成的系统势能最大，故D错误。
故选C。
12．一木箱放在电梯的水平底板上，随同电梯在竖直方向运动，运动过程中木箱的机械能E与位移x关系的图像如图所示，其中过程的图线为曲线，过程的图线为直线。根据该图像，在过程中下列判断正确的是（ ）
A．电梯向上先变加速后匀减速B．电梯所受拉力先增大后不变
C．木箱所受支持力先减小后不变D．木箱一直处于超重状态
【答案】C
【详解】C．木箱机械能的增量
过程的图线为曲线，斜率逐渐减小，所以木箱所受支持力减小；过程的图线为直线，斜率不变，所以木箱所受支持力不变。故C正确；
D．由于不知道支持力与重力的大小关系，不能判断木箱是超重还是失重，故D错误；
A．木箱与电梯有共同的运动状态，木箱的运动不能判断，电梯的运动也不能判断，故A错误；
B．电梯与木箱有共同的加速度，木箱所受支持力先减小后不变，则电梯所受拉力先减小后不变，故B错误。
故选C。
三、实验题
13．“验证机械能守恒定律”的实验装置示意图.现有的器材为：带铁夹的铁架台、电磁打点计时器、纸带、带铁夹的重锤、天平，回答下列问题：
（1）为完成此实验，除了所给的器材，还需要的器材有___________.（填入正确选项前的字母）
A．毫米刻度尺 B．秒表 C．约为8V的交流电源 D．220V的交流电源
（2）关于重锤的选用，以下说法正确的是___________.
A．重锤选用体积较大且质量较小的
B．重锤选用体积较小且质量较大的
C．选用重锤后要称质量
（3）质量的重锤自由下落，在纸带上打出了一系列的点，如图所示，相邻计数点的时间间隔为0.02s，长度单位是cm，g取9.8m/s2.（结果保留2位有效数字）：
①打点计时器打下计数点B时，重锤的速度___________m/s.
②从打下计数点O到打下计数点B的过程中，重锤重力势能的减小量___________J，动能的增加量___________J.
【答案】 AC/CA B 0.97 0.48 0.47
【详解】（1）[1]AB．需要用米尺测量纸带上点间的长度，打点计时器本身有计时功能，所以不需要秒表，故A正确，B错误；
CD．图中有复写纸，可知图中为电磁打点计时器，所以使用约为8V的交流电源，故C正确，D错误；
（2）[2]为了减小误差，重锤选用质量大体积小，即密度大的，使重锤所受重力要选大于它所受的空气阻力和打点计时器对纸带的阻力。
故选B。
（3）①[3]由匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度得
②[4][5]从点O到打下记数点B的过程中，物体重力势能的减小量
动能的增加量
14．利用图1装置做“验证机械能守恒定律”的实验。
（1）实验中除带夹子的重物、纸带、铁架台（含铁夹）、电磁打点计时器、导线及开关外，在下列器材中，还必须使用的器材是______。
A．直流电源 B．刻度尺 C．天平（含砝码） D．秒表
（2）实验中，需先接通电源，再释放重物，得到如图2所示的一条纸带，在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为h、h、h。已知当地重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T，设重物的质量为m，从打O点到打B点的过程中，重物的重力势能减少量ΔEp=______；动能增加量ΔEk=______；大多数学生的实验结果显示重力势能的减少量______（填“小于”、“等于”、“大于”）动能的增加量。
（3）某同学利用图中纸带，先分别测量出从某点到A、B、C、D、E、F、G点的距离h（其中D、E、F、G点为C点后连续打出的点，图中未画出），再计算打出B、C、D、E、F各点时重锤下落的速度v，绘制v2-h图像，如图所示，并求得图线的斜率为k。假设上述实验操作中不受一切阻力影响，此时绘制的v2-h图线的斜率k′与k的大小关系是k′______k（填“小于”、“等于”、“大于”）。
【答案】 B 大于 大于
【详解】（1）[1]实验时还必须使用的器材有交流电源和刻度尺；打点计时器可记录重物的运动时间，所以不需要秒表；若重物的机械能守恒，则有
由此可知比较重力势能减少量与动能增加量时，可以不测量质量，即不需要天平。
故选B。
（2）[2]从打O点到打B点的过程中，重物的重力势能减少量为
[3]打在B点的速度为
所以动能的增加量为
[4]大多数学生的实验结果显示重力势能的减少量大于动能的增加量，原因是重物在下落过程中存在空气阻力和摩擦力的影响，由于存在阻力和摩擦力，所以机械能减小，因此重力势能的减少量略大于动能得增加量。
（3）[5]若重物下落过程中存在空气阻力，则有
所以
图线的斜率为
若不存在阻力，则有
图线的斜率为
四、解答题
15．如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相接，导轨半径为。一个质量为的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，它经过B点的速度为，之后沿半圆形导轨运动，到达C点的速度为。重力加速度为。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）物体沿半圆形导轨运动过程中阻力所做的功；
（3）物体在最高点C轨道对物体的弹力。
【答案】（1）；（2）；（3），方向竖直向下
【详解】（1）物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，经光滑水平面AB到达C点，弹性势能转化为动能，据机械能守恒定律有
解得
（2）物体沿半圆形导轨由B到C运动，据动能定理
解得
（3）物体在最高点C，由牛顿第二定律得
解得轨道对物体的弹力
方向竖直向下。
16．如图所示，在倾角为的斜面的底端有一个固定挡板D，已知物块与斜面PO间的动摩擦因数μ＝0.50，斜面OD部分光滑，处于自然长度的轻质弹簧一端固定在D点，另一端在O点，PO的长度L=16m。在P点有一质量为1kg的小物体A（可视为质点），现使A从静止开始下滑，g=10m/s2，，。求：
（1）物体第一次接触弹簧时物体的速度的大小；
（2）若已知弹簧的最大压缩量为d=0.5m，求弹簧的最大弹性势能Ep；
（3）物体与弹簧第一次接触后反弹，物体从O点沿斜面上升的最大距离x。
【答案】（1）8m/s；（2）35J；（3）3.2m
【详解】（1）物体在PO过程中受到竖直向下的重力、垂直斜面向上的弹力和沿斜面向上的摩擦力，此过程应用动能定理得
–0
解得
（2）物体由O到将弹簧压缩至最短的过程中，此过程根据能量守恒得
（3）从P点到第一次接触后最高处，根据动能定理得
解得
表达
角度
表达公式
表达意义
注意事项
守恒
观点
Ek＋Ep＝Ek′＋Ep′
系统初状态的机械能的总和与末状态机械能的总和相等
应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能
转化
观点
ΔEk＝－ΔEp
表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能
应用时关键在于分清重力势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差
转移
观点
ΔE增＝ΔE减
若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等
常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
知识点1：重力势能与弹性势能
1．重力势能
(1)重力做功的特点
①重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关．
②重力做功不引起物体机械能的变化．
(2)重力势能
①公式：Ep＝mgh.
