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沪教版 (五四制)九年级下册27.3 垂径定理练习题
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这是一份沪教版 (五四制)九年级下册27.3 垂径定理练习题，共42页。
一、单选题
1．(2023·上海·九年级专题练习）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
A．2B．﹣1C．D．4
2．(2023·上海浦东新·统考二模）下列命题中，①长度相等的两条弧是等弧；②不共线的三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径必垂直于这条弦，真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．(2023春·上海闵行·九年级上海市民办上宝中学校考期中）下列说法正确的个数有（ ）
①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；
②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；
③等弧所对的圆心角相等；
④过三点可以画一个圆．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
4．(2023·上海长宁·统考二模）如图，⊙O的半径为10cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内，如果AB=AC，BC=12cm，那么△ABC的面积为 _____cm2．
5．(2023秋·上海徐汇·九年级上海市徐汇中学校考期中）⊙O中，点C在直径AB上，AC＝3BC，过点C作弦EF⊥AB，那么∠EOF＝ ________度．
6．(2023春·上海浦东新·九年级上海民办建平远翔学校校考阶段练习）如图，矩形与圆心在上的圆交于点、、、，，，，则的长为_______cm．
7．(2023秋·上海徐汇·九年级上海市徐汇中学校考阶段练习）在⊙中，弦的长为8，它所对应的弦心距为4，那么半径________．
三、解答题
8．(2023春·上海·九年级上海民办华二浦东实验学校校考期中）如图，是的弦的中点，，垂足为，求证：．
9．(2023秋·上海杨浦·九年级校考阶段练习）如图，的半径长为，为的直径，弦的长为，点为的中点，求弦的长．
10．(2023秋·上海黄浦·九年级上海民办永昌学校校考期中）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=16，点P是AB所在直线上一点，OP=10，点C是⊙O上一点，PC交⊙O于点D，sin∠BPC =，求CD的长．
11．(2023·上海徐汇·统考二模）如图，在梯形ABCD中，CDAB，AB＝10，以AB为直径的⊙O经过点C、D，且点C、D三等分弧AB．
（1）求CD的长；
（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．
12．(2023春·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图，是的外接圆，AB长为4，，连接CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点，求：
（1）边BC的长；．
（2）的半径．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023秋·上海·九年级校考阶段练习）下列命题中，假命题是（ ）
A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．
二、填空题
2．(2023·上海·统考中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____．
3．(2023·上海·统考中考真题）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为_____．（结果保留）
4．(2023·上海崇明·统考二模）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，的延长线交于点F．如果，那么FC的长是_______．
5．(2023秋·上海浦东新·九年级上海市进才实验中学校考期中）在半径为13cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为24cm，另一条弦长为10cm，则这两条弦之间的距离为_____cm．
6．(2023·上海黄浦·统考二模）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为_____．
7．(2023秋·上海长宁·九年级上海市复旦初级中学校考期中）如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC =_____．
8．(2023秋·上海·九年级校考期中）如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数为_____度．
9．(2023·上海嘉定·统考二模）如图，已知⊙O中，直径AB平分弦CD，且交CD于点E，如果OE=BE，那么弦CD所对的圆心角是_________度．
三、解答题
10．(2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如图，是的外接圆，平分的外角，，，垂足分别为点、，且．求证：
11．(2023·上海·上海市娄山中学校考二模）如图，已知的直径，点P是弦上一点，联结，，，求弦的长．
12．(2023秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，圆经过平行四边形的三个顶点、、，且圆心在平行四边形的外部，，为弧的中点，的半径为，求平行四边形的面积．
13．(2023·上海普陀·统考二模）如图，已知矩形中，，以上的一点E为圆心，为半径的圆，经过点C，并交边于点F（点F不与点C重合）．
(1)当时，求矩形对角线的长；
(2)设边，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)设点G是的中点，且，求边的长．
14．(2023·上海黄浦·统考二模）如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，E、F分别是OM、ON上的点．
(1)求证：∠AOM＝∠AON；
(2)如果AEON，AFOM，求证：．
15．(2023·上海杨浦·校考一模）如图，已知中，，，，过点A、C，交边于点D，且，求的长．
16．(2023·上海长宁·统考二模）已知：如图，AO是⊙O的半径，AC为⊙O的弦，点F为的中点，OF交AC于点E，AC=10，EF=3·
(1)求AO的长；
(2)过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求OD的长·
17．(2023·上海杨浦·校考一模）如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半径长．
18．(2023秋·上海普陀·九年级校考期中）如图，已知⊙O的直径AB=10，点P是弦BC上一点，联结OP，∠OPB=45°，PC=1，求弦BC的长．
19．(2023秋·上海金山·九年级校考阶段练习）已知为的直径，A、B为上两点，点C为劣弧中点，连接，且．
(1)求证：；
(2)F、G分别为线段上两点，满足，连接，取中点H，连接，请猜测与之间的数量关系，并证明．
27.3垂径定理（分层练习）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·上海·九年级专题练习）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
A．2B．﹣1C．D．4
答案:A
分析：根据圆周角定理可知∠COE=30°，CE=OC=1，再由垂径定理可知CE=CD，即可求出CD的长．
【详解】解：∵∠A=15°，
∴∠COE=30°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，半径为2，
∴CE=OC=1，
∴CE=CD，
∴CD=2
故选：A
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握这些知识是解题的关键．
2．(2023·上海浦东新·统考二模）下列命题中，①长度相等的两条弧是等弧；②不共线的三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径必垂直于这条弦，真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:A
分析：根据圆的相关概念，确定圆的条件，垂径定理逐项分析判断即可．
【详解】解：①在同一个圆内，长度相等的两条弧是等弧，故原命题为假命题；
②不共线的三点确定一个圆，为真命题．
③在同一个圆内，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题为假命题；
④平分弦的直径不一定垂直弦，两条相交的直径互相平分，但不垂直，故原命题为真命题．
故真命题的个数为1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的相关概念，确定圆的条件，垂径定理，理解相关性质定理是解题的关键．
3．(2023春·上海闵行·九年级上海市民办上宝中学校考期中）下列说法正确的个数有（ ）
①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；
②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；
③等弧所对的圆心角相等；
④过三点可以画一个圆．
A．1B．2C．3D．4
答案:A
分析：根据垂径定理，圆的基本性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：①平分弦（弦不是直径）的直径，平分这条弦所对的弧，说法错误；
②在等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧不一定相等，说法错误；
③等弧所对的圆心角相等，说法正确；
④过不在同一直线上的三点可以画一个圆，说法错误
综上所述，正确的说法有1个．
故选：A
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆的基本性质，熟练掌握垂径定理，圆的基本性质是解题的关键．
二、填空题
4．(2023·上海长宁·统考二模）如图，⊙O的半径为10cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内，如果AB=AC，BC=12cm，那么△ABC的面积为 _____cm2．
答案:108
分析：过点A作于点M，连接OC，根据等腰三角形的性质及垂径定理即可求出OM的值，从而可知AM的值，进而面积可求.
