统考版2024高考数学二轮专题复习课时作业22坐标系与参数方程理

这是一份统考版2024高考数学二轮专题复习课时作业22坐标系与参数方程理，共6页。

1.
[2023·青海省西宁市高三二模]数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线E：x2＋y2＝a(eq \r(x2＋y2)－x)，(a>0)的形状如心形(如图)，我们称这类曲线为笛卡尔心形曲线．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当a＝1时．
(1)求曲线E的极坐标方程；
(2)已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))＝0，求|PQ|的最大值．
2．[2023·四川大学附属中学高三检测]在直角坐标系xOy中，曲线M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4，曲线N的方程为xy＝a.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝eq \f(π,4).
(1)求曲线M，N的极坐标方程；
(2)若a>0，直线l与曲线M交于A，B两点，与曲线N的一个交点为点C，且eq \f(1,|OA|)＋eq \f(1,|OB|)＋eq \f(1,|OC|)＝eq \f(\r(2),2)，求a的值．
3．[2023·四川成都七中模拟]在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcsα，,y＝\r(3)＋tsinα))(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcsθ＋8.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝4eq \r(2)，求直线l的倾斜角．
4．[2023·河南省开封市高三二模]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋t，,y＝\r(3)t))(t为参数)，曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)（csθ＋sinθ），,y＝csθ－sinθ))(θ为参数).
(1)将曲线C2的参数方程化为普通方程；
(2)已知点M(1，0)，曲线C1和C2相交于A，B两点，求|eq \f(1,|MA|)－eq \f(1,|MB|)|.
5.[2023·江西省重点中学高三联考]在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)t,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcsθ－2＝0，点P的极坐标是(eq \f(2\r(15),3)，eq \f(2π,3)).
(1)求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离；
(2)若直线l与曲线C交于M，N两点，求△PMN的面积．
6．[2023·四川省成都市高三模拟]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2csθ，θ∈[0，eq \f(π,2)].
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝eq \r(3)x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
课时作业22 坐标系与参数方程
1．解析：（1）将x＝ρcsθ，y＝ρsinθ代入曲线E，得ρ2＝ρ－ρcsθ，即ρ＝1－csθ，
所以，E的极坐标方程为ρ＝1－csθ.
（2）不妨设P（ρ1，θ），Q（ρ2，θ＋eq \f(π,2)），即ρ1＝1－csθ，ρ2＝1－cs（θ＋eq \f(π,2)）＝1＋sinθ，
|PQ|＝eq \r(ρ eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋ρ eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )＝eq \r(（1－csθ）2＋（1＋sinθ）2)
＝eq \r(3＋2（sinθ－csθ）)＝eq \r(3＋2\r(2)sin（θ－\f(π,4)）)，
而sin（θ－eq \f(π,4)）∈[－1，1]，故|PQ|max＝eq \r(2)＋1.
2．解析：（1）由（x－3）2＋（y－4）2＝4，得x2＋y2－6x－8y＋21＝0，
所以曲线M的极坐标方程为ρ2－6ρcsθ－8ρsinθ＋21＝0.
由xy＝a，得ρ2csθsinθ＝a，即ρ2sin2θ＝2a，
此即曲线N的极坐标方程．
（2）将θ＝eq \f(π,4)代入ρ2sin2θ＝2a（a>0），得ρ＝eq \r(2a).
将θ＝eq \f(π,4)代入ρ2－6ρcsθ－8ρsinθ＋21＝0，
得ρ2－7eq \r(2)ρ＋21＝0，
设A，B对应的参数分别是ρ1，ρ2，
则ρ1＋ρ2＝7eq \r(2)，ρ1ρ2＝21，
所以eq \f(1,|OA|)＋eq \f(1,|OB|)＋eq \f(1,|OC|)＝eq \f(1,\r(2a))＋eq \f(1,ρ1)＋eq \f(1,ρ2)
＝eq \f(\r(2a),2a)＋eq \f(ρ1＋ρ2,ρ1ρ2)＝eq \f(\r(2a),2a)＋eq \f(7\r(2),21)＝eq \f(\r(2),2)，
解得：a＝9.