②矢标性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同．
③系统性：重力势能是物体和地球共有的．
④相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关．重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关．
(3)重力做功与重力势能变化的关系
①定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加．
②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
2．弹性势能
(1)大小：弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及劲度系数有关．
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增加．
对于弹性势能，一般取物体的弹性形变为零时的弹性势能为零．当弹簧的伸长量与压缩量相等时，其弹性势能相等．
知识点2：机械能守恒定律
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．机械能守恒的条件
只有重力或弹力做功．
3．守恒表达式
（1）守恒观点：①表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2。式中EKl、EPl、E1分别是初态动能、势能和机械能；EK2、EP2、E2分别是末态动能、势能和机械能。表示初态机械能等于末态机械能。
②意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能。
③注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面。
（2）转化观点：①表达式：ΔEk＝－ΔEp。
②意义：系统（或物体）的机械能守恒时，系统增加（或减少）的动能等于系统减少（或增加）的势能。
③注意问题：要明确势能的增加量或减少量，即势能的变化，可以不选取零势能参考平面。
转移观点：
①表达式：ΔEA增＝ΔEB减。
②意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量。
③注意问题：A部分机械能的增加量等于A部分末状态的机械能减初状态的机械能，而B部分机械能的减少量等于B部分初状态的机械能减末状态的机械能。
(1)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒．( )
(2)物体受到摩擦力作用时，机械能一定要变化．( )
(3)物体只发生动能和势能的相互转化时，物体的机械能一定守恒．( )
【典例1】(多选)下列运动中能满足机械能守恒的是( )
A．手榴弹从手中抛出后的运动(不计空气阻力)
B．子弹射穿木块
C．细绳一端固定，另一端拴着一个小球，使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动
D．吊车将货物匀速吊起
【典例2】如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在将弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的是( )
A．重力势能和动能之和总保持不变
B．重力势能和弹性势能之和总保持不变
C．动能和弹性势能之和总保持不变
D．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
【典例3】(多选)“蹦极”是一项非常刺激的体育运动．如图所示，运动员身系弹性绳自高空中Q点自由下落，图中a是弹性绳的原长位置，c是运动员所到达的最低点，b是运动员静止地悬吊着时的平衡位置．则( )
A．由Q到c的整个过程中，运动员的动能及重力势能之和守恒
B．由a下降到c的过程中，运动员的动能一直减小
C．由a下降到c的过程中，运动员的动能先增大后减小
D．由a下降到c的过程中，弹性绳的弹性势能一直增大
【典例4】伽利略曾设计如图所示的一个实验，将摆球拉至M点放开，摆球会达到同一水平高度上的N点．如果在E或F处钉上钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点．这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面(或弧线)下滑时，其末速度的大小( )
A．只与斜面的倾角有关
B．只与斜面的长度有关
C．只与下滑的高度有关
D．只与物体的质量有关
【典例5】如图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B．5R/3
C．4R/3 D．2R/3
考点1：机械能守恒的判断
1.机械能守恒的条件
只有重力或弹力做功，可以从以下四个方面进行理解：
（1）物体只受重力或弹力作用．
（2）存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或弹力做功．
（3）其他力做功，但做功的代数和为零．
（4）存在相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能的转化．
2.机械能守恒的判断方法
（1）利用机械能的定义判断(直接判断)：分析动能和势能的和是否变化．
（2）用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．
（3）用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒．
【典例1】如图所示的物理过程示意图中，甲图为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车，B静止，A获得一向右的初速度后向右运动，某时刻连接两车的细绳绷紧，然后带动B车运动；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动．则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是( )
A．甲图中小球机械能守恒
B．乙图中小球A的机械能守恒
C．丙图中两车组成的系统机械能守恒
D．丁图中小球的机械能守恒
【典例2】如图所示，用轻弹簧相连的物块A和B放在光滑的水平面上，物块A紧靠竖直墙壁，一颗子弹沿水平方向射入物块B后留在其中，由子弹、弹簧和A、B所组成的系统在下列依次进行的过程中，机械能不守恒的是（ ）
A．子弹射入物块B的过程
B．物块B带着子弹向左运动，直到弹簧压缩量最大的过程
C．弹簧推着带子弹的物块B向右运动，直到弹簧恢复原长的过程
D．带着子弹的物块B因惯性继续向右运动，直到弹簧伸长量达最大的过程
（1）对一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒．
（2）对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．
（3）对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。
考点2：机械能守恒定律的表达式及应用
1.三种守恒表达式的比较
2.应用机械能守恒的一般步骤
（1）选取研究对象（物体或系统）。
（2）明确研究对象的运动过程，分析研究对象在过程中的受力情况，弄清各力做功情况，判断机械能是否守恒。
（3）选取恰当的参考平面，确定研究对象在初末状态的机械能。
（4）选取恰当的表达式列方程求解。常见的表达式有三种（见上面表达式）。
（5）对计算结果进行必要的讨论和说明。
3.机械能守恒定律的应用技巧
（1）机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。
（2）如果系统（除地球外）只有一个物体，用守恒式列方程较方便；对于由两个或两个以上物体组成的系统，用转化式或转移式列方程较简便。
【典例1】如图所示，倾角为θ的直角斜面体固定在水平地面上，一根轻质弹簧上端固定在斜面上，下端拴一质量为m的物块，物块放在光滑斜面上的P点并保持静止，弹簧与斜面平行，此时弹簧具有的弹性势能为Ep，已知弹簧的劲度系数为k，现将物块缓慢沿斜面向上移动，到弹簧刚恢复至原长位置时，由静止释放物块，求在以后的运动过程中物块的最大速度．
【典例2】如图所示，物块A的质量为M，物块B、C的质量都是m，并都可看作质点，且m
(2)若B不能着地，求eq \f(M,m)满足的条件．
轻杆模型中的机械能守恒
1.模型构建
轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型．
2.模型条件
（1）忽略空气阻力和各种摩擦．
（2）平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．
3.模型特点
（1）杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
（2）对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒．
【典例1】质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球eq \f(L,3)处有一个光滑固定轴O，如图所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低点位置时，求：
(1)小球P的速度大小；
(2)在此过程中小球P机械能的变化量．
【典例2】如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：
(1)两球在光滑水平面上运动时的速度大小；
(2)整个运动过程中杆对A球所做的功．
在利用轻杆模型求解问题时应注意以下两点：
（1）本类题目易误认为两球的线速度相等，还易误认为单个小球的机械能守恒．
（2）杆对球的作用力方向不再沿着杆，杆对小球P做正功从而使它的机械能增加，同时杆对小球Q做负功，使小球Q的机械能减少，系统的机械能守恒.