【详解】如图，过点A作于点M，连接OC，
AB=AC且BC=12 cm．
BM=CM=BC=6 cm．
∵圆的半径等于10 cm．
cm．
cm．
cm．
cm2．
故答案为108
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键.
5．(2023秋·上海徐汇·九年级上海市徐汇中学校考期中）⊙O中，点C在直径AB上，AC＝3BC，过点C作弦EF⊥AB，那么∠EOF＝ ________度．
答案:120
分析：设圆的半径为a，由AC＝3BC可求出OE=OB=2OC，因此∠OEC=30°；再根据垂径定理便可解答；
【详解】解：如图，
设圆的半径为a，则2a=AC+BC=4BC，BC=a，
∴OC=BC=a，
∵OE=OB=2OC，∠OCE=90°，
∴∠OEC=30°，
∴∠COE=60°，
由垂径定理可得：∠EOF=2∠COE=120°，
故答案为：120．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形；垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；掌握垂径定理是解题关键．
6．(2023春·上海浦东新·九年级上海民办建平远翔学校校考阶段练习）如图，矩形与圆心在上的圆交于点、、、，，，，则的长为_______cm．
答案:6
分析：过点 作 于点 ，过点 作 于点，根据矩形的对称性质及圆的垂径定理，即可求出线段的长．
【详解】如图，
过点 作 于点 ，过点 作 于点
则四边形 、四边形、四边形、四边形是矩形
矩形是轴对称图形，对称轴是 ，且 是直径，
与 是对称线段，则
由垂径定理得，点 是 的中点，则
，
．
故答案为：6.
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质以及圆的垂径定理，准确的作出辅助线及熟练应用上述知识点是解题的关键．
7．(2023秋·上海徐汇·九年级上海市徐汇中学校考阶段练习）在⊙中，弦的长为8，它所对应的弦心距为4，那么半径________．
答案:
分析：根据题意作出图形，进而根据垂径定理及勾股定理解答即可．
【详解】如图，
，，
，
在中，，
故答案为：．
【点睛】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半径，圆心到弦的距离转换到同一直角三角形中，然后通过勾股定理求解．
三、解答题
8．(2023春·上海·九年级上海民办华二浦东实验学校校考期中）如图，是的弦的中点，，垂足为，求证：．
答案:见解析
分析：连结OP，因P为弦AB的中点，利用垂径定理得OP⊥AB结合证△PAC∽△OAP，利用相似三角形的性质得即可．
【详解】连结OP，因P为弦AB的中点，
则OP⊥AB，
又，
∠PCA=∠OPA=90º，
∠PAC=∠OAP，
△PAC∽△OAP，
，
，
P为弦AB的中点，
AP=PB，
，
．
【点睛】本题考查垂径定理，相似三角形的判定与性质，掌握垂径定理与相似三角形的判定与性质，会利用解决问题是解题关键．
9．(2023秋·上海杨浦·九年级校考阶段练习）如图，的半径长为，为的直径，弦的长为，点为的中点，求弦的长．
答案:
分析：连接并延长，交于点，根据垂径定理的推论可得，，在中，勾股定理求得，进而得出，在在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接并延长，交于点，
∵点为的中点，
∴，，
在中，，
∴，
在中，．
【点睛】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
10．(2023秋·上海黄浦·九年级上海民办永昌学校校考期中）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=16，点P是AB所在直线上一点，OP=10，点C是⊙O上一点，PC交⊙O于点D，sin∠BPC =，求CD的长．
答案:CD=4．
分析：过O作OE⊥CD于E，由垂径定理得到CD=2CE，解直角三角形得到OE=OP×sin∠BPC=6，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过O作OE⊥CD于E，
∴CD=2CE，
∵AB是⊙O的直径，AB=16，
∴OC=8，
∵sin∠BPC=，OP=10，
∴OE=OP×sin∠BPC=6，
∴CE=，
∴CD=2CE=4．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．(2023·上海徐汇·统考二模）如图，在梯形ABCD中，CDAB，AB＝10，以AB为直径的⊙O经过点C、D，且点C、D三等分弧AB．
（1）求CD的长；
（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．
答案:（1）5；（2）
分析：（1）通过点C、D三等分弧AB，可得∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°，所以，△COD为等边三角形，CD可求；
（2）由点E是劣弧DC的中点，根据垂径定理的推论可得OF⊥CD，CF＝CD；解直角三角形△ODF，得出OF长度，通过OE﹣OF＝EF得出答案．
【详解】解：（1）连接OC,OD,
∵AB为直径，点C、D三等分弧AB,
∴.
∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°．
∵OC＝OD,
∴△OCD为等边三角形．
∴CD＝OD＝AB＝5．
（2）连接OE,交DC于点F,
∵点E是劣弧DC的中点，
∴OF⊥CD,DF=FC=CD.
∵OC＝OD，
∴∠DOF＝∠DOC＝30°．
在Rt△ODF中，cs∠FOD＝．
∴OF＝OD•cs∠FOD＝5×＝．
∵OE＝OD＝5,
∴EF＝OE﹣OF＝5﹣．
【点睛】本题考查圆的相关定理，熟练掌握在同圆中，等弧所对的弦相等，圆心角相等，以及垂径定理的应用，在题目中看到弧或者弦的中点，要连接圆心的中点，得出垂直.
