统考版2024高考数学二轮专题复习课时作业7等差数列等比数列文

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A．512B．510
C．256D．254
2．设等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n－3,4n－3)，则eq \f(a9,b5＋b7)＋eq \f(a3,b8＋b4)的值为( )
A．eq \f(3,7)B．eq \f(7,9)
C．eq \f(19,41)D．－1
3．[2023·四川师范大学附属中学二模]设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，若eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(2n,3n＋7)，则eq \f(a6,b5)＝( )
A．eq \f(6,5)B．eq \f(11,17)
C．eq \f(11,14)D．3
4．[2023·四川省成都市石室中学检测]设Sn为等差数列{an}的前n项和，且∀n∈N*，都有eq \f(Sn,n)A．Sn的最小值是S9
B．Sn的最小值是S10
C．Sn的最大值是S9
D．Sn的最大值是S10
5．[2023·河南省部分名校高三联考]欧拉是18世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看到欧拉的名字，例如初等几何中的欧拉线、多面体中的欧拉定理、微分方程中的欧拉方程，以及数论中的欧拉函数等等．欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质(把公因数只有1的两个数叫互质数)的正整数(包括1)的个数，记作φ(n).例如：小于或等于4的正整数中与4互质的正整数有1，3这两个，即φ(4)＝2.记Sn为数列{φ(6n)}的前n项和，则S12＝( )
A．eq \f(2,5)(312＋212) B．eq \f(2,5)(612－1)
C．eq \f(1,2)(312＋1) D．eq \f(1,2)(312－1)
6．[2023·江西省南昌市高三三模]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2an，n＝2k－1，,an＋1，n＝2k，))k∈N*，则a2＋a4＋a6＋…＋a20＝________．
7．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且有a3＋a9＝3，b5＋b7＝6，则eq \f(S11,T11)的值为________．
8．[2023·安徽芜湖一中]等比数列{an}满足：a2＝2，q>0且q≠1，an＋1，3an，an＋2成等差数列，则Sn<2022的n最大值为________．
9．[2023·宁夏银川市六盘山高级中学三模]设Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＝－7，S5＝2a1，当|Sn|取得最小值时，n＝________.
10．[2023·宁夏银川市六盘山高级中学三模]已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝25，a2是a1和a5的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn＝2an，证明数列{bn}是等比数列，并求{bn}的前n项和Tn.
11.[2023·安徽省马鞍山市高三二模]风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴，因而广受喜爱．某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节“鱗片”的巨龙风筝．制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高．最终团队决定骨架材质按图中规律排列(即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列)，则该“龙身”中竹质骨架个数为( )
A．161B．162
C．163D．164
12．[2023·湘豫名校联考]高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为“高斯函数”，例如：[－2.5]＝－3，[2.7]＝2.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＋2an＝3an＋1，若bn＝[lg2an＋1]，Sn为数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,bnbn＋1)))的前n项和，则S2023＝( )
A．eq \f(2022,2023)B．eq \f(2024,2023)
C．eq \f(2023,2024)D．eq \f(2025,2024)
课时作业7 等差数列、等比数列
1．解析：由an＋1＝Sn⇒Sn＋1－Sn＝Sn⇒Sn＋1＝2Sn，所以数列{Sn}是以2为首项，2为公比的等比数列，于是S8＝2·27＝256，故选C.
答案：C
2．解析：由题意，eq \f(a9,b5＋b7)＋eq \f(a3,b8＋b4)＝eq \f(a9＋a3,b1＋b11)＝eq \f(a1＋a11,b1＋b11)＝eq \f(\f(11（a1＋a11）,2),\f(11（b1＋b11）,2))＝eq \f(2×11－3,4×11－3)＝eq \f(19,41).故选C.
答案：C
3．解析：由等差数列的前n项和公式满足An2＋Bn形式，设Sn＝kn·（2n）＝2kn2，则Tn＝kn·（3n＋7）＝3kn2＋7kn，故eq \f(a6,b5)＝eq \f(S6－S5,T5－T4)＝eq \f(2k×36－2k×25,3k×25＋7k×5－3k×16－7k×4)＝eq \f(11,17).故选B.
答案：B
4．解析：由eq \f(Sn,n)0，所以当n≤9且n∈N*时，an<0；当n≥10且n∈N*时，an>0.因此Sn有最小值，且最小值为S9.故选A.
答案：A
5．解析：由题意，若正整数m≤6n，且与6n不互质，则这个数为偶数或3的倍数，共有eq \f(2,3)×6n个，所以φ（6n）＝eq \f(1,3)×6n＝2×6n－1，即数列{φ（6n）}是首项为2，公比为6的等比数列，所以S12＝eq \f(2（612－1）,6－1)＝eq \f(2,5)（612－1）.故选B.
