2022-2023学年重庆市永川区北山中学高一（下）入学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年重庆市永川区北山中学高一（下）入学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设全集U={−2,−1,0,1,2}，集合A={x|x2=4}，B={x|x2+x−2=0}，则∁U(A∪B)=( )
A. {−2,−1,1,2}B. {−2,−1,0}C. {−1,0}D. {0}
2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A. y=1，y=x0
B. y=lg2(x−1)+1g2(x+2)，y=lg2(x−1)(x+2)
C. y=x，y= x2
D. y=ex−1⋅ex+1，y=e2t
3.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是( )
A. y=lg3xB. y=x3+xC. y=3xD. y=−1x
4.设a=lg54，则b=lg1513，c=0.5−0.2，则a，b，c的大小关系是( )
A. a5.已知函数f(x)=x−e−x的部分函数值如表所示：
那么函数f(x)的一个零点的近似值(精确度为0.1)为( )
A. 0.55B. 0.57C. 0.65D. 0.7
6.若点P(csα,sinα)在直线y=−2x上，则cs(2α+π2)的值等于( )
A. −45B. 45C. −35D. 35
7.已知函数，若不等式f(x)≤m在[0,π2]上有解，则实数m的最小值为( )
A. 5B. −5C. 11D. −11
8.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(−1)=0，若对任意x1，x2∈(−∞,0)，且x1≠x2时，都有x1f(x1)−x2f(x2)x1−x2<0成立，则不等式f(x)<0的解集为( )
A. (−∞,−1)∪(1,+∞)B. (−1,0)∪(0,1)
C. (−∞,−1)∪(0,1)D. (−1,0)∪(1,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. ∃x∈R，x2≤1
B. a2=b2是a=b的必要不充分条件
C. 集合{(x,y)|y=x2}与集合{y|y=x2}表示同一集合
D. 设全集为R，若A⊆B，则∁RB⊆∁RA
10.已知函数y=(12)x2+4x+3，则下列说法正确的是( )
A. 定义域RB. 值域为(0,2]
C. 在[−2,+∞)上单调递增D. 在[−2,+∞)上单调递减
11.已知函数f(x)=cs2x−2 3sinxcsx，则下列结论中正确的是( )
A. 存在x1，x2，当x1−x2=π时，f(x1)=f(x2)成立
B. f(x)在区间[−π6,π3]上单调递增
C. 函数f(x)的图象关于点(π12,0)对称
D. 函数f(x)的图象关于直线x=5π12对称
12.对于函数f(x)=sinπx,0≤x≤212f(x−2),x>2，下列结论中正确的是( )
A. 任取x1，x2∈[1,+∞)，都有|f(x1)−f(x2)|≤32
B. f(12)+f(52)+⋯+f(12+2k)=2−12k+1，其中k∈N
C. f(x)=2kf(x+2k)(k∈N*)对一切x∈[0,+∞)恒成立
D. 函数y=f(x)−ln(x−1)有3个零点
三、填空题：本题共5小题，共32分。
13.若函数y=f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)=f(2x−1) x−1的定义域是______．
14.设sinα=−45，π<α<3π2，则sin(α+π6)= ______．
15.如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为______(单位：cm2).