一、多选题
1．如图所示，两个可视为质点的质量相同的小球a、b分别被套在刚性轻杆的中点位置和其中一端的端点处，两球相对于杆固定不动，杆长，轻杆的另一端可绕固定点O自由转动。当装置在竖直平面内由水平位置静止释放，某一时刻轻杆绕点转动的角度为（为锐角），若此时球a的速度大小为，方向斜向左下。运动过程中不计一切摩擦（），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．此时b球的速度大小为
C．轻杆对a球不做功，对b球做负功
D．从初始位置到转过θ角度过程中，a球机械能减小，b球机械能增加
2．1924年跳台滑雪被列为首届冬奥会项目。如图所示，一名运动员从雪道的最高点M由静止开始滑下，经过水平段后从P点飞入空中，最终落到Q点，不计运动员经过N点的机械能损失和空气阻力。已知运动员从M点到P点，重力做功为，克服阻力做功为，从P点到Q点重力做功为，设P点所在平面为零势能面，则下列说法正确的是（ ）
A．运动员在P点的动能为
B．运动员从M点到P点机械能减少了
C．运动员在Q点的机械能为
D．运动员从M点到Q点重力势能减少了
3．如图所示，倾角为、质量为的斜面体置于水平地面上，质量为的物块放在斜面上，穿过光滑小环（O为接触点）的不可伸缩的轻质细线一端连接物块，另一端系着一个质量为m的小球，物块与小环间的细线与斜面平行。现将小球从位置a由静止释放（此时水平且细线刚好伸直），重力加速度为g，，则在小球从位置a摆到最低点b的过程中，下列说法正确的是（ ）（物块和斜面体始终静止，不计空气阻力）
A．斜面对物块的摩擦力先减小后增大
B．斜面对物块的摩擦力的最大值为
C．地面对斜面体的支持力的最小值为
D．地面对斜面体的支持力的最小值为
4．如图所示，质量为的小球甲固定在轻弹簧上，轻弹簧固定在水平面上，小球甲和轻弹簧套在一竖直固定的光滑杆上，小球甲和质量为的物体乙用跨过一个光滑小定滑轮的不可伸长的轻绳连接。初始时，用手托住物体乙，使轻绳刚好伸直且绳上拉力为零，此时，连接小球甲和小定滑轮之间的轻绳与水平方向的夹角为，且小球甲静止于点，现将物体乙由静止释放，经过一段时间后小球甲运动到点，水平并相切于小定滑轮上的点，且小球在两点时弹簧的弹力大小相等。已知重力加速度为，，，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数
B．小球甲运动到N点时的速度大小为
C．小球甲由M点运动到N点的过程中，小球甲和物体乙的机械能之和先减小后增大
D．在小球甲由M点运动到N点的过程中，物体乙重力的瞬时功率一直增大
5．如图所示，一条轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球a和b，用手托住球b，当绳刚好被拉紧时，球b离地面的高度为h，球a静止于地面。已知球a的质量为m，球b的质量为3m，重力加速度为g，定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计。若无初速度释放球b，则下列判断正确的是（ ）
A．经过时间，球b恰好落地
B．在球b下落过程中，球b所受拉力大小为1.5mg
C．在球b下落过程中，球a的机械能保持不变
D．球b落地前瞬间速度大小为
二、单选题
6．如图所示，光滑半圆弧槽静止在光滑的水平面上，一滑块从槽顶端A处由静止下滑，滑至槽最低点上方的某点B时速度达到最大，则滑块运动到B点时（ ）
A．圆弧槽速度也达到最大值
B．滑块和槽组成的系统总动能最大
C．滑块对槽压力做功的功率等于重力对滑块做功的功率
D．重力对滑块做功的功率大于滑块克服支持力做功的功率
7．有三个斜面a、b、c，底边长与高度分别如图所示。某物体与三个斜面间的动摩擦因数都相同，这个物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端。三种情况相比较，下列说法正确的是（ ）
A．物体损失的机械能
B．物体重力势能的变化量
C．物体到达底端的动能
D．因摩擦产生的热量
8．如图，将一质量为m的小球从a点以初速度v斜向上抛出（不计空气阻力），小球先后经过b、c两点。已知a、c之间的高度差和b、c之间的高度差均为h，重力加速度为g，取b点所在的水平面为零势能面，则小球在（ ）
A．a点的重力势能为0B．b点的动能为
C．b点的机械能为D．c点的机械能为
9．如图所示，一小球自A点由静止开始自由下落，到达B点时与弹簧接触，到达C点时弹簧被压缩至最短。若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由A至B到C的运动过程中（ ）
A．小球的机械能守恒
B．小球在B点时动能最大
C．小球由B到C加速度先减小后增大
D．小球由B到C的过程中，动能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量
10．一质量为可视为质点的小球，系于长为的轻绳一端，绳的另一端固定在点，假定绳不可伸长，柔软且无弹性。现将小球从点的正上方距离点的点以水平速度抛出，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为
B．轻绳从释放到绷直所需时间为
C．轻绳绷直后瞬间，小球的速度大小为
D．当小球到达点正下方时，绳对质点的拉力为
11．如图所示，质量均为m的两个物块A、B叠放在轻弹簧上，处于静止状态。轻弹簧下端固定在地面上，上端与物块B连接。从某时刻开始对物块A施加竖直向上的恒力F，物块A开始向上运动，物块B与弹簧组成的系统机械能没有变化。经过时间t，撤去力F，物块B也第一次达到最大高度。忽略空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．F大小为2mg
B．F大小可能为1.8mg
C．若在2t时刻两物块的距离刚好达到最大，则该最大距离为gt2
D．在1.5t时刻，物块B与弹簧组成的系统的势能可能达到最大值
12．一木箱放在电梯的水平底板上，随同电梯在竖直方向运动，运动过程中木箱的机械能E与位移x关系的图像如图所示，其中过程的图线为曲线，过程的图线为直线。根据该图像，在过程中下列判断正确的是（ ）
A．电梯向上先变加速后匀减速B．电梯所受拉力先增大后不变
C．木箱所受支持力先减小后不变D．木箱一直处于超重状态
三、实验题
13．“验证机械能守恒定律”的实验装置示意图.现有的器材为：带铁夹的铁架台、电磁打点计时器、纸带、带铁夹的重锤、天平，回答下列问题：
（1）为完成此实验，除了所给的器材，还需要的器材有___________.（填入正确选项前的字母）
A．毫米刻度尺 B．秒表 C．约为8V的交流电源 D．220V的交流电源
（2）关于重锤的选用，以下说法正确的是___________.
A．重锤选用体积较大且质量较小的
B．重锤选用体积较小且质量较大的
C．选用重锤后要称质量
（3）质量的重锤自由下落，在纸带上打出了一系列的点，如图所示，相邻计数点的时间间隔为0.02s，长度单位是cm，g取9.8m/s2.（结果保留2位有效数字）：
①打点计时器打下计数点B时，重锤的速度___________m/s.
②从打下计数点O到打下计数点B的过程中，重锤重力势能的减小量___________J，动能的增加量___________J.