答案：B
6．解析：当n＝1时，a2＝2a1＝2，当n＝2k＋1时，a2k＋2＝2a2k＋1，当n＝2k时，a2k＋1＝a2k＋1，所以a2k＋2＝2（a2k＋1）＝2a2k＋2，所以a2k＋2＋2＝2（a2k＋2），所以{a2k＋2}是以a2＋2＝4为首项，2为公比的等比数列，所以a2k＋2＝4·2k－1＝2k＋1，所以a2k＝2k＋1－2，a2＋a4＋a6＋…＋a20＝22＋23＋24＋…＋211－20＝eq \f(4（1－210）,1－2)－20＝4072.
答案：4072
7．解析：因为{an}，{bn}为等差数列，则有a3＋a9＝2a6＝3，b5＋b7＝2b6＝6.S11＝11a6，T11＝11b6，
所以eq \f(S11,T11)＝eq \f(11a6,11b6)＝eq \f(a6,b6)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
8．解析：由题可知，a1qn＋a1qn＋1＝6a1qn－1⇒q2＋q－6＝0⇒q＝2（q＝－3舍去），
故a1＝1，Sn＝eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1<2022⇒2n<2023，
210＝1024<2023，211＝2048>2023，
所以n的最大值为10.
答案：10
9．解析：等差数列{an}中设公差为d，a2＝－7，S5＝2a1，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋d＝－7,5a1＋10d＝2a1))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(d＝3,a1＝－10))，则an＝3n－13，
则|Sn|＝|eq \f(n（－10＋3n－13）,2)|＝|eq \f(3,2)n（n－eq \f(23,3)）|，
当1≤n≤eq \f(23,6)，n∈N*即1≤n≤3，n∈N*时，|Sn|单调递增；
当eq \f(23,6)＜n≤eq \f(23,3)，n∈N*即4≤n≤7，n∈N*时，|Sn|单调递减；
当n＞eq \f(23,3)，n∈N*即n≥8，n∈N*时，|Sn|单调递增，
又|S1|＝|a1|＝10，|S7|＝|eq \f(3,2)×7×（7－eq \f(23,3)）|＝7，
|S8|＝|eq \f(3,2)×8×（8－eq \f(23,3)）|＝4，
则当|Sn|取得最小值时，n＝8.
答案：8
10．解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，d≠0，
∵a2是a1和a5的等比中项，
∴a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝a1a5，即（a1＋d）2＝a1（a1＋4d） ①，
又S5＝5a1＋10d＝25 ②，
由①②得a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.
（2）由（1）可得bn＝22n－1，
∴eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(22n＋1,22n－1)＝4，又b1＝2，
故数列{bn}是以2为首项，4为公比的等比数列，
∴Tn＝eq \f(2（1－4n）,1－4)＝eq \f(2,3)（4n－1）.
11．解析：设有n个碳质骨架，n∈N*，由已知可得n＋1＋2＋3＋…＋（n－1）＋n≥180，如果只有n－1个碳质骨架，则骨架总数少于180，所以（n－1）＋1＋2＋3＋…＋（n－1）<180，所以n2＋3n≥360，且n2＋n<362，又n∈N*，解得n＝18，所以共有碳质骨架18个，故竹质骨架有162个，故选B.
答案：B
12．解析：由an＋2＋2an＝3an＋1，得an＋2－an＋1＝2（an＋1－an）.
又a2－a1＝2，所以数列{an＋1－an}构成以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1－an＝2n.
又a2－a1＝2，a3－a2＝22，…，an－an－1＝2n－1，
叠加可得（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝21＋22＋…＋2n－1（n≥2），
即an－a1＝21＋22＋…＋2n－1，
所以an＝20＋21＋22＋…＋2n－1＝eq \f(1×（1－2n）,1－2)＝2n－1（n≥2）.
又因为a1＝1满足上式，所以an＝2n－1（n∈N*）.
所以an＋1＝2n＋1－1.
因为2n<2n＋1－1<2n＋1，
所以lg22n即n所以bn＝[lg2an＋1]＝[lg2（2n＋1－1）]＝n.
故eq \f(1,bnbn＋1)＝eq \f(1,n·（n＋1）)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
所以S2023＝（1－eq \f(1,2)）＋（eq \f(1,2)－eq \f(1,3)）＋…＋（eq \f(1,2023)－eq \f(1,2024)）＝1－eq \f(1,2024)＝eq \f(2023,2024).故选C.
答案：C
A基础达标
B素养提升