统考版2024高考数学二轮专题复习课时作业18函数的图象与性质理

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A．2B．－2
C．－1D．1
2．[2023·辽宁省丹东市高三二模]设函数f(x)满足f(x＋1)＋f(x)＝0，当0≤x<1时，f(x)＝21－x，则f(lg0.58)＝( )
A．－2B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(1,2)D．2
3．[2023·江西省南昌市高三二模]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的三个零点分别为1，x1，x2(0A．[0，1] B．(0，1)
C．(0，2) D．[0，2]
4．[2023·宁夏银川一中、昆明一中高三联考]天鹅被人类称为美善天使，它不仅象征着忠诚、长久的爱情，同时它的生命力很顽强，因此也是坚强的代表．除此之外，天鹅还是高空飞翔冠军，飞行高度可达9千米，能飞越世界最高山峰“珠穆朗玛峰”．如图①是两只天鹅面对面比心的图片，其中间部分可抽象为如图②所示的轴对称的心型曲线．下列选项中，两个函数的图象拼接在一起后可大致表达出这条曲线的是( )
A.y＝|x|＋eq \r(\f(1－x2,2))及y＝|x|－eq \r(\f(1－x2,2))
B．y＝x＋eq \r(\f(1－x2,2))及y＝x－eq \r(\f(1－x2,2))
C．y＝|x|＋eq \r(\f(1＋x2,2))及y＝|x|－eq \r(\f(1＋x2,2))
D．y＝x＋eq \r(\f(1＋x2,2))及y＝x－eq \r(\f(1＋x2,2))
5．[2023·江西省重点中学盟校高三联考]函数f(x)＝eq \f(x＋x3,x－sinx)的大致图象为( )
6．[2023·陕西省汉中市高三质检]定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：
①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝f(x－1)；
②函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称；
③对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有(f(x1)－f(x2))(x1－x2)>0；
则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，f(2)，f(3)从小到大的关系是( )
A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))>f(2)>f(3)
B．f(3)>f(2)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))
C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))>f(3)>f(2)
D．f(3)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))>f(2)
7．[2023·四川省阆中中学高三二模]定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，且当x∈[0，2]时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1，0≤x≤1,2sin\f(π,2)x－1，1A．[－eq \f(1,ln6)，0)∪(0，eq \f(1,ln5)]
B．[－eq \f(1,ln6)，eq \f(1,ln5)]
C．(－eq \f(1,ln6)，0)∪(0，eq \f(1,ln5))
D．(－eq \f(1,ln6)，eq \f(1,ln5))
8．[2023·江苏省南京市高三二模]幂函数f(x)＝xa(a∈R)满足：任意x∈R有f(－x)＝f(x)，且f(－1)9．[2023·陕西省铜川市高三二模]已知函数f(x)＝x2＋2x－3，g(x)＝eq \f(4lnx,x)，令F(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|f（x）|，x≤1,g（x），x>1))，若函数y＝F(x)－m存在3个零点，则实数m的取值范围是________．
10．[2023·安徽省九师联盟二模]已知f(x)＝|x－eq \f(1,x)|－|x＋eq \f(1,x)|＋2，则关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有6个互不相等的实数解的充要条件为________________．
11．[2023·广西南宁市高三二模]已知x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[－2.1]＝－3，[2.1]＝2，则函数y＝x－|sinx|－[x]，在x∈[－π，π]的零点个数是________．
12．[2023·山东省烟台市高三二模]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|ln（－x）|，x<0,x，0≤x≤1,x－1，x>1))，若f(x)＝m存在四个不相等的实根x1，x2，x3，x4(x113.[2023·江西省赣州市高三二模]定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，且f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex－1，0≤x≤1,x2－4x＋4，1A．(eq \f(e－1,7)，eq \f(e－1,5)] B．[eq \f(e－1,7)，eq \f(e－1,5)]
C．(eq \f(e－1,9)，eq \f(e－1,7)] D．[eq \f(e－1,9)，eq \f(e－1,7)]
14．[2023·陕西省渭南市高三质检]若函数y＝f(x)，x∈R的关系式由方程x|x|＋y|y|＝4确定．则下述命题中所有真命题的序号为________．
①函数y＝f(x)是减函数；
②函数y＝f(x)是奇函数；
③函数y＝f(x)的值域为[－2，2]；
④方程f(x)＋x＝0无实数根；
⑤函数y＝f(x)的图象是轴对称图形．
课时作业18 函数的图象与性质
1．解析：由f（x＋2）＋f（2－x）＝0得：f（x＋2）＝－f（2－x），又f（x）为R上的奇函数，∴f（x－2）＝－f（2－x），f（0）＝0，∴f（x＋2）＝f（x－2），即f（x＋4）＝f（x），∴f（x）是周期为4的周期函数，∵f（2）＝－f（0）＝0，f（－1）＝－f（1）＝－lg24＝－2，∴f（2022）＋f（2023）＝f（2）＋f（－1）＝0－2＝－2.故选B.