14．利用图1装置做“验证机械能守恒定律”的实验。
（1）实验中除带夹子的重物、纸带、铁架台（含铁夹）、电磁打点计时器、导线及开关外，在下列器材中，还必须使用的器材是______。
A．直流电源 B．刻度尺 C．天平（含砝码） D．秒表
（2）实验中，需先接通电源，再释放重物，得到如图2所示的一条纸带，在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为h、h、h。已知当地重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T，设重物的质量为m，从打O点到打B点的过程中，重物的重力势能减少量ΔEp=______；动能增加量ΔEk=______；大多数学生的实验结果显示重力势能的减少量______（填“小于”、“等于”、“大于”）动能的增加量。
（3）某同学利用图中纸带，先分别测量出从某点到A、B、C、D、E、F、G点的距离h（其中D、E、F、G点为C点后连续打出的点，图中未画出），再计算打出B、C、D、E、F各点时重锤下落的速度v，绘制v2-h图像，如图所示，并求得图线的斜率为k。假设上述实验操作中不受一切阻力影响，此时绘制的v2-h图线的斜率k′与k的大小关系是k′______k（填“小于”、“等于”、“大于”）。
四、解答题
15．如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相接，导轨半径为。一个质量为的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，它经过B点的速度为，之后沿半圆形导轨运动，到达C点的速度为。重力加速度为。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）物体沿半圆形导轨运动过程中阻力所做的功；
（3）物体在最高点C轨道对物体的弹力。
16．如图所示，在倾角为的斜面的底端有一个固定挡板D，已知物块与斜面PO间的动摩擦因数μ＝0.50，斜面OD部分光滑，处于自然长度的轻质弹簧一端固定在D点，另一端在O点，PO的长度L=16m。在P点有一质量为1kg的小物体A（可视为质点），现使A从静止开始下滑，g=10m/s2，，。求：
（1）物体第一次接触弹簧时物体的速度的大小；
（2）若已知弹簧的最大压缩量为d=0.5m，求弹簧的最大弹性势能Ep；
（3）物体与弹簧第一次接触后反弹，物体从O点沿斜面上升的最大距离x。
表达
角度
表达公式
表达意义
注意事项
守恒
观点
Ek＋Ep＝Ek′＋Ep′
系统初状态的机械能的总和与末状态机械能的总和相等
应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能
转化
观点
ΔEk＝－ΔEp
表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能
应用时关键在于分清重力势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差
转移
观点
ΔE增＝ΔE减
若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等
常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
第7讲 机械能守恒定律及其应用
知识点1：重力势能与弹性势能
1．重力势能
(1)重力做功的特点
①重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关．
②重力做功不引起物体机械能的变化．
(2)重力势能
①公式：Ep＝mgh.
②矢标性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同．
③系统性：重力势能是物体和地球共有的．
④相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关．重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关．
(3)重力做功与重力势能变化的关系
①定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加．
②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
2．弹性势能
(1)大小：弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及劲度系数有关．
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能增加．
对于弹性势能，一般取物体的弹性形变为零时的弹性势能为零．当弹簧的伸长量与压缩量相等时，其弹性势能相等．
知识点2：机械能守恒定律
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．机械能守恒的条件
只有重力或弹力做功．
3．守恒表达式
（1）守恒观点：①表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2。式中EKl、EPl、E1分别是初态动能、势能和机械能；EK2、EP2、E2分别是末态动能、势能和机械能。表示初态机械能等于末态机械能。
②意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能。
③注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面。
（2）转化观点：①表达式：ΔEk＝－ΔEp。
②意义：系统（或物体）的机械能守恒时，系统增加（或减少）的动能等于系统减少（或增加）的势能。
③注意问题：要明确势能的增加量或减少量，即势能的变化，可以不选取零势能参考平面。
转移观点：
①表达式：ΔEA增＝ΔEB减。
②意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量。
③注意问题：A部分机械能的增加量等于A部分末状态的机械能减初状态的机械能，而B部分机械能的减少量等于B部分初状态的机械能减末状态的机械能。
(1)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒．(×)
(2)物体受到摩擦力作用时，机械能一定要变化．(×)
(3)物体只发生动能和势能的相互转化时，物体的机械能一定守恒．(√)
【典例1】(多选)下列运动中能满足机械能守恒的是( )
A．手榴弹从手中抛出后的运动(不计空气阻力)
B．子弹射穿木块
C．细绳一端固定，另一端拴着一个小球，使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动
D．吊车将货物匀速吊起
【解析】 手榴弹从手中抛出后，在不计空气阻力的情况下只有重力做功，没有其他力做功，机械能守恒，A正确；子弹穿过木块的过程中，子弹受到木块施加的摩擦力的作用，摩擦力对子弹做负功，子弹的动能一部分转化为内能，机械能不守恒，B不正确；小球在光滑的水平面上运动，受到重力，水平面对小球的支持力，还有细绳对小球的拉力作用，这些力皆与小球的运动方向垂直，不做功，所以小球在运动过程中无能量转化，保持原有的动能不变，即机械能守恒，C正确；吊车将货物匀速吊起的过程中，货物受到与其重力大小相等、方向相反的拉力作用，上升过程中除重力做功外还有拉力对物体做正功，货物的机械能增加，故D所指的运动过程机械能不守恒，D不正确．
【答案】 AC
【典例2】如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在将弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的是( )
A．重力势能和动能之和总保持不变
B．重力势能和弹性势能之和总保持不变
C．动能和弹性势能之和总保持不变
D．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
【解析】 在小球与弹簧相互作用过程中，重力势能、弹性势能和动能相互转化，总和保持不变，D正确；重力势能一直减小，故动能和弹性势能之和一直增大，C错误；动能先增大后减小，故重力势能与弹性势能之和先减小后增大，B错误；因弹性势能一直增大，故重力势能与动能之和一直减小，A错误．
【答案】 D
【典例3】(多选)“蹦极”是一项非常刺激的体育运动．如图所示，运动员身系弹性绳自高空中Q点自由下落，图中a是弹性绳的原长位置，c是运动员所到达的最低点，b是运动员静止地悬吊着时的平衡位置．则( )
A．由Q到c的整个过程中，运动员的动能及重力势能之和守恒
B．由a下降到c的过程中，运动员的动能一直减小
C．由a下降到c的过程中，运动员的动能先增大后减小
D．由a下降到c的过程中，弹性绳的弹性势能一直增大
【解析】 由Q到c的整个过程中，运动员的动能、重力势能和弹性绳的弹性势能之和守恒，A错误；由a下降到c的过程中，运动员的动能先增大后减小，B错误，C正确；由a下降到c的过程中，弹性绳的伸长量不断增加，故弹性势能一直增大，D选项也正确．
【答案】 CD