12．(2023春·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图，是的外接圆，AB长为4，，连接CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点，求：
（1）边BC的长；．
（2）的半径．
答案:（1）4；（2）．
分析：（1）根据垂径定理证明点C在AB垂直平分线上，即可解题；
（2）连结BO，先证明是等边三角形，再结合已知可证，继而根据余弦的定义解题．
【详解】证明：（1）∵E为中点，OE为半径
∴OE垂直平分AB
∴C在AB垂直平分线上
∴
（2）连结BO
∵
∴是等边三角形
∴
∵，又∵
∴
∴
又∵
∴．
【点睛】本题考查垂径定理、等边三角形的判定与性质、余弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023秋·上海·九年级校考阶段练习）下列命题中，假命题是（ ）
A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．
答案:C
分析：利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案．
【详解】A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．
故选C．
【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．
二、填空题
2．(2023·上海·统考中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____．
答案:##
分析：如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，再证明经过圆心，，分别求解AC，BC，CF， 设的半径为 再分别表示 再利用勾股定理求解半径r即可．
【详解】解：如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，
过圆心O，，
设的半径为
∴
整理得：
解得：
不符合题意，舍去，
∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键．
3．(2023·上海·统考中考真题）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为_____．（结果保留）
答案:400π
【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，连接OB，如图，
∵AC=11，BC=21，
∴AB=AC+BC=32，
∵OD⊥AB于D，
∴AD=BD=AB=16，
∴CD=AD-AC=5，
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
OD==12,
在Rt△OBD中，由勾股定理，得
OB==20，
∴这个花坛的面积=202π=400π，
故答案为：400π．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，熟练掌握垂径定理与勾股定理相结合求线段长是解题的关键．
4．(2023·上海崇明·统考二模）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，的延长线交于点F．如果，那么FC的长是_______．
答案:10
分析：由OE⊥AB，得AD=BD，且OD是△ABC的中位线，OE是三角形AFC的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可．
【详解】∵OE⊥AB，
∴AD=BD=AB=×8=4，
∵OA=OC，
∴OD为三角形ABC的中位线，
∴OD//BC，
又∵OD=3，
∴
∴OE=OA=5，
∵OE∥CF，点O是AC中点，
∴AE：EF=AO：OC=1，
即E为AF中点，
∴OE是三角形ACF的中位线，
∴CF=2OE=2×5=10，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键．
5．(2023秋·上海浦东新·九年级上海市进才实验中学校考期中）在半径为13cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为24cm，另一条弦长为10cm，则这两条弦之间的距离为_____cm．
答案:7或17
分析：分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=OF-OE=7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AF=12cm，CE=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=12cm，OF=5cm，
∴EF=OF+OE=17cm．
故答案为：7或17．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
6．(2023·上海黄浦·统考二模）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为_____．
答案:
分析：根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求出OE、OF，再利用全等三角形可求出∠OME＝60°，进而利用直角三角形的边角关系求解即可．
【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F，连接OA，
则AE＝BE＝AB＝，CF＝DF＝CD＝，
在Rt△AOE中，
∵OA＝2，AE＝，
∴OE＝＝1，
∵AB＝CD，
∴OE＝OF＝1，
又∵OM＝OM，
∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），
∴∠OME＝∠OMF＝∠AMC＝60°，
∴OM＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的全等，特殊角的函数值，垂径定理是解题的关键，特殊角的函数值是解题的基础．
7．(2023秋·上海长宁·九年级上海市复旦初级中学校考期中）如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC =_____．
答案:10
分析：根据垂径定理求出AD的长，设半径OC=OA=r，则OD=r-4，再根据勾股定理列出关于r的方程，解出即可得出OC的长．
【详解】设半径OC=OA=r，则OD=OC-CD=r-4
半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，AB=16
∴AD=AB=8，
在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA）即（r-4）2+82=r2
解得：r=10
故答案为10.
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.
8．(2023秋·上海·九年级校考期中）如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数为_____度．
答案:120．
分析：首先根据垂径定理得到OA=AB，结合等边三角形的性质即可求出∠AOC的度数．
【详解】解：∵弦AC与半径OB互相平分，
∴OA=AB，
∵OA=OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOC=120°，
故答案为120．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识，解题的关键是证明△OAB是等边三角形，此题难度不大．
9．(2023·上海嘉定·统考二模）如图，已知⊙O中，直径AB平分弦CD，且交CD于点E，如果OE=BE，那么弦CD所对的圆心角是_________度．
答案:120．
【详解】连接OC，
∵直径AB平分弦CD，
∴AB⊥CD，
∵OE=BE，
∴OE=，
在Rt△OCE中，OE=，
∴cs∠COE=，
∴∠OEB=60°，
∴弦CD所对的圆心角是60°×2=120°.
故答案为120.