答案：B
2．解析：因为f（x＋1）＋f（x）＝0，所以f（x＋1）＝－f（x），所以f（x＋2）＝f[（x＋1）＋1]＝－f（x＋1）＝f（x），所以函数f（x）的周期为2.因为lg0.58＝－lg28＝－lg223＝－3，所以f（lg0.58）＝f（－3）＝f（－3＋2＋2）＝f（1）＝－f（0）＝－21－0＝－2.故选A.
答案：A
3．解析：由f（1）＝1＋a＋b＋c＝0，得c＝－（a＋b＋1）.
所以f（x）＝x3＋ax2＋bx－（a＋b＋1）＝（x－1）[x2＋（a＋1）x＋a＋b＋1]，
对于函数g（x）＝x2＋（a＋1）x＋a＋b＋1，其开口向上，
因为函数f（x＋1）为奇函数，所以f（x）关于（1，0）对称，
其两个零点x1，x2，则0根据二次函数零点分布的知识有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(g（0）＝－3＋b＋1>0,g（1）＝－6＋b＋3<0))，解得：2f（2）＝8＋4a＋2b＋c＝8＋4a＋2b－a－b－1＝3a＋b＋7＝－2＋b∈（0，1）.故选B.
答案：B
4．解析：因为图形为轴对称图形，所以x与－x对应的y值相等，故函数为偶函数，只有A、C选项中函数均为偶函数，故排除B、D；根据图象可知为封闭图形，x的定义域有限，C中y＝|x|＋eq \r(\f(1＋x2,2))及y＝|x|－eq \r(\f(1＋x2,2))定义域均为R，不符合题意．故选A.
答案：A
5．解析：由题设f（x）定义域为{x|x≠0}，且f（－x）＝eq \f(－x－x3,－x＋sinx)＝eq \f(x＋x3,x－sinx)＝f（x），所以f（x）为偶函数，排除D；当x>0时，f（x）＝eq \f(1＋x2,1－\f(sinx,x))，此时x趋向＋∞，f（x）趋向＋∞，排除A、C.故选B.
答案：B
6．解析：①对于任意的x∈R，都有f（x＋1）＝f（x－1），所以函数的周期为T＝2；
②函数y＝f（x＋1）的图象关于y轴对称，所以函数f（x）关于直线x＝1对称；
③对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有（f（x1）－f（x2））（x1－x2）>0，所以函数在（0，1）单调递增，因为f（3）＝f（1），feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，f（2）＝f（0），1>eq \f(1,2)>0，所以f（3）>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))>f（2）.故选D.
答案：D
7．解析：因为f（2－x）＝f（2＋x），且f（x）为偶函数，所以f（x－2）＝f（x＋2），即f（x）＝f（x＋4），
所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，
作出y＝f（x），y＝mlnx在同一坐标系的图象，如图，
因为方程mln|x|＝f（x）至少有8个实数解，
所以y＝f（x），y＝mln|x|图象至少有8个交点，
根据y＝f（x），y＝mln|x|的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点，
由图可知，当m>0时，只需mln5≤1，即0当m<0时，只需mln6≥－1，即－eq \f(1,ln6)≤m<0，
当m＝0时，由图可知显然成立，
综上可知，－eq \f(1,ln6)≤m≤eq \f(1,ln5).故选B.
答案：B
8．解析：取f（x）＝xeq \f(2,3)，则定义域为R，且f（－x）＝（－x）eq \f(2,3)＝xeq \f(2,3)＝f（x），f（－1）＝1，f（2）＝2eq \f(2,3)＝eq \r(3,4)，满足f（－1）答案：xeq \f(2,3)（答案不唯一）
9．解析：由题意可知F（x）＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|f（x）|＝|x2＋2x－3|，x≤1,g（x）＝\f(4lnx,x)，x>1))，
当x>1时，F（x）＝eq \f(4lnx,x)，F′（x）＝eq \f(4－4lnx,x2)，当x∈（1，e）时，F′（x）>0，F（x）单调递增；
当x∈（e，＋∞）时，F′（x）<0，F（x）单调递减；可得函数F（x）在x＝e处的极大值为：F（e）＝eq \f(4,e)，
当x→＋∞时，图象趋近于x轴．函数F（x）的大致图象如图所示，
可知函数y＝F（x）－m存在3个零点时，m的取值范围是（eq \f(4,e)，4）.
答案：（eq \f(4,e)，4）
10．解析：因为f（－x）＝|－x－eq \f(1,－x)|－|－x＋eq \f(1,－x)|＋2＝|x－eq \f(1,x)|－|x＋eq \f(1,x)|＋2＝f（x），
f（x）定义域为{x|x≠0}，所以f（x）为偶函数．
当x>0时，f（x）＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2x＋2，0画出f（x）在（0，＋∞）上的图象，
利用偶函数的对称性，易得f（x）在其定义域上的图象（如图所示）.
