统考版2024高考数学二轮专题复习专题五解析几何第1讲直线与圆理

这是一份统考版2024高考数学二轮专题复习专题五解析几何第1讲直线与圆理，共8页。试卷主要包含了直线的两种位置关系等内容，欢迎下载使用。
1．直线的两种位置关系
2.三种距离公式
(1)两点间的距离：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.
(2)点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两平行线的距离：若直线l1，l2的方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两平行线的距离d＝.
例 1 （1）[2023·江西师范大学附属中学高三三模]若a为实数，则“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)[数学文化]我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( )
A．x＋(－1)y－＝0
B．(1－)x－y＋＝0
C．x－(＋1)y＋＝0
D．(－1)x－y＋＝0
归纳总结
求解直线方程的两种方法
提醒 (1)忽略直线斜率不存在的情况
在解决有关直线问题时要考虑直线斜率是否存在．
(2)忽略检验致误
求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
对点训练
1.[2023·安徽省固镇县三模]已知直线l1：ax＋2y＋1＝0，l2：（3－a）x－y＋a＝0，则条件“a＝1”是“l1⊥l2”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不必要也不充分条件
2．[2023·北京西城高三模拟]已知直线(2t－3)x＋y＋5＝0不通过第一象限，则实数t的取值范围为________.
考点二 圆的方程——“几何”、“代数”巧选取
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以为圆心，为半径的圆．
例 2 (1)[2022·全国乙卷]过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为__________________．
(2)[2022·全国甲卷]设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．
归纳总结
圆的方程的求法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程；
(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程．一般采用待定系数法.
对点训练
1.[2023·陕西省安康中学检测]圆心在直线l1：x－y－2＝0上，且与直线l2：x－y＝0相切的一个圆的方程为 ．
2.[2023·天津市河西区高三一模]与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是 ．
考点三 直线(圆)与圆的位置关系——紧扣“距离”与“半径”
1．直线与圆的位置关系的判定
(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离；
(2)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离．
2．圆与圆的位置关系的判定
(1)d＞r1＋r2⇔两圆外离；
(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；
(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2⇔两圆相交；
(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；
(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．
例 3 （1）[2023·全国乙卷]已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是（ ）
A．1＋ eq \f(3\r(2),2) B．4
C．1＋3 eq \r(2) D．7
（2）[2023·新课标Ⅰ卷]过点（0，－2）与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（ ）
A．1 B． eq \f(\r(15),4)
C． eq \f(\r(10),4) D． eq \f(\r(6),4)
（3）[2023·新课标Ⅱ卷]已知直线x－my＋1＝0与⊙C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为 eq \f(8,5)”的m的一个值 ．
（4）[2023·四川省成都市四七九名校模拟]已知圆C1：x2＋（y－1）2＝1与圆C2：x2＋（y－m）2＝4相内切，则实数m的值为 ．
归纳总结
1．求解圆的弦长的三种方法
2.与圆的切线有关的结论
(1)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切点为T，则切线长为|PT|＝.
(3)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)外一点（x0，y0）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
对点训练
1.直线l：3x＋4y－1＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y－4＝0所截得的弦长为( )
A．2 B．4
C．2 D．2
2.[2023·辽宁省沈阳市第二中学模拟]已知M是圆C：（x－1）2＋y2＝4上的动点，以点M为圆心，|OM|为半径作圆M，设圆M与圆C交于A，B两点，则下列点中，直线AB一定不经过（ ）
A．（ eq \f(3,4)， eq \f(1,2)） B．（ eq \f(3,2)，1）
C．（ eq \f(1,2)， eq \f(1,2)） D．（ eq \f(1,2)， eq \f(\r(2),2)）
第1讲 直线与圆
考点一
[例1] 解析：（1）若“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”，
则a2－1＝0，解得a＝1或a＝－1，
当a＝1时，直线l1：x＋y＋2＝0，l2：x＋y－4＝0，此时l1∥l2，符合题意；
当a＝－1时，直线l1：－x＋y＋2＝0，即l1：x－y－2＝0，l2：x－y－2＝0，
此时l1，l2重合，不符合题意；
综上所述：“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”等价于a＝1.
所以“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”的充要条件．故选C.
（2）如图所示，可知A（ eq \r(2) ，0），B（1，1），C（0， eq \r(2) ），D（－1，1），所以直线AB，BC，CD的方程分别为y＝ eq \f(1－0,1－\r(2)) ·（x－ eq \r(2) ），y＝（1－ eq \r(2) ）x＋ eq \r(2) ，
y＝（ eq \r(2) －1）x＋ eq \r(2) .
整理为一般式即
x＋（ eq \r(2) －1）y－ eq \r(2) ＝0，
（1－ eq \r(2) ）x－y＋ eq \r(2) ＝0，
（ eq \r(2) －1）x－y＋ eq \r(2) ＝0.故选C.
答案：（1）C （2）C
对点训练
1．解析：若l1⊥l2，则（3－a）×（－ eq \f(a,2) ）＝－1，
解得a＝1或a＝2.