三、解答题
10．(2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如图，是的外接圆，平分的外角，，，垂足分别为点、，且．求证：
答案:证明见解析
分析：先根据平行线的性质和角平分线的定义证明，则，利用垂径定理证明，进而证明，则．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，证明是解题的关键．
11．(2023·上海·上海市娄山中学校考二模）如图，已知的直径，点P是弦上一点，联结，，，求弦的长．
答案:6
分析：过作于，求出，根据等腰三角形的判定得出，设，则根据垂径定理得出，再个勾股定理求出即可．
【详解】解：过作于，则，
，
，
，
设，
直径，
，
，过圆心，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，（不符合题意，舍去），
即，
即．
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
12．(2023秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，圆经过平行四边形的三个顶点、、，且圆心在平行四边形的外部，，为弧的中点，的半径为，求平行四边形的面积．
答案:
分析：连接，交于点，连接，由为弧的中点，利用垂径定理的逆定理得到垂直于，为的中点，在直角三角形中，由的值，得到，设，则有，由半径为，得到，由表示出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出与的长，利用平行四边形的面积公式即可求出面积．
【详解】连接，交于点，连接，如图所示，
为的中点，
，
为的中点，即，
在中，，
设，，
则，，
在中，
根据勾股定理得：，即，
解得：舍去或，
，，
，
则．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，以及平行四边形的性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
13．(2023·上海普陀·统考二模）如图，已知矩形中，，以上的一点E为圆心，为半径的圆，经过点C，并交边于点F（点F不与点C重合）．
(1)当时，求矩形对角线的长；
(2)设边，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)设点G是的中点，且，求边的长．
答案:(1)
(2)
(3)
分析：（1）连接CE， AC，由勾股定理可求出答案；
（2）过点E作EH⊥BC于点H，连接CE，由矩形的性质得出AB= EH = x，AE=5-y，由勾股定理可求出答案；
（3）当点G在弧CF上时，设EF与AC的交点为M，连接CE，求出∠DEC = 30°，由直角三角形的性质可得出答案；当点G在弧AF上时，则点F与点C重合，不合题意．
（1）
解：连接，AC．
∵，
∴．
在中，由勾股定理得．
在中，同理得，
∴AC=
（2）
过点E作，垂足为点H．
由垂径定理可得．那么．
由四边形为矩形，得．
那么．
在中，由股定理得：
．
化简得；
（3）
①当点G在弧上时，设与的交点为M．
∵点G是的中点，
∴．由，
得．
∵
∴．
同理得．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，．
∴CE=2CD
∴．
解得, (不合题意，舍去)
即边的长为．
②当点G在弧上时，则点F与点C重合，不符合题意．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键．
14．(2023·上海黄浦·统考二模）如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，E、F分别是OM、ON上的点．
(1)求证：∠AOM＝∠AON；
(2)如果AEON，AFOM，求证：．
答案:(1)见解析
(2)见解析
分析：（1）根据垂径定理的推论，得出，，再证Rt△AOM≌Rt△AON（HL），即可得出结论；
（2）连接EF，交AO于点P．先证四边形AEOF是平行四边形，再证四边形AEOF是菱形，根据菱形的性质得，．然后证．得，代入即可得出结论．
(1)
证明：∵M、N分别是AB、AC的中点，OM、ON过圆心，
∴，．
又∵，
∴．
∵在Rt△AOM和Rt△AON中，
，
∴Rt△AOM≌Rt△AON（HL），
∴．
(2)
解：连接EF，交AO于点P．
∵，，
∴四边形AEOF是平行四边形．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴四边形AEOF是菱形．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查垂径定理的推论，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，证四边形AEOF是菱形是解题的关键．
15．(2023·上海杨浦·校考一模）如图，已知中，，，，过点A、C，交边于点D，且，求的长．
答案:4
分析：如图，连接AC，延长AO交BC于点E．根据圆心角、弧、弦间的关系推知△ACD是等腰三角形，由其“三合一”的性质证得AE是CD的中垂线，AE⊥CD，且CD＝2CE，在Rt△AEB中根据，，求得线段AE的长度，再根据 求出EC的长度，进而来求出线段CD的长度．
【详解】解：如图，连接AD，连接AO并延长AO交BC于点E．
∵，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等腰三角形
∵过点A、C，交边于点D，
∴是△ADC的外接圆
∴ AE是CD的中垂线
∴AE⊥CD，且CD＝2CE．
∴∠AEB＝∠AEC＝90°
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠B＝45°，，
∴AE＝AB×sin45°＝×＝4．
∵tanC＝2，
∴ ，
∴AE＝2CE，
∴CD＝AE＝4，
即线段CD的长度是4．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、垂径定理、三角形外接圆、圆心角、弧、弦间的关系等知识．证明AE是线段CD的中垂线是解题的关键．
16．(2023·上海长宁·统考二模）已知：如图，AO是⊙O的半径，AC为⊙O的弦，点F为的中点，OF交AC于点E，AC=10，EF=3·
(1)求AO的长；
(2)过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求OD的长·
答案:(1)
(2)
分析：（1）由垂径定理得出AE＝4，设圆的半径为r，知OE＝OF−EF＝r−2，根据OA2＝AE2＋OE2求解可得；
（2）由∠OAE＝∠CAD，∠AEO＝∠ADC＝90°知∠AOE＝∠ACD，从而根据sin∠ACD＝sin∠AOE＝，进而求得的长，即可求得的长可得答案．
（1）
∵O是圆心，且点F为AC的中点，
∴OF⊥AC，
∵AC＝10，
∴AE＝5，
∵EF=3设圆的半径为r，即OA＝OF＝r，
则OE＝OF−EF＝r−3，
由OA2＝AE2＋OE2得r2＝52＋（r−3）2，
解得：r＝，即AO＝；
（2）
∵∠OAE＝∠CAD，∠AEO＝∠ADC＝90°，
∴∠AOE＝∠ACD，
则sin∠ACD＝sin∠AOE＝
．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是掌握圆周角定理、垂径定理及其推论和勾股定理等知识点．
17．(2023·上海杨浦·校考一模）如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半径长．
答案:
分析：过点分别作、的垂线、，则四边形是正方形，利用垂径定理即可求得，的长度，然后在直角中利用勾股定理即可求得的长度．
【详解】解：过点分别作、的垂线、，则四边形是矩形，连接．
，，
，
矩形是正方形．
，，
，
，
，
同理：．
在直角中，．
的半径长为．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是利用垂径定理可以把求弦长以及半径的计算转化成求直角三角形的边长的计算．
18．(2023秋·上海普陀·九年级校考期中）如图，已知⊙O的直径AB=10，点P是弦BC上一点，联结OP，∠OPB=45°，PC=1，求弦BC的长．
答案:
分析：过点作，则，根据垂径定理可得，根据∠OPB=45°，可得是等腰直角三角形，在中，勾股定理建立方程，解方程求解即可求得，然后即可求得的长．
【详解】解：如图，过点作，则，
∠OPB=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，由
∵⊙O的直径AB=10，
∴
在中，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握垂径定理是解题的关键．
19．(2023秋·上海金山·九年级校考阶段练习）已知为的直径，A、B为上两点，点C为劣弧中点，连接，且．
(1)求证：；
(2)F、G分别为线段上两点，满足，连接，取中点H，连接，请猜测与之间的数量关系，并证明．
答案:(1)见解析
(2)，理由见解析
分析：（1）根据同弧所对圆周角相等，可直接得出；
（2）过点O作交延长线于点P．由垂径定理可得，，结合题意即得出，即证明为等边三角形，从而可求．又可求出，．根据平行线分线段成比例可得出，从而可推出．即易证，推出．最后根据三角形中位线定理即可得出答案．
（1）
∵，
∴；
（2）
，理由如下：
如图，过点O作交延长线于点P．
∵点C为劣弧中点，为的直径，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵H为中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在与中，
∴，
∴．
∵C为中点，H为中点，
∴CH为中位线，
∴，
∴．
【点睛】本题为圆的综合题，考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形全等的判定和性质以及三角形中位线定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键．
一、单选题
1．(2023·上海·九年级专题练习）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
A．2B．﹣1C．D．4