【典例4】伽利略曾设计如图所示的一个实验，将摆球拉至M点放开，摆球会达到同一水平高度上的N点．如果在E或F处钉上钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点．这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面(或弧线)下滑时，其末速度的大小( )
A．只与斜面的倾角有关
B．只与斜面的长度有关
C．只与下滑的高度有关
D．只与物体的质量有关
【答案】 C
【典例5】如图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B．5R/3
C．4R/3 D．2R/3
【解析】
如图所示，以A、B两球为系统，以地面为零势能面，设A质量为2m，B质量为m，根据机械能守恒定律有：2mgR＝mgR＋eq \f(1,2)×3mv2，A落地后B将以v做竖直上抛运动，即有eq \f(1,2)mv2＝mgh，解得h＝eq \f(1,3)R.则B上升的高度为R＋eq \f(1,3)R＝eq \f(4,3)R，故选项C正确．
【答案】 C
考点1：机械能守恒的判断
1.机械能守恒的条件
只有重力或弹力做功，可以从以下四个方面进行理解：
（1）物体只受重力或弹力作用．
（2）存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或弹力做功．
（3）其他力做功，但做功的代数和为零．
（4）存在相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能的转化．
2.机械能守恒的判断方法
（1）利用机械能的定义判断(直接判断)：分析动能和势能的和是否变化．
（2）用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．
（3）用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒．
【典例1】如图所示的物理过程示意图中，甲图为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为置于光滑水平面上的A、B两小车，B静止，A获得一向右的初速度后向右运动，某时刻连接两车的细绳绷紧，然后带动B车运动；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动．则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是( )
A．甲图中小球机械能守恒
B．乙图中小球A的机械能守恒
C．丙图中两车组成的系统机械能守恒
D．丁图中小球的机械能守恒
【解析】 甲图过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒；乙图过程中A、B两球通过杆相互影响(例如开始时A球带动B球转动)，轻杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以每个小球的机械能不守恒，但把两个小球作为一个系统时机械能守恒；丙图中绳子绷紧的过程虽然只有弹力作为内力做功，但弹力突变有内能转化，机械能不守恒；丁图过程中细绳也会拉动小车运动，取地面为参考系，小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，小球的机械能不守恒，把小球和小车当做一个系统，机械能才守恒．
【答案】 A
【典例2】如图所示，用轻弹簧相连的物块A和B放在光滑的水平面上，物块A紧靠竖直墙壁，一颗子弹沿水平方向射入物块B后留在其中，由子弹、弹簧和A、B所组成的系统在下列依次进行的过程中，机械能不守恒的是（ ）
A．子弹射入物块B的过程
B．物块B带着子弹向左运动，直到弹簧压缩量最大的过程
C．弹簧推着带子弹的物块B向右运动，直到弹簧恢复原长的过程
D．带着子弹的物块B因惯性继续向右运动，直到弹簧伸长量达最大的过程
【答案】A
【解析】子弹射入物块B的过程中，子弹和物块B组成的系统，由于要克服子弹与物块之间的滑动摩擦力做功，一部分机械能转化成了内能，所以机械能不守恒。在子弹与物块B获得了共同速度后一起向左压缩弹簧的过程中，对于A、B弹簧和子弹组成的系统，由于墙壁给A一个推力作用，系统的外力之和不为零，但这一过程中墙壁的弹力不做功，只有系统内的弹力做功，动能和弹性势能发生转化，系统机械能守恒，这一情形持续到弹簧恢复原长为止。当弹簧恢复原长后，整个系统将向右运动，墙壁不再有力作用在A上，这时物块的动能和弹簧的弹性势能相互转化，故系统的机械能守恒。
（1）对一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒．
（2）对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断．
（3）对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。
考点2：机械能守恒定律的表达式及应用
1.三种守恒表达式的比较
2.应用机械能守恒的一般步骤
（1）选取研究对象（物体或系统）。
（2）明确研究对象的运动过程，分析研究对象在过程中的受力情况，弄清各力做功情况，判断机械能是否守恒。
（3）选取恰当的参考平面，确定研究对象在初末状态的机械能。
（4）选取恰当的表达式列方程求解。常见的表达式有三种（见上面表达式）。
（5）对计算结果进行必要的讨论和说明。
3.机械能守恒定律的应用技巧
（1）机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。
（2）如果系统（除地球外）只有一个物体，用守恒式列方程较方便；对于由两个或两个以上物体组成的系统，用转化式或转移式列方程较简便。
【典例1】如图所示，倾角为θ的直角斜面体固定在水平地面上，一根轻质弹簧上端固定在斜面上，下端拴一质量为m的物块，物块放在光滑斜面上的P点并保持静止，弹簧与斜面平行，此时弹簧具有的弹性势能为Ep，已知弹簧的劲度系数为k，现将物块缓慢沿斜面向上移动，到弹簧刚恢复至原长位置时，由静止释放物块，求在以后的运动过程中物块的最大速度．
【解析】 由题意可知，物块将以P点为平衡位置往复运动，当物块运动到位置P点时有最大速度，设为vm，从物块在弹簧原长位置由静止释放至物块刚好到达P点的过程中，由系统机械能守恒得：
mgx0sin θ＝Ep＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)
当物块自由静止在P点时，物块受力平衡，则有：mgsin θ＝kx0
联立解得：vm＝eq \r(2\f(mg2sin2θ,k)－\f(Ep,m))
【答案】 eq \r(2\f(mg2sin2θ,k)－\f(Ep,m))
【典例2】如图所示，物块A的质量为M，物块B、C的质量都是m，并都可看作质点，且m
(2)若B不能着地，求eq \f(M,m)满足的条件．
【审题指导】 解答该题应注意．
(1)物块C在落地之前，A、B、C三者组成的系统机械能守恒．
(2)C在落地之后，物块B在落地之前，A、B组成的系统机械能守恒．
【解析】 (1)A上升L时速度达到最大，设为v，由机械能守恒定律有
2mgL－MgL＝eq \f(1,2)(M＋2m)v2
得v＝eq \r(\f(22m－MgL,2m＋M)).
(2)C着地后，若B恰能着地，即B物块再下降L时速度为零．对A、B组成的系统由动能定理得
－MgL＋mgL＝0－eq \f(1,2)(M＋m)v2
解得M＝eq \r(2)m
若使B不着地，应有M>eq \r(2)m，
即eq \f(M,m)>eq \r(2).
【答案】 (1) eq \r(\f(22m－MgL,2m＋M)) (2)eq \f(M,m)>eq \r(2)
轻杆模型中的机械能守恒
1.模型构建
轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型．
2.模型条件
（1）忽略空气阻力和各种摩擦．
（2）平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．
3.模型特点
（1）杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
（2）对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒．
【典例1】质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球eq \f(L,3)处有一个光滑固定轴O，如图所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低点位置时，求：
(1)小球P的速度大小；
(2)在此过程中小球P机械能的变化量．
【规范解答】 (1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q摆到最低位置时P球的速度为v，由于P、Q两球的角速度相等，Q球运动半径是P球运动半径的两倍，故Q球的速度为2v.由机械能守恒定律得2mg·eq \f(2,3)L－mg·eq \f(1,3)L＝eq \f(1,2)mv2＋eq \f(1,2)·2m·(2v)2，
解得v＝eq \f(\r(2gL),3).