3．解析：（1）因为直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcsα,y＝\r(3)＋tsinα))（t为参数），
当α＝eq \f(π,2)时，直线l的普通方程为x＝2.
当α≠eq \f(π,2)时，直线l的普通方程为y－eq \r(3)＝tanα（x－2）.
因为ρ2＝x2＋y2，ρcsθ＝x，ρ2＝2ρcsθ＋8，
所以x2＋y2＝2x＋8.
所以C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－8＝0.
（2）曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－8＝0，
将直线l的参数方程代入曲线C的方程整理，
得t2＋（2eq \r(3)sinα＋2csα）t－5＝0.
因为Δ＝（2eq \r(3)sinα＋2csα）2＋20>0，可设该方程的两个根为t1，t2，
则t1＋t2＝－（2eq \r(3)sinα＋2csα），t1t2＝－5.
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(t1－t2))＝eq \r(（t1＋t2）2－4t1t2)
＝eq \r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－（2\r(3)sinα＋2csα）))2＋20)＝4eq \r(2).
整理得（eq \r(3)sinα＋csα）2＝3，
故2sin（α＋eq \f(π,6)）＝±eq \r(3).
因为0≤α<π，所以α＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)或α＋eq \f(π,6)＝eq \f(2π,3)，
解得α＝eq \f(π,6)或α＝eq \f(π,2)，
综上所述，直线l的倾斜角为eq \f(π,6)或eq \f(π,2).
4．解析：（1）（1）由C2的参数方程得：（csθ＋sinθ）2＋（csθ－sinθ）2＝eq \f(x2,2)＋y2＝2，
所以曲线C2的普通方程为：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.
（2）由已知得：曲线C1为过点M（1，0）的直线，
其标准参数方程形式为：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(1,2)t′，,y＝\f(\r(3),2)t′))（t′为参数），
联立C1和C2的方程得：（1＋eq \f(1,2)t′）2＋2（eq \f(\r(3),2)t′）2－4＝0，即7t′2＋4t′－12＝0，Δ>0，
设C1与C2的两个交点A，B对应的参数分别为t′1，t′2，
所以t′1＋t′2＝－eq \f(4,7)，t′1t′2＝－eq \f(12,7)，
因为t′1t′2＝－eq \f(12,7)<0，由t′的几何意义得：|eq \f(1,|MA|)－eq \f(1,|MB|)|＝|eq \f(1,|t′1|)－eq \f(1,|t′2|)|＝|eq \f(1,t′1)＋eq \f(1,t′2)|＝|eq \f(t′1＋t′2,t′1·t′2)|＝eq \f(1,3).
5．解析：（1）由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t，))消去t，得到y＝eq \r(3)x，
则ρsinθ＝eq \r(3)ρcsθ，所以tanθ＝eq \r(3)，所以θ＝eq \f(π,3)，
所以直线l的极坐标方程为θ＝eq \f(π,3)（ρ∈R）.
所以点P（eq \f(2\r(15),3)，eq \f(2π,3)）到直线l的距离为d＝eq \f(2\r(15),3)×sin（eq \f(2π,3)－eq \f(π,3)）＝eq \f(2\r(15),3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(5).
（2）由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ρ2－2ρcsθ－2＝0，,θ＝\f(π,3)，))得ρ2－ρ－2＝0，
所以ρ1＋ρ2＝1，ρ1ρ2＝－2，
所以|MN|＝|ρ1－ρ2|＝eq \r(（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2)＝3，
所以△PMN的面积为S△PMN＝eq \f(1,2)|MN|×d＝eq \f(1,2)×3×eq \r(5)＝eq \f(3\r(5),2).
6．解析：（1）由ρ＝2csθ，得x2＋y2－2x＝0，y∈[0，1]，
所以C的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋csα，,y＝sinα.))α∈[0，π]为参数．
（2）∵C在D处的切线与l垂直，∴D点与（1，0）的连线与l平行，∴eq \f(sinα－0,1＋csα－1)＝eq \r(3)⇒tanα＝eq \r(3)，
∵α∈[0，π]，∴α＝eq \f(π,3)，D（eq \f(3,2)，eq \f(\r(3),2)）.
A基础达标
B素养提升