2．(2023·上海浦东新·统考二模）下列命题中，①长度相等的两条弧是等弧；②不共线的三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径必垂直于这条弦，真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．(2023春·上海闵行·九年级上海市民办上宝中学校考期中）下列说法正确的个数有（ ）
①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；
②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；
③等弧所对的圆心角相等；
④过三点可以画一个圆．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
4．(2023·上海长宁·统考二模）如图，⊙O的半径为10cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内，如果AB=AC，BC=12cm，那么△ABC的面积为 _____cm2．
5．(2023秋·上海徐汇·九年级上海市徐汇中学校考期中）⊙O中，点C在直径AB上，AC＝3BC，过点C作弦EF⊥AB，那么∠EOF＝ ________度．
6．(2023春·上海浦东新·九年级上海民办建平远翔学校校考阶段练习）如图，矩形与圆心在上的圆交于点、、、，，，，则的长为_______cm．
7．(2023秋·上海徐汇·九年级上海市徐汇中学校考阶段练习）在⊙中，弦的长为8，它所对应的弦心距为4，那么半径________．
三、解答题
8．(2023春·上海·九年级上海民办华二浦东实验学校校考期中）如图，是的弦的中点，，垂足为，求证：．
9．(2023秋·上海杨浦·九年级校考阶段练习）如图，的半径长为，为的直径，弦的长为，点为的中点，求弦的长．
10．(2023秋·上海黄浦·九年级上海民办永昌学校校考期中）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=16，点P是AB所在直线上一点，OP=10，点C是⊙O上一点，PC交⊙O于点D，sin∠BPC =，求CD的长．
11．(2023·上海徐汇·统考二模）如图，在梯形ABCD中，CDAB，AB＝10，以AB为直径的⊙O经过点C、D，且点C、D三等分弧AB．
（1）求CD的长；
（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．
12．(2023春·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图，是的外接圆，AB长为4，，连接CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点，求：
（1）边BC的长；．
（2）的半径．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023秋·上海·九年级校考阶段练习）下列命题中，假命题是（ ）
A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．
二、填空题
2．(2023·上海·统考中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____．
3．(2023·上海·统考中考真题）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为_____．（结果保留）
4．(2023·上海崇明·统考二模）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，的延长线交于点F．如果，那么FC的长是_______．
5．(2023秋·上海浦东新·九年级上海市进才实验中学校考期中）在半径为13cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为24cm，另一条弦长为10cm，则这两条弦之间的距离为_____cm．
6．(2023·上海黄浦·统考二模）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为_____．
7．(2023秋·上海长宁·九年级上海市复旦初级中学校考期中）如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC =_____．
8．(2023秋·上海·九年级校考期中）如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数为_____度．
9．(2023·上海嘉定·统考二模）如图，已知⊙O中，直径AB平分弦CD，且交CD于点E，如果OE=BE，那么弦CD所对的圆心角是_________度．
三、解答题
10．(2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如图，是的外接圆，平分的外角，，，垂足分别为点、，且．求证：
11．(2023·上海·上海市娄山中学校考二模）如图，已知的直径，点P是弦上一点，联结，，，求弦的长．
12．(2023秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，圆经过平行四边形的三个顶点、、，且圆心在平行四边形的外部，，为弧的中点，的半径为，求平行四边形的面积．
13．(2023·上海普陀·统考二模）如图，已知矩形中，，以上的一点E为圆心，为半径的圆，经过点C，并交边于点F（点F不与点C重合）．
(1)当时，求矩形对角线的长；
(2)设边，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)设点G是的中点，且，求边的长．
14．(2023·上海黄浦·统考二模）如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，E、F分别是OM、ON上的点．
(1)求证：∠AOM＝∠AON；
(2)如果AEON，AFOM，求证：．
15．(2023·上海杨浦·校考一模）如图，已知中，，，，过点A、C，交边于点D，且，求的长．
16．(2023·上海长宁·统考二模）已知：如图，AO是⊙O的半径，AC为⊙O的弦，点F为的中点，OF交AC于点E，AC=10，EF=3·
(1)求AO的长；
(2)过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求OD的长·
17．(2023·上海杨浦·校考一模）如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半径长．
18．(2023秋·上海普陀·九年级校考期中）如图，已知⊙O的直径AB=10，点P是弦BC上一点，联结OP，∠OPB=45°，PC=1，求弦BC的长．
19．(2023秋·上海金山·九年级校考阶段练习）已知为的直径，A、B为上两点，点C为劣弧中点，连接，且．
(1)求证：；
(2)F、G分别为线段上两点，满足，连接，取中点H，连接，请猜测与之间的数量关系，并证明．
27.3垂径定理（分层练习）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·上海·九年级专题练习）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
A．2B．﹣1C．D．4
答案:A
分析：根据圆周角定理可知∠COE=30°，CE=OC=1，再由垂径定理可知CE=CD，即可求出CD的长．
【详解】解：∵∠A=15°，
∴∠COE=30°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，半径为2，
∴CE=OC=1，
∴CE=CD，
∴CD=2
故选：A
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握这些知识是解题的关键．
2．(2023·上海浦东新·统考二模）下列命题中，①长度相等的两条弧是等弧；②不共线的三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径必垂直于这条弦，真命题的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:A
分析：根据圆的相关概念，确定圆的条件，垂径定理逐项分析判断即可．
【详解】解：①在同一个圆内，长度相等的两条弧是等弧，故原命题为假命题；
②不共线的三点确定一个圆，为真命题．
③在同一个圆内，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题为假命题；
④平分弦的直径不一定垂直弦，两条相交的直径互相平分，但不垂直，故原命题为真命题．
故真命题的个数为1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的相关概念，确定圆的条件，垂径定理，理解相关性质定理是解题的关键．
3．(2023春·上海闵行·九年级上海市民办上宝中学校考期中）下列说法正确的个数有（ ）
①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；
②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；
③等弧所对的圆心角相等；
④过三点可以画一个圆．
A．1B．2C．3D．4
答案:A
分析：根据垂径定理，圆的基本性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：①平分弦（弦不是直径）的直径，平分这条弦所对的弧，说法错误；
②在等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧不一定相等，说法错误；
③等弧所对的圆心角相等，说法正确；
④过不在同一直线上的三点可以画一个圆，说法错误
综上所述，正确的说法有1个．
故选：A
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆的基本性质，熟练掌握垂径定理，圆的基本性质是解题的关键．
二、填空题
4．(2023·上海长宁·统考二模）如图，⊙O的半径为10cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC内，如果AB=AC，BC=12cm，那么△ABC的面积为 _____cm2．
答案:108
分析：过点A作于点M，连接OC，根据等腰三角形的性质及垂径定理即可求出OM的值，从而可知AM的值，进而面积可求.