(2)小球P机械能增加量为ΔE，
ΔE＝mg·eq \f(1,3)L＋eq \f(1,2)mv2＝eq \f(4,9)mgL.
【答案】 (1)eq \f(\r(2gL),3) (2)增加eq \f(4,9)mgL
【典例2】如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：
(1)两球在光滑水平面上运动时的速度大小；
(2)整个运动过程中杆对A球所做的功．
【解析】 (1)因为没有摩擦，且不计球与地面碰撞时的机械能损失，两球在光滑地面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有：
2mg(h＋eq \f(L,2)sin θ)＝2×eq \f(1,2)mv2
解得：v＝eq \r(2gh＋gLsin θ).
(2)因两球在光滑水平面上运动时的速度v比B单独从h处自由滑下的速度eq \r(2gh)大，增加的机械能就是杆对B做正功的结果．B增加的机械能为
ΔEkB＝eq \f(1,2)mv2－mgh＝eq \f(1,2)mgLsin θ
因系统的机械能守恒，所以杆对B球做的功与杆对A球做的功的数值应该相等，杆对B球做正功，对A球做负功，所以杆对A球做的功W＝－eq \f(1,2)mgLsin θ.
【答案】 (1)eq \r(2gh＋gLsin θ) (2)－eq \f(1,2)mgLsin θ
在利用轻杆模型求解问题时应注意以下两点：
（1）本类题目易误认为两球的线速度相等，还易误认为单个小球的机械能守恒．
（2）杆对球的作用力方向不再沿着杆，杆对小球P做正功从而使它的机械能增加，同时杆对小球Q做负功，使小球Q的机械能减少，系统的机械能守恒.
一、多选题
1．如图所示，两个可视为质点的质量相同的小球a、b分别被套在刚性轻杆的中点位置和其中一端的端点处，两球相对于杆固定不动，杆长，轻杆的另一端可绕固定点O自由转动。当装置在竖直平面内由水平位置静止释放，某一时刻轻杆绕点转动的角度为（为锐角），若此时球a的速度大小为，方向斜向左下。运动过程中不计一切摩擦（），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．此时b球的速度大小为
C．轻杆对a球不做功，对b球做负功
D．从初始位置到转过θ角度过程中，a球机械能减小，b球机械能增加
【答案】AD
【详解】AB．根据题意可知，小球a、b转动时角速度相等，由公式可知
转动过程中，系统的机械能守恒，由机械能守恒定律有
代入数据解得
即
故B错误，A正确；
CD．根据题意，设从初始位置到转过θ角度过程中，杆对球做功为，杆对球做功为，由动能定理对小球有
对小球有
解得
可知，轻杆对a球做负功，a球机械能减小，对b球做正功，b球机械能增加，故C错误，D正确。
故选AD。
2．1924年跳台滑雪被列为首届冬奥会项目。如图所示，一名运动员从雪道的最高点M由静止开始滑下，经过水平段后从P点飞入空中，最终落到Q点，不计运动员经过N点的机械能损失和空气阻力。已知运动员从M点到P点，重力做功为，克服阻力做功为，从P点到Q点重力做功为，设P点所在平面为零势能面，则下列说法正确的是（ ）
A．运动员在P点的动能为
B．运动员从M点到P点机械能减少了
C．运动员在Q点的机械能为
D．运动员从M点到Q点重力势能减少了
【答案】BC
【详解】A．根据动能定理可知，运动员在P点的动能为
故A错误；
B．运动员从M点到P点机械能减少量等于该过程克服阻力做的功，可知运动员从M点到P点机械能减少了，故B正确；
C．以P点所在平面为零势能面，运动员在P点的重力势能为零，则运动员在P点的机械能等于该位置运动员的动能；从P点到Q点只有重力做功，机械能守恒，则有
故C正确；
D．运动员从M点到Q点重力势能减少量等于该过程重力做的功，该过程重力势能减少了，故D错误。
故选BC。
3．如图所示，倾角为、质量为的斜面体置于水平地面上，质量为的物块放在斜面上，穿过光滑小环（O为接触点）的不可伸缩的轻质细线一端连接物块，另一端系着一个质量为m的小球，物块与小环间的细线与斜面平行。现将小球从位置a由静止释放（此时水平且细线刚好伸直），重力加速度为g，，则在小球从位置a摆到最低点b的过程中，下列说法正确的是（ ）（物块和斜面体始终静止，不计空气阻力）
A．斜面对物块的摩擦力先减小后增大
B．斜面对物块的摩擦力的最大值为
C．地面对斜面体的支持力的最小值为
D．地面对斜面体的支持力的最小值为
【答案】ABD
【详解】A．当水平时，细线的拉力为零，斜面对物块的摩擦力沿斜面向上，大小为
小球从位置a摆到最低点b点，由动能定理可得
由牛顿第二定律可得
解得细线的拉力为
故此时斜面对物块的摩擦力沿斜面向下，小球从a运动到b的过程中细线的拉力逐渐增大，所以斜面对物块的摩擦力先减小后增大，故A正确。
B．斜面对物块的沿斜面向上的摩擦力最大值为
斜面对物块的沿斜面向下的摩擦力的最大值为
所以斜面对物块的摩擦力的最大值为，故B正确。
CD．对斜面体和物块整体分析，当细线的拉力最大时，地面对斜面体的支持力最小，最小值为
故C错误，D正确。
故选ABD。
4．如图所示，质量为的小球甲固定在轻弹簧上，轻弹簧固定在水平面上，小球甲和轻弹簧套在一竖直固定的光滑杆上，小球甲和质量为的物体乙用跨过一个光滑小定滑轮的不可伸长的轻绳连接。初始时，用手托住物体乙，使轻绳刚好伸直且绳上拉力为零，此时，连接小球甲和小定滑轮之间的轻绳与水平方向的夹角为，且小球甲静止于点，现将物体乙由静止释放，经过一段时间后小球甲运动到点，水平并相切于小定滑轮上的点，且小球在两点时弹簧的弹力大小相等。已知重力加速度为，，，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数
B．小球甲运动到N点时的速度大小为
C．小球甲由M点运动到N点的过程中，小球甲和物体乙的机械能之和先减小后增大
D．在小球甲由M点运动到N点的过程中，物体乙重力的瞬时功率一直增大
【答案】AB
【详解】A．根据题意，由几何关系可知
由于小球在两点时弹簧的弹力大小相等，则小球在两点时，弹簧的形变量均为
小球在点时，由平衡条件有
联立解得
故A正确；
BCD．根据题意可知，小球甲由M点运动到N点的过程中，小球甲、物体乙和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的弹性势能先减小后增大，则小球甲和物体乙的机械能之和先增大后减小，由牵引速度可知，小球甲运动到N点时，物体乙的速度为0，则物体乙的速度先增大后减小，物体乙重力的瞬时功率先增大后减小，由于小球在两点时弹簧的弹力大小相等，弹簧的弹性势能相等，设小球甲运动到N点时的速度大小为，由机械能守恒定律有
解得
故CD错误，B正确。
故选AB。
5．如图所示，一条轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球a和b，用手托住球b，当绳刚好被拉紧时，球b离地面的高度为h，球a静止于地面。已知球a的质量为m，球b的质量为3m，重力加速度为g，定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计。若无初速度释放球b，则下列判断正确的是（ ）
A．经过时间，球b恰好落地
B．在球b下落过程中，球b所受拉力大小为1.5mg
C．在球b下落过程中，球a的机械能保持不变
D．球b落地前瞬间速度大小为
【答案】BD
【详解】A．以两球整体为研究对象，根据牛顿第二定律
解得
根据
解得
A错误；
