统考版2024高考数学二轮专题复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线的定义方程与性质理

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圆锥曲线的定义、标准方程
例 1 (1)[2022·全国甲卷]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝－1，则C的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
(2)[2023·贵州毕节模拟预测]如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝2，且点M(2，)在C上，则双曲线C的标准方程为( )

A.x2－＝1 B．＝1
C．－y2＝1 D．＝1
归纳总结
1．关于圆锥曲线定义的应用
对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离，一般要利用定义进行转化．对应抛物线涉及曲线上点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化．
2．关于圆锥曲线方程的求法
对点训练
1.[2023·全国甲卷]设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C： eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,6)＝1的两个焦点，点P在C上，cs ∠F1PF2＝ eq \f(3,5)，则|OP|＝（ ）
A． eq \f(13,5) B． eq \f(\r(30),2) C． eq \f(14,5) D． eq \f(\r(35),2)
2.[2023·四川省成都市四七九名校模拟]已知点F（0，4）是抛物线C：x2＝2py（p>0）的焦点，点P（2，3），且点M为抛物线C上任意一点，则|MF|＋|MP|的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
考点二 圆锥曲线的几何性质——找准a、b、c，数形要结合
圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝________＝________；
②在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝______＝________．
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标：
①双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝________，焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)；
②双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝________，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程：
①抛物线y2＝±2px(p>0)的焦点坐标为________，准线方程为x＝________；
②抛物线x2＝±2py(p>0)的焦点坐标为________，准线方程为y＝________．
例 2 (1)[2022·全国甲卷]椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
(2)[2022·全国乙卷]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( )
A．2 B．2 C．3 D．3
（3）（多选）[2022·全国乙卷]双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cs ∠F1NF2＝ eq \f(3,5)，则C的离心率为（ ）
A． eq \f(\r(5),2) B． eq \f(3,2) C． eq \f(\r(13),2) D． eq \f(\r(17),2)
归纳总结
1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的“1”改为零，分解因式可得；
(2)用法：①可得或的值；
②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
对点训练
1.[2023·全国乙卷]设A，B为双曲线x2－ eq \f(y2,9)＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．（1，1） B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，2))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－4))
2.[2023·新课标Ⅱ卷]已知椭圆C： eq \f(x2,3)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB 面积是△F2AB 面积的2倍，则m＝（ ）
A． eq \f(2,3) B． eq \f(\r(2),3) C．－ eq \f(\r(2),3) D．－ eq \f(2,3)
3．[2021·全国乙卷]设B是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A．[，1) B．
C．(0，] D．
考点三 直线与圆锥曲线的关系及应用——联立方程，设而不求
1．弦长公式
设直线斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝________________＝________________或|AB|＝______________＝____________．
2．过抛物线焦点的弦长
过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝________，y1y2＝________，弦长|AB|＝________．
例 3 (1)[2022·浙江卷]已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点A(x1，y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2，y2)，且x1b>0)截直线所得的弦的中点是P(x0，y0)(y0≠0)，则直线的斜率为－.
(3)双曲线＝1(a>0，b>0)上以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率为k＝.
对点训练
1.[2023·四川省成都市四七九名校模拟]已知直线l：y＝kx（k>0）与双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）相交于A，B两点，点A在第一象限，经过点A且与直线l垂直的直线与双曲线C的另外一个交点为M，点N在y轴上， eq \(BN,\s\up6(→))∥ eq \(NM,\s\up6(→))，点O为坐标原点，且 eq \(ON,\s\up6(→))2＝7 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(NO,\s\up6(→))，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y＝± eq \r(3)x B．y＝± eq \r(5)x
C．y＝± eq \r(6)x D．y＝± eq \r(7)x
2.[2023·河南省开封市杞县等4地三模]过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F的直线与抛物线在第一象限、第四象限分别交于A，B两点，若 eq \f(|AF|,|BF|)＝ eq \f(1,3)，则直线AB的倾斜角为（ ）
A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3) C． eq \f(2π,3) D． eq \f(5π,6)
3.[2023·四川省成都市第七中学模拟]设F1，F2是椭圆C： eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点，点P是直线x＝2 eq \r(2)上一点，则∠F1PF2的最大值是（ ）
A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,4) C． eq \f(π,3) D． eq \f(π,2)
第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
考点一
[例1] 解析：（1）由椭圆C的离心率为 eq \f(1,3) ，可得e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \r(\f(a2－b2,a2)) ＝ eq \f(1,3) .化简，得8a2＝9b2.易知A1（－a，0），A2（a，0），B（0，b），所以BA1·BA2＝（－a，－b）·（a，－b）＝－a2＋b2＝－1.联立得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(8a2＝9b2，,－a2＋b2＝－1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝9，,b2＝8.)) 所以C的方程为 eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,8) ＝1.故选B.