【详解】如图，过点A作于点M，连接OC，
AB=AC且BC=12 cm．
BM=CM=BC=6 cm．
∵圆的半径等于10 cm．
cm．
cm．
cm．
cm2．
故答案为108
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键.
5．(2023秋·上海徐汇·九年级上海市徐汇中学校考期中）⊙O中，点C在直径AB上，AC＝3BC，过点C作弦EF⊥AB，那么∠EOF＝ ________度．
答案:120
分析：设圆的半径为a，由AC＝3BC可求出OE=OB=2OC，因此∠OEC=30°；再根据垂径定理便可解答；
【详解】解：如图，
设圆的半径为a，则2a=AC+BC=4BC，BC=a，
∴OC=BC=a，
∵OE=OB=2OC，∠OCE=90°，
∴∠OEC=30°，
∴∠COE=60°，
由垂径定理可得：∠EOF=2∠COE=120°，
故答案为：120．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形；垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；掌握垂径定理是解题关键．
6．(2023春·上海浦东新·九年级上海民办建平远翔学校校考阶段练习）如图，矩形与圆心在上的圆交于点、、、，，，，则的长为_______cm．
答案:6
分析：过点 作 于点 ，过点 作 于点，根据矩形的对称性质及圆的垂径定理，即可求出线段的长．
【详解】如图，
过点 作 于点 ，过点 作 于点
则四边形 、四边形、四边形、四边形是矩形
矩形是轴对称图形，对称轴是 ，且 是直径，
与 是对称线段，则
由垂径定理得，点 是 的中点，则
，
．
故答案为：6.
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质以及圆的垂径定理，准确的作出辅助线及熟练应用上述知识点是解题的关键．
7．(2023秋·上海徐汇·九年级上海市徐汇中学校考阶段练习）在⊙中，弦的长为8，它所对应的弦心距为4，那么半径________．
答案:
分析：根据题意作出图形，进而根据垂径定理及勾股定理解答即可．
【详解】如图，
，，
，
在中，，
故答案为：．
【点睛】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半径，圆心到弦的距离转换到同一直角三角形中，然后通过勾股定理求解．
三、解答题
8．(2023春·上海·九年级上海民办华二浦东实验学校校考期中）如图，是的弦的中点，，垂足为，求证：．
答案:见解析
分析：连结OP，因P为弦AB的中点，利用垂径定理得OP⊥AB结合证△PAC∽△OAP，利用相似三角形的性质得即可．
【详解】连结OP，因P为弦AB的中点，
则OP⊥AB，
又，
∠PCA=∠OPA=90º，
∠PAC=∠OAP，
△PAC∽△OAP，
，
，
P为弦AB的中点，
AP=PB，
，
．
【点睛】本题考查垂径定理，相似三角形的判定与性质，掌握垂径定理与相似三角形的判定与性质，会利用解决问题是解题关键．
9．(2023秋·上海杨浦·九年级校考阶段练习）如图，的半径长为，为的直径，弦的长为，点为的中点，求弦的长．
答案:
分析：连接并延长，交于点，根据垂径定理的推论可得，，在中，勾股定理求得，进而得出，在在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接并延长，交于点，
∵点为的中点，
∴，，
在中，，
∴，
在中，．
【点睛】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
10．(2023秋·上海黄浦·九年级上海民办永昌学校校考期中）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=16，点P是AB所在直线上一点，OP=10，点C是⊙O上一点，PC交⊙O于点D，sin∠BPC =，求CD的长．
答案:CD=4．
分析：过O作OE⊥CD于E，由垂径定理得到CD=2CE，解直角三角形得到OE=OP×sin∠BPC=6，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过O作OE⊥CD于E，
∴CD=2CE，
∵AB是⊙O的直径，AB=16，
∴OC=8，
∵sin∠BPC=，OP=10，
∴OE=OP×sin∠BPC=6，
∴CE=，
∴CD=2CE=4．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．(2023·上海徐汇·统考二模）如图，在梯形ABCD中，CDAB，AB＝10，以AB为直径的⊙O经过点C、D，且点C、D三等分弧AB．
（1）求CD的长；
（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．
答案:（1）5；（2）
分析：（1）通过点C、D三等分弧AB，可得∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°，所以，△COD为等边三角形，CD可求；
（2）由点E是劣弧DC的中点，根据垂径定理的推论可得OF⊥CD，CF＝CD；解直角三角形△ODF，得出OF长度，通过OE﹣OF＝EF得出答案．
【详解】解：（1）连接OC,OD,
∵AB为直径，点C、D三等分弧AB,
∴.
∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°．
∵OC＝OD,
∴△OCD为等边三角形．
∴CD＝OD＝AB＝5．
（2）连接OE,交DC于点F,
∵点E是劣弧DC的中点，
∴OF⊥CD,DF=FC=CD.
∵OC＝OD，
∴∠DOF＝∠DOC＝30°．
在Rt△ODF中，cs∠FOD＝．
∴OF＝OD•cs∠FOD＝5×＝．
∵OE＝OD＝5,
∴EF＝OE﹣OF＝5﹣．
【点睛】本题考查圆的相关定理，熟练掌握在同圆中，等弧所对的弦相等，圆心角相等，以及垂径定理的应用，在题目中看到弧或者弦的中点，要连接圆心的中点，得出垂直.