B．设绳子的拉力为T，对b根据牛顿第二定律
解得
B正确；
C．b球下落过程中，a球重力势能增大，动能增大，机械能变大，C错误；
D．根据
解得
D正确。
故选BD。
二、单选题
6．如图所示，光滑半圆弧槽静止在光滑的水平面上，一滑块从槽顶端A处由静止下滑，滑至槽最低点上方的某点B时速度达到最大，则滑块运动到B点时（ ）
A．圆弧槽速度也达到最大值
B．滑块和槽组成的系统总动能最大
C．滑块对槽压力做功的功率等于重力对滑块做功的功率
D．重力对滑块做功的功率大于滑块克服支持力做功的功率
【答案】C
【详解】A．滑块运动到B点时，对圆弧槽的压力斜向左下方，有水平向左的分力，圆弧槽继续向左加速，圆弧槽速度没有达到最大值。A错误；
B．滑块和槽组成的系统机械能守恒，滑块运动最低点，系统重力势能最小，由滑块和槽组成的系统总动能最大，B错误；
C．在B点取一很短时间，由动能定理得
滑块对槽压力做功的功率等于重力对滑块做功的功率，C正确。
D．滑块克服支持力做功的功率等于滑块对槽压力做功的功率，重力对滑块做功的功率等于滑块克服支持力做功的功率，D错误。
故选C。
7．有三个斜面a、b、c，底边长与高度分别如图所示。某物体与三个斜面间的动摩擦因数都相同，这个物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端。三种情况相比较，下列说法正确的是（ ）
A．物体损失的机械能
B．物体重力势能的变化量
C．物体到达底端的动能
D．因摩擦产生的热量
【答案】A
【详解】D．设任一斜面和水平方向夹角为，斜面长度为x，则物体下滑过程中克服摩擦力做功为
其中为底边长度，摩擦生热等于克服摩擦力做功，分别为
，，
故有
D错误；
A．根据能量守恒,损失的机械能等于摩擦产生的内能，所以损失的机械能关系为
A正确；
C．设物体滑到底端时的动能为，根据动能定理得
则得
根据图中斜面高度和底边长度可以知道滑到底边时动能大小关系不满足
C错误；
B．物体重力势能的变化量分别为
可得
B错误。
故选A。
8．如图，将一质量为m的小球从a点以初速度v斜向上抛出（不计空气阻力），小球先后经过b、c两点。已知a、c之间的高度差和b、c之间的高度差均为h，重力加速度为g，取b点所在的水平面为零势能面，则小球在（ ）
A．a点的重力势能为0B．b点的动能为
C．b点的机械能为D．c点的机械能为
【答案】D
【详解】A．取b点所在的水平面为零势能面，则a点的重力势能为-2mgh，选项A错误；
BC．从a到b机械能守恒，则
即b点的动能为
选项BC错误；
D．从a到c机械能守恒，则c点的机械能等于a点的机械能，为，选项D正确。
故选D。
9．如图所示，一小球自A点由静止开始自由下落，到达B点时与弹簧接触，到达C点时弹簧被压缩至最短。若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由A至B到C的运动过程中（ ）
A．小球的机械能守恒
B．小球在B点时动能最大
C．小球由B到C加速度先减小后增大
D．小球由B到C的过程中，动能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量
【答案】C
【详解】A．小球在A到B的过程中，只有重力做功，机械能守恒，在B到C的过程中，有重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，小球机械能不守恒，故A错误；
B．小球从接触弹簧开始，重力先大于弹力，加速度方向向下，向下加速，加速度逐渐减小，当重力与弹簧弹力相等时，速度最大，然后弹力大于重力，加速度方向向上，做减速运动，加速度逐渐增大，故小球从B到C过程中加速度先减小后增大，故B错误，C正确；
D．小球由B到C的过程中，动能减小，重力势能减小，弹性势能增加，根据能量守恒定律知，动能和重力势能的减小量等于弹性势能的增加量，故D错误。
故选C。
10．一质量为可视为质点的小球，系于长为的轻绳一端，绳的另一端固定在点，假定绳不可伸长，柔软且无弹性。现将小球从点的正上方距离点的点以水平速度抛出，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为
B．轻绳从释放到绷直所需时间为
C．轻绳绷直后瞬间，小球的速度大小为
D．当小球到达点正下方时，绳对质点的拉力为
【答案】D
【详解】AB．小球水平抛出后，在绳子绷直之前做平抛运动，有
解得
故AB错误；
C．绳子绷直时，水平方向的速度突变为零，只剩下竖直方向的速度，故速度
故C错误；
D．小球在绳子绷直后运动到的正下方，机械能守恒，有
又在最低点，根据受力关系
解得
故D正确。
故选D。
11．如图所示，质量均为m的两个物块A、B叠放在轻弹簧上，处于静止状态。轻弹簧下端固定在地面上，上端与物块B连接。从某时刻开始对物块A施加竖直向上的恒力F，物块A开始向上运动，物块B与弹簧组成的系统机械能没有变化。经过时间t，撤去力F，物块B也第一次达到最大高度。忽略空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．F大小为2mg
B．F大小可能为1.8mg
C．若在2t时刻两物块的距离刚好达到最大，则该最大距离为gt2
D．在1.5t时刻，物块B与弹簧组成的系统的势能可能达到最大值
【答案】C
【详解】AB．在恒力F作用前，对A、B整体，由平衡条件有
物块A开始向上运动时，物块B与弹簧组成的系统机械能没有变化，则以B为研究对象，由牛顿第二定律有
解得
此时物块A的最小加速度则也应为g，故恒力F的最小值应为2mg，故AB错误；
C．若在2t时刻两物块距离刚好达到最大，经t时间物块B也第一次达到最大高度。则再经t时间物块B恰好回到原来静止位置，且物块A应恰好达到最高点，这样两物块距离恰好达到最大。在0~t时间，物块A做匀加速运动，在t~2t时间物块A做加速度为g匀减速运动，则有
可得
根据匀变速直线运动位移一时间公式，则有物块A在2t时间内上升高度
物块B在2t时间内位置不变，故该最大距离为，故C正确；
D．物块B与弹簧组成的系统势能最大时，根据能量守恒可知此时动能最小，所以应是0时刻或2t时刻，物块B与弹簧组成的系统势能最大，故D错误。
故选C。
12．一木箱放在电梯的水平底板上，随同电梯在竖直方向运动，运动过程中木箱的机械能E与位移x关系的图像如图所示，其中过程的图线为曲线，过程的图线为直线。根据该图像，在过程中下列判断正确的是（ ）
A．电梯向上先变加速后匀减速B．电梯所受拉力先增大后不变
C．木箱所受支持力先减小后不变D．木箱一直处于超重状态
【答案】C
【详解】C．木箱机械能的增量
过程的图线为曲线，斜率逐渐减小，所以木箱所受支持力减小；过程的图线为直线，斜率不变，所以木箱所受支持力不变。故C正确；
D．由于不知道支持力与重力的大小关系，不能判断木箱是超重还是失重，故D错误；
A．木箱与电梯有共同的运动状态，木箱的运动不能判断，电梯的运动也不能判断，故A错误；
B．电梯与木箱有共同的加速度，木箱所受支持力先减小后不变，则电梯所受拉力先减小后不变，故B错误。
故选C。
三、实验题
13．“验证机械能守恒定律”的实验装置示意图.现有的器材为：带铁夹的铁架台、电磁打点计时器、纸带、带铁夹的重锤、天平，回答下列问题：
（1）为完成此实验，除了所给的器材，还需要的器材有___________.（填入正确选项前的字母）
A．毫米刻度尺 B．秒表 C．约为8V的交流电源 D．220V的交流电源
（2）关于重锤的选用，以下说法正确的是___________.