由图象可知，当t＝0时，f（x）＝t有两个解；当0设f（x）＝t，则原方程变为t2＋bt＋c＝0，
所以原方程有6个不同的实数解的充要条件是方程t2＋bt＋c＝0的两根t1，t2满足t1＝0且0又t1＝0时，c＝0，且t2＝－b，
而Δ＝b2－4c，则问题等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b2－4c>0,0<－b<2,c＝0))，
所以－2答案：－211．解析：函数y＝x－|sinx|－[x]的零点等价于方程x－[x]＝|sinx|的根，
当x∈[－π，－3）时，方程x－[x]＝|sinx|等价于：x＋4＝|sinx|，
当x∈[－3，－2）时，方程x－[x]＝|sinx|等价于：x＋3＝|sinx|，
当x∈[－2，－1）时，方程x－[x]＝|sinx|等价于：x＋2＝|sinx|，
当x∈[－1，0）时，方程x－[x]＝|sinx|等价于：x＋1＝|sinx|，
当x∈[0，1）时，方程x－[x]＝|sinx|等价于：x＝|sinx|，
当x∈[1，2）时，方程x－[x]＝|sinx|等价于：x－1＝|sinx|，
当x∈[2，3）时，方程x－[x]＝|sinx|等价于：x－2＝|sinx|，
当x∈[3，π]时，方程x－[x]＝|sinx|等价于：x－3＝|sinx|，
因为方程x－[x]＝|sinx|的根的个数等价于函数y＝x－[x]与函数y＝|sinx|的交点个数，
如图，由函数y＝x－[x]，x∈[－π，π]与函数y＝|sinx|，x∈[－π，π]的图象可知，
函数y＝x－|sinx|－[x]，在[－π，π]有7个零点．
答案：7
12．解析：作函数f（x）＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|ln（－x）|，x<0,x，0≤x≤1,x－1，x>1))与y＝m图象如下：
由图可得0因为f（x）＝m存在四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，可得x1<－1可得ln（－x1）＝－ln（－x2），x3＝x eq \\al(\s\up1(－1),\s\d1(4)) ，即x1x2＝1，x3x4＝1，
所以4x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋x1x2x4＝4x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋x4＝4x eq \\al(\s\up1(－2),\s\d1(4)) ＋x4＝4x eq \\al(\s\up1(－2),\s\d1(4)) ＋eq \f(x4,2)＋eq \f(x4,2)≥3eq \r(3,4x eq \\al(\s\up1(－2),\s\d1(4)) ·\f(x4,2)·\f(x4,2))＝3，
当且仅当4x eq \\al(\s\up1(－2),\s\d1(4)) ＝eq \f(x4,2)即x4＝2且x3＝eq \f(1,2)等号成立，
则4x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋x1x2x4的最小值是3.
答案：3
13．解析：因为定义在R上的偶函数f（x）满足f（2－x）＝f（2＋x），
所以函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，
则f（x＋2）＝f（2－x）＝f（x－2），即函数f（x）为周期函数，且周期为4，
令g（x）＝m|x|，该函数的定义域为R，则g（－x）＝m|－x|＝m|x|＝g（x），即函数g（x）为偶函数，
因为f（x）＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex－1，0≤x≤1,x2－4x＋4，1又因为不等式f（x）≥m|x|有7个整数解，
所以，不等式f（x）≥m|x|在（0，＋∞）上有且只有3个整数解，如图所示：
所以，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（5）≥5m,f（7）<7m))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5m≤e－1,7m>e－1))，解得eq \f(e－1,7)故选A.
答案：A
14．解析：当x≥0，y≥0时，方程为x2＋y2＝4，此时轨迹为四分之一圆，
当x<0，y≥0时，方程为－x2＋y2＝4，即eq \f(y2,4)－eq \f(x2,4)＝1，此时轨迹为双曲线的部分，
当x<0，y≤0时，方程为－x2－y2＝4，方程无实数解，
当x≥0，y<0时，方程为x2－y2＝4，即eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1，此时轨迹为双曲线的部分，
作出图象如图所示：
对①，观察图象得函数y＝f（x）是减函数，故①正确；
对②，根据图象易知第一象限的图象在第三象限无对称部分，故函数y＝f（x）不是奇函数，故②错误；
对③，显然根据图象易知值域不是[－2，2]，故③错误；
对④，f（x）＋x＝0，即f（x）＝－x，方程的根即为y＝f（x）的图象与直线y＝－x交点横坐标，显然两双曲线部分的渐近线均为y＝－x，故y＝－x与y＝f（x）在二、四象限的图象无交点，且y＝－x与第一象限的圆弧显然也无交点，故④正确；
对于⑤，根据两双曲线的解析式特点及圆的对称性，易得函数y＝f（x）关于直线y＝x对称，取y＝f（x）图象上任意一点（a，b），于是得a|a|＋b|b|＝4，当x＝b，y＝a时，b|b|＋a|a|＝a|a|＋b|b|＝4，因此点（b，a）在y＝f（x）的图象上，所以函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，它是轴对称图形，故⑤正确．
答案：①④⑤
A基础达标
B素养提升