12．(2023春·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图，是的外接圆，AB长为4，，连接CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点，求：
（1）边BC的长；．
（2）的半径．
答案:（1）4；（2）．
分析：（1）根据垂径定理证明点C在AB垂直平分线上，即可解题；
（2）连结BO，先证明是等边三角形，再结合已知可证，继而根据余弦的定义解题．
【详解】证明：（1）∵E为中点，OE为半径
∴OE垂直平分AB
∴C在AB垂直平分线上
∴
（2）连结BO
∵
∴是等边三角形
∴
∵，又∵
∴
∴
又∵
∴．
【点睛】本题考查垂径定理、等边三角形的判定与性质、余弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023秋·上海·九年级校考阶段练习）下列命题中，假命题是（ ）
A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．
答案:C
分析：利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案．
【详解】A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．
故选C．
【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．
二、填空题
2．(2023·上海·统考中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____．
答案:##
分析：如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，再证明经过圆心，，分别求解AC，BC，CF， 设的半径为 再分别表示 再利用勾股定理求解半径r即可．
【详解】解：如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，
过圆心O，，
设的半径为
∴
整理得：
解得：
不符合题意，舍去，
∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键．
3．(2023·上海·统考中考真题）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为_____．（结果保留）
答案:400π
【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，连接OB，如图，
∵AC=11，BC=21，
∴AB=AC+BC=32，
∵OD⊥AB于D，
∴AD=BD=AB=16，
∴CD=AD-AC=5，
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
OD==12,
在Rt△OBD中，由勾股定理，得
OB==20，
∴这个花坛的面积=202π=400π，
故答案为：400π．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，熟练掌握垂径定理与勾股定理相结合求线段长是解题的关键．
4．(2023·上海崇明·统考二模）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，的延长线交于点F．如果，那么FC的长是_______．
答案:10
分析：由OE⊥AB，得AD=BD，且OD是△ABC的中位线，OE是三角形AFC的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可．
【详解】∵OE⊥AB，
∴AD=BD=AB=×8=4，
∵OA=OC，
∴OD为三角形ABC的中位线，
∴OD//BC，
又∵OD=3，
∴
∴OE=OA=5，
∵OE∥CF，点O是AC中点，
∴AE：EF=AO：OC=1，
即E为AF中点，
∴OE是三角形ACF的中位线，
∴CF=2OE=2×5=10，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键．
5．(2023秋·上海浦东新·九年级上海市进才实验中学校考期中）在半径为13cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为24cm，另一条弦长为10cm，则这两条弦之间的距离为_____cm．
答案:7或17
分析：分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=OF-OE=7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AF=12cm，CE=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=12cm，OF=5cm，
∴EF=OF+OE=17cm．
故答案为：7或17．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
6．(2023·上海黄浦·统考二模）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为_____．
答案:
分析：根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求出OE、OF，再利用全等三角形可求出∠OME＝60°，进而利用直角三角形的边角关系求解即可．
【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F，连接OA，
则AE＝BE＝AB＝，CF＝DF＝CD＝，
在Rt△AOE中，
∵OA＝2，AE＝，
∴OE＝＝1，
∵AB＝CD，
∴OE＝OF＝1，
又∵OM＝OM，
∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），
∴∠OME＝∠OMF＝∠AMC＝60°，
∴OM＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的全等，特殊角的函数值，垂径定理是解题的关键，特殊角的函数值是解题的基础．
7．(2023秋·上海长宁·九年级上海市复旦初级中学校考期中）如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC =_____．
答案:10
分析：根据垂径定理求出AD的长，设半径OC=OA=r，则OD=r-4，再根据勾股定理列出关于r的方程，解出即可得出OC的长．
【详解】设半径OC=OA=r，则OD=OC-CD=r-4
半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，AB=16
∴AD=AB=8，
在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA）即（r-4）2+82=r2
解得：r=10
故答案为10.
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.
8．(2023秋·上海·九年级校考期中）如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数为_____度．
答案:120．
分析：首先根据垂径定理得到OA=AB，结合等边三角形的性质即可求出∠AOC的度数．
【详解】解：∵弦AC与半径OB互相平分，
∴OA=AB，
∵OA=OC，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOC=120°，
故答案为120．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识，解题的关键是证明△OAB是等边三角形，此题难度不大．
9．(2023·上海嘉定·统考二模）如图，已知⊙O中，直径AB平分弦CD，且交CD于点E，如果OE=BE，那么弦CD所对的圆心角是_________度．
答案:120．
【详解】连接OC，
∵直径AB平分弦CD，
∴AB⊥CD，
∵OE=BE，
∴OE=，
在Rt△OCE中，OE=，
∴cs∠COE=，
∴∠OEB=60°，
∴弦CD所对的圆心角是60°×2=120°.
故答案为120.
