湘教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题2.11 平方差公式（知识讲解）

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专题2.11 平方差公式（知识讲解） 【学习目标】1. 掌握平方差公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；　　2. 学会运用平方差公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如 【典型例题】类型一、运用平方差公式进行计算 1、 (2023·南阳市第三中学八年级月考）先化简再求值：，其中x=-2【答案】，－16【分析】根据多项式乘法的计算法则和平方差公式化简原式后再把x的值代入计算即可． 解：原式∴当时，原式=．【点拨】本题考查整式的化简求值，根据多项式乘法的计算法则和平方差公式对原式进行化简是解题关键．举一反三：【变式1】(2023·全国七年级）已知，求代数式的值．【答案】－10【分析】先算乘法，再合并同类项，最后整体代入求出即可． 解： ＝ ＝ ＝．∵ ， ∴ ． ∴ 原式＝．【点拨】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，用了整体代入思想，难度适中． 【变式2】(2023·山东枣庄市·七年级期末）通过学习，我们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷，相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算．解：（1）例题求解过程中，第步变形是利用 （填乘法公式的名称）；（2）用简便方法计算：．【答案】（1）平方差公式；（2）9999【分析】（1）利用平方差公式的特征进行判断；（2）把9×11×101化为（100-1）（100+1），然后利用平方差公式计算． 解：（1）由题意可得：第步变形是利用平方差公式，故答案为：平方差公式；（2）9×11×101=99×101=（100-1）（100+1）=10000-1=9999．【点拨】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．2(2023·上海市静安区实验中学七年级课时练习）【答案】【分析】原式看成分子为1的分数，分子和分母同时乘以，再利用平方差公式依次计算即可． 解：原式【点拨】本题考查利用平方差公式计算．能将原式变形，凑成平方差公式是解题关键．举一反三：【变式】(2023·上海市静安区实验中学七年级课时练习）【答案】【分析】利用平方差公式计算即可． 解：原式＝＝＝＝．【点拨】本题考查平方差公式，熟悉平方差公式的形式是关键．类型二、运用平方差公式解决面积问题 3(2023·岳阳市第十中学七年级期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2)．上述操作能验证的等式是 ；(请选择正确的一个）A． B．C． D．应用你从选出的等式，完成下列各题：①已知，求的值．②计算：．【答案】（1）C；（2）①x=；②【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式；（2）①把x2﹣4y2利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把x+2y=4代入即可求出x－2y，然后联立方程组即可求出x的值；②利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解． 解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选C；（2）①∵x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y），∴12=4（x﹣2y）得：x﹣2y=3联立①＋②，得2x=7解得：x=；②=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）=×=．【点评】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．举一反三：【变式1】(2023·浙江杭州市·七年级其他模拟）（1）①如图1，从动长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，设图1中的阴影部分面积为s，则______（用含a，b代数式表示）②若把图1中的图形，沿着线段剪开（如图2），把剪成的两张纸片拼成如图3的长方形，请写出上述过程你所发现的乘法公式．（2）下列纸片中有两张是边长为a的正方形，三张是长为a，宽为b的长方形纸片，一张是边长为b的正方形纸片，你能否将这些纸片拼成一个长方形，请你画出草图，并写出相应的等式．【答案】（1）①a2-b2；②a2-b2=(a+b)(a-b)；（2）能，图见解析，(b+2a)(a+b)=b2+3ab+2a2【分析】（1）①利用正方形的面积公式，阴影部分的面积=大正方形的面积-空白部分小正方形的面积；②利用长方形的面积公式得图3的面积，与①中的阴影面积建立等式即可；（2）拼成长方形的长为b+2a，宽为a+b，计算长方形的面积即可得到结论． 解：（1）①阴影部分的面积s=a2-b2，故答案为：a2-b2；②∵图3中s=(a+b)(a-b)，∴a2-b2=(a+b)(a-b)；（2）拼接的长方形如图所示，长为(b+2a)，宽为a+b，面积为b2+3ab+2a2，所以，得到的等式为(b+2a)(a+b)=b2+3ab+2a2．【点拨】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示面积是解题的关键．【变式2】(2023·福建莆田市·七年级期中）在边长为a的正方形的一角减去一个边长为的小正方形（），如图①（1）由图①得阴影部分的面积为_______________；（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为_________________；（3）由（1）（2）的结果得出结论：______________=_________________；（4）利用（3）中得出的结论计算：【答案】（1）；（2）；（3），；（4）【分析】（1）根据正方形的面积公式即可得到结论；（2）根据梯形的面积公式即可得到结论；（3）由（1）（2）的结论即可得到结果；（4）根据平方差公式计算即可．解：（1）由图①得阴影部分的面积为；故答案为：；（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为；故答案为：；（3）由（1）（2）的结果得出结论：=；故答案为：，；（4）．【点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，根据正方形的面积公式和梯形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．【变式2】(2023·山西临汾市·八年级期中）实践与探索如图1，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）（1）上述操作能验证的等式是__________；（请选择正确的一个）A． B． C．（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知，，则__________．②计算：【答案】（1）A；（2）①4；②5050【分析】（1）图1表示，图2的面积表示，根据两个图形阴影面积相等即可判断；（2）①将原式变形为，代入即可求解；②将原式每两项应用平方差公式进行变型，然后即可求解．解：（1）图1表示，图2的面积表示，两个图形阴影面积相等，得到故选A ；（2）①∵∴，解得②原式=（1002-992）+（982-972）+…+（42-32）+（22-12）=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+…+（4+3）（4-3）+（2+1）（2-1） =100+99+98+97+…+4+3+2+1=101×50=5050【点拨】本题考查了平方差公式的几何证明，题目较为简单，需要利用正方形和长方形的面积进行变形求解．