（2）依题意，设双曲线C的标准方程为 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1（a>0，b>0），半焦距c，
则离心率e2＝ eq \f(c2,a2) ＝ eq \f(a2＋b2,a2) ＝1＋ eq \f(b2,a2) ＝4，有b2＝3a2，
而点M（2， eq \r(3) ）在C上，即 eq \f(4,a2) － eq \f(3,b2) ＝1，即 eq \f(4,a2) － eq \f(3,3a2) ＝1，解得a2＝3，b2＝9，
所以双曲线C的标准方程为 eq \f(x2,3) － eq \f(y2,9) ＝1.故选B.
答案：（1）B （2）B
对点训练
1．解析：
方法一 依题意a＝3，b＝ eq \r(6) ，c＝ eq \r(a2－b2) ＝ eq \r(3) .如图，不妨令F1（－ eq \r(3) ，0），F2（ eq \r(3) ，0）.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cs∠F1PF2＝ eq \f(m2＋n2－12,2mn) ＝ eq \f(3,5) ①，
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6 ②.
由①②，解得mn＝ eq \f(15,2) .
设|OP|＝x.
在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，
由余弦定理得 eq \f(x2＋3－m2,2\r(3)x) ＝－ eq \f(x2＋3－n2,2\r(3)x) ，
得x2＝ eq \f(m2＋n2－6,2) ＝ eq \f(（m＋n）2－2mn－6,2) ＝ eq \f(15,2) ，所以|OP|＝ eq \f(\r(30),2) .
方法二 依题意a＝3，b＝ eq \r(6) ，c＝ eq \r(a2－b2) ＝ eq \r(3) .
如图（图同方法一），设点P的坐标为（x0，y0），α＝∠F1PF2，
则cs∠F1PF2＝cs α＝ eq \f(3,5) ，
故sin∠F1PF2＝sin α＝ eq \f(2sin \f(α,2)cs \f(α,2),sin2\f(α,2)＋cs2\f(α,2)) ＝ eq \f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2)) ＝ eq \f(4,5) ，则tan eq \f(α,2) ＝ eq \f(1,2) 或tan eq \f(α,2) ＝2（舍去）.
故△F1PF2的面积S△F1PF2＝b2tan eq \f(α,2) ＝6× eq \f(1,2) ＝3.
又S△F1PF2＝ eq \f(1,2) ×2c|y0|＝ eq \r(3) |y0|，
故y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝3，又 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9) ＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,6) ＝1，
所以x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(9,2) ，|OP|2＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(15,2) ，|OP|＝ eq \f(\r(30),2) .
方法三 依题意a＝3，b＝ eq \r(6) ，c＝ eq \r(a2－b2) ＝ eq \r(3) .
如图（图同方法一），设点P的坐标为（x0，y0），利用焦点三角形面积公式知S△F1PF2＝ eq \f(b2sin α,1＋cs α) .
因为cs∠F1PF2＝ eq \f(3,5) ，所以sin∠F1PF2＝ eq \f(4,5) ，故S△F1PF2＝ eq \f(6×\f(4,5),1＋\f(3,5)) ＝3.又S△F1PF2＝ eq \f(1,2) ×2c|y0|＝ eq \r(3) |y0|，故y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝3，
又 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,9) ＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,6) ＝1，所以x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(9,2) ，|OP|2＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(15,2) ，|OP|＝ eq \f(\r(30),2) .
方法四 依题意a＝3，b＝ eq \r(6) ，c＝ eq \r(a2－b2) ＝ eq \r(3) .
如图（图同方法一），不妨令F1（－ eq \r(3) ，0），F2（ eq \r(3) ，0）.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cs∠F1PF2＝ eq \f(m2＋n2－12,2mn) ＝ eq \f(3,5) ①，
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6 ②.
由①②，解得mn＝ eq \f(15,2) .
因为 eq \(PO,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) （PF1＋PF2），
所以| eq \(PO,\s\up6(→)) |2＝ eq \f(1,4) （m2＋n2＋2mn cs∠F1PF2）＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（m＋n）2－\f(4,5)mn)) ＝ eq \f(15,2) ，所以|PO|＝ eq \f(\r(30),2) .
答案：B
2．解析：因为点F（0，4）是抛物线C：x2＝2py（p>0）的焦点，所以 eq \f(p,2) ＝4，解得p＝8，所以抛物线C的方程为：x2＝16y.