三、解答题
10．(2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如图，是的外接圆，平分的外角，，，垂足分别为点、，且．求证：
答案:证明见解析
分析：先根据平行线的性质和角平分线的定义证明，则，利用垂径定理证明，进而证明，则．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，证明是解题的关键．
11．(2023·上海·上海市娄山中学校考二模）如图，已知的直径，点P是弦上一点，联结，，，求弦的长．
答案:6
分析：过作于，求出，根据等腰三角形的判定得出，设，则根据垂径定理得出，再个勾股定理求出即可．
【详解】解：过作于，则，
，
，
，
设，
直径，
，
，过圆心，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，（不符合题意，舍去），
即，
即．
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
12．(2023秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，圆经过平行四边形的三个顶点、、，且圆心在平行四边形的外部，，为弧的中点，的半径为，求平行四边形的面积．
答案:
分析：连接，交于点，连接，由为弧的中点，利用垂径定理的逆定理得到垂直于，为的中点，在直角三角形中，由的值，得到，设，则有，由半径为，得到，由表示出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出与的长，利用平行四边形的面积公式即可求出面积．
【详解】连接，交于点，连接，如图所示，
为的中点，
，
为的中点，即，
在中，，
设，，
则，，
在中，
根据勾股定理得：，即，
解得：舍去或，
，，
，
则．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，以及平行四边形的性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
13．(2023·上海普陀·统考二模）如图，已知矩形中，，以上的一点E为圆心，为半径的圆，经过点C，并交边于点F（点F不与点C重合）．
(1)当时，求矩形对角线的长；
(2)设边，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)设点G是的中点，且，求边的长．
答案:(1)
(2)
(3)
分析：（1）连接CE， AC，由勾股定理可求出答案；
（2）过点E作EH⊥BC于点H，连接CE，由矩形的性质得出AB= EH = x，AE=5-y，由勾股定理可求出答案；
（3）当点G在弧CF上时，设EF与AC的交点为M，连接CE，求出∠DEC = 30°，由直角三角形的性质可得出答案；当点G在弧AF上时，则点F与点C重合，不合题意．
（1）
解：连接，AC．
∵，
∴．
在中，由勾股定理得．
在中，同理得，
∴AC=
（2）
过点E作，垂足为点H．
由垂径定理可得．那么．
由四边形为矩形，得．
那么．
在中，由股定理得：
．
化简得；
（3）
①当点G在弧上时，设与的交点为M．
∵点G是的中点，
∴．由，
得．
∵
∴．
同理得．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，．
∴CE=2CD
∴．
解得, (不合题意，舍去)
即边的长为．
②当点G在弧上时，则点F与点C重合，不符合题意．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键．
14．(2023·上海黄浦·统考二模）如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，E、F分别是OM、ON上的点．
(1)求证：∠AOM＝∠AON；
(2)如果AEON，AFOM，求证：．
答案:(1)见解析
(2)见解析
分析：（1）根据垂径定理的推论，得出，，再证Rt△AOM≌Rt△AON（HL），即可得出结论；
（2）连接EF，交AO于点P．先证四边形AEOF是平行四边形，再证四边形AEOF是菱形，根据菱形的性质得，．然后证．得，代入即可得出结论．
(1)
证明：∵M、N分别是AB、AC的中点，OM、ON过圆心，
∴，．
又∵，
∴．
∵在Rt△AOM和Rt△AON中，
，
∴Rt△AOM≌Rt△AON（HL），
∴．
(2)
解：连接EF，交AO于点P．
∵，，
∴四边形AEOF是平行四边形．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴四边形AEOF是菱形．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查垂径定理的推论，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，证四边形AEOF是菱形是解题的关键．
15．(2023·上海杨浦·校考一模）如图，已知中，，，，过点A、C，交边于点D，且，求的长．
答案:4
分析：如图，连接AC，延长AO交BC于点E．根据圆心角、弧、弦间的关系推知△ACD是等腰三角形，由其“三合一”的性质证得AE是CD的中垂线，AE⊥CD，且CD＝2CE，在Rt△AEB中根据，，求得线段AE的长度，再根据 求出EC的长度，进而来求出线段CD的长度．
【详解】解：如图，连接AD，连接AO并延长AO交BC于点E．
∵，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等腰三角形
∵过点A、C，交边于点D，
∴是△ADC的外接圆
∴ AE是CD的中垂线
∴AE⊥CD，且CD＝2CE．
∴∠AEB＝∠AEC＝90°
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠B＝45°，，
∴AE＝AB×sin45°＝×＝4．
∵tanC＝2，
∴ ，
∴AE＝2CE，
∴CD＝AE＝4，
即线段CD的长度是4．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、垂径定理、三角形外接圆、圆心角、弧、弦间的关系等知识．证明AE是线段CD的中垂线是解题的关键．
16．(2023·上海长宁·统考二模）已知：如图，AO是⊙O的半径，AC为⊙O的弦，点F为的中点，OF交AC于点E，AC=10，EF=3·
(1)求AO的长；
(2)过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求OD的长·
答案:(1)
(2)
分析：（1）由垂径定理得出AE＝4，设圆的半径为r，知OE＝OF−EF＝r−2，根据OA2＝AE2＋OE2求解可得；
（2）由∠OAE＝∠CAD，∠AEO＝∠ADC＝90°知∠AOE＝∠ACD，从而根据sin∠ACD＝sin∠AOE＝，进而求得的长，即可求得的长可得答案．
（1）
∵O是圆心，且点F为AC的中点，
∴OF⊥AC，
∵AC＝10，
∴AE＝5，
∵EF=3设圆的半径为r，即OA＝OF＝r，
则OE＝OF−EF＝r−3，
由OA2＝AE2＋OE2得r2＝52＋（r−3）2，
解得：r＝，即AO＝；
（2）
∵∠OAE＝∠CAD，∠AEO＝∠ADC＝90°，
∴∠AOE＝∠ACD，
则sin∠ACD＝sin∠AOE＝
．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是掌握圆周角定理、垂径定理及其推论和勾股定理等知识点．
17．(2023·上海杨浦·校考一模）如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半径长．
答案:
分析：过点分别作、的垂线、，则四边形是正方形，利用垂径定理即可求得，的长度，然后在直角中利用勾股定理即可求得的长度．
【详解】解：过点分别作、的垂线、，则四边形是矩形，连接．
，，
，
矩形是正方形．
，，
，
，
，
同理：．
在直角中，．
的半径长为．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是利用垂径定理可以把求弦长以及半径的计算转化成求直角三角形的边长的计算．
18．(2023秋·上海普陀·九年级校考期中）如图，已知⊙O的直径AB=10，点P是弦BC上一点，联结OP，∠OPB=45°，PC=1，求弦BC的长．
答案:
分析：过点作，则，根据垂径定理可得，根据∠OPB=45°，可得是等腰直角三角形，在中，勾股定理建立方程，解方程求解即可求得，然后即可求得的长．
【详解】解：如图，过点作，则，
∠OPB=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，由
∵⊙O的直径AB=10，
∴
在中，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握垂径定理是解题的关键．
19．(2023秋·上海金山·九年级校考阶段练习）已知为的直径，A、B为上两点，点C为劣弧中点，连接，且．
(1)求证：；
(2)F、G分别为线段上两点，满足，连接，取中点H，连接，请猜测与之间的数量关系，并证明．
答案:(1)见解析
(2)，理由见解析
分析：（1）根据同弧所对圆周角相等，可直接得出；
（2）过点O作交延长线于点P．由垂径定理可得，，结合题意即得出，即证明为等边三角形，从而可求．又可求出，．根据平行线分线段成比例可得出，从而可推出．即易证，推出．最后根据三角形中位线定理即可得出答案．
（1）
∵，
∴；
（2）
，理由如下：
如图，过点O作交延长线于点P．
∵点C为劣弧中点，为的直径，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵H为中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在与中，
∴，
∴．
∵C为中点，H为中点，
∴CH为中位线，
∴，
∴．
【点睛】本题为圆的综合题，考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形全等的判定和性质以及三角形中位线定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键．
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