16.已知函数f(x)=lg2(3x2−2ax+1),x>1ax−a,x≤1是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围是______．
17.已知函数f(x)=4csxsin(x+π6)−1．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[−π6,π4]上的最大值和最小值．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题10分)
已知集合A={x|x+63−x≥0}，集合B={x|x2≤16}，C={x|3x+m<0}．
(1)求A∪B，A∩B，∁R(A∪B)；
(2)若x∈C是x∈A的必要条件，求m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=xm−2x且f(4)=72．
(1)求m的值；
(2)判定f(x)的奇偶性；
(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性，并给予证明．
20.(本小题12分)
某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P(万元)与精加工的蔬菜量x(吨)有如下关系：P=120x2,0≤x≤83x+810,8设该农业合作社将x(吨)蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润(扣除加工费)为y(万元)．
(1)写出y关于x的函数表达式；
(2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−(a+4)x+4a
(1)解关于x的不等式f(x)<0；
(2)若关于x的不等式f(x)+4x<0的解集为(m,n)(m>0,n>0)，求m+4n的最小值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x−2m2+m+3(m∈Z)在(0,+∞)上是增函数，也是偶函数
(1)求m的值，并确定f(x)的解析式；
(2)若g(x)=lga[f(x)−ax](a>0且a≠1)，是否存在实数a，使g(x)在区间[2,3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵A={x|x2=4}={2,−2}，B={x|x2+x−2=0}={1,−2}，
∴A∪B={−2,1,2}，
∵U={−2,−1,0,1,2}，
∴∁U(A∪B)={−1,0}．
故选：C．
根据集合的并集和补集的定义，计算即可．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2.【答案】D
【解析】解：对于A，y=1(x∈R)，与y=x0(x≠0)的定义域不同，不是同一函数；
对于B，y=lg2(x−1)+lg2(x+2)=lg2(x−1)(x+2)(x>1)，与y=lg2(x−1)(x+2)(x<−2或x>1)的定义域不同，不是同一函数；
对于C，y=x(x∈R)，与y= x2=|x|(x∈R)的对应关系不同，不是同一函数；
对于D，y=ex−1⋅ex+1=e2x(x∈R)，与y=e2t(t∈R)的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．
故选：D．
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：对于A.对数函数y=lg3x，定义域为(0,+∞)，则函数没有奇偶性，故A不满足条件；
对于B，定义域为R，f(−x)=−x3−x=−f(x)，即有f(x)为奇函数，
又f′(x)=3x2+1>0，则f(x)在R上递增，故B满足条件；
对于C，指数函数y=3x，f(−x)≠−f(x)，则不为奇函数，故C不满足条件；
对于D，反比例函数y=−1x，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，f(−x)=−f(x)，则f(x)为奇函数，
且在(−∞,0)和(0,+∞)均为增函数，故D不满足条件．
故选：B．
运用奇偶性的定义和导数的运用，结合常见函数的奇偶性和单调性，即可得到既是奇函数又是增函数的函数．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用奇偶性和单调性的定义结合常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵b=lg1513=lg53，a=lg54∴b∵c=0.5−0.2>0.50=1，
∴b故选：B．
利用对数函数的单调性得到b1，可得到答案．
本题考查了指数函数，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题干所给数据可知，函数f(x)的零点在区间(0.5625,0.625)内，
结合选项可知，其近似值为0.57．
故选：B．
结合题干数据以及零点存在性定理即可得解．
本题考查零点存在性定理的运用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵点P(csα,sinα)在直线y=−2x上，
∴sinα=−2csα，
又sin2α+cs2α=1，
解得：sinα=−2 55csα= 55或sinα=2 55csα=− 55，
∴cs(2α+π2)=−sin2α=−2sinαcsα=(−2)× 55×(−2 55)=45．
故选：B．
根据点P在直线上，得到tanα，利用万能公式和诱导公式化简得出答案．
本题考查了诱导公式的应用，同角三角函数的关系，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了二倍角公式及其应用，辅助角公式和函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质．
利用二倍角公式和辅助角公式得f(x)=4sin(2x−π6)+7，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，结合不等式求解得结论.
【解答】
解： 函数f(x)=4sin2x+4 3sinxcsx+5
=4⋅1−cs2x2+2 3sin2x+5
=2 3sin2x−2cs2x+7
=4( 32sin2x−12cs2x)+7
=4sin(2x−π6)+7，