由抛物线的定义知：点M到点F（0，4）的距离等于点M到准线y＝－4的距离，
结合点P（2，3）与抛物线C的位置关系可知，|MF|＋|MP|的最小值是点P（2，3）到准线y＝－4的距离，故|MF|＋|MP|的最小值为7.故选C.
答案：C
考点二
（1） eq \f(c,a) eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2)) eq \f(c,a) eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2)) （2）± eq \f(b,a) x ± eq \f(a,b) x （3） eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(p,2)，0)) ∓ eq \f(p,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，±\f(p,2))) ∓ eq \f(p,2)
[例2] 解析：（1）设P（x1，y1），则点Q的坐标为（－x1，y1）.由题意，得点A（－a，0）.又直线AP，AQ的斜率之积为 eq \f(1,4) ，所以 eq \f(y1,x1＋a) · eq \f(y1,－x1＋a) ＝ eq \f(1,4) ，即 eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2－x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ＝ eq \f(1,4) ①.又点P在椭圆C上，所以 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2) ＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,b2) ＝1 ②.由①②，得 eq \f(b2,a2) ＝ eq \f(1,4) ，所以a2＝4b2，所以a2＝4（a2－c2），所以椭圆C的离心率e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(\r(3),2) .故选A.
（2）由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝－1.又B（3，0），则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A（x0，2 eq \r(x0) ）.根据抛物线的定义可知x0－（－1）＝2，所以x0＝1，所以A（1，2），所以|AB|＝ eq \r(（1－3）2＋（2－0）2) ＝2 eq \r(2) .故选B.
（3）不妨假设双曲线的标准方程为 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1（a>0，b>0），F1（－c，0），F2（c，0）.当两个交点M，N在双曲线两支上时，如图1所示，设过F1的直线与圆D切于点P，连接OP，由题意知|OP|＝a，又|OF1|＝c，所以|F1P|＝b.过点F2作F2Q⊥F1N，交F1N于点Q.由中位线的性质，可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.因为cs∠F1NF2＝ eq \f(3,5) ，所以sin∠F1NF2＝ eq \f(4,5) ，故|NF2|＝ eq \f(5,2) a，|QN|＝ eq \f(3,2) a，所以|NF1|＝|F1Q|＋|QN|＝2b＋ eq \f(3,2) a.由双曲线的定义可知|NF1|－|NF2|＝2a，所以2b＋ eq \f(3,2) a－ eq \f(5,2) a＝2a，所以2b＝3a.两边平方得4b2＝9a2，即4（c2－a2）＝9a2，整理得4c2＝13a2，所以 eq \f(c2,a2) ＝ eq \f(13,4) ，故 eq \f(c,a) ＝ eq \f(\r(13),2) ，即e＝ eq \f(\r(13),2) .
当两个交点M，N都在双曲线的左支上时，如图2所示，同理可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.
因为cs∠F1NF2＝ eq \f(3,5) ，所以sin∠F1NF2＝ eq \f(4,5) ，可得|NF2|＝ eq \f(5a,2) ，|NQ|＝ eq \f(3a,2) ，所以|NF1|＝|NQ|－|QF1|＝ eq \f(3a,2) －2b，所以|NF2|＝|NF1|＋2a＝ eq \f(7a,2) －2b，又|NF2|＝ eq \f(5a,2) ，所以 eq \f(7a,2) －2b＝ eq \f(5a,2) ，即a＝2b，e＝ eq \r(1＋（\f(b,a)）2) ＝ eq \f(\r(5),2) .故选AC.
答案：（1）A （2）B （3）AC
对点训练
1．解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），由点A，B在双曲线上，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,9)＝1,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,9)＝1)) ，两式作差，得x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,9) ，即（x1－x2）（x1＋x2）＝ eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,9) ，化简得 eq \f(（y1－y2）（y1＋y2）,（x1－x2）（x1＋x2）) ＝9，即 eq \f(y1－y2,x1－x2) · eq \f(\f(y1＋y2,2),\f(x1＋x2,2)) ＝kAB· eq \f(y0,x0) ＝9，因此kAB＝9· eq \f(x0,y0) .
由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9× eq \f(1,1) ＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9× eq \f(－1,2) ＝－ eq \f(9,2) ＜－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9× eq \f(1,3) ＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x平行，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9× eq \f(－1,－4) ＝ eq \f(9,4) 0，得m20，b>0)
y2＝2px
(p>0)
图形
定型
确定曲线类型
计算
利用待定系数法，根据条件求出系数a，b，c，p