故a＝1是l1⊥l2的充分不必要条件．
故选B.
答案：B
2．解析：由题意得直线（2t－3）x＋y＋5＝0恒过定点（0，－5），且斜率为－（2t－3），
∵直线（2t－3）x＋y＋5＝0不通过第一象限，
∴－（2t－3）≤0，解得t≥ eq \f(3,2) ，
故实数t的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) .
答案： eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
考点二
[例2] 解析：（1）设点A（0，0），B（4，0），C（－1，1），D（4，2）.①若圆过A，B，C三点，则圆心在直线x＝2上，设圆心坐标为（2，a），则4＋a2＝9＋（a－1）2，解得a＝3，则半径r＝ eq \r(4＋a2) ＝ eq \r(13) ，所以圆的方程为（x－2）2＋（y－3）2＝13.②若圆过A，B，D三点，设圆心坐标为（2，a），则4＋a2＝4＋（a－2）2，解得a＝1，则半径r＝ eq \r(4＋a2) ＝ eq \r(5) ，所以圆的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5.③若圆过A，C，D三点，易求线段AC的中垂线方程为y＝x＋1，线段AD的中垂线方程为y＝－2x＋5.联立得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋1，,y＝－2x＋5，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(7,3)，)) 则半径r＝ eq \r(\f(16,9)＋\f(49,9)) ＝ eq \f(\r(65),3) ，所以圆的方程为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,3))) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(7,3))) eq \s\up12(2) ＝ eq \f(65,9) .④若圆过B，C，D三点，易求线段BD的中垂线方程为y＝1，线段BC的中垂线方程为y＝5x－7.联立得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝1，,y＝5x－7，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5)，,y＝1，)) 则半径r＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)－4))\s\up12(2)＋（1－2）2) ＝ eq \f(13,5) ，所以圆的方程为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(8,5))) eq \s\up12(2) ＋（y－1）2＝ eq \f(169,25) .
（2）因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设M（a，1－2a）.由点（3，0），（0，1）均在⊙M上，可得点（3，0），（0，1）到圆心M的距离相等且为⊙M的半径，所以r＝ eq \r(（a－3）2＋（1－2a）2) ＝ eq \r(a2＋（1－2a－1）2) ，解得a＝1.所以M（1，－1），r＝ eq \r(5) ，所以⊙M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
答案：（1）（x－2）2＋（y－3）2＝13[或（x－2）2＋（y－1）2＝5或（x－ eq \f(4,3) ）2＋（y－ eq \f(7,3) ）2＝ eq \f(65,9) 或（x－ eq \f(8,5) ）2＋（y－1）2＝ eq \f(169,25) ]
（2）（x－1）2＋（y＋1）2＝5
对点训练
1．解析：因为直线l1：x－y－2＝0与直线l2：x－y＝0平行，
设圆心坐标为（a，a－2），因为圆心到直线l2的距离等于圆的半径r，
所以r＝ eq \f(|a－a＋2|,\r(2)) ＝ eq \r(2) ，取a＝1，则圆的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝2.
答案：（x－1）2＋（y＋1）2＝2（答案不唯一）
2．解析：因为圆x2＋y2＋2x－2y＝0的圆心C（－1，1），半径为 eq \r(2) ，
圆心C（－1，1）到直线x－y－4＝0的距离d＝ eq \f(|－1－1－4|,\r(12＋（－1）2)) ＝3 eq \r(2) ，
可知所求最小圆的半径r＝ eq \f(3\r(2)－\r(2),2) ＝ eq \r(2) ，
设与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为l：x＋y＋m＝0，
又因为直线l过圆心C（－1，1），则－1＋1＋m＝0，
即m＝0，则l：x＋y＝0，
联立方程 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝0,x－y－4＝0)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝－2)) ，
即x＋y＝0与x－y－4＝0的交点M（2，－2），
设所求圆的圆心为（a，－a）（a eq \f(9,16) ，
对于B，（ eq \f(3,2) ）2＋（1）2＝ eq \f(13,4) > eq \f(9,16) ，
对于C，（ eq \f(1,2) ）2＋（ eq \f(1,2) ）2＝ eq \f(1,2) < eq \f(9,16) ，
对于D，（ eq \f(1,2) ）2＋（ eq \f(\r(2),2) ）2＝ eq \f(3,4) > eq \f(9,16) ，
则各选项的点中，直线AB一定不经过（ eq \f(1,2) ， eq \f(1,2) ）.故选C.
答案：C
直线l1
y＝k1x＋b1
A1x＋B1y＋C1＝0
直线l2
y＝k2x＋b2
A2x＋B2y＋C2＝0
直线平行或重合
的充要条件
k1＝k2
A1B2－A2B1＝0
直线垂直的充要条件
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
直接法
根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．
待定
系数法
①设出所求直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式或一般式)；
②由条件建立所求参数的方程(组)；
③解这个方程(组)求出参数；
④把参数的值代入所设直线方程．
关系法
根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)
公式法
根据公式l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标， k为直线的斜率)
距离法
联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解