若不等式f(x)≤m在[0,π2]上有解，
则2x−π6∈[−π6,5π6]，sin(2x−π6)∈[−12,1]，
则f(x)∈[5,11]，
因此实数m的最小值为5．
故选A．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，设g(x)=xf(x)，
若函数f(x)是定义在R上的奇函数，即f(−x)=−f(x)，
则g(−x)=(−x)f(−x)=xf(x)=g(x)，则g(x)为R上的偶函数，
若f(−1)=0，则g(−1)=g(1)=0，
又由对任意x1，x2∈(−∞,0)，且x1≠x2时，都有x1f(x1)−x2f(x2)x1−x2<0成立，
即g(x1)−g(x2)x1−x2<0，即函数g(x)在(−∞,0)上为减函数，
则在(−∞,−1)上，g(x)=xf(x)>0，在(−1,0)上，g(x)=xf(x)<0，
又由x∈(−∞,0)，则在(−∞,−1)上，f(x)<0；
在(−1,0)上，f(x)>0；
又由f(x)为奇函数，在(0,1)上，f(x)<0，
综合可得：f(x)<0的解集为(−∞,−1)∪(0,1)；
故选：C．
根据题意，设g(x)=xf(x)，分析可得g(x)为偶函数且在(−∞,0)上为减函数，据此可得在(−∞,−1)上，g(x)=xf(x)>0，在(−1,0)上，g(x)=xf(x)<0，结合x的范围可得在(−∞,−1)上，f(x)<0，在(−1,0)，f(x)>0，结合函数f(x)的奇偶性，分析可得答案．
本题考查抽象函数的应用，注意构造新函数g(x)=xf(x)，并分析g(x)的奇偶性与单调性，属于综合题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A：当x=0时，02≤1成立，所以选项A正确．
对于B：当a=b时，得到a2=b2，但是当a2=b2，得到a=±b，所以a2=b2是a=b的必要不充分条件，故选项B正确．
对于C：集合{(x,y)|y=x2}是一个点集，集合{y|y=x2}是一些数值构成的集合，故不表示同一集合，故选项C错误．
对于D：全集为R，若A⊆B，直接利用韦恩图，整理得∁RB⊆∁RA，故选项D正确．
故选：ABD．
直接利用存在性问题的应用判定A的结论，利用充分条件和必要条件的应用判定选项B的结论，利用集合间的关系判断选项C、D的结论．
本题考查的知识要点：逻辑用语的应用，集合间的关系，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：函数y=(12)x2+4x+3的定义域为R，故选项A正确；
∵x2+4x+3=(x+2)2−1≥−1，
∴0<(12)x2+4x+3≤2，
故函数y=(12)x2+4x+3的值域为(0,2]，故选项B正确；
∵y=(12)u在R上是减函数，
u=x2+4x+3在(−∞,−2]上是减函数，在[−2,+∞)上是增函数，
∴函数y=(12)x2+4x+3在[−2,+∞)上是减函数，故选项C错误，选项D正确；
故选：ABD．
由定义域的定义知选项A正确，由二次函数知x2+4x+3=(x+2)2−1≥−1，再由指数函数的单调性可得函数的值域；由复合函数的单调性可判断选项C错误，选项D正确．
本题考查了复合函数的性质应用，利用了整体思想与转化思想，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：f(x)=cs2x−2 3sinxcsx=cs2x− 3sin2x=2cs(2x+π3)，
因为f(x1)=2cs(2x1+π3)=2cs[2(x2+π)+π3]=2cs(2x2+π3)=f(x2)，A正确；
当x∈[−π6,π3]时，2x+π3∈[0,π]，所以函数f(x)在区间[−π6,π3]上单调递减，B错误；
函数图象和x轴交点为对称中心，f(π12)=2cs(2×π12+π3)=2csπ2=0，故函数f(x)的图象关于点(π12,0)对称，故C正确；
对称轴必然过图象最高或最低点，f(5π12)=2cs(2×5π12+π3)=2cs7π6=−2csπ6=− 3，
由此可知x=5π12并不经过函数图象的最高或最低点，故f(x)的图象不关于直线x=5π12对称，D错误．
故选：AC．
化简得f(x)=2cs(2x+π3)，证明f(x1)=f(x2)，A正确；函数f(x)在区间[−π6,π3]上单调递减，B错误；f(π12)=0，故函数f(x)的图象关于点(π12,0)对称，故C正确；f(5π12)=− 3，x=5π12并不经过函数图象的最高或最低点，D错误．
本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：作出函数f(x)=sinπx,0≤x≤212f(x−2),x>2的图象如图所示，所以f(x)max=1，f(x)min=−1，
对于A：任取x1，x2∈[1,+∞)，都有|f(x1)−f(x2)|≤|f(x)max−f(x)min|=12−(−1)=32，故A正确；
对于B：因为f(12)=1,f(52)=12,⋯f(12+2k)=(12)k，所以f(12)+f(52)+⋯+f(12+2k)=1⋅(1−(12)k+1)1−12=2−12k，故B错误；
对于C：由f(x)=12f(x−2)，得到f(x+2k)=(12)kf(x)，即f(x)=2kf(x+2k)故C正确；
对于D：函数y=f(x)−ln(x−1)的定义域为(1,+∞)，作出y=f(x)和y=ln(x−1)的图象如图所示：
当x=2时，y=sin2π−ln1=0；
当1当x>2时，因为f(92)=14f(12)=14sinπ2=14,ln(92−1)=ln72>1>14，所以函数y=f(x)与函数y=ln(x−1)的图象有一个交点，所以函数y=f(x)−ln(x−1)有3个零点，故D正确．
故选：ACD．
作出函数f(x)=sinπx,0≤x≤212f(x−2),x>2的图象，对于A：利用图象求出f(x)max，f(x)min，即可判断；对于B：直接求出f(12)+f(52)+⋯+f(12+2k)=2−12k，即可判断；对于C：由f(x)=12f(x−2)，求得f(x)=2kf(x+2k)，即可判断；对于D：作出y=f(x)和y=ln(x−1)的图象，判断出函数y=f(x)−ln(x−1)有3个零点．
本题考查了分段函数的应用，属于中档题．
13.【答案】(1,32]
【解析】解：函数y=f(x)的定义域是[0,2]，
故0≤2x−1≤2，解得：12≤x≤32①，
而x−1>0，解得：x>1②，
综合①②得：1故函数的定义域是(1,32]，
故答案为：(1,32].