A．重锤选用体积较大且质量较小的
B．重锤选用体积较小且质量较大的
C．选用重锤后要称质量
（3）质量的重锤自由下落，在纸带上打出了一系列的点，如图所示，相邻计数点的时间间隔为0.02s，长度单位是cm，g取9.8m/s2.（结果保留2位有效数字）：
①打点计时器打下计数点B时，重锤的速度___________m/s.
②从打下计数点O到打下计数点B的过程中，重锤重力势能的减小量___________J，动能的增加量___________J.
【答案】 AC/CA B 0.97 0.48 0.47
【详解】（1）[1]AB．需要用米尺测量纸带上点间的长度，打点计时器本身有计时功能，所以不需要秒表，故A正确，B错误；
CD．图中有复写纸，可知图中为电磁打点计时器，所以使用约为8V的交流电源，故C正确，D错误；
（2）[2]为了减小误差，重锤选用质量大体积小，即密度大的，使重锤所受重力要选大于它所受的空气阻力和打点计时器对纸带的阻力。
故选B。
（3）①[3]由匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度得
②[4][5]从点O到打下记数点B的过程中，物体重力势能的减小量
动能的增加量
14．利用图1装置做“验证机械能守恒定律”的实验。
（1）实验中除带夹子的重物、纸带、铁架台（含铁夹）、电磁打点计时器、导线及开关外，在下列器材中，还必须使用的器材是______。
A．直流电源 B．刻度尺 C．天平（含砝码） D．秒表
（2）实验中，需先接通电源，再释放重物，得到如图2所示的一条纸带，在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为h、h、h。已知当地重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T，设重物的质量为m，从打O点到打B点的过程中，重物的重力势能减少量ΔEp=______；动能增加量ΔEk=______；大多数学生的实验结果显示重力势能的减少量______（填“小于”、“等于”、“大于”）动能的增加量。
（3）某同学利用图中纸带，先分别测量出从某点到A、B、C、D、E、F、G点的距离h（其中D、E、F、G点为C点后连续打出的点，图中未画出），再计算打出B、C、D、E、F各点时重锤下落的速度v，绘制v2-h图像，如图所示，并求得图线的斜率为k。假设上述实验操作中不受一切阻力影响，此时绘制的v2-h图线的斜率k′与k的大小关系是k′______k（填“小于”、“等于”、“大于”）。
【答案】 B 大于 大于
【详解】（1）[1]实验时还必须使用的器材有交流电源和刻度尺；打点计时器可记录重物的运动时间，所以不需要秒表；若重物的机械能守恒，则有
由此可知比较重力势能减少量与动能增加量时，可以不测量质量，即不需要天平。
故选B。
（2）[2]从打O点到打B点的过程中，重物的重力势能减少量为
[3]打在B点的速度为
所以动能的增加量为
[4]大多数学生的实验结果显示重力势能的减少量大于动能的增加量，原因是重物在下落过程中存在空气阻力和摩擦力的影响，由于存在阻力和摩擦力，所以机械能减小，因此重力势能的减少量略大于动能得增加量。
（3）[5]若重物下落过程中存在空气阻力，则有
所以
图线的斜率为
若不存在阻力，则有
图线的斜率为
四、解答题
15．如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相接，导轨半径为。一个质量为的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，它经过B点的速度为，之后沿半圆形导轨运动，到达C点的速度为。重力加速度为。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）物体沿半圆形导轨运动过程中阻力所做的功；
（3）物体在最高点C轨道对物体的弹力。
【答案】（1）；（2）；（3），方向竖直向下
【详解】（1）物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，经光滑水平面AB到达C点，弹性势能转化为动能，据机械能守恒定律有
解得
（2）物体沿半圆形导轨由B到C运动，据动能定理
解得
（3）物体在最高点C，由牛顿第二定律得
解得轨道对物体的弹力
方向竖直向下。
16．如图所示，在倾角为的斜面的底端有一个固定挡板D，已知物块与斜面PO间的动摩擦因数μ＝0.50，斜面OD部分光滑，处于自然长度的轻质弹簧一端固定在D点，另一端在O点，PO的长度L=16m。在P点有一质量为1kg的小物体A（可视为质点），现使A从静止开始下滑，g=10m/s2，，。求：
（1）物体第一次接触弹簧时物体的速度的大小；
（2）若已知弹簧的最大压缩量为d=0.5m，求弹簧的最大弹性势能Ep；
（3）物体与弹簧第一次接触后反弹，物体从O点沿斜面上升的最大距离x。
【答案】（1）8m/s；（2）35J；（3）3.2m
【详解】（1）物体在PO过程中受到竖直向下的重力、垂直斜面向上的弹力和沿斜面向上的摩擦力，此过程应用动能定理得
–0
解得
（2）物体由O到将弹簧压缩至最短的过程中，此过程根据能量守恒得
（3）从P点到第一次接触后最高处，根据动能定理得
解得
表达
角度
表达公式
表达意义
注意事项
守恒
观点
Ek＋Ep＝Ek′＋Ep′
系统初状态的机械能的总和与末状态机械能的总和相等
应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能
转化
观点
ΔEk＝－ΔEp
表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能
应用时关键在于分清重力势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差
转移
观点
ΔE增＝ΔE减
若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等
常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
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