初中2.2.2完全平方公式当堂检测题

这是一份初中2.2.2完全平方公式当堂检测题，共6页。

1. 掌握完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【要点梳理】
完全平方公式：

两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

【典型例题】
类型一、运用完全平方公式进行计算
1、(2023·上海宝山区·七年级期末）计算：
【答案】
【分析】
先将(2x－1)看作一个整体，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
解：
=
=
=．
【点拨】此题考查的是整式的乘法，解题关键是将(2x－1)看作一个整体，然后利用平方差公式和完全平方公式计算．
举一反三：
【变式】(2023·北京朝阳区·八年级期末）已知，求代数式的值．
【答案】19
【分析】
先通过整式的运算法则将代数式化简成，再整体代入求值．
解：原式
∵，
∴，
∴原式．
【点拨】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整体代入的思想求值．
类型二、运用完全平方公式变形求值
2、(2023·湖北襄阳市·八年级期末）已知，求的值．
【答案】7
【分析】利用完全平方公式化简 ，再结合整体代入法解题即可．
解：∵①，②，
①+②得，
①-②得，
∴．
【点拨】本题考查完全平方公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
举一反三：
【变式】(2023·全国八年级）已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．
【答案】5；1．
【分析】根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
解：∵a+b＝3，ab＝2，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=9-2×2=5；
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=9-4×2=1．
【点拨】本题考查的是完全平方公式，熟练记住（a±b）2=a2±2ab+b2, (a-b)2=(a+b)2-4ab是本题的关键．
类型三、完全平方公式在几何图形中的运用
3、(2023·吉林白山市·八年级期末）如图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成
四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②拼成一个正方形（中间是空的）
（1）图②中画有阴影的小正方形的边长为 （用含m、n的式子表示）
（2）观察图②写出代数式（m+n）、（m-n）与mn之间的等量关系
（3）根据（2）中的等量关系解决下面问题：若a+b=7，ab=5，求（a-b）的值
【答案】（1） m-n；（2） （m+n）2=（m-n）2+4mn；（3）29
【分析】
（1）根据小正方形的边长与原长方形的长与宽的关系得出结论；
（2）根据大正方形、小正方形，与四周的4个长方形的面积之间的关系得出等式；
（3）根据（2）的结论，代入求值即可．
解：（1）图②中画有阴影的小正方形的边长m﹣n，
故答案为：m-n；
（2）观察发现，大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个小长方形的面积，
故答案为：(m+n)2=(m﹣n)2+4mn；
（3）由（2）得：(a+b)2=(a﹣b)2+4ab；
∵a+b=7，ab=5，
∴(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab=49﹣20=29；
答：(a﹣b)2的值为29．
【点拨】本题考查了完全平方公式的意义和应用，理清面积之间的关系是得出等式的关键．
举一反三：
【变式】(2023·甘肃平凉市·八年级期末）请认真观察图形，解答下列问题：

（1）根据图①中条件，请用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和；
（2）在（1）的条件下，如图②，两个正方形边长分别为a，b，如果，求阴影部分的面积．
【答案】（1），；（2）27．
【分析】
（1）从整体分析，阴影部分的面积等于大正方形面积减去两个长方形的面积，从个体分析，阴影部分的面等于两个小正方形的面积和，据此解题；
（2）阴影部分图形的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积，再结合整体代入法解题．
解：（1）从整体分析：，从个体分析：；
（2）
当时，
．
【点拨】
本题考查完全平方公式的几何意义，用不同种方法表示阴影部分图形的面积是得出等式的关键．
类型四、解决完全平方公式的参数问题
4、(2023·树德中学都江堰外国语实验学校七年级期中）如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k= _________ ．
【答案】4或﹣2
【解析】
试题分析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
解：∵a2﹣2（k﹣1）ab+9b2=a2﹣2（k﹣1）ab+（3b）2，
∴﹣2（k﹣1）ab=±2×a×3b，
∴k﹣1=3或k﹣1=﹣3，
解得k=4或k=﹣2．
即k=4或﹣2．
故答案为4或﹣2．
考点：完全平方式
点评：本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
举一反三：
【变式】(2023·邯郸市第十一中学八年级期末）发现两个差为的正整数的积与的和总是一个正整数的平方
验证：（1）是几的平方？
（2）设较小的一个正整数为，写出这两个正整数积与的和，并说明它是一个正整数的平方．
延伸：两个差为的正偶数，它们的积与常数的和是一个正整数的平方，求．
【答案】（1）8的平方；（2）和为，是正整数（n+1）的平方；延伸：a=4
【分析】
此题要用代数式把连续的正整数表示出来，按照题中给出的关系列出式子，进行验证，只要会把最后形式写成一个完全平方式的形式就能证明此结论；延伸中可用此结果是平方数求出参数a的值．
（1）解：
是的平方．
（2）解：设较小的正整数为n,则另一个正整数为n+2，
这两个数的积与1的和为
∴
∴原式为正整数的平方．
延伸：
解：设较小的正偶数为，则另一个正偶数为2k+4，
它们的积与常数a的和为2k∙（2k+4）+a
∴
由配方法可知=1
∴
原式
综上：．
【点拨】本题考查的是完全平方式的应用，把所求代数式合并成完全平方式的形式是解答此题的关键．