根据函数f(x)的定义域求出f(2x−1)的定义域，二次根式的性质求出函数g(x)的定义域即可．
本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道常规题．
14.【答案】−110(4 3+3)
【解析】解：由sinα=−45，π<α<3π2，得csα=− 1−sin2α=−35，
所以sin(α+π6)=sinαcsπ6+sinπ6csα=−45× 32−12×35=−110(4 3+3)．
故答案为：−110(4 3+3)．
根据已知求出csα的值，再利用和角的正弦公式求解．
本题考查角的转化及两角和的正弦公式的应用，属于基础题．
15.【答案】16
【解析】解：如下图所示，
连接OC，设|OB|=x(0所以，由基本不等式可得，矩形ABCD的面积为S=|AB|⋅|BC|=2x⋅ 16−x2=2 (16−x2)x2≤(16−x2)+x2=16，
当且仅当16−x2=x2时，即当x=2 2时，等号成立，
故答案为：16．
连接OC，设|OB|=x(0本题考查基本不等式求最值，解决本题的关键在于得出相应量的表达式，并对代数式进行灵活配凑，属于中等题．
16.【答案】(0,32]
【解析】解：根据题意，函数f(x)=lg2(3x2−2ax+1),x>1ax−a,x≤1在R上单调递增，
∴a>0a3≤1lg2(3×12−2a×1+1)≥a×1−a⇒a>0a≤3a≤32⇒0即实数a的取值范围是(0,32].
故答案为：(0,32].
根据题意，由函数单调性的定义可得a>0a3≤1lg2(3×12−2a×1+1)≥a×1−a，解可得答案．
本题考查分段函数的性质，涉及函数的单调性，属于基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=4csxsin(x+π6)−1
=4csx( 32sinx+12csx)−1
= 3sin2x+cs2x
=2sin(2x+π6)，
∴f(x)的最小正周期T=2π2=π；
(Ⅱ)∵x∈[−π6,π4]，
∴2x+π6∈[−π6,2π3]，
∴−12≤sin(2x+π6)≤1，
−1≤2sin(2x+π6)≤2．
∴f(x)max=2，f(x)min=−1．
【解析】(Ⅰ)利用两角和与差的三角函数关系将f(x)=4csxsin(x+π6)−1转化为f(x)=2sin(2x+π6)，即可求得f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)由f(x)=2sin(2x+π6)，x∈[−π6,π4]，利用正弦函数的单调性质即可求其的最大值和最小值．
本题考查两角和与差的三角函数关系与二倍角的公式，考查正弦函数的单调性，求得f(x)的解析式是关键，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为A={x|x+63−x≥0}={x|x+6x−3≤0}={x|−6≤x<3}，
B={x|x2≤16}={x|−4≤x≤4}，
所以A∪B={x|−6≤x≤4}，A∩B={x|−4≤x<3}，∁R(A∪B)={x|x<−6或x>4}．
(2)根据题意，可得C={x|3x+m<0}={x|x≤−m3}，
因为x∈C是x∈A的必要条件，所以A⊆C，
结合A={x|−6≤x≤3}，可得−m3≥3，解得m≤−9．
因此，实数m的取值范围为(−∞,−9]．
【解析】(1)先化简集合A与B，然后根据交集、并集、补集的概念算出答案；
(2)先由题意，可得A⊆C，由此列式算出实数m的取值范围．
本题主要考查集合的概念与运算、不等式的解法、充要条件的判断等知识，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为f(4)=72，所以4m−24=72，所以m=1．
(2)因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，又f(−x)=−x−2−x=−(x−2x)=−f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(3)fx在0,+∞上为单调增函数.证明如下：
任取x1>x2>0，则f(x1)−f(x2)=x1−2x1−(x2−2x2)=(x1−x2)(1+2x1x2)，
因为x1>x2>0，所以x1−x2>0,1+2x1x2>0，所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(0,+∞)上为单调增函数．
【解析】本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．
(1)欲求m的值，只须根据f(4)=72的值，当x=4时代入f(x)解一个指数方程即可；
(2)求出函数的定义域x|x≠0，利用奇偶性的定义判断f(x)与f(−x)的关系，即可得到答案；
(3)利用单调性的定义证明即可．任取x1>x2>0，只要证明f(x1)>f(x2)，即可．
20.【答案】(本小题满分16分)
解：(1)由题意知，当0≤x≤8时，
y=0.6x+0.2(14−x)−120x2=−120x2+25x+145，……………………(3分)
当8y=0.6x+0.2(14−x)−3x+810=110x+2，……………………(5分)
即y=−120x2+25x+145,0≤x≤8110x+2,8(2)当0≤x≤8时，y=−120x2+25x+145=−120(x−4)2+185，
所以 当x=4时，ymax=185. ……………………(10分)
当8所以当x=14时，ymax=175.……………………(12分)
因为 185>175，所以当x=4时，ymax=185．
答：当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为185万元．…………………(16分)
【解析】(1)利用已知条件求出函数的解析式．
(2)利用二次函数的性质，转化求解函数的最值．
本题考查实际问题的应用，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
21.【答案】解：(1)因为f(x)=x2−(a+4)x+4a=(x−4)(x−a)，
所以f(x)<0，即(x−4)(x−a)<0，
当a=4时，不等式f(x)<0的解集为⌀；
当a>4时，不等式f(x)<0的解集为(4,a)；
当a<4时，不等式f(x)<0的解集为(a,4)．
(2)由题意，关于x的方程x2−ax+4a=0有两个不等的正根，
由韦达定理知Δ=a2−16a>0m+n=a>0mn=4a>0解得a>16，
则1m+1n=m+nnm=a4a=14，m+4n=4(m+4n)(1m+1n)=4(5+4nm+mn)，
因为m>0，n>0，所以4nm+mn≥2 4nm⋅mn=4，
当且仅当m=2n，且1m+1n=14，即m=12，n=6时，等号成立，
此时a=18>16，符合条件，则m+4n≥36，
综上，当且仅当a=18时，m+4n取得最小值36．
【解析】(1)分类讨论参数范围，根据一元二次不等式的解法得出答案；
(2)根据一元二次不等式的解集结合韦达定理确定参数范围和m、n与参数关系，构造1m+1n求出其值，结合基本不等式中常数的妙用解出答案．
本题主要考查了含参二次不等式的求解及利用基本不等式求解最值，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由条件知幂函数f(x)=x−2m2+m+3(m∈Z)在(0,+∞)上为增函数，
∴−2m2+m+3>0，
∴−1又m∈Z，
∴m=0或1．
当m=0时，f(x)=x3，不满足f(x)为偶函数；
当m=1时，f(x)=x2，满足f(x)为偶函数；
∴f(x)=x2．
(2)g(x)=lga(x2−ax)，
令h(x)=x2−ax，
由h(x)>0得：x∈(−∞,0)∪(a,+∞)，
∵g(x)在[2,3]上有定义，
∴0∴h(x)=x2−ax在[2,3]上为增函数．
1°当1∴a2+3a−9=0⇒a=−3±3 52∵12°当0∴a2+2a−4=0⇒a=−1± 5，
∵0∴此种情况不存在，
综上，存在实数a=−3+3 52，使g(x)在区间[2,3]上的最大值为2．
【解析】本题(1)根据指数函数为增函数，得到指数的取值范围，再利用函数为偶函数和整数条件，得到m的值，从而求出f(x)的解析式，得到本题结论；(2)可以先将g(x)在区间[2,3]上的最大值问题转化为内函数h(x)=x2−ax在区间上的最值问题，通过分类讨论，研究二次函数在区间上的值域，得到本题结论．
本题考查了函数的单调性、奇偶性、值域，还考查了分类讨论的数学思想，本题难度不大，属于基础题．x
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
f(x)
0.6321
−0.1065
0.2776
0.0897
−0.007